Transformações Geométricas no Ensino de Geometria: diferentes apropriações na matemática moderna

Leme da Silva, Maria Célia; Jahn, Ana Paula

doi:10.1590/1980-4415v38a230289

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DOSSIÊ PPGEM 40 ANOS • Bolema 38 • 2024 • https://doi.org/10.1590/1980-4415v38a230289 linkcopiar

Transformações Geométricas no Ensino de Geometria: diferentes apropriações na matemática moderna

Autoria SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

Este artigo constitui um estudo no âmbito de um projeto mais amplo acerca das relações entre a História da Geometria Escolar e o Movimento da Matemática Moderna (MMM). Analisamos como um determinado saber – as transformações geométricas (TG) – circulou no contexto brasileiro durante o referido período. Sob uma perspectiva histórica, investigamos quatro livros didáticos produzidos entre as décadas de 1960 e 1970 por líderes do MMM. As questões orientadoras deste estudo foram as seguintes: quais são as semelhanças e diferenças nas abordagens das TG entre os diferentes livros? Como ocorreu a articulação entre as TG e a Geometria Euclidiana (GE)? O processo de inserção das TG por meio dos livros didáticos foi diverso, ressaltando a complexidade do diálogo e a viabilidade de conciliar demandas oriundas de culturas distintas: a acadêmica, como representante da produção científica, e a escolar, representante de experiências de práticas profissionais.

História da Geometria Escolar; Livro didático de Matemática; Campo acadêmico; Campo profissional; Geometria Euclidiana

Título	Autor	Editora	Ano
Matemática – Curso Moderno para os ginásios – 3º vol.	Osvaldo Sangiorgi	Cia. Editora Nacional São Paulo	1967
Matemática – Curso Moderno – 3 Ciclo Ginasial	Alcides Bóscolo, Benedito Castrucci	Editora FTD São Paulo	1970
Ensino Atualizado da Matemática – curso ginasial – vol. 3	Omar Catunda, Martha M. de Souza Dantas, Eliana Costa Nogueira, Norma Coelho de Araújo, Eunice da C. Guimarães e Neide C. de Pinho e Souza	Edart São Paulo	1971
Curso Moderno de Matemática para ensino de primeiro grau – 7	Anna Averbuch, Franca Cohen Gottlieb, Lucília Bechara Sanchez, Manhúcia Liberman e Jacy Monteiro (supervisão)	Cia. Editora Nacional São Paulo	1975

Transformações Geométricas Planas – OS	Transformações do Plano – BC
*Grupo das Translações*: segmento orientado, medida algébrica, segmento equipolentes, translação no plano, translação de figuras planas, adição de translação, verificação de que as translações no plano, com relação à operação de adição, têm estrutura de grupo comutativo.	*Transformações do plano*: identidade e isometria.
*Grupo das Rotações*: rotação em ponto, nas figuras, arcos co-terminais, adição de rotações e verifica as quatro propriedades para justificar a estrutura de grupo comutativo,	*Translação*: define translação em um ponto, destaca as propriedades da transformação – isometria, que a uma reta não paralela à amplitude corresponde uma reta paralela a ela, a uma reta paralela à amplitude corresponde a própria reta, um ângulo corresponde a um ângulo congruente a ele –, translações iguais e inversas, composição de translações e verifica as propriedades da transformação com a composição.
*Simetria Axial*: define ponto simétrico, eixo de simetria, simetria axial, apresenta a simetria de um quadrilátero e de um triângulo.	*Simetria central*: define para um ponto, destaca as propriedades da transformação, apresenta a composição de duas simetrias centrais de centro O e O’ obtendo a translação de amplitude OO’ e paralela a OO’.
*Simetria Central*: define ponto simétrico, simetria central, apresenta como exemplo a simetria central de um triângulo.	*Rotação*: define rotação em um ponto, destaca as propriedades da transformação e verifica as propriedades da transformação com a composição.
Aplicação prática da *simetria axial* – problema do menor caminho.	*Simetria Axial*: define para um ponto, destaca as propriedades da transformação, apresenta duas possibilidades para fazer a composição de simetrias axiais: uma com eixos paralelos que resulta numa translação e outra com eixos perpendiculares que resulta em simetria central de centro na intersecção dos eixos.
*Teste de atenção*: conjunto com dez exercícios: 4 de translação, 1 rotação, 1 de translação seguida de rotação, 1 de simetria axial, 1 de simetria central e 2 de aplicações das TG para problemas de menor caminho.	*Isometria Direta e Inversa*: relaciona com a ideia de deslizamento e sobreposição.
	*Grupo das Transformações*: retoma os exemplos de adição e de multiplicação nos conjuntos numéricos estudados anteriormente (Z, Q e R) como grupos comutativos, e anuncia que algumas transformações têm a mesmas propriedades com a operação de composição, exemplificando para o caso do grupo comutativo das translações em relação à composição e diz ser possível verificar o mesmo para as rotações.

Capítulo II Reta	Translação na reta real; Simetria na reta real; Conjunto das translações e simetrias; Transformação afim ou afinidade na reta; Homotetia na reta.
Capítulo II Reta		Capítulo III Geometria Afim	*Translações no plano: definição, composição de translações (adição de vetores), translações formam grupo comutativo; Dilatações: definição (multiplicação de vetor por escalar), composição de dilatações; Propriedades* das translações e dilatações para definir espaço vetorial.
*Transformações no plano afim: definição de transformação no plano (correspondência pontual); definições de translação; simetria central; homotetia; Teoremas* do produto de duas simetrias no plano e do produto de uma simetria por uma translação; Grupo afim elementar: conjunto de translações e simetrias pontuais. Figuras congruentes: que se podem transformar, uma na outra, por uma transformação do grupo afim elementar; Homotetia no Triângulo.		Capítulo III Geometria Afim
Capítulo IV Geometria Euclidiana	*Simetria axial* (simetria em relação à reta); Propriedades da simetria axial (pontos fixos; semi-plano em semi-plano oposto; composição de simetria com ela mesma é Id; figura simétrica de uma reta é outra reta); Definições: duas figuras, simétricas uma da outra, em relação a um eixo r, dizem-se congruentes (congruência por simetria); Figura simétrica e eixo de simetria (uma figura que se transforma em si mesma por uma simetria axial); Reta perpendicular a partir da simetria axial; Propriedade simétrica da ortogonalidade; Composição de simetrias (com sistema de coordenadas); Teoremas: composta de 2 simetrias axiais em relação a eixos paralelos e em relação a eixos ortogonais; grupo das congruências (isométrico ou euclidiano): conjunto das transformações que se decompõem em simetrias axiais.
	*Rotação*: definida por composição de duas simetrias cujos eixos não são paralelos, nem ortogonais; Transporte de figuras (por transporte de segmento e de ângulo); casos de congruência de triângulos (por transporte de segmentos e de ângulos).
	Figuras semelhantes: definição: uma figura F é semelhante a outra figura F’ quando F é congruente a uma figura F’’ a qual é homotética de F; semelhança é obtida pela composição de uma homotetia com uma congruência, propriedades da semelhança (teoremas de homotetia). Casos de semelhança de triângulos e de figuras quaisquer.

Autor(es)	Abordagem da TG (definição)	Articulação entre TG e GE	Conteúdos
OS	Translação e Rotação, conjuntos munidos da operação de adição para justificar a estrutura de grupo comutativo.	Não houve, TG isoladas no Apêndice do livro	Translações Rotações Simetria Axial Simetria Central
BC	Transformações no plano como funções e estudo de suas propriedades. Grupo das Transformações, exemplificando com grupo comutativo das translações em relação à composição	Não houve, TG isoladas no Apêndice do livro	Transformações Translações Simetria Central, Rotação Simetria Axial Isometria Direta e Inversa
CD	Transformações no plano afim como funções e estudo de suas propriedades. Grupo afim elementar, grupo das congruências (isométrico ou euclidiano)	Integra as TG com a GE nos Caps. III e IV	Translações, Dilatações Transformação no plano afim Grupo afim elementar Homotetia Simetria axial Grupo das congruências Rotação
GRUEMA	Simetria Axial como uma função e estudo de suas propriedades	Integra as TG com a GE nos tópicos Simetria e Congruência	Simetria axial

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[1] Fonte: elaborado pelos autores com base em: Sangiorgi (1967), Bóscolo e Castrucci (1970),

[TFN1] Catunda et al. (1971) e Averbuch et al. (1975)