Preparar, conduzir e refletir sobre a discussão coletiva: práticas de uma professora de Matemática do 5.º anoResumo
O artigo visa compreender como uma professora de Matemática do 5.º ano prepara, conduz e reflete sobre a discussão coletiva numa aula de investigação sobre o tema das expressões algébricas equivalentes, atendendo às práticas e ações que realiza nesse momento. A metodologia adotada é qualitativa, interpretativa, e os dados foram recolhidos através da observação e gravação das sessões de preparação, condução e reflexão sobre a discussão coletiva e através de recolha documental. A análise dos dados é dedutiva, com base num modelo que organiza as práticas e ações do professor na preparação e condução de discussões coletivas. Nesse modelo, a preparação da discussão coletiva está organizada em dois momentos: antes da aula, em que o professor faz a preparação inicial, escolhe e resolve a tarefa e prepara a sua realização na aula; durante a aula, quando o professor apresenta a tarefa, monitoriza o trabalho dos alunos, seleciona e sequencia as suas respostas. São apresentadas três práticas a conduzir, em simultâneo, durante a discussão coletiva – iniciar a discussão coletiva e intervir segundo a situação e o objetivo, analisar o trabalho dos alunos com foco nas ideias matemáticas e promover a participação destes. Relativamente à síntese final, para além do estabelecimento de conexões, é apresentada a ação de resumir e realçar as principais ideias ou procedimentos explorados na aula. Os resultados mostram que a professora promoveu uma discussão coletiva interessante e produtiva, tendo realizado todas as práticas previstas no modelo para a preparação e condução da discussão coletiva, para o que foi determinante o trabalho de preparação realizado.
Palavras-chave
Discussão coletiva; Ensino da Matemática; Estudo de aula
Abstract
The article aims to understand how a grade 5 mathematics teacher prepares, leads, and reflects on a whole-class discussion in a research lesson on the topic of equivalent algebraic expressions, considering the practices and actions she carries out during this moment. The methodology adopted is qualitative and interpretative, and the data was collected through observation and recording of the sessions of preparation, leading, and reflection on the whole-class discussion and through document collection. The data is analyzed deductively, based on a model that organizes the teacher’s practices and actions in preparing and leading whole-class discussions. In this model, the preparation of the whole-class discussion is organized into two moments: before the lesson, when the teacher makes the initial preparation, chooses and solves the task, and prepares to carry it out in class; and during the lesson, when the teacher presents the task, monitors the students’ work, selects and sequences their responses. Three practices to be carried out simultaneously during the whole-class discussion are presented: initiating the whole-class discussion and intervening according to the situation and the goal, analyzing the students’ work with a focus on mathematical ideas, and promoting their participation. Regarding the final summary, in addition to establishing connections, the action of summarizing and highlighting the main ideas or procedures explored in the lesson is presented. The results show that the teacher promoted an interesting and productive whole-class discussion, carrying out all the practices provided for in the model for preparing and leading the whole-class discussion, for which the preparatory work carried out was decisive.
Keywords
Whole-class discussion; Mathematics teaching; Lesson study
1 Introdução
A discussão coletiva é um momento de grande relevância na aula de Matemática, nomeadamente por permitir aos alunos terem a oportunidade de explorar ideias matemáticas que surgem através das suas próprias resoluções das tarefas e das resoluções apresentadas pelos colegas. O professor assume um papel fundamental na discussão coletiva, cabendo-lhe incentivar os alunos a apresentarem e a justificarem as suas ideias de forma clara e concisa, o que exige considerar aspetos particulares da preparação e condução da discussão coletiva (Stein et al., 2008).
A discussão coletiva é um momento importante numa abordagem de ensino exploratório (Ponte; Quaresma, 2016), em que os alunos são chamados a assumir protagonismo ao participar ativamente na construção do conhecimento. No entanto, conduzir discussões coletivas tem vindo a ser apontado pela investigação como um desafio para os professores, dado o amplo conhecimento, no que respeita a várias dimensões, que é necessário para gerir este momento. Além disso, conduzir discussões coletivas é uma prática diferente daquelas que os professores utilizam usualmente nas suas aulas. Para tal, os professores devem ter expetativas realistas sobre aquilo que pode acontecer, o que contribui para reduzir o grau de imprevisibilidade da discussão coletiva e, em particular, das intervenções dos alunos e permitir responder-lhes de acordo com o objetivo da aula (Kooloos et al., 2023; Stein et al., 2008).
Uma forma de superar os desafios inerentes à condução da discussão coletiva é fazer a sua preparação de forma antecipada e detalhada, considerando aspetos fundamentais como a antecipação de possíveis estratégias de resolução e dificuldades dos alunos. É igualmente importante preparar as intervenções do professor e a seleção e sequenciação das respostas dos alunos a partilhar na discussão coletiva (Boerst et al., 2011; Stein et al., 2008). Estas atividades são realizadas habitualmente em estudos de aula, um processo de desenvolvimento profissional de natureza colaborativa centrado nas aprendizagens dos alunos (Ponte; Quaresma; Mata-Pereira, 2016).
Com base num modelo sobre a preparação e condução da discussão coletiva (Duarte; Faria; Ponte, 2024), pretendemos compreender como, num estudo de aula simplificado, uma professora de Matemática do 5.º ano preparou, conduziu e refletiu sobre a discussão coletiva, atendendo às práticas e ações que realizou durante esses momentos.
2 A discussão coletiva na aula de matemática
O trabalho realizado na aula de Matemática é influenciado pela tarefa proposta aos alunos, e também pela comunicação que se estabelece entre os alunos e entre estes e o professor. A discussão coletiva valoriza o papel de descoberta e de construção do conhecimento por parte dos alunos, nomeadamente através da apresentação da resolução de tarefas que permitam o uso de diversas representações e estratégias. Quando partilham as suas ideias durante a discussão, os alunos têm oportunidade de justificar os seus raciocínios, desenvolver a sua linguagem matemática, refletir sobre o seu trabalho e também sobre o trabalho dos colegas, com base em argumentos válidos e pertinentes (NCTM, 2014).
A discussão coletiva é um momento-chave da aula exploratória, a qual pode ser organizada em três fases: 1) o professor apresenta e promove a interpretação da tarefa em coletivo; 2) os alunos, autonomamente, realizam a tarefa; e 3) em coletivo, os alunos apresentam e discutem as suas resoluções sob orientação do professor, e é feita a síntese final das ideias discutidas (Ponte, 2005). Uma aula desta natureza parte essencialmente da tarefa proposta pelo professor, que reconhece características como o grau de desafio e o grau de abertura (Ponte, 2005; Stein et al., 2008). Para que a discussão coletiva seja efetivamente produtiva, o professor pode incentivar os alunos a explicar e justificar as estratégias e pode igualmente valorizar as contribuições incorretas e incompletas dos alunos, no sentido de os apoiar a formular justificações alternativas, a argumentar e a criticar de forma construtiva, o que pode conduzir a situações de desacordo entre eles (Stein et al., 2008).
À condução da discussão coletiva estão associados vários desafios para os professores, uma vez que constitui uma prática diferente daquelas que usualmente utilizam nas suas aulas (Faria; Ponte; Rodrigues, 2024; Kooloos et al., 2023; Stein et al., 2008), e dado que é necessário que o professor tenha conhecimento em diferentes dimensões, particularmente no que respeita ao conteúdo matemático, à didática, aos alunos e aos processos de aprendizagem. A discussão coletiva vai além da apresentação de estratégias de resolução como acontece quando se faz a correção dos exercícios.
A qualidade da discussão coletiva depende da preparação que o professor faz da aula e, em particular, deste momento. Essa preparação começa pela identificação clara do conteúdo matemático que pretende trabalhar e define o objetivo de aprendizagem para desenvolver com os alunos naquela aula (Boerst et al., 2011). Atendendo ao conteúdo e ao objetivo definidos, o professor seleciona a tarefa a propor aos alunos e, caso seja necessário, adapta ou constrói a tarefa, para que esta reúna as características necessárias para permitir aos alunos construírem ou aprofundarem a sua compreensão sobre conceitos, procedimentos, representações e ideias matemáticas importantes e pertinentes para serem explorados naquela aula. Depois, resolve essas tarefas através das várias estratégias de resolução que os alunos podem usar, independentemente da sua correção ou nível de sofisticação, e antecipa eventuais dificuldades destes na interpretação e resolução das tarefas (Kooloos et al., 2023). É igualmente importante o professor consultar os documentos curriculares e literatura sobre as estratégias usualmente utilizadas pelos alunos, bem como as dificuldades que mais frequentemente manifestam na aprendizagem daquele conteúdo (Stein et al., 2008). Esse trabalho permite ainda ao professor compreender que conhecimento e competências os alunos devem já ter desenvolvido para conseguirem resolver a tarefa e que dificuldades e estratégias de resolução mais provavelmente apresentarão em aula (Boerst et al., 2011).De seguida, o professor considera a preparação da realização da tarefa na aula, o que inclui prever como pode estabelecer conexões entre as diferentes estratégias dos alunos e entre estas e o objetivo que definiu para a aula. Durante a preparação da discussão coletiva é também importante considerar questões e intervenções do professor a realizar na sua condução, com maior ou menor grau de desafio, de forma a contribuir para o surgimento de situações de desacordo entre os alunos, mas também para permitir ao professor compreender o raciocínio e as dificuldades que estes apresentem (Duarte; Faria; Ponte, 2024).Durante a aula exploratória, o professor começa por apresentar a tarefa aos alunos, desafiando-os na sua interpretação e clarificando aspetos relacionados com o enunciado que possam suscitar dúvidas e condicionar a sua compreensão. Apesar disso, tem em atenção que esse esclarecimento não induza os alunos à resposta ou sugira explicitamente informações que influenciem a resolução da tarefa e, por conseguinte, a discussão coletiva (Duarte; Faria; Ponte, 2024). Durante a fase de trabalho autónomo dos alunos, o professor monitoriza o trabalho que estes desenvolvem, observa que estratégias utilizam, compreende quais os raciocínios envolvidos, e decide que estratégias é importante partilhar na discussão coletiva. Caso necessário, e para garantir que o objetivo da aula é trabalhado, o professor pode avançar com outras estratégias ou representações que não foram apresentadas pelos alunos e, por fim, sequencia as estratégias a apresentar segundo critérios previamente pensados (Kooloos et al., 2023; Stein et al., 2008).
Depois do trabalho autónomo dos alunos, o professor inicia a discussão coletiva através de intervenções usadas de acordo com a situação e o objetivo em causa (Ponte; Mata-Pereira; Quaresma, 2013). Com as suas intervenções, o professor motiva os alunos a participar na discussão coletiva, e evita que esta se centre apenas num grupo de alunos, perdendo a atenção dos restantes ou correndo o risco de tornar este momento pouco produtivo. Desta forma, enquanto os alunos selecionados pelo professor apresentam a sua estratégia de resolução da tarefa, os colegas devem escutar, analisar e responder ao raciocínio partilhado, argumentando criticamente as suas intervenções (Boerst et al., 2011). A preparação das intervenções a realizar pelo professor durante a discussão coletiva permite-lhe analisar previamente como pode avaliar, tomar decisões e adaptar as suas intervenções atendendo ao objetivo e, posteriormente, àquilo que realmente acontece durante a aula. O rumo da discussão e as aprendizagens dos alunos dependem fortemente da forma como o professor conduz esse momento, inclusive, se permite que os alunos tenham um papel ativo e central, explicando os seus raciocínios e estratégias, e não assumindo ele próprio tais explicações e justificações.
Ainda no decorrer da discussão coletiva, o professor analisa o trabalho dos alunos com foco nas suas ideias matemáticas. Quando os alunos explicam como resolveram a tarefa, o professor coloca-lhes questões no sentido de os apoiar a expressar e clarificar o seu raciocínio, realçando as ideias matemáticas importantes para a aula. É importante considerar também como estabelecer conexões entre as estratégias apresentadas pelos alunos e qual a relação destas com o objetivo da aula, pelo que o professor analisa como as relacionar e como estabelecer conexões com conceitos, representações e procedimentos matemáticos relevantes (Stein et al., 2008). As respostas e ideias erradas ou incompletas dos alunos são igualmente consideradas pelo professor com o intuito de permitir que estes tenham oportunidade de as transformar em ideias corretas, completas e concisas (Duarte; Faria; Ponte, 2024). Partindo dessas ideias, podem surgir situações de desacordo entre os alunos, o que constitui excelentes oportunidades para os alunos argumentarem, criticarem e explorarem erros (Stein et al., 2008; Wood, 1999).
A discussão coletiva termina com a síntese final que se torna mais interessante quando promovida com a colaboração dos alunos. Neste momento, pretende-se que sejam destacadas e resumidas as principais ideias matemáticas exploradas na aula e que sejam evidenciadas conexões entre o objetivo definido e outras ideias matemáticas já conhecidas pelos alunos (Duarte; Faria; Ponte, 2024). Todas estas ideias sobre a preparação e condução da discussão coletiva foram por nós organizadas num modelo que usamos para a análise dos dados do presente estudo.
3 Metodologia de investigação
Esta investigação segue a abordagem qualitativa e o paradigma interpretativo (Bogdan; Biklen, 2007) e considera como fonte de dados as sessões de um estudo de aula realizado em Portugal, com uma professora de Matemática do 2.º Ciclo do Ensino Básico (alunos com 10-12 anos). O estudo de aula é um processo formativo assente na prática dos professores e tem como principal foco a aprendizagem dos alunos. Ao participar num estudo de aula, os professores planificam detalhadamente a aula de investigação, preparando, nomeadamente, a discussão coletiva. Posteriormente, conduzem, observam e refletem sobre situações de sala de aula, procurando desenvolver o seu conhecimento (Fujii, 2018). O estudo de aula realizado foi uma versão simplificada, dado que incluiu apenas duas professoras e o trabalho de preparação da aula no que diz respeito à seleção das tarefas matemáticas a propor aos alunos na aula de investigação, foi muito abreviado. Este trabalho foi realizado no ano letivo de 2023/2024 e contemplou 6 sessões (Sn) realizadas semanalmente e com a duração média de duas horas: Identificação do objetivo matemático (S1); Planificação da aula (S2-S3); Aula de investigação (S4); Discussão pós-aula (S5); e Reflexão (S6).
Participaram neste trabalho, baseado no estudo de aula, a professora, com o nome fictício de Teresa, que se encontrava a lecionar Matemática a turmas do 5.º e 6.º anos numa escola semiprivada, e a primeira autora, enquanto investigadora, que preparou e dinamizou as sessões do estudo de aula. Teresa conduziu a aula de investigação, realizada com uma turma do 5.º ano, com a duração de 100 minutos e observada pela primeira autora. Teresa terminou o curso de mestrado em ensino do 1.º ciclo do ensino básico e de Matemática e Ciências Naturais no 2.º ciclo do ensino básico no ano letivo de 2021/2022 e, por manifestar interesse em participar voluntariamente em processos formativos depois de terminar a sua formação inicial, a investigadora convidou-a a participar neste estudo de aula.
Após analisar a planificação a médio prazo disponibilizada pela escola, bem como a calendarização da própria professora, foi definido que a aula de investigação iria incidir no tema da álgebra, no tópico das relações numéricas e algébricas e no subtópico relativo a expressões algébricas equivalentes. O objetivo de aprendizagem definido para esta aula foi resolver problemas através da identificação de expressões algébricas equivalentes. Todo o trabalho realizado para a aula de investigação considerou a abordagem exploratória, nomeadamente a seleção das tarefas representadas nas Figuras 1 e 2.
Para promover a síntese final foi decidido que Teresa iria construir, com a participação e colaboração dos alunos, uma definição do conceito de “expressões algébricas equivalentes”, ilustrada com exemplos de expressões utilizadas pelos alunos na resolução das tarefas.
Os dados foram recolhidos através da observação das sessões de planificação da aula, da condução da aula de investigação e da discussão e reflexão sobre esta aula, bem como através da recolha de documentos produzidos pelos alunos, tais como as resoluções das tarefas apresentadas por Teresa. As sessões do estudo de aula foram gravadas e foram feitas as transcrições das partes consideradas relevantes para este estudo. Os dados foram analisados de forma dedutiva (Amado, 2013), atendendo ao modelo apresentado no Quadro 1, que sistematiza as práticas e ações que o professor tem interesse em considerar na preparação e condução de discussões coletivas e da síntese final.
De acordo com o modelo, a preparação da discussão coletiva contempla aspetos há muito referidos pela literatura (e.g., Fujii, 2018; Stein et al., 2008). Já no que diz respeito à condução da discussão coletiva, são apresentadas três práticas que devem ser conduzidas em simultâneo – iniciar a discussão coletiva e intervir segundo a situação e o objetivo, analisar o trabalho dos alunos com foco nas ideias matemáticas e promover a participação destes. Relativamente à síntese final, para além do estabelecimento de conexões (Stein et al., 2008), é apresentada a ação de resumir e realçar as principais ideias ou procedimentos explorados na aula.
Na nossa análise, procedemos a uma análise de conteúdo dos dados, começando por fazer anotações e observações analíticas iniciais, de modo a ter uma visão mais clara dos dados e do que eles sugerem. Em segundo lugar, selecionámos os episódios transcritos que evidenciavam situações relevantes no que diz respeito à presença de uma maior diversidade de práticas e ações apresentadas no Quadro 1. Cada episódio foi então codificado com base nessas práticas e ações. Para garantir a objetividade das interpretações, os três autores discutiram os resultados sempre que necessário para chegar a um consenso. Esta abordagem permitiu-nos identificar aspetos relevantes das fases de preparação, condução e reflexão da aula de investigação conduzida por Teresa. Através desta análise, procurámos compreender como a professora conduziu a discussão coletiva durante a sua participação no estudo da aula.
4 Resultados
4.1 Preparação da discussão coletiva
4.1.1 Preparação inicial
A preparação da discussão coletiva iniciou-se com a análise da calendarização disponibilizada pela escola e da planificação de Teresa, atendendo ao conteúdo matemático que seria explorado com os alunos à data da aula de investigação. Uma vez decidido que essa aula iria incidir no subtópico referente às expressões algébricas equivalentes, um assunto no qual os alunos usualmente revelam fortes dificuldades, foram analisados os documentos curriculares, em particular, para definir o objetivo de aprendizagem a desenvolver naquela aula:
Teresa: Acho que nos devíamos manter neste conteúdo [relações numéricas e algébricas] e seguir as Aprendizagens Essenciais[1]…
Investigadora: E quanto ao objetivo de aprendizagem para a aula de investigação?
Teresa: Então, eles já começaram a trabalhar as leis de formação e expressões algébricas. Pensei que podíamos focar-nos nas expressões algébricas equivalentes, porque acho que assim pode haver uma discussão coletiva mais interessante. Sendo assim, será este [o objetivo] “resolver problemas através da identificação de expressões algébricas equivalentes...”
Investigadora: E será que o resto [“relacionando-as com o seu significado no contexto, e justificar por palavras próprias”] faz sentido?
Teresa: Não vale a pena. Focamo-nos só nas expressões algébricas equivalentes (S1, 2024).
O principal objetivo de aprendizagem para a aula ficou, assim, definido.
4.1.2 Escolher as tarefas
Uma vez definido o objetivo de aprendizagem para a aula de investigação, Teresa sugeriu analisar as tarefas apresentadas no manual escolar adotado pela escola, dado que esta era a sua prática habitual e devido ao facto de preferir
[...] não me afastar do manual, até porque acho que está muito bem pensado (Teresa, S1, 2024).
As tarefas a propor aos alunos na aula de investigação foram selecionadas atendendo à possibilidade de estes apresentarem diferentes expressões algébricas equivalentes o que, segundo Teresa, era
[...] fundamental para haver uma discussão mais rica (S1, 2024).
4.1.3 Resolver as tarefas
Depois de selecionadas as tarefas a propor aos alunos na aula de investigação, foi feita a antecipação de possíveis estratégias que estes poderiam utilizar na sua resolução. Teresa resolveu as tarefas de várias formas e foi, simultaneamente, elencando algumas possíveis dificuldades que os alunos poderiam apresentar:
Teresa: Aqui [1) da tarefa 1], acho que os alunos vão chegar a ϰ + ϰ + 2 + 2 e ϰ × 2 + 2 × 2 para o retângulo a)…
Investigadora: E podem apresentar logo 2ϰ + 4, certo?
Teresa: Sim, mas acho difícil eles chegarem logo à mais simplificada.
Investigadora: E quanto aos retângulos b) e c)?
Teresa: Então, para o b): 2ϰ × 2 + ϰ × 2, ou 2ϰ + ϰ + 2ϰ + ϰ, ou até 6ϰ… E, no c), ϰ + 2 + ϰ + ϰ + 2 + ϰ, também pode ser ϰ × 2+ (ϰ + 2) × 2 e, a mais simples, que seria 4ϰ + 4. Agora eu acho é que eles vão ter muitas dificuldades com tantas letras…
Investigadora: Como assim?
Teresa: Acho que se vão confundir muito e vai haver termos gerais errados. Depois, eles sabem o que é o perímetro, mas calculá-lo com letras… parece-me que vai ser complicado também. Ah! E erros de cálculo, especialmente no que toca aos números decimais. Eles costumam ter dificuldades nisso.
Investigadora: E que outras dificuldades os alunos podem apresentar?
Teresa: Na interpretação do enunciado há quase sempre. Nesta em particular [tarefa 2] penso que eles vão ter dificuldades na visualização espacial.
Investigadora: Em relação aos cubos que não estão visíveis?
Teresa: Sim, sim. Podem ainda não compreender o conceito de equivalência de expressões… (S2, 2024).
4.1.4 Preparar a realização das tarefas na aula
Ao pensar sobre o questionamento e outras intervenções a realizar durante a discussão coletiva, Teresa considerou ser importante que os alunos
[...] participem sempre que possível e partilhem raciocínios uns com os outros (S3, 2024).
A este propósito, a professora precisou de relembrar alguns aspetos característicos da aula exploratória que influenciam o decurso da discussão coletiva:
Teresa: Não é suposto… Eu não posso dizer certas coisas, não é?
Investigadora: Como assim? Durante o trabalho autónomo dos alunos?
Teresa: Sim, mas também na discussão. Eu não devo corrigir as respostas dos alunos…
Investigadora: É importante não validar as respostas deles, nem informar ou sugerir em demasia, para não uniformizar as estratégias de resolução deles…
Teresa: Exato, caso contrário, só existe uma resolução e não há discussão. Faz sentido. Não me lembrava destas coisas, ainda bem que estamos a relembrar isto antes da aula (S3, 2024).
Teresa faz referência às aprendizagens realizadas na sua formação inicial, muitas das quais não parece ter em conta na sua prática atual.
4.1.5 Selecionar e sequenciar as respostas dos alunos
Na aula, Teresa começou por apresentar a tarefa aos alunos, lendo o seu enunciado em voz alta e questionando se todos compreendiam o que era solicitado ou se havia questões que pudesse esclarecer, o que não se verificou. Durante o trabalho autónomo, Teresa observou as resoluções e raciocínios dos alunos, selecionando e sequenciando as respostas para a discussão coletiva segundo os critérios definidos previamente. A professora referiu ser fundamental
[...] as [respostas] erradas serem sempre apresentadas no quadro (S3, 2024),
para promover situações de desacordo entre os grupos. Para além disso, considerou importante apresentar as respostas dos alunos segundo um grau de complexidade e sofisticação crescente (Figura 3).
4.2 Condução da discussão coletiva
4.2.1 Episódio 1
Teresa iniciou os momentos de discussão coletiva convidando o grupo que selecionou e sequenciou, na fase anterior da aula, como sendo o primeiro a apresentar a sua estratégia de resolução. Essa ação de convidar levou os alunos a partilhar a sua resolução e a explicá-la aos colegas. Ocorreu, assim uma discussão sobre expressões equivalentes que permitissem calcular o perímetro do retângulo A (tarefa 1):
Teresa: Francisca, explica aos colegas como chegaram à resolução da a).
Francisca: Fizemos 2 + 2 + 2 e dividimos por 2.
Teresa: Porquê 2 + 2 + 2? Quando olham para a resolução do Mateus e da Francisca, o que vocês acham? Concordam? Não concordam? Júlia?
Júlia: Nós não concordamos, porque aqui [no enunciado da tarefa] estão só ϰ e não n.
Teresa: E o que mais pode estar certo ou errado? Qual é a característica do retângulo?
Tânia: O retângulo só tem dois lados iguais.
Teresa: E o que isso quer dizer?
Raquel: Na expressão devia estar duas vezes o 2. Só pode ter dois lados iguais com o valor 2.
Teresa: Quem tem mais observações?
Alexandre: A divisão não faz sentido.
Teresa: Como assim? O que vos pedia o enunciado?
Tomé Para achar o perímetro.
Teresa: Aquela expressão funciona para acharmos o perímetro?
Tomé: Não, porque o perímetro é a soma de todos os lados. E tem 4 lados. E não se divide nada no perímetro.
Teresa: Então a primeira resolução dos colegas está certa?
Alunos: Não.
Teresa: Fábio, o que vocês fizeram?
Fábio: ϰ + 2 + ϰ + 2.
Teresa: OK, porquê?
Fábio: Porque é duas vezes cada lado. O maior lado é ϰ e o lado mais pequeno é 2.
Teresa: E o Rodrigo o que fez na primeira?
Rodrigo: ϰ + ϰ + 2 + 2 e 2ϰ + 4.
Teresa: Porquê 2ϰ + 4? O que fizeram para lá chegar?
Rodrigo: A soma de 2 + 2 dá 4 e de ϰ + ϰ é 2ϰ.
Teresa: E com esta última parte aqui [2ϰ + 4 = 4n], vocês concordam?
Alunos: Não.
Teresa: Porquê Lourenço?
Lourenço: Porque tinham de usar o ϰ e não o n. E porque é vezes.
Júlia: Não tem o mesmo perímetro. Se o comprimento é maior do que a largura… a expressão [4n] diz que os 4 lados são iguais, e não são.
Teresa: Então podemos multiplicar 4 x n para obter o perímetro do retângulo?
Aluno: Não.
Teresa: Funcionaria para alguma outra figura?
Aluno: Funcionava no quadrado.
Teresa: OK, então percebemos que a primeira expressão não funciona para termos o perímetro do retângulo. Mas as expressões ϰ + ϰ + 2 + 2 e 2ϰ + 4 funcionam (S4, 2024).
Durante este episódio da discussão coletiva, Teresa analisou o trabalho dos alunos com foco nas suas ideias matemáticas, nomeadamente para destacar ideias importantes, como é o caso das características do retângulo, sobre as quais a professora questionou os alunos depois da intervenção de Francisca que mostrou que o seu grupo tinha considerado que o retângulo tinha três lados iguais. Essa situação decorreu da partilha de uma resposta errada selecionada por Teresa para ser apresentada na discussão coletiva. A professora optou por não evidenciar logo o erro, mas aproveitou a intervenção de Francisca para convidar outros alunos a manifestarem a sua opinião e para os desafiar, insistindo para desenvolverem e clarificarem as suas intervenções. Enquanto os alunos participavam na discussão com o intuito de resolverem o desacordo, Teresa analisou o trabalho destes com foco nas ideias matemáticas exploradas, nomeadamente colocando questões para os apoiar enquanto expressavam o seu raciocínio. Para além de fazer convites, apoiou/guiou os alunos, incentivando-os a clarificarem a sua explicação e mantendo a discussão no rumo pretendido. A professora desafiou os alunos com frequência, insistindo para clarificarem e justificarem as suas afirmações e, no final deste excerto, informou/sugeriu, destacando ideias matemáticas importantes, em particular, as expressões algébricas apresentadas pelos alunos que permitiram o cálculo do perímetro do retângulo e fazendo conexões entre as ideias utilizadas pelos alunos, em particular, quando as relacionou com o cálculo do perímetro de outras figuras que não o retângulo, fazendo conexões com ideias previamente conhecidas por eles.
4.2.2 Episódio 2
Este episódio de discussão coletiva, agora sobre expressões algébricas que permitissem calcular o perímetro do retângulo B, começou novamente com a apresentação da resposta errada do grupo de Francisca selecionada por Teresa durante o trabalho autónomo dos alunos. Tal resposta desencadeou outra situação de desacordo, o que permitiu que vários alunos participassem e se envolvessem na discussão.
Teresa: Vamos à b). Francisca, como pensaram?
Francisca: n + n + n
Teresa: Porque somaram n + n + n?
Francisca: Porque não percebemos que no retângulo tínhamos de pensar nos 4 lados. Ou seja, o perímetro é a soma dos 4 lados.
Teresa: Então, [a expressão a que chegaram] funciona?
Nádia: Não...
Teresa: Porquê?
Aluno: Porque um retângulo tem 2 lados iguais, e não 3. Tem 4 lados, os laterais [largura] são iguais e menores que os lados do comprimento. A expressão não dá.
Teresa: E tu Carlos, o que dizes?
Carlos: Eu acho que deve ser 2ϰ + 2 + 2.
Teresa: O que vocês dizem?
Maria: Funciona!
Dário: Não funciona, não! O retângulo tem 4 lados e o Carlos só apresentou 3.
Teresa: Então, Dário?
Dário: Falta ali um lado. Que é 2.
Teresa: Faltava adicionar um lado que é 2?
Tiago: Não, é 2ϰ. Ali [na expressão 2ϰ + 2 + 2] está o valor de 3 lados, falta adicionar 2ϰ, que é o outro valor.
Teresa: Rodrigo e vocês como fizeram?
Rodrigo: ϰ + ϰ + 2 + 2. E 2ϰ + 4 e 2n.
Teresa: O que acham da primeira expressão do Rodrigo?
Diana: Não, porque tinha de ser ϰ + ϰ + ϰ + ϰ + 2 + 2.
Teresa: O que a Diana está a tentar dizer? Dário?
Dário: Está mal. O valor do comprimento é 2ϰ. E não ϰ. Então, não usaram o valor do comprimento.
Teresa: Então, o que é preciso alterar na expressão?
Dário: Tem de ficar 2ϰ +2ϰ + ϰ + ϰ.
Teresa: Tendo isso em consideração, a segunda expressão [2ϰ + 4] está certa?
Letícia: Não. Tem de ser 2ϰ + 2ϰ + 4.
Teresa: 2ϰ + 2ϰ. Não há outra forma?
Alunos: 4ϰ + 4.
Teresa: E a terceira expressão [2n] funcionaria para achar o perímetro do retângulo?
Alunos: Não.
Teresa: Porquê? Quando querem achar o perímetro de um retângulo basta-vos multiplicar o valor que vos é dado de um lado [do retângulo] por 2? Aquela expressão pode funcionar?
Júlia: Não.
Teresa: Porquê?
Júlia: Faltam ϰ.
Teresa: Então o que acrescentarias?
Júlia: Acrescentaria um ϰ.
Teresa: Ficaria 2ϰ + ϰ?
Júlia: Não sei…
Teresa: Há pouco disseram que não temos 4 lados iguais num retângulo. Não podemos recorrer a uma expressão em que faltam algum desses lados.
Tomé: E ϰ + 2 + ϰ + 2 + ϰ + ϰ dá, professora?
Teresa: Dá. O que os colegas fizeram foi juntar: 2ϰ é ϰ + ϰ, certo? (S4, 2024).
A professora continuou a promover a participação dos alunos ao longo deste excerto da discussão coletiva, nomeadamente encorajando-os a escutarem, analisarem e responderem ao raciocínio dos colegas, convidando alunos específicos a participarem na discussão coletiva. Por outro lado, a professora promoveu o envolvimento de toda a turma na discussão, através de questões e convites direcionados a alunos de diferentes grupos. Em momentos como aquele em que Teresa solicitou a Dário que se manifestasse relativamente à estratégia de resolução apresentada por Diana, pretendia solicitar a este último que explicasse a resposta da colega, promovendo de outra forma a participação dos alunos na discussão coletiva.
4.2.3 Episódio 3
O terceiro episódio diz respeito à discussão coletiva da tarefa 2, em que os alunos partilharam as suas resoluções referentes ao termo geral que permitia continuar a sequência de cubos. A professora voltou a convidar alguns alunos a iniciarem a discussão coletiva, começando pelo grupo de Mateus, que tinha uma resposta errada:
Teresa: Bem, temos aqui duas resoluções diferentes. Quem concorda com qual e porquê? Mateus?
Mateus: Eu somei sempre 2.
Luís: Mas 1 + 2 dá 3, não 4 [no segundo termo].
Pedro: Nós temos de contar com os cubos visíveis e com os cubos não visíveis. O Mateus não contou os cubos atrás dos visíveis.
Dário: Aqui [aponta na figura] estão cubos, eles não estão suspensos no ar!
Teresa: Muito bem, os cubos não estão suspensos. Tem de haver cubos por baixo destes [visíveis]. Então, como ficamos, Sofia?
Sofia: Nós dizemos que é para adicionar sempre 5 cubos ao [termo] anterior.
Mateus: Não concordo, porque nesta sequência não adicionamos 5 + 5 + 5….
Diana: Adicionamos 2 ao número do termo anterior.
Magda: Mas 1 + 2 dá 3 não dá 4 cubos!
Rita: Na tabela diz 1; 4; 9; 16. De 1 para 4 adicionamos 3, de 4 para 9 adicionamos 5, de 9 para 16 adicionamos 7. Não é 5.
Alunos: São números ímpares!
Teresa: Então que regra podemos definir?
Tomé: Números a que adicionamos sempre mais 2 ao termo anterior.
Raquel: 1 + 2 dá 3 e não 4! Não dá!
Catarina: São números ímpares. Temos de adicionar números ímpares.
Teresa: Por qualquer ordem?
Catarina: É sempre o seguinte.
Teresa: Como, Catarina?
Catarina: Adicionarmos o número ímpar seguinte ao termo anterior. Por exemplo 1 + 3 é 4, 4 + 5 é 9, 9 + 7 é 16 e 16 + 9 é 25… (S4, 2024).
Depois das intervenções de Pedro e Dário, que ajudaram os colegas a compreender que a sua resposta errada se devia ao facto de não contabilizarem os cubos que não estavam visíveis na figura apresentada no enunciado da tarefa 2, a professora convidou outro grupo (de Sofia) com uma resposta errada a partilhar a sua resolução com os colegas. Teresa não interveio, permitindo que os alunos discutissem as suas ideias e chegassem novamente a um consenso. No final deste excerto, a professora colocou questões desafiantes e de apoio, insistindo e incentivando os alunos a clarificarem e justificarem as suas afirmações e assegurando que a discussão se mantinha no rumo pretendido.
4.3 Condução da síntese final
A discussão coletiva terminou com uma síntese final promovida por Teresa através da exploração da definição de expressões algébricas equivalentes e do seu registo no quadro. Este momento foi conduzido com a colaboração dos alunos, que intervieram no sentido de partilhar as suas ideias sobre esse conceito:
Teresa: A que conclusão chegamos nesta aula depois de resolvermos estas tarefas?
Tomé: Que existem expressões algébricas equivalentes.
Teresa: E o que isso significa?
Raquel: São diferentes expressões que representam a mesma coisa.
Rui: São iguais.
Teresa: São equivalentes, são diferentes, mas representam o mesmo valor. Quem me dá exemplos?
Rui: n + n e 2n
Teresa: Boa, vamos substituir o n por quanto?
Rita: Por 2.
Teresa: Então, vamos substituir…
Rita: 2 + 2 é 4 e 2 × 2 também.
Teresa: [regista no quadro] Podem copiar isto para os vossos caderno. (S4, 2024).
Neste excerto da síntese final, Teresa incentivou a participação dos alunos através de questões que os levaram a pensar sobre as principais ideias exploradas na aula. Estas foram realçadas pela professora e registadas no quadro (Figura 4), e foram ainda acrescentados, com a colaboração dos alunos, exemplos ilustrativos da definição construída em grupo e utilizados na resolução das tarefas matemáticas.
4.4 Reflexão sobre a discussão coletiva
Ao refletir sobre a aula que conduziu, Teresa referiu que a sua principal dificuldade durante a condução da discussão coletiva foi apoiar os alunos na compreensão da
[...] utilização da letra ϰ numa expressão algébrica.
Teresa: Como é algo muito abstrato para os alunos, que estão habituados a trabalhar apenas com valores numéricos, senti dificuldade em ajudá-los a atribuir sentido ao ϰ, fazendo‑os compreenderem que atribuímos uma letra à expressão, porque a variável pode tomar qualquer valor (S5, 2024).
Apesar disso, a professora considerou que o objetivo definido para a aula foi atingido e os alunos desenvolveram as aprendizagens pretendidas. Contudo, reforçou a ideia de que os alunos necessitavam de resolver mais tarefas idênticas às propostas no sentido de ultrapassarem as dificuldades manifestadas no que respeita a
[...] adicionar uma parte literal às expressões algébricas (Teresa, S5, 2024).
A professora foi surpreendida pela dificuldade dos alunos em compreender a utilização da incógnita nas expressões algébricas e por estes insistirem em lhe atribuir um valor:
[...] por exemplo, na tarefa em que tinham de definir uma expressão algébrica para o perímetro de um retângulo, muitos não colocaram o ϰ, mas atribuíram-lhe um valor aleatório e fizeram as contas (Teresa, S6, 2024).
Ao antecipar as possíveis respostas e dificuldades dos alunos, Teresa não considerou
[...] as dificuldades que iriam sentir na definição de expressões com ϰ e o quanto isso poderia condicionar o decurso da aula (S6, 2024).
A professora considerou que a aula permitiu aos alunos desenvolverem as aprendizagens desejadas, muito devido ao facto de os grupos estarem bem constituídos em termos de equilíbrio quanto às facilidades e dificuldades dos alunos, o que promoveu a
[...] discussão de ideias e consensos para a resolução das tarefas, porque fez com que todos tivessem de participar e os alunos com mais facilidade auxiliaram aqueles que apresentam maiores dificuldades (Teresa, S6, 2024).
Como principal aspeto a reformular na aula, Teresa sugeriu alterar as tarefas propostas. Segundo a professora,
Teresa: O facto de selecionar duas tarefas díspares, em termos de raciocínio, condicionou a compreensão dos alunos. Se tivesse selecionado duas tarefas semelhantes, em que tivessem de mobilizar os mesmos conhecimentos, mais facilmente teriam compreendido o conceito [de expressões algébricas equivalentes]. E também acho que com tarefas diferentes, a discussão ia ser mais interessante.
Investigadora: O que queres dizer com tarefas diferentes? Diferentes em que aspetos?
Teresa: Mais interessantes, mais difíceis se calhar (S6, 2024).
De forma global, a professora considerou interessante e motivador ser desafiada a realizar uma aula exploratória com foco na condução da discussão coletiva, dado que
Teresa: [A Matemática] é, por norma, uma disciplina em que os alunos têm grande dificuldade e acham monótona. Por isso, acho importante que se quebre essa rotina, desafiando-os e apresentando-lhe aulas diferentes que despertem o seu interesse e curiosidade. No geral, faço um balanço muito positivo do ensino exploratório, não só porque os obrigou a mobilizar conhecimentos anteriores e a pensar sobre aspetos matemáticos de forma mais autónoma, como também pelo interesse que despertou neles. Vários alunos já me questionaram sobre a repetição da atividade (S6, 2024).
5 Discussão
Ao participar nesta versão simplificada do estudo de aula, Teresa planeou detalhadamente a condução da discussão coletiva, fazendo uma preparação inicial que começou pela identificação clara e objetiva do conteúdo matemático a trabalhar com os alunos na aula de investigação, bem como do objetivo de aprendizagem atendendo à sua planificação e também aos documentos curriculares, conformem sugerem Kooloos et al. (2023). As tarefas matemáticas a propor aos alunos foram sugeridas por Teresa, partindo das que eram apresentadas no manual escolar e não sofreram adaptações, dado que a professora considerou que essas tarefas já permitiam aos alunos utilizarem várias expressões algébricas equivalentes, o que levaria a uma discussão coletiva interessante – uma ideia que viria a alterar após a condução da aula. Posteriormente, a professora resolveu as tarefas, antecipando as diferentes estratégias a que os alunos poderiam recorrer, bem como eventuais dificuldades que pudessem manifestar, tanto quanto à interpretação da tarefa, como quanto à sua resolução, como dizem Duarte, Faria e Ponte (2024). Durante a resolução das tarefas também foram considerados aspetos como o grau de correção e de sofisticação das diferentes estratégias, o que possibilitou a antecipação da seleção e sequenciação das respostas dos alunos interessantes para apresentar na discussão coletiva (Kooloos et al., 2023). No que respeita à preparação da realização das tarefas na aula, Teresa compreendeu que era essencial não validar as respostas dos alunos nem sugerir demasiada informação, para não uniformizar as suas respostas e, desse modo, limitar o potencial da discussão coletiva. Este aspeto levou a professora a relembrar a importância de o professor intervir na discussão de acordo com a situação e com o objetivo, como referem Stein et al. (2008). Já durante a aula, Teresa apresentou as tarefas aos alunos, desafiando-os para a sua interpretação e resolução e monitorizou o trabalho autónomo destes, observando as diferentes estratégias de resolução utilizadas e procurando compreender os raciocínios envolvidos, tal como referem Duarte, Faria e Ponte (2024). Ainda nessa fase da aula, a professora selecionou as respostas dos alunos que considerou pertinentes para levar à discussão coletiva e sequenciou-as, começando sempre por uma resposta errada e, partindo dessa, organizando as restantes por ordem crescente de complexidade, tal como sugerem Kooloos et al. (2023) e Stein et al. (2008).
Teresa iniciou os momentos de discussão coletiva através de um convite ao grupo que selecionou para apresentar primeiro a sua estratégia de resolução, promovendo assim o envolvimento inicial desses alunos, mas convidou outros a manifestarem a sua opinião sobre a resposta apresentada pelos colegas, como sugerem Kooloos et al. (2023). Tal como havia sido preparado, a primeira estratégia apresentada pelos alunos foi sempre aquela que estava errada, dando origem a situações de desacordo, nas quais a professora interveio no sentido de incentivar os alunos a explicarem o seu raciocínio e justificarem as suas respostas, como dizem Wood (1999) e Stein et al. (2008). Noutras situações, Teresa interveio de acordo com o objetivo, recorrendo a outras ações, como as de i) apoiar/guiar os alunos, redizendo as explicações dos alunos ou incentivando-os a clarificarem o seu raciocínio; ii) desafiar os alunos, nomeadamente insistindo para avançarem as suas explicações ou validarem as respostas dos colegas através de justificações e argumentos; e iii) informar/sugerir informações, para destacar ideias matemáticas importantes para a aula, tal como mencionam Kooloos et al. (2023).
Com base na análise do trabalho dos alunos com foco nas ideias matemáticas, Teresa promoveu algumas vezes conexões entre ideias, soluções e estratégias dos alunos, embora de forma mais superficial do que dizem Kooloos et al. (2023) e Stein et al. (2008). Por vezes, também colocou questões aos alunos no sentido de os apoiar a expressar o seu raciocínio e para salientar ideias matemáticas importantes, mas não se notou que tivesse promovido momentos de reformulação de ideias erradas e incompletas, aspeto a que Duarte, Faria e Ponte (2024) atribuem relevância na condução da discussão coletiva. Assim, o aspeto menos conseguido da professora na condução desta discussão coletiva parece ter sido na análise do trabalho dos alunos com foco nas ideias matemáticas.
Para além disso, promoveu a participação dos alunos na discussão coletiva, incentivando-os a participar nesse momento da aula e envolvendo toda a turma com questões e ações como as de convidar. Os alunos participaram e envolveram-se ativamente na discussão, existindo interações entre alunos de grupos diferentes (conforme referem Boerst et al., 2011; Stein et al., 2008). A professora encorajou os alunos a escutar, analisar e responder ao raciocínio dos colegas, particularmente, e embora com menor frequência, solicitando a outro aluno que explicasse a resposta de um colega, como sugerem Duarte, Faria e Ponte (2024).
Para terminar a discussão coletiva, Teresa promoveu a síntese final, que foi conduzida em colaboração com os alunos, com o intuito de resumir e realçar as principais ideias e procedimentos matemáticos explorados na aula. Todavia, não foram evidenciadas conexões com outras ideias matemáticas já conhecidas pelos alunos, o que também é um aspeto a considerar na condução da síntese final, como indicam Stein et al. (2008) e Duarte, Faria e Ponte (2024). Esta limitação destaca a necessidade de preparar com maior atenção, nas sessões de planeamento da aula de investigação, a articulação conceptual e o estabelecimento de conexões com ideias previamente conhecidas pelos alunos a explorar durante a síntese final da aula.
Na sessão de reflexão do estudo de aula, Teresa focou-se em alguns aspetos logísticos da aula. Mas, no que respeita propriamente à discussão coletiva, ao analisar o trabalho dos alunos, identificou algumas dificuldades por eles manifestadas e que não antecipou, nomeadamente a compreensão e utilização da incógnita ϰ em expressões algébricas. Destacou também que faria uma seleção diferente das tarefas matemáticas a propor aos alunos, optando por outras com maior grau de desafio, um aspeto essencial e que influencia o decurso da discussão coletiva, conforme referem Boerst et al. (2011).
6 Conclusão
Neste estudo, o nosso objetivo era compreender como, num estudo de aula simplificado, uma professora de Matemática do 5.º ano prepara, conduz e reflete sobre uma discussão coletiva, atendendo às práticas e ações que realiza durante esses momentos de trabalho. Como base para a preparação da aula e para a análise usámos o modelo de Duarte, Faria e Ponte (2024) que nos permitiu compreender como a professora participante conseguiu realizar práticas e ações importantes associadas à realização deste momento da aula. De um modo geral, a professora promoveu uma discussão coletiva frutuosa em que o conjunto dos alunos se envolveu e participou e assegurou o desenvolvimento das ideias matemáticas relacionadas com o objetivo definido para a aula (Stein et al., 2008). O modelo teórico permitiu orientar a análise e identificar práticas essenciais para a preparação e condução de discussões coletivas produtivas. Globalmente, a professora conseguiu envolver os alunos e promover aprendizagens significativas, mas houve fragilidades na articulação e conexão entre estratégias e conceitos.
Realça-se que alguns aspetos do conhecimento que a professora desenvolveu na sua formação inicial e aqui por ela mobilizados estavam ausentes da sua prática habitual. A sua participação neste estudo de aula simplificado, em especial o trabalho de preparação da discussão coletiva, permitiu-lhe relembrar esses aspetos e colocá-los em prática, ao mesmo tempo que provocou o desenvolvimento de novas aprendizagens profissionais, o que reforça o valor do estudo de aula como processo formativo. Este estudo mostra igualmente a viabilidade da aula exploratória, desde que convenientemente preparada. Para que este tipo de aula se possa generalizar será importante que se desenvolva uma cultura escolar de colaboração na preparação de aulas e na respetiva reflexão, como foi realizado no presente estudo.
Do ponto de vista formativo, os resultados evidenciam que o estudo de aula permite recorrer e pôr em prática conhecimentos desenvolvidos pelos professores durante a sua formação inicial e promover novas aprendizagens profissionais, mas a sua generalização requer uma cultura de colaboração escolar. Entre as limitações deste estudo, destaca-se a análise de um único caso e a curta duração da intervenção. Futuras investigações poderão explorar ciclos de trabalho mais longos do estudo de aula, e com maior número de participantes, de modo a alcançar mudanças mais consistentes nas práticas docentes.
Agradecimentos
Trabalho financiado por fundos nacionais através da FCT – Fundação para a Ciência e Tecnologia, no âmbito do projeto UIDB/05507/2020 (https://doi.org/10.54499/UIDB/05507/2020) e do UIDEF – Unidade de Investigação e Desenvolvimento em Educação e Formação, no âmbito do projeto UIDB/04107/2020, (https://doi.org/10.54499/UIDB/04107/2020), e por meio de uma bolsa de doutoramento atribuída a Filipa Faria (2023.01962.BD).
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-
Editor-chefe responsável:
Prof. Dr. Marcus Vinícius Maltempi
-
Editor associado responsável:
Prof. Dra. Ana Paula dos Santos Malheiros
Os dados gerados ou analisados durante este estudo estão incluídos neste artigo publicado.
Fonte: Andrade et al. (2023, p. 49)
Fonte: adaptada de Andrade et al. (2023, p. 52)
Fonte: S3 do estudo de aula (2024)
Fonte: S4 do estudo de aula (2024)