El Método General de Resolución de Ecuaciones de la Regla Media de Andrés Puig (1672)

The General Method of Solving Equations of the Average Rule of Andrés Puig (1672)

Resumen

En el presente trabajo presentamos un método histórico de resolución de ecuaciones por aproximación denominado por su autor, Andrés Puig, de la Regla Media. Este método está contenido en el único libro conocido del autor, la Arithmetica de 1672 y está basado en otro más antiguo, de Nicolás Chuquet, presente en el Triparty de 1484, y que se denominó Règle des nombres moyens. Aunque el método de resolución, con la configuración original de Puig, sólo permite resolver ecuaciones polinómicas con soluciones enteras positivas (sólo una), con algunos cambios podría emplearse para resolver por aproximación ecuaciones polinómicas con soluciones no enteras o negativas o ecuaciones no polinómicas, y de esta forma extender los métodos de resolución de ecuaciones que habitualmente se enseñan en las aulas de secundaria y bachillerato.

Historia de las matemáticas y educación matemática; Álgebra; Ecuaciones; Siglo XVII; Andrés Puig, Regla Media

Abstract

In this work, we present a historical method for solving equations by approximation, named by its author, Andrés Puig, as the Regla Media. This method is contained in the only known book by the author, Arithmetica from 1672, and is based on an older one by Nicolás Chuquet, present in the Triparty from 1484, which was called Règle des nombres moyens. Although Puig's original method of resolution only allows solving polynomial equations with positive integer solutions (only one), with some modifications, it could be used to solve polynomial equations with non-integer or negative solutions, or non-polynomial equations, thus extending the methods of solving equations that are commonly taught in high school classrooms.

History of Mathematics and mathematics education; Algebra; Equations; 17th century; Andrés Puig, Regla Media

1 Introducción

A finales del siglo XX, se observó un aumento significativo en las investigaciones y publicaciones relacionadas con la historia de la educación matemática. La conexión entre las matemáticas, su currículo y su evolución histórica proporciona una base sólida para profundizar en el entendimiento de la enseñanza y el aprendizaje de los conceptos y estructuras matemáticas a lo largo del tiempo. La historia actúa como un puente entre las matemáticas y la educación, permitiendo una mejor comprensión de las características formales y estructurales del conocimiento matemático, así como de los contenidos y problemas asociados con su enseñanza y aprendizaje (Picado; Rico; Gómez, 2015).

Una línea de investigación que ha ganado prominencia en las últimas décadas es el análisis de los libros de texto. Estudiar estos textos proporciona información valiosa sobre el desarrollo de los conceptos y métodos matemáticos, su evolución a lo largo del tiempo, su nivel de complejidad, su integración en la educación y otros aspectos que contribuyen a mejorar tanto el conocimiento como su aplicación en los procesos de enseñanza y aprendizaje (León-Mantero; Casas-Rosal; Argudo-Osado, 2020).

Los libros de texto suelen caracterizarse por presentar de manera sistemática los principios relacionados con un área específica de conocimiento (Maz-Machado; Rico, 2015).

El interés por estudiar los libros de texto se sustenta en dos argumentos principales: en primer lugar, comprender cómo se ha transmitido la cultura de una sociedad, siendo los libros el medio tradicional de transmisión; en segundo lugar, el lenguaje, especialmente el escrito, juega un papel crucial como mediador en la construcción de nuevos conceptos, lo que confiere al análisis de los libros de texto una gran importancia epistemológica (Maz-Machado; Rico, 2015).

En el contexto español, existen numerosas investigaciones centradas en el análisis de libros de texto de matemáticas con objetivos relacionados con la didáctica de esta disciplina. Por ejemplo, Picado, Rico y Gómez (2015) examinan la introducción del Sistema Métrico Decimal en España durante la segunda mitad del siglo XIX, analizando trece libros de texto de diferentes niveles educativos.

En otro estudio, Maz-Machado y Rico (2015) analizan catorce libros de texto de los siglos XVIII y XIX para identificar criterios didácticos presentes en la organización de los contenidos.

León-Mantero, Madrid y Maz-Machado (2022) han realizado un estudio sobre los métodos de resolución de triángulos oblicuángulos en libros de texto de trigonometría en diferentes épocas, concluyendo que se han utilizado dos métodos en épocas diferencias y marcados por traducciones de libros de texto icónicos en cada época.

También se han realizado investigaciones enfocadas en partes específicas de los libros de texto de matemáticas. Por ejemplo, Oller-Marcén y Muñoz-Escolano (2019) examinan el prefacio del Compendio Mathematico de Tomás Vicente Tosca, ofreciendo una visión de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en España a principios del siglo XVIII.

En un estudio realizado por Maz-Machado, León-Mantero y Madrid (2020), se analizan las motivaciones de los autores de libros de texto de matemáticas en España en el siglo XVIII para abordar la tarea de escribir estos textos, considerando las dificultades de la época.

León-Mantero, Casas-Rosal y Argudo-Osado (2020) investigan algunos libros de texto utilizados en el siglo XVIII para la formación de agrimensores en España, centrándose en los problemas tratados, los sistemas de representación y las estrategias didácticas empleadas.

Además, León-Mantero, Santiago y Gutiérrez-Arenas (2020) analizan la introducción del cálculo infinitesimal en la educación matemática durante el siglo XVIII en España, examinando el enfoque utilizado y la forma de enseñar este tema.

En el área del álgebra, objeto de este trabajo, se han realizado diversos estudios. Por ejemplo, Madrid, León-Mantero y López-Esteban (2020) analizan diecinueve textos de álgebra españoles del siglo XVIII, centrándose en la importancia dada al álgebra y en las diferencias en las definiciones dadas por los autores.

Otro estudio realizado por Madrid, León Mantero y Maz-Machado (2019) se centra en comparar las definiciones de ecuación dadas por diferentes autores de libros de álgebra españoles del siglo XVIII. La importancia del estudio de la historia de la educación matemática y, en particular, de los libros de texto, se evidencia en este conjunto de investigaciones.

Con este trabajo, nuestro objetivo principal es presentar el método general de resolución de ecuaciones denominado por su autor de la Regla Media, que aparece en el libro de Arithmetica de Andrés Puig (1672), analizando sus diferentes aspectos y los enfoques didácticos empleados por el autor. Específicamente, buscamos comprender la estructura y el funcionamiento de estos métodos, y valorar los aspectos didácticos que puedan servirnos para incorporarlos en la enseñanza actual de las matemáticas.

Concretamente, el método de la Regla Media nos va a permitir paliar en cierta medida una de las limitaciones que se presentan en las aulas de secundaria y bachillerato al enseñar los métodos para resolver ecuaciones. Cuando se enseña a resolver ecuaciones de grado superior al segundo, lo habitual es utilizar la regla de Ruffini, que ya sabemos que tiene la limitación de que si el término independiente de la ecuación tiene muchos divisores, el buscar la solución de entre uno de esos divisores puede llegar a ser una tarea larga y tediosa. La Regla Media necesita generalmente pocas operaciones para encontrar una solución entera positiva de una ecuación cualquiera.

2 El álgebra en España hasta el final del siglo XVII

Rey Pastor (1913), al analizar el panorama matemático en España durante los primeros cincuenta años del siglo XVI, destaca el predominio de los aritméticos en ese período. Este enfoque aritmético se ve interrumpido en 1552 con la aparición del Libro primero de Arithmetica Algebraica de Marco Aurel (1552), que marca un hito con la introducción del álgebra impresa en el país. Si bien esta obra de Aurel es considerada una compilación de la Summa de Pacioli (1494), Rey Pastor reconoce su relevancia al introducir la notación cosística, una innovación significativa en comparación con la notación italiana predominante en ese momento. Además, destaca la influencia de Aurel en otros matemáticos españoles del siglo XVI, como Gonzalo de Busto y el bachiller Pérez de Moya (1562), cuyos trabajos reflejan una adaptación de los conceptos de Aurel.

Pedro Núñez, según Rey Pastor, representa uno de los puntos culminantes en la historia matemática de Portugal y España en el siglo XVI. Aunque su interés principal se centró en la Cosmografía y la Navegación, su Libro de algebra en arithmetica y geometría de 1567 (Nunes, 1567) se considera un hito en la producción matemática española. Rey Pastor señala que, aunque este libro se publicó treinta años después de ser escrito, su contenido refleja un profundo conocimiento de las ideas algebraicas contemporáneas y se equipara a los libros de álgebra de esa época (Rey Pastor, 1913; Dou, 1990).

El siglo XVII, por otro lado, marcó un período de declive y casi abandono de las ciencias matemáticas en España, especialmente en los primeros dos tercios del siglo (Dou, 1990). Sin embargo, hacia el último tercio del siglo, hubo un resurgimiento, destacándose figuras como José Zaragoza y Andrés Puig (Recasens, 2003). Zaragoza se considera en sintonía con los matemáticos más avanzados de su época, mientras que Puig, aunque utilizando un lenguaje algebraico más afín al siglo XVI en su obra Arithmetica Especulativa, y Practica y Arte de Algebra (Puig, 1672), presentaba métodos avanzados de resolución de ecuaciones.

3 Metodología

Este trabajo es sólo una parte de lo que podríamos llamar desarrollo de un producto didáctico, en el que el objetivo final es usar la Historia de las Matemáticas como base para implementar una experiencia didáctica en el aula. Esta idea ya la propusieron en los 80 del siglo pasado Filloy y Rojano (1984).

El nuevo acercamiento consiste en realizar análisis de problemas de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas con el método histórico-crítico, y después poner a prueba los hallazgos teóricos en los Sistemas Educativos, para después de esta experimentación, volver, a base de resultados prácticos, a tener una nueva visión de la problemática de la historia de las ideas que corresponda a los resultados didácticos (Filloy; Rojano, 1984, p. 2).

Teniendo esta idea en mente, podemos pensar en una implementación didáctica para el aula como un producto didáctico que se crea a partir de un proyecto didáctico, utilizando los paradigmas de ingeniería. Nos podemos aprovechar de estos paradigmas para diseñar un proceso de desarrollo o Ciclo de vida que nos sirva para optimizar dicho proceso, y en concreto hemos elegido un Ciclo de vida evolutivo en espiral. Este tipo de metodología de desarrollo se divide en ciclos con diferentes fases en cada ciclo. Tras cada ciclo se obtiene un producto, y toda la documentación y conocimiento generados para la obtención de este producto pueden ser reutilizados para realizar una mejora u otro producto relacionado en otro ciclo posterior (Cervantes Ojeda; Gómez Fuentes, 2012).

En nuestro caso, hemos desarrollado sólo la primera fase de un primer ciclo, que ha consistido en analizar nuestro objeto de investigación para obtener los conocimientos y documentación necesarios para confeccionar una experiencia didáctica, que sería la siguiente fase a desarrollar (Figura 1).

Figura 1
Ciclo de desarrollo en espiral para un producto didáctico

Es decir, en esta primera fase hemos realizado una investigación histórica con la idea de desarrollar un estudio histórico-epistemológico sobre la presencia del método general de resolución de ecuaciones de la Regla Media en la Arithmetica de Andrés Puig (1672).

Nuestra labor se ha desarrollado como una investigación descriptiva de índole histórica dentro del campo de la Historia de las Matemáticas y la Educación Matemática. Para ello, hemos empleado el método de análisis de contenido de textos matemáticos, una técnica comúnmente empleada en estudios similares, tal como lo han demostrado trabajos anteriores como los de Docampo Rey (2006, 2008) o Romero Vallhonesta (2012).

Para alcanzar nuestros objetivos, hemos seguido el enfoque histórico delineado por Ruiz Berrio (1976), el cual establece cuatro etapas para la investigación: heurística, crítica, hermenéutica y exposición. Cada etapa ha implicado la definición de tareas que hemos seguido, adaptándolas a los objetivos específicos de nuestra investigación. En la fase inicial, la heurística, nos hemos dedicado a la localización y verificación de la autenticidad de las fuentes escritas, principalmente textos digitalizados por Google. La fuente primaria que hemos empleado es la Arithmetica especulativa, y practica, y arte de algebra de Andrés Puig (1672).

Posteriormente, hemos llevado a cabo un análisis crítico interno del libro de Puig, centrándonos en los capítulos o páginas relevantes para nuestra investigación, específicamente el método general de resolución de ecuaciones de la Regla Media. En la siguiente fase, la hermenéutica, hemos examinado, relacionado, interpretado y organizado la información adquirida con el propósito de alcanzar nuestros objetivos de investigación. Finalmente, a través de este trabajo, presentamos una síntesis o exposición de los resultados obtenidos en nuestro estudio.

4 Resultados

4.1 Andrés Puig

De Andrés Puig sabemos muy poco, y casi exclusivamente porque aparece en su único libro conocido, la Arithmetica especulativa, y practica, y arte de algebra (Puig, 1672). En la portada del libro se lo denomina como maestro, natural de Vic (Barcelona). De su fecha de nacimiento y muerte no sabemos nada, pero como el libro es de 1672 y en una impresión de 1711 aparecen unas adiciones póstumas, probablemente nació en el primer tercio del siglo XVII y murió como muy tarde a primeros del siglo XVIII.

Se le cita como metrólogo (Guardamino, 1757; García Caballero, 1731) y aún era conocido a primeros del siglo XIX, cuando Poy y Comes (1819) habla de él acerca de la prueba del nueve. En Torres Amat (1836, p. 504) aparece citado como “maestro de aritmética en Barcelona”.

Seguramente vivió un tiempo en Valencia, alrededor de 1652, aprendiendo del que él mismo cita como su maestro Juan Serrano: “desta regla me diò algunos principios, un grande Mathematico Valenciano, en la misma Ciudad de Valencia en el año de 1652, que se llamava Iuan Serrano, al qual siempre hè reconocido por mi Maestro destos principios” (Puig, 1672, p. 448).

4.2 La Arithmetica especulativa, y practica, y arte de algebra

La Arithmetica de Andrés Puig es su único libro publicado, que sepamos. Su primera edición es de 1672, habiendo ediciones y reimpresiones posteriores con fechas 1711, 1715 y 1745. Hay otra edición sin fecha pero en la que hay un rasgo que nos hace pensar que pueda ser posterior a 1745. En todas las ediciones conocidas (desde 1672 a 1745) se hace uso de la ese larga, pero en esta edición sin fecha ya no aparecen eses largas en el texto. Según Nash (2001), el primer alejamiento consistente de las eses largas entre los impresores, a nivel europeo, se produce en España, en la década de los años 60 del siglo XVIII. En concreto, que se sepa, el primer libro impreso en España que no hace uso de la ese larga es el Compendio de los diez libros de arquitectura de Vitruvio (Perrault, 1761). Por lo que o bien la edición sin fechar es posterior a 1761 o es anterior, y en ese caso sería el primer libro impreso en España en el que desaparece la ese larga; pero eso es algo que no podemos aseverar hasta datar con certeza nuestro libro.

El texto consta de seis libros, con 576 páginas numeradas (en la edición de 1672). Los temas tratados son de aritmética especulativa (teórica), aritmética práctica, regla de tres, compañías (repartos proporcionales), arrendamientos, testamentos, aligaciones (mezclas), baratas y cambios (trueques), progresiones, falsas posiciones, extracción de raíces, álgebra racional y álgebra irracional.

4.3 El álgebra de Andrés Puig

Andrés Puig usa un lenguaje algebraico que se denomina de tipo sincopado (Nesselman, 1842), ya que “se intercalan abreviaturas para hacer más ágil el razonamiento, que sigue expresándose sin embargo en palabras” (Etayo Miqueo, 1986, p. 147). Este lenguaje algebraico utilizado por Puig es un tanto anticuado para su época, ya que desde principios del siglo XVII y sobre todo a partir de Vieta, el lenguaje algebraico se va transformando paulatinamente en un lenguaje simbólico, culminando en Descartes.

Su álgebra sólo permite una incógnita, a la que le llama Cosa y que abrevia con co. Para expresar el cuadrado de la incógnita, y como su álgebra aún no es simbólica, utiliza otra palabra, Censo, abreviada como ce. Censo proviene del latín census, que significa riqueza. Esta palabra proviene a su vez de la traducción realizada por Gerardo de Cremona de la palabra árabe mâl, presente en el álgebra de al-𝐾ℎ𝑤ā𝑟𝑖𝑧𝑚ī, que significa tesoro, y es que como los árabes utilizaban el álgebra para resolver problemas monetarios, todos los símbolos y palabras tenían que ver con el dinero. Entonces, para ellos, el tesoro era el producto de una cantidad de dinero por ella misma, por lo que era mucho más dinero y por tanto un tesoro. La incógnita al cubo la llama Cubo y la abrevia como cu. Y así va construyendo las sucesivas potencias.

Tampoco utiliza los símbolos de la suma, resta ni el símbolo para las igualdades actuales, sino que usa abreviaturas del italiano para la suma y la resta (p para la suma y m para la resta) y ig.a para la igualdad. Por ejemplo, para expresar la siguiente ecuación $2x^3-3x^2+x=100$ utilizaría 2.cu.m.3.ce.p.1.co.ig.a 100.

• Luis Puig (2018) establece una serie de rasgos que pueden servir para comparar estilos algebraicos en libros de álgebra:

• La manera de construir los nombres de las especies de números (tipos de números)

• El carácter sincopado o simbólico del sistema de signos y el tipo de los mismos a la hora de representar las especies de números

• El concepto de exponente o algo que lo anticipe

• La forma y cantidad de formas canónicas de las ecuaciones y la manera de generalizarlas

• El número y la forma de los algoritmos de resolución de ecuaciones

• La forma de la regla única del álgebra o algo que lo anticipe

Cuadro 1
Sistema Matemático de Signos de los libros de álgebra españoles del siglo XVI y del siglo XVII

	Siglo XVI			Siglo XVII
	Marco Aurel (1552)	Juan Pérez de Moya (1562)	Pedro Núñez (1567)	José Zaragoza (1669)	Andrés Puig (1672)
Construcción de caracteres	Multiplicativo	Multiplicativo	Multiplicativo	Aditivo	Multiplicativo
Exponente y función	No aparece. Como posición en una progresión	No aparece. Primero como posición y luego como número de veces	No aparece. Como número de veces	Sí aparece. Como posición en una progresión	No aparece. Como número de veces
Símbolos para los caracteres	Cita: Cosa, censo, cubo,… primo relato o sursólido, etc… Trabaja con …	Cita: Cosa, censo, cubo,…, primer relato… Cita: … Trabaja con: co, ce, cu, 1R,…	Cita: Cosa, censo, cubo,…, relato primo… Trabaja con: co, ce, cu, Re. po…	Cita: Cosa, censo, cubo, censo censo, cubo censo, cubo cubo,… Trabaja con: Z1, Z2…	Cita: Cosa, censo, cubo,…, primer relato… Trabaja con: Co, Ce, Cu, 1R…
Símbolo igual	ygual a	yg. à	ygual a		ig. à
Símbolos para la adición y sustracción	+ y -	p y m	p̄ y m̄	+ y -	p y m

Podemos considerar como más avanzado un lenguaje algebraico más prolijo en símbolos en lugar del uso de sincopaciones. También el uso de exponentes numéricos para las potencias de las incógnitas y por tanto el uso de una misma incógnita como base para las diferentes potencias de la misma. Estos dos aspectos propician la sistematización y la generalización de los procesos algebraicos, y por tanto su modernización.

Teniendo esto en cuenta, podemos apreciar que el álgebra de Andrés Puig se asemeja mucho al álgebra de los matemáticos españoles más destacados del siglo XVI, aunque el álgebra de Marco Aurel (influenciada por los cosistas alemanes, quizás debido a su origen alemán) ya tiene algunos de los avances que serán la base del lenguaje algebraico más moderno, como el uso de símbolos para las incógnitas (aunque usa diferentes para diferentes potencias, por lo que en realidad es otra forma de sincopación) o el uso de símbolos para las operaciones de suma y resta.

En cambio, el álgebra de José Zaragoza es más moderna, acorde a los avances de los matemáticos europeos más destacados de su época, como Descartes por ejemplo. Zaragoza usa un álgebra ya prácticamente simbólica, mientras que el álgebra de Puig es sincopada. Para un estudio más completo, véase Ruiz-Catalán (2020).

En cuanto a los tipos de ecuaciones y métodos generales de resolución, en el Cuadro 2 podemos comparar los utilizados en los libros analizados del siglo XVI con los dos del siglo XVII, el de Puig y el de Zaragoza.

Cuadro 2
Ecuaciones y métodos generales de resolución en libros de álgebra del siglo XVI y del siglo XVII

	Siglo XVI	Andrés Puig (1672)	José Zaragoza (1669)
Formas canónicas	8 clásicas y sus generalizaciones	6 clásicas y sus generalizaciones	Una sola general
Generalización	En lenguaje natural	En lenguaje natural
Forma canónica única general		Una general
Algoritmo para las formas canónicas	Uno por cada forma canónica	Uno por cada forma canónica	Uno general y una fórmula para cuadráticas generalizadas (Regla Unica del Algebra)
Algoritmo general		Uno general (Regla general) y otro aproximado (Otra regla general)

4.4 El método general de resolución de ecuaciones de la Regla Media

En el texto de Andrés Puig aparecen dos métodos generales de resolución de ecuaciones, uno por expansión binomial y otro por aproximación. Nuestro objeto de estudio es el segundo de ellos, el de aproximación.

Sabemos que ya los babilonios, 20 siglos antes de nuestra era, utilizaban métodos por aproximación para calcular raíces cuadradas (Ezquerro et al., 2010). Un ejemplo es la tablilla YBC7289 de la Yale Babylonian Collection en la que aparece el cálculo de $\sqrt{2}$ (Boyer, 1986), o la tablilla VAT6598 del Museo de Berlín, en la que se calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 40 y 10, por lo que se obtiene el resultado de $\sqrt{1700}$ (Ezquerro et al., 2010). Durante siglos y hasta la actualidad se han empleado diversos métodos de extracción de raíces por aproximación, e incluso se han modificado para emplearse en la resolución de ecuaciones.

En el libro quinto, capítulo undécimo de la Arithmetica de Andrés Puig, “En que se declara con exemplos otra regla general, sin tener noticia de la composicion de tantos generos, ò diferencias de raizes” (Puig, 1672, p. 472), el autor considera de mucha dificultad el uso del método general de resolución de ecuaciones (por expansión binomial) que ha explicado en el capítulo noveno del libro quinto. Y es que en efecto, el método por expansión binomial requiere bastantes cálculos y desarrollos binomiales, y es por eso por lo que posiblemente dejó de utilizarse cuando evolucionó en el método que hoy conocemos de Newton-Raphson (Ypma, 1995). Este método por expansión binomial es el mismo (aunque con una configuración diferente) que el que está presente en el otro libro de álgebra del siglo XVII analizado, la Arithmetica Universal de José Zaragoza (1669).

Centrándonos en nuestro método por aproximación, objeto de estudio, Andrés Puig dice en su libro, que se le ofreció:

[…] otra regla assi mismo general para resolver qualquier demanda, ò question, que por numeros se pudiere ofrecer; y estando en esta consideracion, luego se me ofreciò una regla, que el agudissimo Estevan de Roca, haze mencion en el Cap. 7 de la primera parte de su Arithmetica, llamada regla de Mediacion entre lo mas, y lo menos […] (Puig, 1672, p. 472).

Puig añade que aunque Estevan de Roca no utiliza su Regla de Mediación para este propósito (resolución de ecuaciones), “servirá de luz para la regla que pretendemos, y esta llamaremos Regla Media” (Puig, 1672, p. 472).

Estevan de Roca es el mismo que Antich Rocha (1565), en su Arithmetica, cita como uno de los autores que utiliza como referencia, y lo denomina también como Estevan de la Rocha o Stephano de la Rocha. En realidad se trata de Etienne o Estienne de la Roche, matemático francés que vivió entre los años 1470 y 1530.

Etienne de la Roche, en su libro L’arismetique nouvelle composee (De la Roche, 1520), entre el folio 28v y el 29r, expone lo que él llama la Regle des nombres moyens (regla de los números medios), que hoy sabemos que es copia del método que expone Nicolás Chuquet en su Triparty. Le Triparty en la Science des Nombres, manuscrito de 1484, no llegó a imprimirse, aunque estuvo en circulación en su época, con bastante éxito. A finales del siglo XIX, el académico Aristide Marre lo encontró en la Biblioteca Nacional de París, lo transcribió, editó y publicó en el Boletín de Bibliografía y de Historia de la Ciencia Matemática y Física (Marre, 1880). Al año siguiente lo publicó ya aparte, como un libro (Marre, 1881).

Marre dice que la “règle des nombres moyens (regla de los números medios) fue inventada por Chuquet y llamada así por él, porque sirve para encontrar tantos números medios como queramos entre dos números vecinos” (Marre, 1881, p. 11).

La regla de los números medios está transcrita en Marre (1881, p. 101-102), y corresponde literalmente a la regla que aparece en los folios 28v y 29r del libro de De la Roche (1520), como podemos ver en los extractos que aparecen en las siguientes figuras (Figura 2 y Figura 3).

Figura 2
Regla de los números medios de De la Roche

Figura 3
Regla de los números medios de Chuquet

Por lo que concluimos que esta regla no es atribuible a De la Roche, tal y como dice Andrés Puig, sino a Nicolás Chuquet.

Esta regla es utilizada por Chuquet para encontrar números intermedios entre dos números próximos cualesquiera. Pero Andrés Puig no utiliza esta regla para ese fin sino como un método general para resolver ecuaciones. Puig denomina a su modificación de la regla de Chuquet como Regla Media. El autor dice: “[…] y si bien es verdad, que el dicho Autor no trata desta regla para este proposito, nos servirà de luz para la regla que pretendemos […]” (Puig, 1672, p. 472). Aunque sabemos que De la Roche (y por tanto Chuquet) utiliza esta regla no sólo para el propósito de encontrar números entre dos dados, sino también como método de extracción de raíces y como método de resolución de ecuaciones, tal y como Andrés Puig pretende hacer.

Si analizamos el método empleado por Chuquet para encontrar números entre dos dados (Marre, 1881, p. 101-102), consiste en utilizar dos series de fracciones (progresiones según Chuquet), una ascendente y la otra descendente. La descendente es $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots ,\frac{1}{n}$, y la ascendente es $\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\dots ,\frac{n-1}{n}$. Si a, b, c, y d son números naturales tales que $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$, entonces existe una fracción $\frac{a+c}{b+d}$ que está entre ambas fracciones, es decir $\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}$. De esta forma se pueden encontrar infinitas fracciones que estén entre dos dadas. Chuquet explica su regla mediante su empleo para resolver una ecuación, en contra de lo que afirma Puig de que “[…] el dicho Author no trata desta regla para este proposito […]” (Puig, 1672, p. 472).

La ecuación a resolver en cuestión es: “Je veulx par lcelle trouver ung nombre tel que multiplie en soy et a la multiplicacion adiouste cellui nombre tout monte $39\frac{13}{81}$” (Marre, 1881, p. 102). Que en simbología actual sería $x^2+x=39+\frac{13}{81}$.

La explicación del proceso ideado por Chuquet para resolver esta ecuación está desarrollada en un trabajo previo de Ruiz-Catalán (2020), aunque por su interés la reproducimos aquí. Chuquet establece un entorno de enteros donde se encuentre la solución buscada (la amplitud de este entorno es 1, aunque sería posible aplicar un algoritmo similar con una amplitud distinta). En este caso concreto, estable el entorno entre 5 y 6. Es decir, que la solución de la ecuación está entre 5 y 6. Comienza la regla sumándole $\frac{1}{2}$ (que es el primer término de la serie ascendente y descendente) al valor inferior del entorno. Por lo que la parte inferior del entorno vale ahora $5\frac{1}{2}$, o lo que es lo mismo $\frac{11}{2}$. Ahora se evalúa el miembro izquierdo de la ecuación con $\frac{11}{2}$ como valor de la incógnita. Si con este valor nos pasamos de $39\frac{13}{81}$, probamos con el siguiente término de la serie descendente (estableciendo como parte superior del entorno $5\frac{1}{3}=\frac{16}{3}$) y si nos quedamos cortos probamos con el siguiente término de la serie ascendente (estableciendo como parte inferior del entorno $5\frac{2}{3}=\frac{17}{3}$). El proceso se repite hasta que tenemos dos fracciones, que junto al 5, nos delimiten el valor buscado.

Una vez establecidos esos valores iniciales del entorno, el inferior es $5+\frac{a}{b}$ y el superior es $5+\frac{c}{d}$, la regla continúa calculando una fracción que esté entre $\frac{a}{b}\text{y}\frac{c}{d}$ (con el método de interpolación antes explicado de sumar numerador con numerador y denominador con denominador) y al evaluar $5+\frac{a+c}{b+d}$ en la ecuación se puede comprobar si nos quedamos cortos o nos pasamos. Si nos hemos quedado cortos se establece como límite inferior del entorno $5+\frac{a+c}{b+d}$ y si nos hemos pasado, se establece como límite superior. El proceso continúa hasta que encontremos la solución exacta o cuando no deseemos tener una mejor resolución. Completemos el ejemplo empleado por Chuquet:

Los límites iniciales son $[\frac{1}{2},\dots ]$ .

$\begin{array}{c}\text{Evaluamos}5\frac{1}{2}\to {\left(5\frac{1}{2}\right)}^2+5\frac{1}{2}=35\frac{3}{4}<39\frac{13}{81}\to \text{Establecemos}[\frac{1}{2},\frac{2}{3}]\\ \text{Evaluamos}5\frac{2}{3}\to {\left(5\frac{2}{3}\right)}^2+5\frac{2}{3}=37\frac{7}{9}<39\frac{13}{81}\to \text{Establecemos}[\frac{2}{3},\frac{3}{4}]\\ \text{Evaluamos}5\frac{3}{4}\to {\left(5\frac{3}{4}\right)}^2+5\frac{3}{4}=38\frac{3}{4}<39\frac{13}{81}\to \text{Establecemos}[\frac{3}{4},\frac{4}{5}]\\ \text{Evaluamos}5\frac{4}{5}\to {\left(5\frac{4}{5}\right)}^2+5\frac{4}{5}=39\frac{11}{25}>39\frac{13}{81}\to \text{Establecemos}[\frac{3+4}{4+5}=\frac{7}{9},\frac{4}{5}]\\ \text{Evaluamos}5\frac{7}{9}\to {\left(5\frac{7}{9}\right)}^2+5\frac{7}{9}=39\frac{13}{81}\end{array}$

Luego la solución exacta es $5\frac{7}{9}$.

En la siguiente figura (Figura 4) exponemos el algoritmo de la Regla de los números medios de Chuquet. Donde es el término independiente de la ecuación a evaluar, la solución ya está acotada en $[A,A+1]$ y la asignación de valores se simboliza con ≔ .

Figura 4
Algoritmo equivalente a la Regla de los números medios de Chuquet

La regla que usa Puig conserva el esquema general de la de Chuquet, es decir, conserva a/ acotar la raíz (o la solución de la ecuación) entre dos términos enteros, b/ usar progresiones para añadir al valor inicial hasta acotar de manera más estrecha la raíz (o la solución de la ecuación) y c/ calcular un calor intermedio entre los dos extremos del intervalo de acotación.

Debemos tener en cuenta que la Regla Media de Puig sólo permite encontrar soluciones positivas enteras (ya que no concibe que la solución de una ecuación pueda ser cero o negativa) y además, si la ecuación tiene varias soluciones positivas, el método encontrará sólo la primera solución.

La regla consiste en buscar un valor de la incógnita de forma que al evaluar la parte izquierda de la ecuación obtengamos un valor menor al término independiente. Cuando tengamos este valor, lo consideraremos como la parte izquierda de un intervalo que va a rodear la solución buscada de la ecuación. Ahora debemos establecer la parte derecha del intervalo. Para ello, Puig utiliza una progresión geométrica de razón 2 cuyo primer término es 2. Iremos utilizando los términos de esta progresión, sumados al valor de la parte izquierda del intervalo, para evaluar la suma hasta obtener un valor mayor al término independiente. Y de esta forma rodear con el intervalo la solución que buscamos de la ecuación. Una vez rodeada la solución, tomamos el punto medio del intervalo y evaluamos ese valor en la ecuación, y si obtenemos un valor inferior el término independiente establecemos este punto medio como nueva parte izquierda del intervalo, y si no es así, la establecemos como parte derecha. Este proceso sigue hasta que encontremos la solución (al evaluar obtengamos la misma cantidad que el término independiente). Veamos un ejemplo resuelto por el autor entre la página 473 y 474, utilizando notación actual. El ejemplo dice: “Dame dos numeros en dupla proporcion, que del quadrado del menor, quitandole el numero mayor, queden 255” (Puig, 1672, p. 473).

La ecuación, utilizando el lenguaje de Puig sería esta: 1.ce.2.co.ig.à.255.

Si la transcribimos a lenguaje algebraico actual, sería: $x^2-2x=255$.

Vamos a solucionar esta ecuación siguiendo el método de la Regla Media. Como ya sabemos, sólo podemos encontrar soluciones positivas enteras.

Usa la progresión geométrica 2,4,8,16, ...

Busca un valor por defecto como posible solución, por ejemplo 14.

${14}^2-2\cdot 14=168<255$

Busca un valor por exceso, añadiendo al por defecto el primer valor de la progresión, $14+2=16$.

${16}^2-2\cdot 16=224<255$

Busca el siguiente, usando la progresión, $14+4=18$.

${18}^2-2\cdot 18=288>255$

Ya tiene un valor por defecto y otro por exceso [14,18].

Ahora toma como valor la media aritmética de los dos extremos, $\frac{14+18}{2}=16$.

${16}^2-2\cdot 16=224<255$

Como la media aritmética es menor, establece esta media como mínimo del intervalo [16,18].

Toma de nuevo como valor la media aritmética de los extremos del intervalo, $\frac{16+18}{2}=17$.

${17}^2-2\cdot 17=255$

Ha encontrado la solución, que es 17.

Como hemos visto, la regla tiene las siguientes limitaciones:

• Sólo permite encontrar soluciones positivas

• Sólo permite encontrar soluciones enteras

• Sólo permite encontrar la primera solución, si hay varias

Aunque el método, tal y como lo utiliza el autor, tiene estas limitaciones, con algunos cambios no muy complicados podríamos modificarlo para encontrar soluciones negativas y no necesariamente enteras. De esta forma, podría utilizarse como método de aproximación numérica (Nakamura, 1992; Burden; Faires, 2002).

Andrés Puig resuelve entre las páginas 472 y 480 un total de nueve ecuaciones, entre ejercicios y problemas de aplicación. E indica al final que:

Nota, que si el numero que se busca, segun los caracteres de la igualacion, no se hallare por lo menos en medio de dos numeros, que se exceden en el numero dos, no ay que pasar adelante, porque por numeros no se hallarà, ni por enteros, ni por quebrados, por lo que es necessario, que el numero, ò numeros que en las demandas se proponen, se busquen segun la disposicion de los caracteres, que en la igualacion vinieren, porque de otra manera no seria la regla general, ni manifestare si se puede hallar lo que se pidiere […] (Puig, 1672, p. 479).

Es decir, el propio autor establece la limitación de que esta regla sólo se puede emplear para ecuaciones cuya solución sea un número entero.

De las nueve ecuaciones que Puig resuelve y explica en el texto, las cuatro primeras son ecuaciones de segundo y tercer grado. La quinta es un problema que actualmente resolveríamos como un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, pero que Puig, al contemplar el empleo de una sola incógnita, la cosa, se vale de una estratagema que podríamos considerar un cambio de variable. El ejemplo quinto dice: “Dame dos n. en dupla proporcion, que el quadrado del dup. del menor multiplicado por el triplo del mayor, y del producto, quitandole el quadrado del n. mayor queden 20216” (Puig, 1672, p. 476).

En notación actual, el problema lo resolveríamos como

$\{\begin{array}{c}y=2x\\ (2x{)}^2\cdot 3y-y^2=20216\end{array}$

Puig lo resuelve refiriéndose al número menor como cosa y el mayor como el doble de la cosa. De esta forma, la ecuación que resuelve Puig es $(2x{)}^2\cdot 3\cdot 2x-(2x{)}^2=20216\to 24x^3-4x^2=20216$.

Antes de aplicar la Regla Media para resolver la ecuación, Puig manipula la ecuación para que el coeficiente del término de mayor grado sea la unidad, tal y como explica en el capítulo 9 (páginas 448 y 449). Le denomina reducción a la unidad. En el caso de esta ecuación, las operaciones previas para reducir a la unidad la ecuación son:

$24x^3-4x^2=20216$

${24}^2\cdot (24x^3-4x^2)={24}^2\cdot 20216$

$(24x{)}^3-4\cdot (24x{)}^2=11644416$

Y ahora plantea una nueva ecuación $y^3-4y^2=11644416$, de manera que si la solución la multiplicamos por 24 obtendríamos la solución de la ecuación original. Es decir, Puig realiza un cambio de variable, aunque sigue utilizando cosa como incógnita.

Esta reducción a la unidad la realiza el autor siempre que el coeficiente del término de mayor grado no sea la unidad.

El ejemplo sexto es un problema cuyo planteamiento se realiza utilizando la proporcionalidad y los tres últimos son problemas de compañías.

En la siguiente figura (Figura 5) aparece un algoritmo equivalente a la Regla Media, en el que el término independiente de la ecuación es S, el valor por defecto o semilla con la que comienza el algoritmo es A y la asignación de valores se simboliza con ≔ .

Figura 5
Algoritmo equivalente de la Regla Media de Puig

Una implementación posible del algoritmo en lenguaje de programación Python es el de la Figura 6. Donde se utiliza como ejemplo la resolución de la ecuación $x^3-140x^2+6125x=81250$.

Figura 6
Programa en Python para resolver ecuaciones con el algoritmo de la Regla Media

5 Conclusiones

El método general de resolución de ecuaciones de la Regla Media es un método incluido en el único libro conocido del matemático catalán del siglo XVII Andrés Puig, la Arithmetica de 1672. Este libro tuvo relativo éxito ya que se conocen diversas ediciones que abarcaron más de 75 años.

En la Arithmetica no sólo se tratan temas clásicos de las aritméticas de la época, como las herencias, las mezclas, las compañías, regla de tres, falsa posición, sino que contiene dos partes dedicadas al álgebra. Aunque el lenguaje algebraico utilizado por el autor en el libro está más bien anticuado, ya que es más propio de los libros de álgebra del siglo XVI, utiliza dos métodos generales de resolución de ecuaciones bastante avanzados para la época: uno por expansión binomial basado en el mismo de Vieta (principios del siglo XVII) y otro por aproximación numérica basado en uno parecido de Nicolás Chuquet (finales del siglo XV).

El algoritmo analizado en este trabajo, la Regla Media, está basado en cierta medida en la Regla de los números medios de Nicolás Chuquet, aunque hasta finales del siglo XIX se creía que su autoría era del matemático francés del siglo XVI Etienne de la Roche.

Se trata de un algoritmo para resolver ecuaciones en las que al menos una de las soluciones sea un entero positivo, ya que esta es una de las restricciones para su utilización tal y como lo ideó el autor. Aunque con algunos cambios, el algoritmo podría utilizarse para resolver por aproximación ecuaciones con soluciones no sólo positivas y no sólo enteras, o incluso ecuaciones no polinómicas (Nakamura, 1992; Burden; Faires, 2002).

Este estudio puede servirnos como base para llevar al aula de matemáticas un algoritmo general de resolución de ecuaciones, histórico, que amplíe los métodos de resolución que se enseñan habitualmente en el aula, como la regla de Ruffini.

Referencias

• AUREL, M. Libro Primero de Arithmetica Algebratica. Valencia: Casa de Ioan de Mey Flandro, 1552. Disponible en: https://bivaldi.gva.es/es/consulta/registro.do?id=8247 Acceso en: 6 ago. 2024.
  » https://bivaldi.gva.es/es/consulta/registro.do?id=8247
• BOYER, C. B. Historia de la Matemática. Madrid: Alianza Editorial, 1986.
• BURDEN, R.; FAIRES, J. D. Análisis numérico. Madrid: International Thomson Editores, S. A., 2002. Disponible en: https://evflores.files.wordpress.com/2014/02/analisis-numerico-richard-l-burden-7ma.pdf Acceso en: 10 mar. 2024.
  » https://evflores.files.wordpress.com/2014/02/analisis-numerico-richard-l-burden-7ma.pdf
• CERVANTES OJEDA, J.; GÓMEZ FUENTES, M. C. Taxonomía de los modelos y metodologías de desarrollo de software más utilizados. Universidades, Udual, n. 52, p. 37-47, ene./mar. 2012.
• DE LA ROCHE, E. L' arismethique nouvellement composee. Lyon: Costantin Fradin, 1520. Disponible en: https://books.google.es/books?id=9xg8AAAAcAAJ&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0 Acceso en: 2 mar. 2024.
  » https://books.google.es/books?id=9xg8AAAAcAAJ&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0
• DOCAMPO REY, J. Reading Luca Pacioli's Summa in Catalonia: An early 16th-century Catalan manuscript on algebra and arithmetic. Historia Mathematica, Berlín, v. 33, n. 1, p. 43-62, 2006.
• DOCAMPO REY, J. Vernacular algebra in the Iberian Peninsula before Marco Aurel: Notations and terminology. En: INTERNATIONAL CONFERENCE OF THE EUROPEAN SOCIETY FOR THE HISTORY OF SCIENCE, 3, 2008, Vienna, Proceedings… Vienna: Kommission für Geschichte der Naturwissenschaften, Mathematik und Medizin, 2008. p. 85-92. 2 CD room.
• DOU, A. Las Matemáticas en la España de los Austrias. En: ESPAÑOL, L. (ed.). Estudios sobre Julio Rey Pastor (1888-1962). Logroño: Instituto de Estudios Riojanos, 1990. p. 151-172. Disponible en: https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/586983.pdf Acceso en: 10 mar. 2024.
  » https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/586983.pdf
• ETAYO MIQUEO, José Javier. El álgebra del cinquecento. En: Historia de la Matemática hasta el siglo XVII. Madrid: Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, 1986. p. 147-169.
• EZQUERRO, J. A.; GUTIÉRREZ, J. M.; HERNÁNDEZ, M. A.; ROMERO, N.; RUBIO, M. J. El método de Newton: de Newton a Kantorovich. Gaceta de la Real Sociedad Matematica Española, Madrid, v. 13, n. 1, p. 53-76, 2010.
• FILLOY, E.; ROJANO, T. La Aparición del Lenguaje Aritmético-Algebraico. L'educazione Matematica, México, v. 5, n. 3, p. 278-306, 1984.
• GARCÍA CABALLERO, J. Breve Cotejo y Valance de las pesas y medidas. Madrid: En la Imprenta de la Viuda de Francisco del Hierro, 1731. Disponible en: https://bibliotecadigital.jcyl.es/es/catalogo_imagenes/grupo.do?path=10065452 Acceso en: 28 feb. 2024.
  » https://bibliotecadigital.jcyl.es/es/catalogo_imagenes/grupo.do?path=10065452
• GUARDAMINO, D. de. Prontuario, y claves de las correspondencias, que, entre sì, tienen las Monedas, Medidas de Granos, de Palmos, y Peso sutil de Castilla, con las de varios Reynos, y Provincias de la Europa, Señorìo de Vizcaya, y demàs Continente de España. Madrid: Antonio Marín, 1757. Disponible en: http://hdl.handle.net/10481/67090 Acceso en: 28 feb. 2024.
  » http://hdl.handle.net/10481/67090
• LEÓN-MANTERO, C.; CASAS-ROSAL, J.C.; ARGUDO-OSADO, C. Análisis de los libros de texto para la formación de agrimensores en España durante el siglo XVIII. En: LÓPEZ-ESTEBAN, C.; MAZ-MACHADO, A. (eds.). Las matemáticas en España durante el siglo XVIII a través de los libros y sus autores. Salamanca: Universidad de Salamanca, 2020. p. 161-179.
• LEÓN-MANTERO, C.; MADRID, M. J.; MAZ-MACHADO, A. La evolución de los métodos de resolución de triángulos oblicuángulos en los libros de texto sobre trigonometría publicados en España. Barcelona: Octaedro, 2022. Disponible en: http://helvia.uco.es/xmlui/handle/10396/25590 Acceso en: 16 mar. 2024.
  » http://helvia.uco.es/xmlui/handle/10396/25590
• LEÓN-MANTERO, C.; SANTIAGO, A.; GUTIÉRREZ-ARENAS, M. El método de máximos y mínimos en los libros de texto españoles del siglo XVIII: influencias europeas. En: LÓPEZ-ESTEBAN, C.; MAZ-MACHADO, A. (eds.). Las matemáticas en España durante el siglo XVIII a través de los libros y sus autores. Salamanca: Universidad de Salamanca, 2020. p. 115-133
• MADRID, M. J.; LEÓN-MANTERO, C.; LÓPEZ-ESTEBAN, C. El tratamiento del álgebra en los libros de matemáticas en castellano en el siglo XVIII. En: LÓPEZ-ESTEBAN, C.; MAZ-MACHADO, A. (eds.). Las matemáticas en España durante el siglo XVIII a través de los libros y sus autores. Salamanca: Universidad de Salamanca, 2020. p. 199-221.
• MADRID, M. J.; LEÓN-MANTERO, C.; MAZ-MACHADO, A. et al. El desarrollo del concepto de ecuación en libros españoles de matemáticas del siglo XVIII. En: SIMPOSIO de INVESTIGACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA, 23., 2019, Valladolid. Actas… Granada: SEIEM, 2019. p. 403-412. Disponible en: file:///C:/Users/User/Downloads/Dialnet-InvestigacionEnEducacionMatematicaXXIII-749728%20(1).pdf Acceso en: 6 ago. 2024.
  » file:///C:/Users/User/Downloads/Dialnet-InvestigacionEnEducacionMatematicaXXIII-749728%20(1).pdf
• MARRE, A. Notice sur Nicolas Chuquet et son Triparty en la Science des Nombres. En: Bulletino di Bibliografia e di Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche. Roma: Tipografia delle Scienze Matematiche e Fisiche, 1880. p. 555-814 (Vol. XIII). Disponible en: https://books.google.es/books?id=Rz9bVKIulWgC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0 Acceso en: 3 mar. 2024.
  » https://books.google.es/books?id=Rz9bVKIulWgC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0
• MARRE, A. Le triparty en la science des nombres par maistre Nicolas Chuquet parisien, publié d'après le manuscrit fonds français no. 1346 de la Bibliothèque nationale de Paris et précédé d'une notice. Roma: Imprimerie des sciences mathématiques et physiques, 1881. Disponible en: https://archive.org/details/TripartyEnLaScienceDesNombres/page/n1/mode/2up Acceso en: 3 mar. 2024.
  » https://archive.org/details/TripartyEnLaScienceDesNombres/page/n1/mode/2up
• MAZ-MACHADO, A.; LEÓN-MANTERO, C.; MADRID, M. J. Una mirada a la ciencia española del siglo XVIII: los autores españoles de libros de matemáticas. En: LÓPEZ-ESTEBAN, C.; MAZ-MACHADO, A. (eds.). Las matemáticas en España durante el siglo XVIII a través de los libros y sus autores. Salamanca: Universidad de Salamanca, 2020. p. 45-61.
• MAZ-MACHADO, A.; RICO, L. Principios didácticos en textos españoles de matemáticas en los siglos XVIII y XIX. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, v. 18, n. 1, p. 49-76, 2015.
• NAKAMURA, S. Métodos Numéricos Aplicados con Software. México: Prentice-Hall Hispanoamericana S.A., 1992. (Pearson Educación). Disponible en: https://evflores.files.wordpress.com/2014/02/metodos-numericos-aplicados-con-software-by-sholchlro-nakamura1.pdf Acceso en: 10 mar. 2024.
  » https://evflores.files.wordpress.com/2014/02/metodos-numericos-aplicados-con-software-by-sholchlro-nakamura1.pdf
• NASH, P. W. The abandoning of the long s in Britain in 1800. Journal of the Printing Historical Society, London, New series, n. 3, p. 3-19, 2001.
• NESSELMANN, G. H. F. Versuch einer kritischen Geschichte der Algebra. Berlín: G. Reimer, 1842. Disponible en: https://www.digitale-sammlungen.de/de/view/bsb10082467?page=,1 Acceso en: 2 mar. 2024.
  » https://www.digitale-sammlungen.de/de/view/bsb10082467?page=,1
• NUNES, P. Libro de Algebra en Arithmetica y Geometria. Anvers: En casa de los herederos d'Arnoldo Bieckman a la Gallina gorda, 1567. Disponible en: https://archive.org/details/bub_gb_EU3zLI18WXUC Acceso en: 28 feb. 2024.
  » https://archive.org/details/bub_gb_EU3zLI18WXUC
• OLLER-MARCÉN, A. M.; MUÑOZ-ESCOLANO, J. M. Conceptions about mathematics, its teaching and learning in Compendio Mathematico (1707) written by the Spanish Thomas Vicente Tosca (1651-1723). Bolema, Rio Claro, v. 33, n. 64, p. 635-648, 2019.
• PACIOLI, L. Summa de arithmetica geometria proportioni et proportionalita. Venezia: Paganino de Paganini, 1494. Disponible en: https://www.cervantesvirtual.com/descargaPdf/summa-de-arithmetica-geometria-proportioni-et-proportionalita-1048443/ Acceso en: 28 feb. 2024.
  » https://www.cervantesvirtual.com/descargaPdf/summa-de-arithmetica-geometria-proportioni-et-proportionalita-1048443/
• PÉREZ DE MOYA, J. Arithmetica practica y speculativa del bachiller Iuan Perez de Moya agora nueuamente corregida y añadidas por el mismo author muchas cosas, con otros dos libros y vna tabla muy copiosa. Salamanca: Mathias Gast, 1562. Disponible en: https://dialnet.unirioja.es/servlet/libro?codigo=400863 Acceso en: 28 feb. 2024.
  » https://dialnet.unirioja.es/servlet/libro?codigo=400863
• PERRAULT, C. Compendio de los diez libros de arquitectura de Vitruvio. Traducción de Joseph Castañeda. Madrid: En la Imprenta de D. Gabriel Ramírez, 1761. Disponible en: https://www.sedhc.es/bibliotecaD/1761_C_Perrault_Los_diez_libros_de_arqu_de_Vitruvio.pdf Acceso en: 2 mar. 2024.
  » https://www.sedhc.es/bibliotecaD/1761_C_Perrault_Los_diez_libros_de_arqu_de_Vitruvio.pdf
• PICADO, M.; RICO, L.; GÓMEZ, B. Enseñanza de las unidades métricas en España en la segunda mitad del siglo XIX. Enseñanza de las Ciencias, Barcelona, v. 33, n. 3, p. 175-196, 2015.
• POY Y COMES, M. Elementos de aritmética numérica y literal al estilo del comercio para instrucción de la juventud. Barcelona: En la oficina de Sierra y Martí, 1819. Disponible en: http://bdh-rd.bne.es/viewer.vm?id=0000075452 Acceso en: 28 feb. 2024.
  » http://bdh-rd.bne.es/viewer.vm?id=0000075452
• PUIG, A. Arithmetica especulativa, y practica, y arte de algebra. Barcelona: Antonio Lacavalleria, 1672. Disponible en: https://books.google.es/books?id=xGjVFzQ9dBYC&hl=es&pg=PP5#v=onepage&q&f=false Acceso en: 28 feb. 2024.
  » https://books.google.es/books?id=xGjVFzQ9dBYC&hl=es&pg=PP5#v=onepage&q&f=false
• PUIG, L. Lo viejo y lo nuevo en la enseñanza del álgebra en el siglo XVII en España: la Arithmetica especulativa, y practica y arte del algebra de Andrés Puig frente a la Arithmetica Universalis de Joseph Zaragozà. En: SIMPOSIO DE LA SOCIEDAD ESPAÑOLA DE INVESTIGACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA, 22., 2018, Gijón. Informe… Gijón: SEIEM; Universidad de Oviedo, 2018. Disponible en: https://www.seiem.es/docs/grupos/hmem/HMEM_2018_SEIEM_XXII.pdf Acceso en: 2 mar. 2024.
  » https://www.seiem.es/docs/grupos/hmem/HMEM_2018_SEIEM_XXII.pdf
• RECASENS, E. Càlcul d'arrels d'equacions polinòmiques a l'Arithmetica Universal de J. Saragossà. En: TROBADA D'HISTÒRIA DE LA CIÈNCIA I DE LA TÈCNICA, 7., 2003, Barcelona. Actes… Barcelona: Institut d'Estudis Catalans. Societat Catalana d'Història de la Ciència i de la Tècnica, 2003. p. 167-172. Disponible en: https://publicacions.iec.cat/PopulaFitxa.do?moduleName=cataleg&subModuleName=&idCatalogacio=311 Acceso en: 28 feb. 2024.
  » https://publicacions.iec.cat/PopulaFitxa.do?moduleName=cataleg&subModuleName=&idCatalogacio=311
• REY PASTOR, J. Los matemáticos españoles del siglo XVI. Discurso inaugural del curso 1913-14. Oviedo: Universidad de Oviedo, 1913. Disponible en: https://digibuo.uniovi.es/dspace/bitstream/handle/10651/19029/0548568.pdf;jsessionid=7EFE38DD9AFC36885BA29AC9CC27F4D2?sequence=1 Acceso en: 28 feb. 2024.
  » https://digibuo.uniovi.es/dspace/bitstream/handle/10651/19029/0548568.pdf;jsessionid=7EFE38DD9AFC36885BA29AC9CC27F4D2?sequence=1
• ROCHA, A. Arithmetica. Barcelona: En casa de Claudio Bornat, a la Aguila fuerte, 1565. Disponible en: https://books.google.es/books?id=a_lJO3Mgi3UC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0 Acceso en: 2 mar. 2024.
  » https://books.google.es/books?id=a_lJO3Mgi3UC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0
• ROMERO VALLHONESTA, F. Algebraic symbolism in the first algebraic works in the Iberian Peninsula. Philosophica, Gante, v. 87, n. 4, p. 117-152, 2012. Disponible en: http://www.philosophica.ugent.be/article/id/82141/ Acceso en: 28 feb. 2024.
  » http://www.philosophica.ugent.be/article/id/82141/
• RUIZ-CATALÁN, J. El álgebra y su enseñanza en la Arithmetica Especulativa, y Practica y arte de Algebra de Andrés Puig (1672). Trabajo Fin de Máster, Universidad de Granada, Granada, 2020. Disponible en: https://digibug.ugr.es/handle/10481/72105 Acceso en: 26 feb. 2024.
  » https://digibug.ugr.es/handle/10481/72105
• RUIZ BERRIO, J. El método histórico en la investigación histórica de la educación. Revista Española de Pedagogía, Madrid, v. 34, n. 134, p. 449-475, 1976.
• TORRES AMAT, F. Memorias para ayudar a formar un diccionario crítico de los escritores catalanes, y dar alguna idea de la antigua y moderna literatura de Cataluña. Barcelona: Imprenta de J. Verdaguer, 1836. Disponible en: https://www.rae.es/sites/default/files/biblioteca/pdf/24_VIII_28/24_VIII_28.pdf Acceso en: 28 feb. 2024.
  » https://www.rae.es/sites/default/files/biblioteca/pdf/24_VIII_28/24_VIII_28.pdf
• YPMA, T. J. Historical Development of the Newton-Raphson Method. SIAM Review, Philadelphia, v. 37, n. 4, p. 531-551, 1995.
• ZARAGOZA, J. Arithmetica universal: que comprehende el arte menor y maior, algebra vulgar y especiosa. Valencia: por Geronimo Vilagrasa, 1669. Disponible en: https://digibug.ugr.es/handle/10481/11869 Acceso en: 2 mar. 2024.
  » https://digibug.ugr.es/handle/10481/11869

Fechas de Publicación

• Publicación en esta colección
  02 Dic 2024
• Fecha del número
  2024

Histórico

• Recibido
  17 Mar 2024
• Acepto
  27 Mayo 2024