Undergraduate Students´ Conceptions about Complex Numbers: A Characterization from APOS Theory

Caro, Diana Carolina García; García, Carlos Valenzuela; González, María del Socorro García; Sanz, María T.

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Bolema: Boletim de Educação Matemática

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Sumário

ARTÍCULO • Bolema 38 • 2024 • https://doi.org/10.1590/1980-4415v38a210207 copy

Undergraduate Students´ Conceptions about Complex Numbers: A Characterization from APOS Theory

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Abstract

The teaching and learning of complex numbers in mathematics education have been relatively underexplored. Research indicates that the teaching of these numbers is commonly approached from an algebraic perspective. To contribute to the understanding of complex numbers, this paper presents a characterization of the conceptions held by a group of undergraduate students using the APOS theory. A test was designed and administered to observe their possible mental structures. The results suggest that students have limited elements and conceptions related to the actions involved, primarily concerning the binomial representation of complex numbers within an algebraic register. Additionally, students commence their college studies with fundamental preexisting conceptions related to complex numbers, but these conceptions are not yet integrated with the concept itself.

Complex numbers; APOS Theory; Structures; Mechanism; Conceptions

N	Pregunta	Objetivo	Posibles Concepciones
C1	a) Resuelve la siguiente ecuación: $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ b) Calcula los lados de un triángulo rectángulo que tiene 12 _cm de perímetro y 7 _cm² de área.	Reconocer los números complejos como solución de una ecuación cuadrática, identificando la raíz cuadrada de un número negativo ( $\sqrt{- 1} = i$ ) para poder expresar la solución compleja en su representación binómica, es decir, $a + i b$ .	El estudiante presenta elementos de las acciones cuando: 1) hace explícito que no existen raíces cuadradas de números negativos y concluye que la solución no pertenece al conjunto de los números reales, 2) identifica la unidad imaginaria, pero no realiza tratamientos adecuados. Muestra acciones si puede expresar un número complejo específico indicando la parte real e imaginaria.
C2	Realiza y justifica las siguientes operaciones: a) $\sqrt{- 7} \sqrt{- 7}$ b) $(- 20, 4) + (6, - 10)$ c) $(2.11, 3) - (- 1, 1)$ d) $(9, 8.2) * (10, π)$ e) $(5 + 3 i) (11 - i)$ f) $(5 \frac{π}{3}) (\sqrt{2} \frac{π}{6})$	Identificar la unidad imaginaria y asociar a los números complejos con sus diversas representaciones: binómica, par ordenado y polar; y realizar operaciones con los números complejos según su representación.	El estudiante presenta elementos de las acciones cuando: 1) identifica a la unidad imaginaria como la raíz cuadrada de un número negativo y reemplaza $\sqrt{- 1}$ por i aunque el estudiante presente dificultades en los tratamientos, 2) identifica algunas representaciones de los números complejos. Presenta acciones si puede tomar un número complejo específico en cualquiera de sus representaciones y realizar tratamientos adecuados.
C3	Observa y describe las características de las siguientes imágenes.	Reconocer los componentes parte real, parte imaginaria, módulo y argumento relacionados con el registro geométrico de los números complejos en sus representaciones par ordenado y polar en el plano complejo.	El estudiante muestra elementos de las acciones si reconoce algunos números complejos y sus componentes. Presenta acciones si puede identificar los componentes de los números complejos como la parte real, la parte imaginaria, el módulo y el argumento.
C4	Representa el módulo y el argumento en el plano a partir del punto dado.	Asociar el punto a un número complejo en el plano complejo para hacer el tratamiento en el registro geométrico asociado a la representación par ordenado y representar en ese mismo registro el módulo y argumento de la representación polar del número complejo.	Según sea el caso: El estudiante muestra elementos de las acciones geométricas cuando identifica algunos de los componentes como el módulo o el argumento principal o la parte real o la parte imaginaria del número complejo en el plano complejo. Presenta elementos de las acciones algebraicas cuando toma fórmulas externas para calcular los componentes de un número en determinados subconjuntos. Presenta acciones geométricas si identifica todos los componentes del número complejo en el plano complejo. Muestra acciones algebraicas si toma fórmulas externas para hallar el valor de los componentes de los números complejos específicos en cualquier parte del plano complejo.
C5	Encuentra las coordenadas del punto D a partir del módulo y el argumento dados.	Asociar el módulo, el argumento y el punto del plano a un número complejo en su representación polar; articulándolo con el registro algebraico para determinar las partes real e imaginaria y así expresar el número complejo en su representación par ordenado.
C6	Halla el módulo y el argumento teniendo en cuenta que el par ordenado asociado es $(4, \sqrt{48})$	Asociar el par ordenado a un número complejo y realizar tratamiento en el registro algebraico para obtener el número complejo en su representación polar en el mismo registro.
C7	Determina el par ordenado asociado a un número complejo teniendo en cuenta que el módulo es α y el argumento es b.	Identificar los componentes de un número complejo en su representación polar, y determinar su representación par ordenado a partir de la generalización en el registro algebraico.	Si el estudiante asigna un valor específico al número complejo, entonces se pueden observar las mismas acciones y elementos de las acciones de C4-C6. Si logra una generalización se pueden presentar elementos de los procesos o procesos; la diferencia radica en que el primero es para subconjuntos (p.e. números de la forma 0+bi o números en el primer cuadrante) y el segundo es para cualquier número complejo. Los elementos de los procesos o procesos geométricos se reflejan cuando el estudiante caracteriza algún componente de los números complejos en el plano complejo. Los elementos de los procesos o procesos algebraicos se presentan si el estudiante deduce fórmulas para calcular las partes real e imaginaria de un número complejo arbitrario o de un subconjunto (por cuadrantes).
C8	Calcula la parte real y la parte imaginaria del número complejo teniendo en cuenta la siguiente representación.	Asociar el módulo y el argumento del número complejo y articular la representación polar en el registro geométrico de un número complejo a la representación binómica en su registro algebraico.	Las estructuras mentales que pueden inferirse del desempeño del estudiante en C8 y C9 son las mismas que en C4-C6
C9	Representa en el plano complejo el módulo y el argumento asociado al número complejo $6 - 7 i$ .	Identificar el número complejo en su representación binómica en el registro algebraico y articular con la representación polar en el registro geométrico.

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2a No tiene solución en los reales.	2c
2b Traté de hacerla con la fórmula general, pero me salía un número negativo en el determinante.
2d

8a	8b No hay parte imaginaria si los ejes son reales: $a + b i, b = 0$
8c Asumiendo θ medido desde x.