Concepciones sobre los Números Complejos de Alumnos que Inician sus Estudios Universitarios: una Caracterización desde la Teoría APOE

Caro, Diana Carolina García; García, Carlos Valenzuela; González, María del Socorro García; Sanz, María T.

doi:10.1590/1980-4415v38a210207

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Bolema: Boletim de Educação Matemática

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ARTÍCULO • Bolema 38 • 2024 • https://doi.org/10.1590/1980-4415v38a210207 copiar

Concepciones sobre los Números Complejos de Alumnos que Inician sus Estudios Universitarios: una Caracterización desde la Teoría APOE

Undergraduate Students´ Conceptions about Complex Numbers: A Characterization from APOS Theory

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Resumen

La enseñanza y el aprendizaje de los números complejos desde la educación matemática se han indagado poco, y las investigaciones que hay al respecto señalan que su tratamiento se hace, comúnmente, desde el registro algebraico. Con la intención de contribuir al estudio de la problemática que se relaciona con ese concepto, en este estudio se realizó desde la teoría APOE una caracterización de las concepciones que han construido sobre los números complejos un grupo de alumnos que inician sus estudios universitarios. Para ello, se diseñó y aplicó un cuestionario que permitió observar las posibles estructuras mentales construidas por los estudiantes. Los resultados indican que los alumnos llegan a la universidad con elementos de las acciones y concepciones acción, pero limitadas, relacionadas principalmente con la representación binómica de los números complejos y en un registro algebraico; asimismo, muestran concepciones previas fundamentales para el estudio de los números complejos, pero desconectadas de ese concepto.

Números complejos; Teoría APOE; Estructuras; Mecanismos; Concepciones

N	Pregunta	Objetivo	Posibles Concepciones
C1	a) Resuelve la siguiente ecuación: $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ b) Calcula los lados de un triángulo rectángulo que tiene 12 _cm de perímetro y 7 _cm² de área.	Reconocer los números complejos como solución de una ecuación cuadrática, identificando la raíz cuadrada de un número negativo ( $\sqrt{- 1} = i$ ) para poder expresar la solución compleja en su representación binómica, es decir, $a + i b$ .	El estudiante presenta elementos de las acciones cuando: 1) hace explícito que no existen raíces cuadradas de números negativos y concluye que la solución no pertenece al conjunto de los números reales, 2) identifica la unidad imaginaria, pero no realiza tratamientos adecuados. Muestra acciones si puede expresar un número complejo específico indicando la parte real e imaginaria.
C2	Realiza y justifica las siguientes operaciones: a) $\sqrt{- 7} \sqrt{- 7}$ b) $(- 20, 4) + (6, - 10)$ c) $(2.11, 3) - (- 1, 1)$ d) $(9, 8.2) * (10, π)$ e) $(5 + 3 i) (11 - i)$ f) $(5 \frac{π}{3}) (\sqrt{2} \frac{π}{6})$	Identificar la unidad imaginaria y asociar a los números complejos con sus diversas representaciones: binómica, par ordenado y polar; y realizar operaciones con los números complejos según su representación.	El estudiante presenta elementos de las acciones cuando: 1) identifica a la unidad imaginaria como la raíz cuadrada de un número negativo y reemplaza $\sqrt{- 1}$ por i aunque el estudiante presente dificultades en los tratamientos, 2) identifica algunas representaciones de los números complejos. Presenta acciones si puede tomar un número complejo específico en cualquiera de sus representaciones y realizar tratamientos adecuados.
C3	Observa y describe las características de las siguientes imágenes.	Reconocer los componentes parte real, parte imaginaria, módulo y argumento relacionados con el registro geométrico de los números complejos en sus representaciones par ordenado y polar en el plano complejo.	El estudiante muestra elementos de las acciones si reconoce algunos números complejos y sus componentes. Presenta acciones si puede identificar los componentes de los números complejos como la parte real, la parte imaginaria, el módulo y el argumento.
C4	Representa el módulo y el argumento en el plano a partir del punto dado.	Asociar el punto a un número complejo en el plano complejo para hacer el tratamiento en el registro geométrico asociado a la representación par ordenado y representar en ese mismo registro el módulo y argumento de la representación polar del número complejo.	Según sea el caso: El estudiante muestra elementos de las acciones geométricas cuando identifica algunos de los componentes como el módulo o el argumento principal o la parte real o la parte imaginaria del número complejo en el plano complejo. Presenta elementos de las acciones algebraicas cuando toma fórmulas externas para calcular los componentes de un número en determinados subconjuntos. Presenta acciones geométricas si identifica todos los componentes del número complejo en el plano complejo. Muestra acciones algebraicas si toma fórmulas externas para hallar el valor de los componentes de los números complejos específicos en cualquier parte del plano complejo.
C5	Encuentra las coordenadas del punto D a partir del módulo y el argumento dados.	Asociar el módulo, el argumento y el punto del plano a un número complejo en su representación polar; articulándolo con el registro algebraico para determinar las partes real e imaginaria y así expresar el número complejo en su representación par ordenado.
C6	Halla el módulo y el argumento teniendo en cuenta que el par ordenado asociado es $(4, \sqrt{48})$	Asociar el par ordenado a un número complejo y realizar tratamiento en el registro algebraico para obtener el número complejo en su representación polar en el mismo registro.
C7	Determina el par ordenado asociado a un número complejo teniendo en cuenta que el módulo es α y el argumento es b.	Identificar los componentes de un número complejo en su representación polar, y determinar su representación par ordenado a partir de la generalización en el registro algebraico.	Si el estudiante asigna un valor específico al número complejo, entonces se pueden observar las mismas acciones y elementos de las acciones de C4-C6. Si logra una generalización se pueden presentar elementos de los procesos o procesos; la diferencia radica en que el primero es para subconjuntos (p.e. números de la forma 0+bi o números en el primer cuadrante) y el segundo es para cualquier número complejo. Los elementos de los procesos o procesos geométricos se reflejan cuando el estudiante caracteriza algún componente de los números complejos en el plano complejo. Los elementos de los procesos o procesos algebraicos se presentan si el estudiante deduce fórmulas para calcular las partes real e imaginaria de un número complejo arbitrario o de un subconjunto (por cuadrantes).
C8	Calcula la parte real y la parte imaginaria del número complejo teniendo en cuenta la siguiente representación.	Asociar el módulo y el argumento del número complejo y articular la representación polar en el registro geométrico de un número complejo a la representación binómica en su registro algebraico.	Las estructuras mentales que pueden inferirse del desempeño del estudiante en C8 y C9 son las mismas que en C4-C6
C9	Representa en el plano complejo el módulo y el argumento asociado al número complejo $6 - 7 i$ .	Identificar el número complejo en su representación binómica en el registro algebraico y articular con la representación polar en el registro geométrico.

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2a No tiene solución en los reales.	2c
2b Traté de hacerla con la fórmula general, pero me salía un número negativo en el determinante.
2d

8a	8b No hay parte imaginaria si los ejes son reales: $a + b i, b = 0$
8c Asumiendo θ medido desde x.