Uma Análise de Introduções de Livros de Pré-Cálculo: Perspectivas e IntencionalidadesResumo
Neste artigo, voltamo-nos para as Introduções de livros de Pré-Cálculo visando compreender o que é exposto por seus autores ao apresentarem a obra ao seu público-alvo. Por meio de uma análise fenomenológica das Introduções desses livros, buscamos evidenciar motivos para elaboração da obra, os objetivos que se destacam, os conteúdos que os autores julgam subsidiários às disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral, bem como argumentações e concepções de ensino explicitadas por eles. Evidenciam-se, na análise, a importância do Pré-Cálculo no enfrentamento à reprovação e evasão nos cursos de exatas e a busca de alinhamento entre a matemática da Educação Básica e aquela necessária ao Cálculo.
Palavras-clave
Cálculo; Pré-Cálculo; Fenomenologia; Livro
Abstract
In this paper, we turn to the Introductions books of Pre-Calculus books in order to understand what is exposed by their authors when presenting the work to their target audience. Through a phenomenological analysis of the Introductions of these books we seek to highlight the reasons for preparing the work, the objectives that stand out, the contents that the authors consider to be subsidiary to the disciplines of Differential and Integral Calculus, as well as the arguments and teaching concepts explained for them. The analysis highlights the importance of Pre-Calculus in combating failure and dropout in exact science courses and the search for alignment between the mathematics of Basic Education and that necessary for Calculus.
Keywords
Calculus; Pre-Calculus; Phenomenology; Book
1 Introdução
As autoras deste artigo se conheceram há 20 anos no âmbito do Programa de Pós-graduação em Educação Matemática da UNESP de Rio Claro/SP e, atualmente, são professoras de universidades públicas na Bahia e em Minas Gerais, onde desenvolvem, interinstitucionalmente, pesquisas em parceria. Uma dessas pesquisas, da qual deriva este artigo, se origina das inquietações compartilhadas por ambas quanto ao êxito de graduandos dos cursos de Licenciatura em Matemática em que atuam. As preocupações relacionadas às altas taxas de reprovação em Cálculo Diferencial e Integral (CDI), que podem ser observadas nesses cursos, direcionaram o olhar investigador que delineia a pesquisa aqui apresentada.
O problema das reprovações nessas disciplinas coexiste nas universidades junto a outros problemas há mais de três décadas. Como abordado por Barufi (1999), a taxa de reprovação em Cálculo Diferencial e Integral da Escola Politécnica e do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (USP), no período de 1990 a 1995, possuía índices que variavam de 75% a 20% na primeira e 45% no segundo. Apesar do problema não ser recente, estudos apontam que a expansão da Educação Superior amplificou o aumento da evasão e retenção. Em outra mão, ações afirmativas voltadas à manutenção do acesso e sucesso dos estudantes, com vistas à essa mesma expansão, bem como o olhar atento de pesquisadores para a problemática, têm evidenciado aspectos importantes da discussão e encaminhamentos possíveis para o tema.
Estudos como os de Rezende (2003), Olimpio Junior (2006), Garzella (2013), Rafael e Escher (2015), entre outros, colocam em destaque a reprovação e desistência dos estudantes nas disciplinas de Cálculo e buscam entender as dificuldades associadas, propondo alternativas para o insucesso, que, conforme Tontini e Walter (2014), pode ser reforçado pelo baixo desempenho em disciplinas que abarcam conhecimentos matemáticos da Educação Básica. Evidencia-se, assim, a identificação de uma fase de transição do Ensino Médio para o Ensino Superior que deve ser tematizada e atacada a fim de contribuir com a aprendizagem matemática que se mostra imprescindível para o sucesso dos estudantes nas disciplinas de CDI.
No âmbito institucional, as preocupações com os índices de reprovação têm levado à promoção de estratégias associadas ao Pré-Cálculo que ocorrem como cursos, ações de extensão, monitorias ou, ainda, disciplinas optativas ou obrigatória, durante ou antes mesmo de se iniciar o primeiro semestre letivo dos cursos de graduação. No escopo dos enfrentamentos para o problema, metodologias, materiais e recursos didáticos são propostos a fim de contribuir com a aprendizagem matemática prévia considerada necessária para o êxito na disciplina. Neste contexto, destaca-se o surgimento de livros específicos para o Pré-Cálculo, os quais evidenciam as preocupações de seus autores quanto àquilo que consideram importante para o sucesso do estudante nas disciplinas de Cálculo.
Andrade, Esquincalha e Oliveira (2019) e Andrade (2020), ao apresentarem um panorama das pesquisas que abordam as disciplinas de Pré-Cálculo, apontam a importância de estudos que se voltem para a análise de recursos didáticos relacionados a elas, a fim de se compreender melhor seus delineamentos e seus próprios fundamentos. Buscando contribuir com a discussão, no estudo aqui relatado, nos debruçamos sobre os textos introdutórios elaborados por autores de livros de Pré-Cálculo, visando compreender suas preocupações e expectativas relacionadas ao livro concebido. Buscamos investigar aspectos que se destacam nas Introduções desses livros tomando como guia a pergunta diretriz: O que se evidencia nas Introduções de livros de Pré-Cálculo, no exposto pelos autores ao apresentarem a obra ao seu público-alvo? A constituição dos dados do estudo realizado se deu a partir da descrição fenomenológica e o movimento de análise, na mesma abordagem, inclui as análises ideográfica e nomotética, por meio das quais buscamos desvelar concepções, intencionalidades e perspectivas explicitadas pelos autores, articulando-as frente à temática que enreda a discussão.
A seguir, apresentamos uma discussão sobre o Pré-Cálculo e caracterizamos os livros analisados. Após, expomos a metodologia de pesquisa, as categorias interpretadas e a discussão realizada buscando responder à pergunta diretriz.
2 O Pré-Cálculo e os livros analisados
Desde a década de 1970, instituições de Ensino Superior inseriram disciplinas ou cursos de nivelamento voltados aos ingressantes, nos quais introduziam, revisavam e/ou aprofundavam assuntos de matemática da Educação Básica (Zarpelon, 2016). Tais cursos foram ganhando contornos e direcionamentos visando atingir disciplinas específicas da graduação, como o CDI, no que diz respeito à manipulação algébrica necessária para dominar os assuntos dos primeiros semestres da graduação. Destaca-se, em geral, a constatação de uma certa “incompletude” dos conhecimentos prévios dos graduandos frente aos conteúdos a serem abordados nas disciplinas. Como exemplo, considera-se que a álgebra do Ensino Médio apresenta certa insuficiência no estudo de funções quando se visa suprir, futuramente, as necessidades de relacionar conceitos como taxas de variação, áreas sob uma curva, volumes de sólidos etc., para se desenvolver, então, o CDI tratando de temas como limite, continuidade, derivada e integral.
Nos últimos anos, as universidades vêm desenvolvendo ações buscando sanar necessidades formativas de seus alunos. O Pré-Cálculo, por exemplo, tem sido implementado nas instituições, adentrando por diferentes caminhos, como relatado em pesquisas na área. Santos e Lima (2022), por exemplo, intentando compreender como se deu a constituição do componente curricular Pré-Cálculo, na Universidade Estadual de Feira de Santana, investigaram sujeitos que participaram da elaboração do Projeto Pedagógico do Curso no qual foi inserida, desde 2004, a disciplina denominada Pré-Cálculo, logo no primeiro semestre da Licenciatura em Matemática. Baseados nos dados coletados, os autores explicam que a disciplina “foi constituída para servir de alicerce para cerca de outras 17 disciplinas do curso, visando diminuir a evasão e retenção dos alunos”. (Santos; Lima, 2022, p. 06)
Em outro estudo, Bellettini e Souza (2018) se voltam para a implantação do curso de Pré-Cálculo no ano de 2015 no Centro Tecnológico da Universidade Federal de Santa Catarina, que teve em seu escopo o objetivo de suprir deficiências com os conteúdos matemáticos da Educação Básica e preparar os estudantes para as disciplinas subsequentes. Na mesma direção, o curso se origina da necessidade de prover os alunos de conhecimentos básicos para terem sucesso nas demais disciplinas e no curso em geral.
As ações na tentativa de preparar os alunos para acompanharem o compasso da graduação tem vários direcionamentos, como o apoio na administração do tempo de estudos, monitorias retomando assuntos do Ensino Médio simultaneamente aos estudados na universidade, ajuda dos veteranos para a inserção do ingressante, entre outros. Como enfatizam Azevedo e Faria (2006), a transição da Educação Básica para o Ensino Superior ultrapassa a esfera pessoal e se estende à instituição, envolvendo ações, pessoas, a prática docente, os conteúdos, os recursos etc. Nesse sentido, diferentes abordagens, como o uso das tecnologias, a ênfase na resolução de problemas, o maior protagonismo do estudante no entendimento dos conceitos, ganham destaque nas discussões de estudos que envolvem o Pré-Cálculo (Luz, 2011; Rezende, 2003; Olimpio Junior, 2006), entre outros. Os recursos e materiais utilizados nessas ações também ganham formatos e delineamentos, estruturados como apostilas, guias, sequências ou livros, especificamente elaborados para o Pré-Cálculo.
Visando um olhar atento especificamente para os livros de Pré-Cálculo, tomados por nós como recursos didáticos que produzem e transmitem conhecimento para além das ações que ocorrem no âmbito de uma disciplina específica, nos dirigimos para as perspectivas e intencionalidades de seus autores. A justificativa para o estudo aqui relatado deve-se ao predomínio desses livros nas bibliografias das ementas dos cursos de Pré-Cálculo e à relevância de se compreender o que visam os autores com suas obras, bem como as concepções quanto a metodologias a serem desenvolvidas e os delineamentos daqueles conteúdos que estão em jogo quando nos voltamos ao Pré-Cálculo.
Diversos livros foram sendo propostos nos últimos anos sobre o tema, ampliando o leque de opções tanto para o aluno que quer estudar e se preparar para o Cálculo, como ao professor ou ao monitor que atua no ensino de Pré-Cálculo. Ainda que o tema central desses livros seja comum, percebe-se que as abordagens, expectativas e os próprios conteúdos são muito distintos quando comparados, sinalizando delineamentos atrelados às intencionalidades e perspectivas de seus autores.
Assim, nesta pesquisa, nos voltando para alguns livros de Pré-Cálculo de autores eminentes, selecionados por amostragem, visamos compreender seus entendimentos e perspectivas quanto ao tema, ao lançarmos um olhar atento para a Introdução elaborada por cada um deles. As edições dos livros analisados são dos anos de 1999, 2011, 2014, 2016 e 2018, sendo dois deles de 2011. Em termos de síntese, o quadro abaixo apresenta informações quanto aos livros e seus autores:
Quadro 1 Informações sobre Livros analisados e seus autores| Título do Livro e Número da Edição | Autor e sua Formação | Citação |
|---|---|---|
| Pré-Cálculo: operações, equações, funções e trigonometria, 1ª edição | Francisco Magalhães Gomes - graduação em Engenharia Civil, mestrado em Matemática Aplicada e doutorado em Matemática Aplicada | Gomes (2018) |
| Pré-Cálculo, 2ª edição | Fred Safier - bacharel em Física e Mestre em Matemática | Safier (2011) |
| Pré-Cálculo para leigos, 1ª edição |
Krystle Rose Forseth - graduação em Matemática com ênfase em Educação Christopher Burger - bacharel em Artes e Matemática Michelle Rose Gilman - graduação em Educação Deborah Rumsey – graduação em Estatística |
Forseth et al., (2011) |
| Pré-Cálculo, 1ª edição | Paulo Boulos – graduação em Engenharia | Boulos (1999) |
| Pré-Cálculo: uma preparação para o cálculo - com manual de soluções para o estudante, 2ª edição | Sheldon Axler – matemático. | Axler (2016) |
| O Guia Completo para Quem Não É C.D.F. - Pré-Cálculo, 1ª edição | W. Michael Kelley – professor de matemática | Kelley (2014) |
Por meio da investigação do que os autores expressam na Introdução de seus livros, intentamos evidenciar suas preocupações quanto ao Pré-Cálculo, bem como os entendimentos explicitados que nos permitirão destacar motivações e perspectivas quanto aos conteúdos abordados em seus livros e o diálogo que estabelecem com professores e estudantes que se envolvem com o Pré-Cálculo.
3 Abordagem Metodológica
Na perspectiva fenomenológica de pesquisa, as ações do pesquisador são conduzidas por uma interrogação que, posta em evidência e refletida constantemente, vai solicitando esclarecimentos e modos de proceder. Tomando como guia a pergunta diretriz: O que se evidencia nas Introduções de livros de Pré-Cálculo, no exposto pelos autores ao apresentarem a obra ao seu público-alvo?, buscamos, a partir do texto dessas Introduções, interpretar aquilo que se destaca.
No modo de pesquisar fenomenologicamente se visa destacar sentidos e significados velados que permitam ampliar a compreensão do tema indagado. Para isso, o pesquisador deixa-se conduzir pelo que é visto, sem pressupor explicações sobre ele, mas deixando-o expor-se do modo como se apresenta, por meio da redução transcendental e do movimento denominado epoché (Bicudo, 2011). Em Husserl (2006), temos que com a epoché efetuam-se atos de reflexão direcionadas às crenças, valores e conceitos prévios. Assim, a análise fenomenológica se volta para as possibilidades compreensivas que projetam reaberturas do tema e de questões ligadas a ele. No fundamento da pesquisa fenomenológica está a descrição – primeira ação em torno dos dados, na qual o pesquisador destaca elementos que dizem da questão posta. Uma vez efetuado esse procedimento, destacam-se as unidades de significado que serão analisadas ideográfica e nomoteticamente.
Para a análise do dito nas Introduções colocadas em destaque aqui, construímos quadros em que são destacados excertos de texto e analisados os sentidos a que remetiam, manifestando o momento em que sobrepujamos a ingenuidade dos dados. Por meio de várias leituras dos dados e pelo empenho em destacar passagens importantes à luz da pergunta diretriz, as quais são intencionalmente recortadas e tomadas como unidades de significado, parte-se para a busca de convergências, em que são realizadas interpretações intentando encontrar aspectos comuns às unidades, ou seja, categorias maiores de análise a que elas remetam. Passa-se, assim, da análise do individual, que nesta pesquisa se refere à análise de cada uma das Introduções dos livros de Pré-Cálculo e às unidades delas destacadas, à esfera do geral, aquela em que estamos no movimento de constituirmos as generalidades.
Nesse movimento de análise, destacaram-se as temáticas a que se referem as análises efetuadas, indicando convergências para as seguintes categorias de análise:
-
Do porquê do livro de Pré-Cálculo e seus objetivos;
-
Dos conteúdos que os autores julgam necessários ou subsidiários ao Pré-Cálculo;
-
Das escolhas e argumentações para o seu público-alvo;
-
Das concepções de ensino, aprendizagem e matemática explicitadas.
Discutimos, a seguir, essas quatro categorias de análise, dialogando com autores que se voltam para a temática mais geral, direcionando para o que está posto nos livros no âmbito do Pré-Cálculo.
4 Do porquê do livro de Pré-Cálculo e seus objetivos
A respeito do porquê dos livros de Pré-Cálculo, Boulos (1999), Safier (2011) e Gomes (2018) concordam que há lacunas de compreensão em assuntos essenciais, como operações aritméticas básicas, funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, os quais são tratados na Educação Básica, porém, de forma não alinhada aos objetivos que são cobrados em CDI.
Safier (2011) afirma que o objetivo de seu livro é o de preparar os alunos para o Cálculo, desenvolvendo habilidades algébricas e conhecimentos outros esperados para as disciplinas de CDI, o que se assemelha ao objetivo exposto por Axler (2016), que visa preparar os estudantes para o êxito na disciplina de Cálculo, e por Gomes (2018), que assevera ter trabalhado cinco anos buscando produzir uma obra adequada para os estudantes se desenvolverem nas disciplinas iniciais de matemática.
Nas palavras de Kelley (2014),
As coisas com “pré” são irritantes, normalmente, não têm utilidade por si mesmas e são (talvez isto seja o mais apavorante), acima de tudo, compromissos. Quando você estuda pré-cálculo, há uma suposição implícita de que você pretende estudar cálculo adiante, e de que é tão difícil que você precisa preparar-se para isso agora. (Kelley, 2014, p. xiii)
A analogia do autor com o prefixo pré, que indica anterioridade de algo, sinaliza para o estudante a importância do que vem pela frente e visa incutir o questionamento que o incentiva a buscar aprender. Comparativamente, enquanto Safier (2011) e Axler (2016) declaram que querem preparar os estudantes, Kelley (2014) quer incentivar o estudante a aprender, destacando as dificuldades dos próximos assuntos do Cálculo e querendo produzir no aprendiz o sentimento de que precisará daquele conhecimento mais à frente no curso.
De nossa perspectiva, concepções quanto ao apoio ao estudante são reveladas em duas maneiras distintas de entendimento atrelado ao objetivo do livro: a que deseja prepará-los para o Cálculo (Safier, 2011; Axler, 2016) e outra que quer incentivar a participação e o sentimento da necessidade de dominar os conteúdos essenciais para o bom desempenho nas disciplinas seguintes (Kelley, 2014). Esse segundo entendimento se destaca, por exemplo, no trecho que se refere a uma situação hipotética em que os estudantes estejam apavorados com os conteúdos e questionem, para si próprios, a escolha pelo curso. Kelley (2014, p. xiii) propõe, assim, um desfecho para a situação: “a professora entra em cena e diz: ‘Não se preocupem, estou aqui para salvá-los da ignorância. Abram seus cérebros e preparem-se para colocar tudo ‘dentro’.” A frase evidencia o papel depositório do conteúdo e o papel ativo esperado dos estudantes na apreensão dos conceitos envolvidos.
Importante refletirmos que as duas perspectivas destacadas aqui são otimistas em relação às dificuldades que os estudantes têm com os conteúdos, sinalizando para a ideia de haver uma barreira a ser ultrapassada por eles. Assim, reconhecem a cultura da reprovação em CDI, na qual ela “é um elemento da cultura de ensino de CDI e se constituiu num problema crônico, uma verdadeira tradição” (Oliveira e Raad, 2012, p. 01). Nesse embate, os autores dos livros sugerem que os obstáculos podem ser superados em disciplinas de Pré-Cálculo, no empenho nos estudos e na autogestão dos desafios.
Tais perspectivas não levam em conta obstáculos que podem ser de ordem didática ou epistemológica, apontados nos estudos sobre os processos de ensino e de aprendizagem de CDI, como em Rezende (2003) e Barbosa (2004). Assim, não se evidencia um entendimento no qual a reprovação se dá como um elemento da cultura do ensino da disciplina, mas, apenas, da perspectiva do empenho (limitado) do estudante.
Os livros de Pré-Cálculo se inserem como um degrau para enfrentar o CDI e para o preenchimento das lacunas de aprendizagem da Educação Básica. Visam desenvolver o gosto pelos estudos, objetivando o desenvolvimento matemático dos estudantes e, sobretudo, atender aos interesses do desenvolvimento das noções envolvidas no Cálculo, seja nas disciplinas de Pré-Cálculo ou em estudos individuais onde o estudante, autonomamente, busca superar os desafios postos nos cursos de exatas.
De nossa perspectiva, os livros de Pré-Cálculo existem porque as instituições de Ensino Superior se abriram à escuta dos professores de Cálculo e, em alguma medida, entenderam que estavam sendo atingidas pelos impactos das reprovações nestas disciplinas e, consequentemente, do abandono dos cursos pelos universitários. A pesquisa de Zarpelon (2016) nos fez conhecer que, desde a década de 1970, instituições de Ensino Superior inseriram disciplinas ou cursos de nivelamento oferecidos aos ingressantes que introduziam, revisavam e/ou aprofundavam assuntos de matemática da Educação Básica.
Destacamos também a ocupação prévia dos autores na elaboração de sua obra, buscando, conforme eles mesmos afirmam, serem cordiais, oferecerem ajuda, provocar a percepção de aprendizagem no estudante, evitar sofrimento nos estudos etc. Ao nosso ver, buscam minimizar fatores inerentes ao Cálculo, e aos conteúdos que ele pressupõe, e que podem provocar o abandono dos estudantes da graduação.
Outro aspecto é que as disciplinas (e cursos) de Pré-Cálculo, inicialmente, tinham o formato de uma “revisão”, mas, com o tempo, foram ganhando contornos direcionadas aos componentes do CDI, com destaque, particularmente, aos aspectos algébricos envolvidos nessas disciplinas. Compreendemos que, ao afirmarem que o Ensino Médio não trabalha a Álgebra com uma meta bem definida, estes autores estão se referindo à insuficiência do estudo de funções em tal segmento para suprir, futuramente, as necessidades de relacioná-las com os conceitos do CDI, como limite, continuidade, derivada e integral.
O objetivo de ajudar na disciplina de Pré-Cálculo, oferecendo ajuda aos estudantes para eles se prepararem, aparece em todas as Introduções, porém destacamos que em duas delas, além disso, é evidenciada a ocupação prévia por fazer isso de maneira gentil e do modo “menos doloroso”. Esse aspecto, em nossa análise, revela a preocupação de que o livro atenda às demandas dos leitores/estudantes. Essa dedicação com a cordialidade do material explicitada só não é maior que a preocupação dos autores para que os leitores estejam preparados e se saiam bem quando estiverem cursando a disciplina de CDI em si.
5 Dos conteúdos que os autores julgam necessários ou subsidiários ao Pré-Cálculo
Forseth et al. (2011) explicitam que seu livro contempla tudo o que os autores consideraram importante, divididos em capítulos independentes que permitem itinerários diferentes de estudo, conforme a necessidade do estudante. O itinerário proposto por Boulos (1999) e Kelley (2014) inicia nos exercícios de cada capítulo, enquanto Gomes (2018) e Axler (2016) sugerem seguir o sumário.
As edições revisadas e ampliadas das obras incorporam assuntos específicos do Cálculo, como o livro de Safier (2011), que inseriu o capítulo intitulado Limites, Continuidade, Derivadas, afirmando que, recentemente, muitos livros de Pré-Cálculo têm trazido um capítulo de introdução ao CDI. O assunto Limites também se faz presente nos livros de Forseth et al. (2011) e Axler (2016), porém neste último está em tópico posterior aos que o autor considera necessário para preparar o aluno para o primeiro semestre de Cálculo. As incertezas quanto aos conteúdos de fronteira entre os livros de Pré-Cálculo e os de Cálculo mostraram-se significantes em termos dos conteúdos essenciais, visto o caráter específico de seus livros. Algumas questões podem ser colocadas a respeito desse embate: estariam os autores de livros de Pré-Cálculo preocupados exclusivamente com o CDI, em detrimento de uma abordagem mais ampla dos assuntos da matemática escolar, visando a não evasão dos estudantes de cursos de exatas? Nas últimas duas décadas teriam os cursos de nivelamento das universidades deixado de focar na revisão de conteúdos básicos prévios para apurar os conhecimentos necessários nas disciplinas da área de Cálculo?
No que tange à escolha dos tópicos contidos nos livros, os autores expõem o labor havido na busca dos assuntos que consideram imprescindíveis visando a possibilidade de cumprimento do programa da disciplina, como explicitado por Boulos (1999) e Gomes (2018), que destacam o empenho em seus livros na busca por produzir uma obra adequada à preparação dos estudantes.
As ampliações e revisões das edições, por um lado, têm autores preocupados com a quantidade de conteúdos e consequentemente com o tempo demandado para execução e, por outro lado, aparecem acréscimos por influência de outros livros que inseriram tópicos além dos considerados prévios ao Cálculo em si.
Tanto Gomes (2018) quanto Boulos (1999) e Axler (2016) expõem que os capítulos de seus respectivos livros apresentam os conteúdos conforme a necessidade. Destaque para Axler (2016, p. 01) que informa que os assuntos “Coordenadas Polares, Vetores, Números Complexos, Plano Complexo, Sequências, Séries, Limites, Resolução de Sistema de Equações Lineares, Matrizes, Áreas e Curvas Paramétricas”, embora abordados pelo livro, estão além daqueles necessários ao pré-cálculo. Destaque também para Safier (2011, p. 01) que na segunda edição acrescentou os assuntos “taxa de variação média, custo e demanda, forma polar de números complexos, seções cônicas em coordenadas polares e a estrutura algébrica do produto interno”.
Os autores também se preocupam com a quantidade e a forma de resolução dos exercícios. Boulos (1999) e Gomes (2018) propuseram uma quantidade que consideram moderada de exercícios, pois avaliam que o tempo disponível para suas resoluções é escasso. Em Boulos (1999), conforme afirma, os exercícios são muito parecidos com os exemplos dados. Safier (2011) utiliza problemas resolvidos e problemas complementares na apresentação do conteúdo. Axler (2016, p. 02) propõe exercícios e problemas elaborados para “aprimorar as habilidades de manipulação algébrica e outros para possibilitar a compreensão conceitual e não apenas do algoritmo”, que inclui “exercícios que requerem o uso da calculadora e outros que os façam refletir sobre a insuficiência do recurso para expressar o resultado”.
Na esteira da escolha dos conteúdos em relação com o objetivo do livro, Axler (2016) expõe a intenção de que sua obra ajude na disciplina de Pré-Cálculo. O autor explicita que o foco dos conteúdos são os assuntos do primeiro semestre da disciplina de Cálculo. Expõe algumas escolhas realizadas na abordagem dos assuntos, justificando-os frente à necessidade desse conhecimento para o Cálculo: “Funções Inversas, que é um conceito essencial para trabalhar com antidiferenciais, aparece mais de uma vez em contextos diferentes e inusitados, pois para eles é preciso que os alunos tenham familiaridade e saibam lidar com este conceito” (Axler, 2016, p. 02). Também expõe que na abordagem para Logaritmos se desvia de utilizar somas de Riemann e prioriza as manipulações algébricas necessárias em Cálculo, as quais, de acordo com o autor, são difíceis para os estudantes e precisam ser exercitadas. Explica que o tópico Trigonometria é apresentado por meio da abordagem pelo círculo unitário que permite introduzir radianos, “pois em Cálculo os alunos precisarão trabalhar com cos x” (Axler, 2016, p. 03).
Nas escolhas visando suprir as necessidades dos estudantes, Axler (2016) explica que é feita uma aplicação para triângulos retângulos, porém sem se demorar sobre isso. Também expõe escolhas de termos mais apropriados, quais sejam: preferiu um único símbolo para definir as funções, optou por referir-se aos eixos como eixo horizontal e eixo vertical, bem como nomeou de primeira coordenada e segunda coordenada. Tais alternativas visam evitar confusões posteriores quando estiverem em Cálculo. Os assuntos concentram-se exclusivamente nas funções cosseno, seno, tangente e suas funções inversas.
Em sua exposição, Kelley (2014) traz a importância do Pré-Cálculo para que o estudante entenda a necessidade de se preparar para quando estiver cursando a disciplina de Cálculo. Na sequência destaca que a utilidade de Pré-Cálculo é tanto no agora quando após o Cálculo. Isso nos permite compreender que há uma dinâmica de consolidação dos conteúdos de Pré-Cálculo como revisão de álgebra dos anos escolares e simultaneamente o alinhamento dessa revisão para contemplar Cálculo.
Forseth et al. (2011) expuseram a controvérsia entre quais seriam os assuntos que deveriam estar num livro de Pré-Cálculo (nos Estados Unidos) e notificaram a escolha de alistar todos os conteúdos que consideraram importantes serem trabalhados, ao mesmo tempo em que expõem algumas diferenças entre os assuntos em Pré-Cálculo e Cálculo, apresentadas no Quadro 2:
O exposto acima sobre assuntos e abordagens correspondentes às disciplinas, articulado com os assuntos tratados nos livros, nos permite entender que há de fato conteúdos que são revisão de tópicos de álgebra bem como assuntos que são apresentação de conteúdos demandados em Cálculo. Nosso entendimento em relação a isso é que os autores têm se dedicado a estabelecer as relações e distinguir as mudanças entre os conteúdos tratados em ambos. Os conteúdos são abordados e focados utilizando termos que buscam evitar confusões posteriores e, sobretudo, fundamentar as relações que precisam ser construídas em termos de conhecimentos de Cálculo.
A respeito dos conteúdos arrolados nos livros, as ampliações e revisões buscaram elencar os assuntos fundamentais da álgebra escolar visando a preparação dos estudantes nos temas em que podem ter dificuldades, realçando a necessidade de continuarem estudando, já que Pré-Cálculo quer deixar claro para o estudante que ele precisa se preparar para quando estiver cursando Cálculo. Nos termos de Kelley (2014, p. xii) “O único objetivo de jogar um “pré” na frente de uma palavra é dizer: “Ei, no final das contas o que você está fazendo será importante, mas por enquanto não é.” Os embates enfatizados pelos autores nas escolhas realizadas em suas obras variaram entre decidir quais assuntos devem constar nos livros, passando pela abordagem dos mesmos e pela forma de apresentação de exercícios, adentrando em discussões não fechadas quanto aos assuntos específicos do Cálculo e que são plausíveis de serem trabalhados em Pré-Cálculo.
Quanto aos conteúdos de revisão que consideram importantes abarcar em seus livros, os autores resolveram essa questão criando capítulos independentes e deixando a cargo dos leitores a tarefa de decidirem quais estudar visando seus próprios objetivos. Isso sugere que o perfil de estudante que os autores visualizam se direciona para alguém com um grau elevado de autonomia para os estudos, de forma que possuam discernimento quanto às suas próprias dificuldades e desenvolvam, junto à obra, habilidades e competências para o sucesso.
Podemos interpretar a respeito dos conteúdos dos livros de Pré-Cálculo que, por um lado, as dúvidas compartilhadas pelos autores a respeito dos assuntos da Educação Básica a serem sumarizados nos livros, com o passar do tempo, foram se dizimando e as indagações que ainda persistem sobre conteúdos se referem a assuntos de fronteira com o Cálculo. Dessa forma, pode-se dizer que os livros se influenciam mutuamente e, embora seja possível notar diferentes afiliações a concepções que se presentificam nos livros, todos partilham o mesmo interesse: treinar o leitor para resolver problemas de álgebra direcionando-os para o desenvolvimento da própria área do Cálculo. As dúvidas sobre os assuntos de revisão advêm do desejo de tratar de todos os assuntos da Escola Básica que necessitam ser revisitados. As novas dúvidas, aquelas sobre os conteúdos que são suficientes aos estudantes de Pré-Cálculo, são oriundas de influências de outros livros.
Quanto à forma de ensino dos conteúdos, destacam-se duas vertentes: aquela que expõe os conteúdos, depois apresenta exercícios resolvidos ou propostos; e aquela que apresenta os conteúdos por meio de problemas e propõe questões com mais de uma solução junto aos problemas que utilizam para explorar os assuntos.
No que diz respeito à apresentação dos conteúdos, tendo em vista os seguintes aspectos: a abordagem dos temas por meio de problemas, a forma espiralada de exposição dos conteúdos, a procura por apresentar os resultados como decorrência de outros e a linguagem correta, buscando ser divertida e envolvente, porém não formal – entendemos que os autores reconhecem a necessidade de envolver os leitores nos estudos buscando que eles vejam exemplos, explicações e aplicações dos assuntos para desenvolverem habilidades algébricas consideradas fundamentais no horizonte das necessidades conceituais e procedimentais antevistas em Cálculo, para que mergulhem nos estudos e se percebam aprendendo.
6 Das escolhas e argumentações para o público-alvo
Forseth et al. (2011, p. 01) afirmam “este é um livro não discriminatório, de oportunidades iguais. Você é convidado se for um gênio ou se (como nós) precisa de receita até para fazer gelo”. Desejam, ainda “ensinar Pré-Cálculo da maneira menos dolorosa possível”, com capítulos independentes em termos de conteúdo, começando e terminando em si mesmos e permitindo assim o estudo conforme a necessidade.
De outra parte, Gomes (2018) afirma que se direciona para jovens ingressantes no Ensino Superior e para interessados em analisar dados, construir tabelas e gráficos ou criar modelos matemáticos. Sinaliza também que, buscando atingir uma audiência maior de leitores, apresenta por meio de explicações e exemplos como os resultados foram obtidos, evitando aspectos formais. Escolha semelhante fez Boulos (1999), que optou por instituir uma linguagem direta e simples que acrescentou em cada capítulo erros comuns percebidos por ele na prática com Pré-Cálculo.
Seguindo sobre o público vislumbrado pelos autores, Axler (2016) anuncia, já de início, que os estudantes só fazem os exercícios solicitados pelo professor e não leem o livro, e isso pode ser prejudicial para a aprendizagem. Ele orienta a leitura integral do livro, o qual segundo ele sofreu mudanças visando deixá-lo mais amigável e o estilo de escrita foi planejado para induzir à leitura e concretizar os conceitos, uma vez que contém explicações e exemplos com exercícios com única resposta correta e outros com mais de uma solução, provocando os alunos a trabalharem ativamente com variados problemas. Conforme o autor entende, a abordagem proposta é diferente da edição anterior por trabalhar os conceitos principais por meio de explicações e apresentando-os em diferentes e inusitados contextos. Ele ressalta que os assuntos abordados foram criados por outros matemáticos e que a parte que lhe diz respeito é o modo como os enfoca.
Para Kelley (2014) o livro visa ajudar os alunos de disciplinas de Pré-Cálculo a passarem pelos obstáculos até chegarem em Cálculo. A Figura 1 mostra a álgebra como a primeira porta a ser aberta antes de chegar no Pré-Cálculo que antecede o CDI.
Kelley (2014, p. 01) enfatiza que é necessário aprender os termos algébricos e os significados correspondentes ou, como explica, “Antes de começar a estudar Pré-Cálculo, você precisa dominar álgebra plenamente” (p. 01). Assim, ele explicita que o livro revisa as habilidades de álgebra que o estudante precisará depois. A revisão se dá pela apresentação da origem dos resultados que visa auxiliar nas situações confusas tornando-se, conforme o próprio autor afirma, uma pílula de ânimo quando o estudante se perceber aprendendo.
Safier (2011) foca nos alunos dos cursos superiores de exatas que se sentem despreparados e inseguros nas disciplinas iniciais de matemática da graduação. Estes alunos, ele acredita, buscam criar um conjunto coerente e organizado de entendimentos, fundamentalmente de funções e gráficos, desenvolvendo habilidades algébricas. Assim, sua escolha é pela apresentação dos assuntos por meio de problemas organizados inteligivelmente, aumentando de complexidade com o avanço dos estudos, porém seguindo uma ordem lógica que busca encorajar os alunos a prosseguirem aprofundando no assunto e desenvolvendo novas ideias sempre tendo no horizonte as compreensões necessárias dos conhecimentos esperados.
Do exposto acima, os livros de Pré-Cálculo consideram os temas da Educação Básica tidos como fundamentais para a Álgebra, avaliam as dificuldades dos alunos e articulam tais conhecimentos com as necessidades suscitadas no Ensino Superior. Levam a bom termo as estratégias de ensino, particularmente, a habilidade de resolver problemas. O uso de calculadoras apresentou-se em apenas uma proposta que foca em levar os alunos a perceberem a insuficiência do recurso, destacando que ela e seu uso é uma questão em discussão.
O trabalho de Conceição et al. (2012, p. 59) expõe como conclusão última “Calculadoras são para calcular. As F-Tool são para ensinar e aprender” e isso nos permite questionar se as ocupações prévias dos autores não estão voltadas a provocar o envolvimento dos alunos com os temas, porém sem lançar mão de tecnologias. Se por um lado os autores têm certeza sobre quais assuntos devem ensinar, por outro têm dúvida sobre uso de tecnologias para intermediar a aprendizagem em Pré-Cálculo. Enfim, um estudante/leitor destes livros de Pré-Cálculo precisa saber resolver problemas sem a ajuda de calculadoras.
Em nosso entendimento, o pouco incentivo da parte dos autores em relação ao uso das tecnologias no ensino, e ao uso das alternativas metodológicas, não é significativo, no sentido de apresentar uma preocupação que deva gerar alerta, uma vez que, segundo Valente e Grotti (2020, p. 97), os professores que utilizam estes livros, quando formados no campo da Educação Matemática, estão circunscritos num movimento de repensar a formação do professor de matemática que está em consonância com os entendimentos a respeito do ensino de Cálculo. Conforme afirmam Oliveira e Raad (2012), o insucesso da aprendizagem do CDI é associada mais a um sistema didático constituído por prática de ensino e estudo tradicionais do que a livros utilizados pelos professores.
As pesquisas de Magalhães (2013) e Valente e Grotti (2020) nos permitem acreditar que os professores, quando formados em cursos de pós-graduação em Educação Matemática, em suas atuações profissionais têm reconfigurado as disciplinas, e tal reconfiguração está alinhada com os consensos da área da Educação Matemática. Valente e Grotti (2020, p. 100) conjecturam que uma nova organização do ensino de CDI por meio das tecnologias está em marcha e consideram que “um CDI que busca uma articulação mais direta com a matemática elementar, por meio da visualização, secundarizando aspectos algébricos considerados de puro formalismo desnecessário às práticas pedagógicas do futuro professor da Escola Básica.”
As pesquisas de Olimpio Junior (2006), Vieira (2013), Melo (2002) e Martins Júnior (2015) argumentam e tornam indiscutível na comunidade da Educação Matemática que o ensino de Cálculo sem o uso da informática é inaceitável. Mesmo em direções diversas, todos concordam que os sistemas de computação algébrica sobrepujam os aspectos procedimentais, que na contemporaneidade a visualização rápida proporciona oportunidades de compreensão dos conceitos do Cálculo e não somente isso, “o benefício da visualização, dos aspetos geométricos leva a considerar a disciplina de modo “mais prático”, algo mais importante para a formação dos professores da Escola Básica.” (Martins Júnior, 2015, p. 101). Entendemos que tais aspectos, cedo ou tarde, terão seus reflexos nas próprias disciplinas e livros de Pré-Cálculo.
7 Das concepções de ensino, aprendizagem e matemática
Gomes (2018) expõe que a Matemática afeta nossa vida cotidianamente, uma vez que ela é fundamento de grande parte das ciências e sustenta decisões político-sociais. O autor distingue que para aprender não basta acompanhar a resolução é preciso entender o enunciado e a lógica utilizada na resolução. Ele expõe também que o progresso pessoal e profissional reflete o conhecimento, que por sua vez, permite que se alcance o pensamento matemático independente, que, por meio da lida com problemas matemáticos pode ser alcançado bem como pode se desenvolver a intuição matemática.
No horizonte dos leitores vislumbrados, Gomes (2018) têm alunos recém-saídos da Educação Básica e leitores independentes que precisem tratar, expressar e criar modelos a partir de dados. Podemos interpretar que, para este autor, a aprendizagem do estudante pode ser alcançada por meio da resolução de problemas, o que evidencia a necessidade do envolvimento e desenvolvimento de estratégias, as quais devem ser avaliadas, pelo próprio estudante. Sendo assim, a concepção de aprendizagem que está em jogo no livro é atrelada à prática do estudante.
Boulos (1999) apresenta a perspectiva da Matemática como um jogo em que a aprendizagem depende do envolvimento ativo dos estudantes com o livro pois, segundo ele, por mais didático que seja, nenhum livro pode trazer a aprendizagem por si só. O caminho para aprender é feito de uma rotina estudos diários fora da sala, buscando antecipar-se à aula que será dada, de resolução de exercícios e de tirar dúvidas. De nosso ponto de vista, Boulos (1999) entende a aprendizagem como dependente de estudos antes da aula, da resolução de exercícios, acompanhamento da aula e tirar dúvidas com o professor, o que evidencia o papel do professor na aprendizagem como aquele que esclarece dúvidas e que está junto para que o estudante construa sua própria aprendizagem.
Axler (2016) anuncia seu entendimento de que a aprendizagem depende de o aluno refletir e interiorizar as definições, resolver muitos exercícios e problemas e buscar inventar exemplos. Na medida em que sugere o estudo em grupo, podemos entender que a aprendizagem para ele se dá também no diálogo com outros alunos. Este autor vislumbra um cenário de alunos que resolvem os exercícios solicitados e somente eles, assim elabora um livro para angariar leitores para todo o livro por meio da abordagem que ele afirma contrastar com outras obras do gênero, por conter um número bem maior de explicações. Desse modo, este livro permite que os professores de Pré-Cálculo atuem mais tirando dúvidas dos alunos do que explicando os conteúdos.
Continuando, a respeito do que os livros expõem sobre os direcionamentos que são propostos, Safier (2011) expõe que elaboraram o texto para ser material complementar para as disciplinas de Pré-cálculo do Ensino Superior. Entendemos que, na contraparte estaria a disciplina de Pré-Cálculo sendo desenvolvida por um professor e, este material buscaria oferecer ao aluno oportunidade de mais autonomia em seus estudos e de desenvolvimento de novas ideias. Assim, tanto o ensino de Pré-Cálculo pelo professor quanto os estudos individuais e a resolução de problemas estão em jogo quando este autor fala em aprendizagem.
Por sua vez, em Forseth et al. (2011), o livro deve oferecer oportunidades para os alunos aprenderem Pré-Cálculo. Dada a estrutura, o planejamento de capítulos independentes e a explicitação de que são cônscios que nem todos são entusiasmados pela matemática como os próprios autores, interpretamos que a aprendizagem é influenciada pelos estudos para aprender ou para reaprender. Este livro se considera uma possibilidade de ser lido por pais para que eles possam ajudar seus filhos a entender os assuntos e para ser estudado por estudantes visando melhorar a performance na faculdade.
Por fim, Kelley (2014) expõe que a Matemática é uma atividade individual a ser aprendida por meio da labuta intelectual de cada estudante que se inicia no livro revisando assuntos de Álgebra. Alinhado à esta perspectiva há um capítulo em que os próprios alunos possam saber o que compreendem e o que não sabem fazer. Aparece uma anedota em que a professora faz papel de um policial bom que anuncia aos estudantes que vai salvá-los da ignorância e que eles devem se preparar para abrirem o cérebro e colocar tudo para dentro. Diante disso, entendemos que, do leitor para o qual o livro foi direcionado, se espera dedicação e estudos individuais aprendendo com o livro e impulsionado pela necessidade de aprender para não sucumbir nos semestres futuros do curso. A professora, no feminino, é por conta do autor e nos permite diversas interpretações, sendo que a que mais faz sentido neste momento é a que seria mulher por não ser docente de disciplina específica da matemática. A pesquisa de Nunes (2021, p. 27-28) expõe que “Das 15 universidades localizadas no Nordeste, temos 23 cursos oferecidos espalhados pelos campi, desses, apenas 6 tem mais de 40% de professoras no corpo docente, 15 têm menos de 30% de professoras e uma dessas também não conta com nenhuma professora”. Embora Michael Kelley não seja brasileiro, a desigualdade de gênero é uma realidade global.
A preocupação com a proposta e a abordagem também aparece nos exercícios escolhidos. Boulos (1999) e Gomes (2018) informam que os trazem em número moderado e na medida da necessidade, pois o tempo disponível para suas resoluções é escasso. Boulos (1999) destaca que os exercícios são parecidos com os exemplos dados para que os estudantes consigam responder sozinhos. Para cada problema, (para os quais a resolução completa é apresentada e há mais de uma resposta correta), em Axler (2016), há um exercício correspondente (com única resposta correta) requerendo o uso das mesmas técnicas e ideias, isso também, segundo ele, para que os estudantes consigam respondê-los sem auxílio de outra pessoa. Em geral, os exercícios e os problemas variam em graus de dificuldade e são propostos com dois objetivos diferentes, quais sejam, uns para aprimorar as habilidades de manipulação algébrica e outros para possibilitar a compreensão conceitual e não apenas do algoritmo. Há também exercícios planejados que requerem o uso da calculadora e outros que os façam refletir sobre a insuficiência do recurso para expressar o resultado. Safier (2011) vale-se de problemas resolvidos para apresentar os conteúdos e desenvolver o assunto, e de problemas complementares com respostas para aprofundá-lo e desenvolver novas ideias.
Percebe-se que os autores lançam mão de suas concepções quanto ao que acreditam ser um facilitador para o estudante, direcionando para a estrutura e organização de suas obras. Dessa forma, suas escolhas são permeadas pelas compreensões quanto ao que e ao como apresentar determinado tema.
8 Considerações
A pesquisa aqui enfocada se debruçou sobre as Introduções de livros de Pré-Cálculo visando explicitar o dito pelos autores e compreender aspectos intrínsecos às suas perspectivas e intencionalidades. Da análise fenomenológica realizada, depreendemos quatro categorias maiores de análise, que se referem à: do porquê da existência destes livros e dos objetivos dos autores ao proporem-nos; quais conteúdos estão presentes; sobre o público-alvo e as escolhas realizadas para alcançá-los; e, concepções de ensino e aprendizagem sumárias nas visões dos autores.
Entendemos que a abertura à escuta dos professores de Cálculo e as preocupações com os baixos índices de aprovação na disciplina estão na esteira da elaboração de tais livros, os quais trazem apreensões quanto aos impactos das reprovações e, consequentemente, do abandono dos cursos pelos universitários. A respeito dos conteúdos da Educação Básica sumarizados nos livros, eles se localizam na fronteira daqueles que serão tratados no Cálculo, ainda que não haja um consenso quanto ao que é, efetivamente, “essencial” ao graduando para o enfrentamento das disciplinas de Cálculo.
Pode-se dizer que os livros se influenciam mutuamente, embora seja possível notar diferentes opiniões e concepções quanto ao que e como abordar. Destaca-se, de modo geral, o anseio em treinar o aprendiz a resolver problemas de Álgebra, direcionando-os para o sucesso no Cálculo, com duas vertentes principais quanto à forma como isso é proposto: uma que apresenta a explicação, exercícios resolvidos e, depois, exercícios propostos; e outra, que apresenta os conteúdos por meio de problemas e propõe questões com mais de uma solução, visando uma abordagem explorativa dos assuntos. Nota-se também o baixo incentivo à articulação do conteúdo dos livros com as tecnologias, ou outros recursos, como um caminho metodológico para o ensino.
Os livros de Pré-Cálculo derivam das preocupações dos autores que elaboram e propõem enfoques e estratégias que consideram viáveis, na intenção de aliviar tensões entre as diferentes partes envolvidas. Seja a tensão entre os novos conhecimentos matemáticos produzidos, o Cálculo e a aprendizagem dos assuntos que leve a conhecer melhor tal área; seja entre equilibrar a revisão dos temas fundamentais da Educação Básica, o tempo disponível ao graduando e as estratégias adequadas; ou, seja ainda, a tensão entre os conteúdos a serem úteis no Pré-Cálculo e, posteriormente, no Cálculo, focando nos antigos e nos novos conhecimentos, suscitando a necessidade de ambos e oferecendo elementos para a criação de uma cultura pessoal de estudos que envolva certa percepção de “auto” aprendizagem pelos estudantes.
Vale enfatizar que a análise dos livros, aqui apresentada, pode ser confrontada em meio à prática daqueles que os adotam, abrindo discussões quanto ao modo como se articulam os demais recursos e estratégias dos quais os professores lançam mão, sinalizando novas pesquisas que podem contribuir com as discussões sobre o Pré-Cálculo, no confronto entre as expectativas relacionadas com os livros e sua implementação nos espaços universitários. Destaca-se ainda que, nas últimas duas décadas, vêm ocorrendo variações ou linhas menos definidas circunscrevendo os conteúdos de Pré-Cálculo na correlação com a Escola Básica, bem como ainda é movediça a fronteira entre Pré-Cálculo e Cálculo, o que responde às articulações da área de conhecimento que busca ser protagonista da discussão sobre o seu ensino: a Matemática. Nesse aspecto, evidencia-se o destaque dado à Álgebra.
Por fim, retomamos as motivações para a submissão deste manuscrito e a importância dos Programas de Pós-Graduação no estabelecimento de parcerias no âmbito da prática e das teorizações que são produzidas pelos seus egressos, promovendo a elaboração de novos saberes e pontos de vista, o maior alcance dos diálogos estabelecidos e a constituição da própria área que, em sua fluidez, se determina.
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Fonte: 