Quadrados latinos obtidos por meio de técnicas de confundimento em ensaios fatoriais

Latin squares obtained by confounding techiniques in factorial designs

Quadrados latinos obtidos por meio de técnicas de confundimento em ensaios fatoriais¹

Maria Cristina Stolf Nogueira²*; José Eduardo Corrente²; Sônia Maria de Stefano Piedade²

²Depto. de Ciências Exatas - USP/ESALQ, C.P. 9 - CEP: 13418-900 - Piracicaba, SP.

*Autor correspondente <[e-mail]>

RESUMO: Os esquemas em quadrado latino tem se mostrado muito úteis na experimentação agronômica e zootécnica. O modo de obtenção dos quadrados latinos em geral segue regras algébricas de construção a partir de operações básicas sobre o conjunto de números inteiros positivos, mais especificamente, sobre as classes de resto módulo (m). Da mesma forma, considerando um ensaio instalado em esquema fatorial, ao se usar a técnica do confundimento, formam-se tantos quadrados latinos ortogonais quantos forem os níveis de tratamento. Tais esquemas conduzem a repetições ortogonais de quadrados latinos. Assim, o objetivo deste trabalho é abordar a aplicação desta técnica de modo a facilitar o planejamento. É apresentado um exemplo de um ensaio fatorial 3 x 3 x 3 sem repetições.

Palavras-chave: quadrado latino, confundimento, ensaios fatoriais

Latin squares obtained by confounding techiniques in factorial designs

ABSTRACT: Latin square designs have been very useful in agriculture and animal sciences. They are, in general, obtained following algebrical rules from basic operations for positive integers and the m-modular number system. In this way, from an experiment installed in a factorial scheme, it is possible to obtain as many latin squares as the levels of treatments, through the use of a confounding technique. These schemes lead to orthogonal replications of latin squares. The aim of this work was to evaluate this technique in order to facilitate plannings. An example of a 3 x 3 x 3 factorial design without replications is presented.

Key words: latin square, counfounding, factorial design

INTRODUÇÃO

Um delineamento experimental é denominado de quadrado latino pxp, segundo Mead (1988), quando as pxp unidades experimentais são distribuídas em uma estrutura de classificação de dupla-blocagem, isto é, os blocos são tomados nos sentidos horizontal e vertical respectivamente. Sendo os p blocos tomados em cada sentido, com p unidades experimentais, e cada um dos p tratamentos considerados ocorre uma única vez em cada bloco estruturado em cada sentido.

O modelo matemático e a análise da variância para o quadrado latino são simples extensões do delineamento em blocos casualizados, onde os blocos são estruturados nos dois sentidos e são tradicionalmente referidos como linhas (estrutura de blocos no sentido horizontal) e como colunas (estrutura de blocos no sentido vertical). O modelo matemático para variável resposta referente a i-ésima linha com a j-ésima coluna, de acordo com Mead (1988), é o seguinte:

Os valores referentes à variável resposta referem-se somente para duas das três classificações de linhas, colunas e tratamentos. Isto é, cada tratamento (t_k(ij)) está presente em cada linha e também está presente em cada coluna, e ainda, cada linha ocorre em cada coluna. Mas somente duas classificações são requeridas para classificar unicamente cada observação. O índice k está associado aos tratamentos e é definido completamente pelos índices i e j de linhas e colunas; esta dependência é apresentada pela notação k(ij). De acordo com Mead (1988) os efeitos do modelo podem ser estimados (como solução do sistema de equações normais) ortogonalmente através da aplicação das restrições,

Confrontando um experimento fatorial pxpxp com um quadrado latino pxp, segundo Winer (1971), observa-se a existência de uma relação entre eles, a qual pode ser notada no seguinte exemplo: seja um experimento fatorial 3x3x3, que quando fracionado origina um conjunto de 3 quadrados latinos 3x3 balanceados. Com o objetivo de ilustrar, considere a seguinte representação de um fatorial 3x3x3,

Tem-se que X representa as combinações dos níveis dos fatores A, B, e C que irão formar um quadrado latino 3x3; Y representa as combinações dos níveis dos fatores A, B e C que irão formar um segundo quadrado latino 3x3 e Z representa as combinações dos níveis dos fatores A, B e C que irão formar um terceiro quadrado latino 3x3, constituindo um conjunto de quadrados latinos balanceados.

As combinações dos níveis dos fatores A, B e C, representadas por X, podem ser agrupadas da seguinte maneira:

a₀b₀c₀ a₁b₀c₂ a₂b₀c₁ a₀b₁c₁ a₁b₁c₀ a₂b₁c₂ a₀b₂c₂ a₁b₂c₁ a₂b₂c₀

Esta fração 3x3 do fatorial 3x3x3, considerando os níveis do fator A (a₀, a₁ e a₂) como linhas e os níveis do fator B (b₀, b₁ e b₂) como colunas e os níveis do fator C (c₀, c₁ e c₂) como os tratamentos, pode ser representada pela seguinte estrutura

que é a estrutura de um quadrado latino.

Nota-se ainda que, de maneira análoga, as combinações representadas por Y e Z representam as estruturas dos outros dois quadrados latinos.

Assim, verifica-se que existe uma íntima relação entre as frações 3x3 obtidas de um esquema fatorial 3x3x3 correspondentes aos componentes da interação AxBxC, que para o caso ilustrativo consiste naquelas combinações dos níveis dos fatores A, B e C que satisfaçam a relação

x₁ + 2x₂ + x₃ = 0,1,2 (mod 3), (1)

isto é,

Os experimentos fatoriais completos são balanceados em relação a todas as combinações dos níveis dos fatores, isto é, a_i ocorre em combinação com todos os b_j e c_k e também com todas as combinações possíveis (bc)_jk para i, j, k = 1 , ...,p. Já os quadrados latinos, originados por meio da relação (1), são parcialmente balanceados, isto é, a_i ocorre em combinação com todos os b_j e c_k, mas não ocorre em combinação com todos os possíveis pares (bc)_jk para i, j, k = 1, ..., p. Desse modo, um quadrado latino forma uma estrutura de dados balanceado com respeito aos efeitos principais, mas é parcialmente balanceado em relação à interação com dois fatores.

O modo de obtenção do quadrado latino através da relação (1) origina-se, de acordo com Birkoff & Bartee (1970), de um sistema numérico modular construído através das classes de resto módulo (m) segundo uma operação previamente definida.

MATERIAL E MÉTODOS

No planejamento seguindo um esquema fatorial, são exigidos todos os tratamentos (originados através das combinações dos níveis dos fatores de tratamentos), o que acarreta um número excessivo de tratamentos, dificultando o controle local. Com o objetivo de controlar o erro experimental, os tratamentos podem ser subdivididos em grupos de tratamentos. Esses grupos de tratamentos são chamados de blocos.

A idéia principal é manter os blocos com o menor tamanho possível, de modo a manter a homogeneidade dentro deles.

Para obter esse controle adicional, de acordo com Winer (1971), perde-se alguma informação relativa à interação de maior ordem (ou a de menor interesse). A técnica utilizada com este objetivo é o confundimento.

Desse modo a técnica do confundimento aplicada em uma estrutura fatorial 3x3x3, por exemplo, consiste em confundir (3 - 1) = 2 graus de liberdade do efeito de blocos (os blocos aqui tem o significado de grupos de tratamentos) com algum dos efeitos envolvidos no modelo fatorial. Obtêm-se, assim, três frações 3x3 desta estrutura fatorial 3x3x3. No estudo em questão, foram confundidos 2 graus de liberdade do efeito de blocos com a interação AxBxC.

A relação utilizada para aplicar a técnica de confundimento foi

x₁ + 2x₂ + x₃ = 0,1,2 (mod 3),

que corresponde a notação de Yates, ABC(X), de acordo com Winer (1971).

Desse modo, tem-se a geração de três frações 3x3 que, fixando o fator A como linhas, o fator B como colunas e o fator C como tratamentos, obtendo-se uma estrutura correspondente a três quadrados latinos.

A estrutura obtida é balanceada em relação aos efeitos principais e parcialmente balanceada para tratamentos em relação à interação de linhas com colunas.

Os esquemas da análise de variância para os três quadrados latinos são apresentadas a seguir nos TABELAS 1 e 2, considerando as somas de quadrados Tipo I e Tipo III do "SAS". Com o objetivo de ilustrar o comentário feito anteriormente, incluiu-se nas fontes de variação a interação de linhas com colunas (AxB).

Convém chamar a atenção para a interação de linhas e colunas, com 2 graus de liberdade, considerando a SQTipo I, como será mostrado posteriormente, que refere-se a soma de quadrados do resíduo, da análise da variância de um modelo em quadrado latino.

Invertendo a seqüência na entrada das fontes de variação referentes a tratamentos (C) e a interação de linhas com colunas (AxB), e considerando as somas de quadrados Tipos I e III do "SAS", obtêm-se o esquema da análise da variância dado na TABELA 2.

Observa-se pelas TABELAS 1 e 2 que, considerando a SQ Tipo I:

SQ (AxB | m, A, B, C ) = SQ (AxB | m , A, B ) ¾ SQ(C | m , A, B),

sendo que:

SQ (AxB | m , A, B, C) corresponde a soma de quadrados da interação de linhas com colunas (AxB) ajustada para a média, linhas (A), colunas (B) e tratamentos (C), com 2 graus de liberdade.

SQ (AxB | m, A, B) corresponde a soma de quadrados da interação de linhas com colunas (AxB) ajustada para a média, linhas (A) e colunas (B), com 4 graus de liberdade.

SQ (C | m, A, B) corresponde a soma de quadrados de tratamentos (C) ajustada para a média, linhas (A) e colunas (B), com 2 graus de liberdade.

RESULTADOS E DISCUSSÃO

Consideremos, como ilustração, o conjunto de dados da TABELA 3, extraído de Gomes (1987), obtidos de um experimento instalado no esquema fatorial 3x3x3, com confundimento, referente a notação de Yates, ABC(X), de acordo com Winer (1971).

Os tratamentos apresentados nos blocos 1, 2 e 3 foram distribuídos de acordo com a aplicação das relações (AB²C)₀, (AB²C)₁ e (AB²C)₂ respectivamente. Cada bloco corresponde a uma fração 3x3, que foi tomada como uma estrutura de quadrado latino, sendo que os níveis do fator A (0, 1, 2) foram considerados como linhas, os níveis do fator B (0, 1, 2) foram considerados como colunas e os níveis do fator C (0, 1, 2) foram considerados como tratamentos.

A seguir é apresentado a TABELA 4, referente aos resultados, para o quadrado latino 1 (bloco 1), da análise da variância considerando a SQ Tipo I do "SAS". A seqüência de entrada dos efeitos seguiu o modelo matemático tradicional do quadrado latino acrescentando a este, ao invés do erro experimental, o efeito da interação de linhas com colunas (AxB).

Nota-se que o efeito da interação de linhas com colunas (AxB) corresponde ao resíduo ou o erro experimental na análise da variância do quadrado latino.

Invertendo a seqüência da entrada correspondente aos efeito de tratamentos (C) e da interação de linhas e colunas, obteve-se o seguinte resultado que consta na TABELA 5.

Pelos resultados apresentados na TABELA 5, observa-se que o efeito da interação de linhas com colunas (AxB) foi ajustado para a média, linhas (A) e colunas (B) apenas, enquanto que o efeito de tratamentos (C) foi ajustado para todos os efeitos inclusive para a interação de linhas com colunas (AxB). Devido a esse fato, nota-se que não restou graus de liberdade suficientes para detectar o efeito de tratamentos (C). Este fato é explicado pela maneira como o modelo foi ajustado, revelando, assim, que o efeito de tratamentos está aliased com o efeito da interação de linhas e colunas. Isto ocorre, por causa do balanceamento parcial dos tratamentos com a interação de linhas e colunas.

Verifica-se, ainda, que o mesmo ajuste para o efeito de tratamentos (C) ocorre quando se aplica a SQ TIPO III, independente da seqüência aplicada, como é apresentado nas TABELAS 6 e 7. E também observa-se que os resultados para a interação de linhas e colunas é igual ao apresentado na TABELA 4, independente da seqüência,.

Analogamente, se obtém as mesmas análises para os blocos de tratamentos 2 e 3 , referente a aplicação das relações (AB²C)₁ e (AB²C)_{2 ,} chegando-se as mesmas conclusões do que foi observado para o bloco de tratamentos 1, (AB²C)₀ .

CONCLUSÕES

• É possível através da técnica do confundimento gerar estruturas de quadrados latinos balanceados.

• A seqüência de entrada dos efeitos do modelo, incluindo a interação de linhas com colunas, acarreta mudanças nos resultados das somas de quadrados, mas revelou que a SQ (AxB | m, A, B, C),referente a soma de quadrados da interação de linhas com colunas ajustada para todos os efeitos do modelo é a soma de quadrados do erro experimental (resíduo) para o quadrado latino.

• O erro experimental para o quadrado latino é a parte não confundida da interação de linhas com colunas com o efeito de tratamentos.

Recebido em 13.09.99

Referências bibliográficas

• BIRKOFF, G; BARTEE, T.T. Modern applied algebra New York: McGraw-Hill Book, 1970.
• GOMES, F.P. Curso de estatística experimental. 12.ed. Săo Paulo: Nobel, 1987. 403p. Săo Paulo.
• MEAD, R. The design of experiments: statistical principles for practical applications. Cambrige: University Press, 1988. 618p.
• WINER, B.J. Statistical principles in experimental desing. 2.ed. New York: McGraw Hill, 1971. 897p.
• SAS INSTITUTE. SAS/STAT user's guide. 4.ed. Cary: Statistical Analisys System Institute, 1990. 1675p.

¹

Trabalho apresentado na 44

^a. Reunião Anual da Região Brasileira da Sociedade Internacional de Biometria e 8

^º Simpósio de Estatística Aplicada à Experimentação Agronômica - Botucatu, 1999.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  21 Set 2000
• Data do Fascículo
  Set 2000

Histórico

• Recebido
  13 Set 1999