Uso de algoritmos genéticos para definição de mix de produção em simulador de plano de negócios

Using genetic algorithm for calculating the production mix in business plan simulator

Resumo

Algoritmos Genéticos (AG) constituem-se numa técnica heurística de busca de soluções que pode ser aplicada em uma variedade de problemas na área de gestão da manufatura e estoques. Este artigo detalha a aplicação de um AG implementado em um simulador de plano de negócios, cujo objetivo é a determinação aproximada do mixde produção envolvendo mais de um produto, considerando ainda os preços estimados no mercado e restrições via gargalos de produção. O simulador contém os dados referentes à estrutura de matéria-prima e ao fluxo de produção, permitindo o cálculo de forma dinâmica do resultado operacional e lucratividade. Uma série de cenários é explorada, nela o AG tende a encontrar soluções heurísticas na tentativa de maximização do lucro líquido, calculado a partir do demonstrativo de resultado gerado no simulador, considerando-se, em alguns casos, um fator de penalização como restrição ao problema.

Palavras-chave:
Algoritmos genéticos; Soluções heurísticas; Planejamento da produção; Simulação de sistemas

Abstract

Genetic Algorithms (GAs) consist of a set of robust search techniques that can be applied in a variety of problems in the ​​manufacturing area and inventory management. This article details the use of a GA in a business plan simulation software, with the aim of determining the optimal mix of production involving more than one product, considering the market prices and restrictions on production bottlenecks. The simulator contains data on the structure of raw material and production flow, providing a dynamic calculation of operating income and profitability. Several scenarios are dealt, with the AG tending to find optimal solutions maximizing the net profit, taking into account production constraints, in some cases, through the use of objective function with a penalty factor.

Keywords:
Genetic algorithms; Heuristic solutions; Manufacturing planning; Systems simulation

1 Introdução

A determinação de mix de produção, na fase de planejamento de manufatura, tem sido objeto de amplos estudos na área de gestão da produção, abrangendo técnicas intuitivas ou gráficas, a programação matemática e o uso de abordagens heurísticas ou estratégias inteligentes. Os métodos intuitivos ou gráficos usam planilhas de cálculo e gráficos para auxiliar na elaboração de um plano agregado de produção, assemelhando-se a um processo de tentativa e erro e dificilmente resultando em um plano ótimo, ainda mais com a consideração de um número grande de variáveis para o problema (Lustosa et al., 2008).

Na área da programação matemática, problemas similares podem ser resolvidos a partir de métodos da programação linear. É necessário que se modele uma função objetivo com comportamento linear. O problema pode incluir um conjunto de restrições, na forma de igualdades ou desigualdades matemáticas, que limitam a região de valores possíveis a serem calculados pela função objetivo. Depois da modelagem, a função objetivo deve ser maximizada ou minimizada por algum algoritmo, tal como o algoritmo do elipsoide, métodos de ponto interior e o clássico algoritmo simplex (Cormen et al., 2002; Moreira, 2008). Métodos de programação não linear podem ser utilizados quando o problema a ser abordado apresenta comportamento que não pode ser modelado apenas a partir de funções lineares. Neste campo, podem-se enumerar técnicas iterativas de busca tais como o método de Newton, descida de gradiente, gradiente conjugado e ainda o uso de multiplicadores de Lagrange (Luenberger, 2004).

No campo das abordagens aproximadas ou heurísticas, o uso de Algoritmos Genéticos (AG) tem se disseminado em uma gama variada de aplicações. Como exemplos de aplicações de AG para determinação de lote econômico, em Sarker & Newton (2002) e Pacheco et al. (2010), são encontrados métodos para determinar o tamanho de lote ótimo, sujeito às restrições quanto ao fornecimento de matéria-prima, trazendo o problema mais próximo do mundo real. Gaafar (2006) empregou AG para encontrar o tamanho de lote variante no tempo, usando codificação de cromossomos diferenciada. Chatfield (2007) apresentou o procedimento Genetic Lot Scheduling, empregando regras simples de sequenciamento de produção aninhada, objetivando a busca do lote mínimo.

Quanto à aplicação de AG em implementações mais complexas, Zhang & Gen (2006) propuseram um AG baseado em operação multiestágio, com uma abordagem diferenciada para o design de cromossomos, na busca de uma ótima seleção de recursos para definição de produtos, sequência de operações e alocação de vários lotes de transferência. Em Zolfaghari & Liang (2003)é apresentado um AG em que um índice de eficácia é utilizado para medida de desempenho e para determinação da função objetivo. Relacionado ao uso de modelos híbridos com AG, Miller et al. (1999) propuseram um AG híbrido para um problema simplificado de uma única máquina, num único estágio, objetivando minimizar a soma do tempo de setup, custos de inventário e de transporte. Em Jenabi et al. (2007), tem-se a proposta de um AG para resolução de um problema de programação da produção e cadeia de suprimentos, em que um fornecedor pode suprir vários itens diretamente nas instalações de montagem. Kim & Jeong (2007) apresentam um AG adaptativo para resolução de um problema de programação que envolve a divisão de diferentes produtos em sublotes e a consideração de máquinas alternativas com diferentes tempos de processamento. Os AG são usados também como uma alternativa para a determinação de células de manufatura, em que se objetiva desenvolver um sistema de manufatura em clustering, no qual partes similares são agrupadas em famílias e máquinas e, por sua vez, agrupadas em células (Trindade & Ochi, 2006; Ribeiro & Lorena, 2000).

A partir de uma proposta diferenciada, este trabalho apresenta a implementação de um AG capaz de resolver de forma heurística o problema de determinação do mixde produção, buscando maximizar o resultado de uma função objetivo de lucro líquido, estimado a partir de um demonstrativo de resultado do exercício fornecido pelo simulador de plano de negócios. Justifica-se este método devido ao uso de uma série de variáveis que não estão associadas diretamente à área de produção, abordando-se de forma sistêmica o problema. Um dos problemas-chave na fase de planejamento de produção, com um grande número de produtos a serem manufaturados, se refere à proporção de cada produto que deve ser programado, em relação à produção total. Esta proporção deve levar em consideração tanto a quantidade a ser produzida quanto o preço estimado de mercado. Por outro lado, a árvore de manufatura dos produtos cadastrada no simulador permite a identificação das restrições relativas ao suprimento de matéria-prima e capacidade instalada de produção. Assim, a implementação do AG é considerada em alguns cenários de simulação calculando-se o lucro líquido penalizado de acordo com a restrição imposta pelos gargalos de produção. As análises se aprofundam no sentido de abordar os aspectos do balanceamento de carga-máquina para fins de planejamento, não extrapolando, entretanto, para programação ou sequenciamento da produção.

Quanto à estrutura do artigo, inicialmente é apresentada a fundamentação teórica sobre AG a partir de alguns conceitos-chave relacionados à técnica, à modelagem conceitual e à modelagem quantitativa do problema e ainda à parametrização do AG. A apresentação dos resultados de simulações efetuadas para o estudo de caso é feita, assim como a análise detalhada dos parâmetros do AG, seguida pelas considerações finais.

2 Algoritmos genéticos

Um AG é uma classe de algoritmo de busca: “[...] é uma variante de busca em feixe estocástica, na qual os estados sucessores são gerados pela combinação de dois estados pais, em vez de serem gerados pela modificação de um único estado [...]” (Russel & Norvig, 2004, p. 115). São denominados também de técnicas de busca heurísticas de otimização global (Linden, 2012). Este processo é análogo ao processo de seleção natural da biologia, baseando-se também no processo de reprodução sexuada. Desta forma, o AG executa uma estratégia de busca múltipla, permitindo a emergência de soluções ótimas dentro do espaço de variáveis de um problema específico.

Os AG iniciam com vários estados gerados de forma aleatória, denominada de população. A população é constituída de indivíduos, em que cada um possui uma representação na forma de uma cadeia de caracteres de tamanho fixo, abrangendo um alfabeto finito. O indivíduo também é denominado de cromossomo, que possui um conjunto de características denominadas genes. Cada posição nesta cadeia de caracteres ou cromossomo é designada como um locus, que contém um valor ou alelo. Geralmente é adotada na composição do cromossomo uma quantidade de genes com um alfabeto binário, com valores 0 (zero) e 1 (um).

A cada geração, os indivíduos são avaliados de acordo com uma função objetivo, também denominada de função de fitness. Os indivíduos que retornam um valor da função objetivo maior em relação aos outros são posicionados ao topo do conjunto de indivíduos. Acontece assim a seleção de pares de indivíduos bem posicionados, com determinada probabilidade, diretamente proporcional ao valor obtido da função fitness.

Para cada par que é selecionado, escolhe-se aleatoriamente a posição de divisão dentro dos cromossomos, chamada de ponto de crossover. As partes dos cromossomos são assim intercambiadas, gerando novos indivíduos que irão compor a nova população. Para cada gene dentro do cromossomo, existe ainda uma probabilidade de mutação, a qual acontecerá modificando-se deliberadamente o valor do gene respectivo.

Dessa forma, o AG básico contém três operadores: seleção, crossover e mutação. A influência de cada operador sobre o AG está relacionada a uma taxa respectiva que deve ser escolhida de forma empírica (variando de zero a um), de acordo com o feedback das execuções. À medida que novas populações são formadas nas gerações seguintes, elas tendem a apresentar valores de fitnesscada vez mais otimizados em relação às gerações anteriores, devendo servir como critério de parada o melhor fitness obtido.

Os AG são técnicas consideradas probabilísticas ao invés de determinísticas. A partir de uma mesma população inicial e possuindo o mesmo conjunto de parâmetros, cada execução pode chegar a soluções diferentes. Não necessitam de uma modelagem matemática rigorosa para a determinação de derivadas e trabalham com uma quantidade grande de pontos. A ideia de modelagem de um AG busca uma relação de compromisso entre a possibilidade de exploração da diversidade (exploration) e o aproveitamento de particularidades (explotation). Os AG ainda se diferenciam de esquemas de busca ou caminhadas aleatórias (random walks) por utilizarem informações pertinentes ao problema sendo tratado, direcionando de certa forma o processo de busca a partir das informações históricas para encontrar novos pontos de busca (Linden, 2012).

A seguir, apresenta-se o estudo de caso com a modelagem do problema de busca do mix de produção, considerando-se, na elaboração do modelo, os aspectos essenciais relacionados à construção de um AG.

3 Estudo de caso

Para demonstrar o uso de AG na determinação de mix de produção, utilizou-se o exemplo de uma fábrica de móveis com dois produtos, configurado no simulador: mesa de centro e cadeira estofada. Justifica-se o uso de dois produtos apenas para fins didáticos, sendo o simulador capaz de calcular um mix de produção com maior número de produtos. Os dois produtos considerados têm o processo de produção bem definido, envolvendo a estrutura de produção (árvore de matéria-prima) e fluxo de processos e postos de trabalho. Assim, em função da necessidade de produção de mais de um produto na linha de produção, a pergunta proposta é: qual é o mix de produção que maximiza a demanda, aliada à minimização de custos e restrita à capacidade instalada de manufatura?

A explosão da quantidade dos produtos na planta de produção gera, por sua vez, a necessidade de matéria-prima e produtos em processo. Os tempos de produção em cada posto de trabalho ou máquina são calculados (mediante uma estimativa razoável ou padrão de produção), permitindo a identificação de gargalos de produção. A partir daí, são apurados os custos, de acordo com as quantidades dos produtos no mix de produção desejado.

A receita relativa aos produtos, bem como os custos de fabricação (pessoas, matéria-prima e outros custos), são confrontados no demonstrativo de resultado do exercício. O resultado da produção pode ser medido por meio de indicadores definidos tais como o lucro bruto (LB), o lucro operacional (LO) ou o lucro líquido (LL). Fazendo-se perturbações na quantidade ou preço dos produtos, o simulador recalcula a necessidade de matéria-prima e de carga-máquina, atualizando o demonstrativo de resultado de forma dinâmica.

Na Figura 1, está a tela de trabalho do módulo do simulador de produção utilizado para o estudo de otimização de mix com AG, apresentando vários submódulos. À esquerda, é mostrada a demanda dos produtos a serem fabricados, juntamente com a estrutura de produção, vista em detalhe nas Figuras 2 e 3, em termos de fluxo de matérias-primas e de processamento. Ao centro, está situada a informação de carga-máquina para cada posto de trabalho, indicando a produtividade esperada, juntamente com o consumo de matéria-prima. À direita, é mostrada a análise econômica a partir de uma série de demonstrativos com o objetivo de calcular indicadores e ao final a análise de sensibilidade. Dentro deste submódulo, encontram-se os parâmetros de definição do AG e o acompanhamento da execução. Um nível maior de detalhe da modelagem é descrito na sequência.

Figura 1
Tela do Simulador de Produção.

Figura 2
Fluxo do processo de produção para o produto considerado (mesa de centro).

Figura 3
Estrutura combinada da árvore de suprimento e do fluxo do processo de produção.

O simulador permite a execução de análises de sensibilidade a partir de incrementos ou reduções sucessivas das variáveis com grau de liberdade no sistema: a quantidade e o preço do produto. Com tal processo, pode-se identificar se, a partir de uma determinada quantidade, existe algum problema de excedente quanto à carga-máquina de estoque de matéria-prima, por exemplo; ou então, no caso de alterações sucessivas no preço, permite o cálculo do lucro líquido a partir de diferentes valores de receita bruta.

3.1 Cálculo da carga-máquina

Para o cálculo da carga-máquina, a Tabela 1apresenta a notação das variáveis utilizadas que serão apresentadas nas Expressões 1 a 4, para o submódulo da carga-máquina.

Tabela 1
Notação das variáveis utilizadas no cálculo de carga-máquina.

Variável	Descrição
qfk	Quantidade do produto final k dentro do mixconsiderado
pfk	Preço dos k produtos finais que fazem parte do mix
qupjk	Quantidade unitária do produto em processo j referente ao produto final k
nmi	Quantidade de máquinas / postos de trabalho
eri	Padrão de produção / estimativa razoável da máquina / posto de trabalho i
hpij	Horas produtivas dos produtos em processo j nas máquinas / postos de trabalho i
ht	Horas totais por turno de trabalho
t	Número de turnos
d	Número de dias úteis
hdi	Horas disponíveis na máquina / posto de trabalho i
pdti	Produtividade na máquina / posto de trabalho i

O cálculo das horas produtivas dos produtos no processo j na máquina i foi efetuado a partir da multiplicação das quantidades do lote de fabricação pelas quantidades unitárias de cada produto em processo, dividida pelo padrão ou estimativa razoável da máquina em questão,

$$h{p}_{ij}=\left(\frac{{\displaystyle \sum _k{\displaystyle \sum _{j}qu{p}_{jk}}}\times q{f}_k}{e{r}_j}\right)$$ (1)

As horas disponíveis para a máquina i são obtidas a partir da disponibilidade de horas totais por turno de trabalho, multiplicada pela quantidade de turnos, dias úteis e quantidade de máquinas ou postos de trabalho à disposição,

$$h{d}_i=t\times ht\times d\times n{m}_i$$ (2)

Assim, a produtividade de cada máquina pode ser obtida mediante o somatório das horas produtivas de cada máquina ou posto de trabalho, dividida pelas horas disponíveis respectivas,

$pd{t}_i={\displaystyle \sum }_j\frac{h{p}_{ij}}{h{d}_i}$ (3)

O gargalo é identificado a partir da constatação da máquina ou posto que possua a maior necessidade de produtividade. Formalizando a restrição como a função g para o problema,

$g\left(q{f}_k\right):\max \left(pd{t}_i\left(q{f}_k\right)\right)<1$ (4)

3.2 Cálculo da matéria-prima

O cálculo da necessidade de matéria-prima, com a notação dada pela Tabela 2, apresentado nas Expressões 5 a 10, considera a quantidade unitária de cada matéria-prima, multiplicada pela quantidade do lote de fabricação, levando em consideração um percentual de quebra ou refugo,

Tabela 2
Notação para o cálculo de matéria-prima.

Variável	Descrição
mkl	Matérias-primas l do produto k
qumkl	Quantidade unitária de matéria-prima l do produto k
bl	Percentual de quebra da matéria-prima l
npl	Necessidade de matéria-prima l
ci	Custo unitário da matéria-prima i
Ci	Custo total da matéria-prima i
Li	Lote estimado de compra da matéria-prima i
CLi	Custo total da matéria-prima i considerando o lote estimado de compra
Ni	Necessidade de matéria-prima i considerando o lote estimado de compra
Ei	Custo do estoque excedente i
Cmp	Custo total de todas as matérias-primas
Ea	Custo total de estoque excedente de todas as matérias-primas

$n{p}_l={\displaystyle \sum }_k{\displaystyle \sum }_{l}qu{m}_{kl}q{f}_k\left(1+b_l\right)$ (5)

Considerando-se um lote estimado de compra (sem se ater aqui aos detalhes de sua obtenção), a necessidade de matéria-prima pode ser calculada a partir da Expressão 6, com uso de arredondamento,

$N_i=\left(\frac{n{p}_i}{L_i}+0.5\right)L_i$ (6)

O custo total de matéria-prima é obtido pela multiplicação do custo unitário pela necessidade, considerando o lote estimado de compra,

$C_i=c_i{N}_i$ (7)

O custo do estoque excedente é dado pela diferença entre a necessidade de matéria-prima calculada da fábrica e a da calculada pelo lote estimado, multiplicada pelo custo unitário da matéria-prima,

$E_i=c_i\left|n{p}_i-N_i\right|$ (8)

Portanto, o custo geral de matéria-prima, somando-se todas as matérias-primas consideradas, é calculado pelo somatório,

$Cmp={\displaystyle \sum }_i{C}_i$ (9)

enquanto que o custo geral de estoque adicional é dado pela soma de todos os custos excedentes,

$Ea={\displaystyle \sum }_i{E}_i$ (10)

3.3 Demonstrativo do resultado

O demonstrativo de resultado começa pelo cálculo da receita bruta, com a notação dada pela Tabela 3, a partir do somatório do total de produtos e preços respectivos,

Tabela 3
Notação para o demonstrativo de resultado.

Variável	Descrição
Rb	Receita bruta
Cc	Custo de comercialização
Fcc	Taxa de custo de comercialização
Rop	Receita Operacional
Cmod	Custo de mão de obra direta
modi	Número de pessoas em mão de obra direta
smodi	Salário pago para a mão de obra direta
emodi	Encargos pagos para a mão de obra direta
moij	Número de pessoas em mão de obra indireta
smoij	Salário pago para a mão de obra indireta
emoij	Encargos pagos para a mão de obra indireta
Cad	Custos adicionais
Lop	Lucro operacional
Df	Despesas fixas
Cmoi	Custo de mão de obra indireta
LLSR	Lucro líquido (sem restrição)
LLCR	Lucro líquido (com restrição)

$Rb={\displaystyle \sum }_{k}q{f}_{k}p{f}_k$ (11)

O cálculo do custo de comercialização é obtido a partir de um percentual sobre a receita bruta,

$Cc=Rb. Fcc$ (12)

O custo da mão de obra direta é calculado a partir do total de pessoas, multiplicadas pelo salário e encargos,

$Cmod={\displaystyle \sum }_{i}mo{d}_i\left(smo{d}_i+emo{d}_i\right)$ (13)

e o custo da mão de obra indireta segue o mesmo procedimento de cálculo,

$Cmoi={\displaystyle \sum }_{j}mo{i}_j\left(smo{i}_j+emo{i}_j\right)$ (14)

3.4 Função objetivo

Para a obtenção da função de fitness para o problema do AG, o cálculo do lucro líquido é feito de acordo com a Expressão 15 a seguir,

$L{L}_{SR}=Rb-Cc-Cmp-Cmod-Cad-Df-Cmoi$ (15)

Substituindo as Expressões 11 a 14, para a receita bruta (Rb), custo de comercialização (Cc), custo de matéria-prima (Cmp), custo de mão de obra direta (Cmod), indireta (Cmoi) e ainda as despesas fixas (Df), com o total dos custos adicionais (Cad) sendo fornecidos diretamente, obtém-se, por fim, as Expressões 15 e 16 para uso no AG:

$L{L}_{SR}=({\displaystyle \sum }_{k}q{f}_{k}p{f}_k)\left(1+Fcc\right)-{\displaystyle \sum }_l{C}_l-{\displaystyle \sum }_{i}mo{d}_i\left(smo{d}_i+emo{d}_i\right)-Cad-Df-{\displaystyle \sum }_{j}mo{i}_j\left(smo{i}_j+emo{i}_j\right)$ (16)

A função objetivo está sujeita à seguinte restrição de carga-máquina, Expressão 17:

$g\left(q{f}_k\right):\text{max}({\displaystyle \sum }_j\frac{h{p}_{ij}}{h{d}_i})<1$ (17)

O fator de penalização para a função objetivo final, simbolizada pela Expressão 18 é calculado a partir de produtividade do gargalo multiplicado por um fator de ajuste K para a unidade monetária.

$L{L}_{CR}=L{L}_{SR}-K. g\left(q{f}_k\right)$ (18)

3.5 Parâmetros do algoritmo genético

As variáveis consideradas para otimização foram a quantidade e o preço dos produtos a serem fabricados, com os valores inicial e final estipulados empiricamente. O problema foi modelado de duas formas:

1. i

   Modelo 1 – apenas com as quantidades dos produtos (códigos Q1-9001 e Q2-9002)

2. ii

   Modelo 2 – com as quantidades e preços dos produtos (códigos P1-9001 e P2-9002)

A cada execução, a população inicial do AG era gerada de forma aleatória. O procedimento de seleção utilizou o algoritmo da roleta, calculando em ordem descendente de ocorrências as populações a cada geração. O ponto de corte da seleção dentro da população ordenada, o ponto de crossover e a taxa de mutação foram calculados utilizando-se a geração de números aleatórios conforme a distribuição de Bernouilli, com o crossoverlimitado a dois genótipos. O AG implementado com base no algoritmo de Goldberg rodou com número fixo de gerações, sem uso de critério de parada (Goldberg, 1989).

A Tabela 4 mostra as faixas de normalização para as variáveis consideradas nos modelos. Internamente, o AG lida com os valores normalizados das variáveis na faixa [0;1], usando como base os valores mínimo e máximo de cada variável. O uso de limites nas variáveis também garante ao AG a utilização de valores dentro da realidade do modelo, não permitindo assim a apresentação de resultados estranhos. Desta forma, para o cálculo da normalização, foi utilizada no AG a Expressão 19:

$X_r=X_0+X_c\frac{\left(X_1-X_0\right)}{\left(2^k-1\right)}$ (19)

em que X_r representa a variável normalizada (quantidade ou preço), X_c o cromossomo expresso na notação binária, [X₀, X₁] a faixa de normalização considerada para a variável e k o comprimento do cromossomo.

Tabela 4
Faixa de valores para normalização no AG.

Variável	Faixa permitida
Q1 (quantidade – produto 9001)	[15000; 18000]
Q2 (quantidade – produto 9002)	[8000; 11000]
P1 (preço – produto 9001)	[57,00; 63,00]
P2 (preço – produto 9002)	[76,00; 84,00]

4 Análise dos resultados

Os gráficos da Figura 4 mostram a evolução de uma execução típica do AG, com o desvio padrão tanto da função objetivo, ou seja, o lucro líquido obtido, quanto das variáveis consideradas para o modelo. Verifica-se que o desvio padrão tende a ser maior nas fases iniciais da execução. No Modelo 1 sem restrição, o AG maximizou a busca demonstrando um grau de variabilidade maior que o modelo com restrição. Os resultados apresentados nesta seção descrevem os modelos de AG utilizando taxas de crossover e de mutação constantes, de acordo com a Tabela 5. Entretanto, a modificação sucessiva do desvio padrão para mais ou menos pode auxiliar como um indicativo na alteração destes parâmetros, inclusive quanto ao número de gerações ou o tamanho da população, visando o alcance do ótimo da função objetivo com menor número de execuções, o que pareceu acontecer de fato no Modelo 1 com restrição.

Figura 4
Evolução típica de uma execução do AG mostrando a média e desvio padrão do fitness máximo e das variáveis utilizadas em cada geração, Modelo 1, sem restrição (à esquerda) e com restrição (à direita).

Tabela 5
Parâmetros utilizados para o AG do problema.

Parâmetro	Valor
Número de gerações	50
Tamanho da população	30
Taxa de seleção	Aleatória entre [0;1]
Taxa de crossover	0,9
Taxa de mutação	0,001
Comprimento do cromossomo – Modelo 1	30 (15 bits x 2 variáveis)
Comprimento do cromossomo – Modelo 2	60 (15 bits x 4 variáveis)
Fator de ajuste para a função objetivo com restrição (K)	5000

Na Figura 5, é mostrada uma evolução típica para o Modelo 2. De maneira geral, o AG parece encontrar a solução ótima minimizando o desvio padrão, exceto a demonstrada para a variável P2 (“preço – 9002”), que impactou por sua vez a variação demonstrada pelo fitness do produto 9002, no modelo com restrição. Há uma tendência do AG em maximizar o preço aproximando da faixa superior do limite, bem evidenciada no modelo sem restrição. Novamente, a variação demonstrada pode auxiliar na determinação de valores diferentes para os parâmetros utilizados. Portanto, as execuções, tanto do Modelo 1 quanto do Modelo 2, demonstram que a busca em feixe, proporcionada pelo AG, tende a convergir para um valor ótimo com baixo desvio padrão calculado dentro da população considerada.

Figura 5
Evolução típica de uma execução do AG mostrando a média e desvio padrão do fitness máximo e das variáveis utilizadas em cada geração, Modelo 2, sem restrição (à esquerda) e com restrição (à direita).

As Figuras 6 e 7 ilustram a carga-máquina calculada pelas simulações com o AG. Na Figura 6, considera-se o modelo sem a restrição, com a extrapolação da capacidade da máquina 511. Com o uso do fator de penalização da carga-máquina na função objetivo, o valor tende a ficar normalizado.

Figura 6
Gráfico de produtividade estimada (barra superior) e obtida com a simulação (barra inferior, com etiqueta de percentual), mostrando o uso do AG sem restrição, extrapolando a produtividade da máquina 511.

Figura 7
Gráfico de produtividade estimada (barra superior) e obtida com a simulação (barra inferior, com etiqueta de percentual), mostrando o uso do AG com restrição, com as produtividades dentro de 100%.

O gráfico da Figura 8 compara, a partir de uma amostragem de 20 execuções do AG, os valores médios de carga-máquina, juntamente com o desvio padrão. Na barra à esquerda, o AG rodando sem restrição demonstrou na máquina 511 uma grande variação, que é reduzida quando se considera o AG com restrição. De forma geral, o desvio padrão foi menor quando se considerou o AG com restrição, demonstrando o grau de controle que o fator de penalização exerceu sobre a função objetivo. Na Tabela 6, são mostrados os valores de fitness médio alcançado com o desvio padrão correspondente, indicando valores de fitness menores para a consideração da função objetivo com a função de penalização.

Figura 8
Comparação entre cargas-máquina (em percentual) sem restrição (SR) e com restrição (CR), Modelo 2, mostrando a variabilidade durante 20 execuções. O gargalo (máquina 511) evidencia a diferença no uso da função objetivo.

Tabela 6
Valor de fitness médio e desvio padrão para 20 execuções nos diferentes modelos.

	Sem restrição	Com restrição
Modelo 1 – L(Q1, Q2)	184976 ± 4147	175896 ± 10990
Modelo 2 – L(Q1, P1, Q2, P2)	227016 ± 13745	225998 ± 12643

5 Análise dos parâmetros do AG

A escolha de valores diferentes para os parâmetros pode resultar em performances diversas do AG. Na Tabela 5, foram mostrados os parâmetros do AG utilizados para a exploração do problema da busca do mix ótimo, cujos resultados foram explanados na seção anterior. Um estudo mais aprofundado, obtido por meio de perturbações nos valores dos principais parâmetros do AG, demonstram diferentes situações e comportamentos do algoritmo. Utilizando o modelo de duas variáveis sem restrição, a análise a seguir se concentrou no comprimento do cromossomo, taxa de mutação, crossover e seleção.

A escolha do tamanho do cromossomo deve ter relação com a faixa de valores possíveis que uma variável possa assumir durante a execução do algoritmo. Um tamanho subestimado pode limitar a quantidade de valores possíveis, enquanto que um valor superestimado pode tornar a convergência muito lenta. Na Tabela 4, a faixa de valores possíveis em uma representação de números inteiros ficou definida com uma diferença de 3000 para cada uma das variáveis. Uma estimativa para o comprimento dos cromossomos pode ser calculada por meio da seguinte expressão:

k= ⌈log₂ (X₁ - X₀)⌉ (20)

em que k é o comprimento do cromossomo, obtido por meio do limite superior do logaritmo binário da diferença. Para 3000, o valor obtido para k é 12. A Tabela 7 mostra uma amostragem de diferentes valores de k (mantidos os outros parâmetros constantes). A resolução é calculada pela potência de 2 elevado a k. As colunas posteriores indicam a quantidade de valores efetivamente assumidos pelo AG dentro da faixa de valores possíveis durante a execução, demonstrando que, para valores de kacima de 12, há uma tendência a manter uma média de valores efetivamente assumidos pelas variáveis. Portanto, a Expressão 20 fornece uma boa estimativa para o tamanho do cromossomo. O uso do valor de k igual a 15 na Tabela 5 contém uma margem de segurança para a execução do AG, não tendo, entretanto, impacto significativo na performance.

Tabela 7
Análise da quantidade de valores efetivamente assumidos pelo AG, mostrando uma diferença significativa com o aumento da resolução.

k	Resolução (2k)	Q1	Q2
4	15	15	15
5	31	22	27
8	255	75	83
10	1023	132	82
12	4095	112	98
15	32767	105	115
20	1048575	132	135
25	33554431	87	119
32	4294967295	108	92

Confrontando esta análise com o operador de mutação, pode-se verificar a existência de alta correlação (R=0,97) entre a taxa de mutação e a quantidade de valores efetivamente assumidos pelas variáveis. O gráfico na Figura 9 ilustra esta situação. Entretanto, a média de valores de fitness tende a cair, aumentando também o desvio padrão com relação a estes valores. O melhor valor de fitness com o menor desvio padrão foi alcançado com taxa de mutação de 0,001.

Figura 9
Esquerda: Evolução da quantidade de valores efetivamente assumidos pelo AG (eixo y) e a taxa de mutação (eixo x) para os dois produtos (Correlação: R@0,97). Direita: Diminuição do valor médio de fitness (eixo y) e aumento da variabilidade com o aumento da taxa de mutação (eixo x).

Com relação ao operador de crossover, a Figura 10 mostra a evolução típica da quantidade de valores efetivamente assumidos e diferentes taxas de crossover aplicados no AG. Pode-se visualizar um comportamento periódico, mostrando variabilidade menor para um valor de 0,90 para a taxa de crossover, sendo inconclusivo em termos de desvio padrão para outros valores.

Figura 10
Esquerda: Evolução da quantidade de valores efetivamente assumidos pelo AG (eixo y) e a taxa de crossover para os dois produtos (eixo x). Direita: Evolução do valor médio de fitness (eixo y) e variabilidade com o aumento da taxa de crossover (eixo y).

O operador de seleção escolhido na modelagem do problema utilizou valores aleatórios. Numa análise mais detalhada, na qual se considerou a taxa de seleção com valores fixos, o comportamento típico do AG é mostrado na Figura 11. Assim como na análise do operador de crossover, o operador de seleção apresenta um comportamento periódico com o aumento da taxa de seleção para os valores efetivamente assumidos e também em relação ao fitness médio. Entretanto, os diferentes valores para o desvio padrão são inconclusivos quanto a um comportamento correlacionado.

Figura 11
Esquerda: Evolução da quantidade de valores efetivamente assumidos pelo AG (eixo y) e a taxa de seleção para os dois produtos (eixo x). Direita: Evolução do valor médio de fitness (eixo y) e variabilidade com o aumento da taxa de seleção (eixo x).

6 Considerações finais

Ainda que o uso de AG para a otimização de mix de produção apresentado tenha se baseado em modelos, sem e com restrição, com dois produtos e até quatro variáveis, o potencial para uso em um cenário envolvendo uma quantidade maior de produtos pode ser extrapolado. Tal heurística se constitui numa alternativa relevante para uso em conjunto com outros métodos, fornecendo soluções para refinamento, por sua vez, em modelos matemáticos utilizando, por exemplo, o método simplex ou métodos de descida de gradiente. A determinação, essencialmente empírica, dos parâmetros a serem considerados para a execução do AG é um dos passos críticos desta abordagem. À medida que se conhece com maior nível de detalhe o comportamento do AG para o problema modelado, consegue-se a determinação de valores mais adequados. Como exemplo disto, a aplicação do AG neste problema evidenciou a alta correlação da taxa de mutação com os valores de fitness e dos valores efetivamente assumidos pelas variáveis consideradas.

A metodologia envolvida em simuladores de plano de negócios permite uma boa visualização sistêmica e o acompanhamento dos impactos a partir de pequenas perturbações atuando sobre o processo como um todo. Assim, o simulador com a implementação de AG se constitui também numa ferramenta didática, visando o alcance da competência da visão sistêmica por parte do aprendiz e proporcionando a obtenção do conhecimento mediante simulação e experimentação. A dinâmica do problema com o uso de AG pode facilitar a compreensão da técnica e melhorar a aplicabilidade por parte de usuários das áreas de produção, logística e suprimentos.

As direções apontadas para trabalhos futuros envolvem, além do uso de cenários com maior número de produtos, a inclusão de variáveis adicionais tais como preços diferenciados por região, conectando o estudo com aprofundamentos na área de marketing. A análise do consumo de matéria-prima figura também como outra possibilidade de estudo do comportamento dos resultados. Outras formas de restrição para a função objetivo podem ser modeladas, tais como o nível de refugo de produto em processo e disponibilidade de matéria-prima em estoque ou ainda de disponibilidade de mão de obra. Comparações do uso do método do AG com outros métodos matemáticos, lineares ou não lineares, também se constituem numa direção promissora de pesquisa.

Quanto à técnica de uso de AG, análises em detalhe podem envolver uma extensão do estudo de correlações entre valores diferentes da taxa de seleção, crossover e de mutação com as variáveis. Futuras pesquisas também podem contemplar o uso de operadores diferenciados, tais como crossover de ponto duplo ou mutação dirigida e ainda modificação de parâmetros autoadaptativa, temas com pouco ou nenhum estudo evidente na literatura atual de AG, relacionado à área de produção e logística.

• Suporte financeiro: Centro Universitário Internacional – UNINTER.

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  08 Set 2015
• Data do Fascículo
  Jul-Sep 2015

Histórico

• Recebido
  09 Jun 2012
• Aceito
  05 Maio 2015