Estudo de gases quânticos em uma rede óptica utilizando aproximação variacional

Study of quantum gases in an optical lattice using variational approximation

ARTIGOS GERAIS

Estudo de gases quânticos em uma rede óptica utilizando aproximação variacional

Study of quantum gases in an optical lattice using variational approximation

V.A. Nascimento^I,II,1

^IDepartamento de Clinica Cirúrgica, Faculdade de Medicina, Universidade Federal de Mato Grosso do Sul, Campo Grande, MS, Brasil

^IIDepartamento de Física, Universidade Federal de Mato Grosso do Sul, Campo Grande, MS, Brasil

RESUMO

Nós investigamos as soluções de uma equação hidrodinâmica de campo médio utilizando aproximações variacionais com o objetivo de estudarmos a formação de gap sóliton iluminado em um gás de bósons e em um gás de férmions degenerado confinados por um potencial transversal e uma rede óptica periódica unidimensional. Através da aproximação variacional nós estudamos a possibilidade de que a não linearidade efetiva para férmions ou coeficiente de interação para bósons atuando em combinação com o potencial de rede óptica permite o surgimento de gap sólitons fundamentais em diferentes dimensões apresentando um comportamento peculiar em função do potencial químico.

Palavras-chave: condensado de Bose-Einstein, gás de Fermi degenerado, aproximação variacional (AV).

ABSTRACT

We investigate the solution of a mean-field-hydrodynamic equation using variational approximation with the aim of study the formation of fundamental gap solitons in a Bose gas and in a degenerate Fermi gas when trapped by one transversal potential and a single-periodic one-dimensional optical lattice. By variational approximation we study the possibility that the effective nonlinearity or interaction coefficient acting in combination with the potential of the optical lattice which allows the appearance of solitons in different dimensions presenting a peculiar behavior in function of the chemical potential.

Keywords: Bose-Einstein condensate, degenerate Fermi gas, variational approximation (VA).

1. Introdução

Redes ópticas abrem um novo e excitante campo de estudo para a Condensação de Bose Einstein (CBE) e gás de férmion degenerados (GFD) a baixas temperaturas [1]. Um correspondente interesse em gases atômicos de bósons e férmions em redes ópticas tem surgido por que eles permitem reproduzir varias classes de fenômenos fundamentais já observados ou preditos na física do estado sólido, tais como superfluidez e isolantes de Mott [2]. Uma rede óptica é uma onda de luz estacionária criada por feixes de lasers contra propagantes onde os átomos são aprisionados nos nodos e anti-nodos pela força de dipolo [3]. Desta forma, gaps espectrais surgem dentro de uma banda de gap linear formando um gap sóliton iluminado [4]. Experimentalmente sólitons iluminados foram criados em Condensados atômicos de ⁽⁷⁾Li [5] e ⁽⁸⁵⁾Rb [6], recentemente tem sido observado em ambas moléculas de ⁽⁴⁰⁾K e ⁽⁶⁾Li [7].

Utilizando aproximação variacional (AV) nós apresentamos um trabalho que explora a possibilidade de que a não linearidade efetiva para férmions ou coeficiente de interação repulsiva para bósons atuando em combinação com o potencial da rede óptica simples em 1D permite o surgimento de gap sólitons fundamentais em diferentes dimensões. Os gap sólitons fundamentais são objetos compactos aprisionados em uma única célula da rede óptica e são estáveis contra pequenas perturbações [8]. Uma conceitual introdução sobre este tópico pode ser encontrada na Ref. [9]. Estudos numéricos com o propósito de resolver a equação de Gross-Pitaevskii ou equação hidrodinâmica de campo médio e compará-las com os resultados experimentais têm obtido grande sucesso [10, 11], entretanto é instrutivo resolve-la utilizando resultados analíticos. Nós procuraremos por soluções variacionais para a equação hidrodinâmica de campo médio utilizando um ansatz gaussiano u(r) em 3D e ϕ(z) para 1D.

O trabalho é organizado como segue. Na seção 2 nós apresentaremos a equação hidrodinâmica de campo médio e procuraremos por gap sólitons fundamentais estáveis em 3D por meio da aproximação variacional. Na seção 3 nós realizaremos a redução da equação hidrodinâmica de campo médio em 3D para 1D e procuraremos por sólitons estáveis em 1D por meio da aproximação variacional. Na seção 4 nós temos os resultados obtidos a partir da aproximação variacional para gap sóliton fundamentais em 3D e 1D. A seção 5 consta com o resumo dos resultados obtidos e algumas sugestões para trabalhos futuros.

2. Aproximação variacional para sólitons em um gás de férmions ou bósons em três dimensões

Nesta primeira seção, nós obteremos a lagrangiana a partir da equação hidrodinâmica de campo médio. Nós consideraremos a equação hidrodinâmica de campo médio para sólitons fundamentais em três dimensões para um gás de férmions na sua forma usual escrita como

e para um gás de bósons

onde para ambas as Eq. (1) e Eq. (2), ∇² = ∂²/ ∂x² + ∂²/ ∂y² + ∂²/ ∂z²é o laplaciano em 3D (operador energia cinética), ψ_η (x, y, z, t) é a função de onda do condensado de bósons (η = B) ou gás de férmions (η = F), U(x, y) = α(x² + y²) é o potencial de aprisionamento externo transversal em 2D (na forma de charuto), α = (1 / 2)mω_⊥ representa a massa para férmions na Eq. (1) (ou bósons na Eq. 2), e ω_⊥ trata-se da frequência do laser de aprisionamento transversal, U(z) = - ε cos(2z) o potencial da rede óptica e - ε corresponde a amplitude da rede óptica criada pela interferência dos lasers contra propagantes (a amplitude da rede é considerada como negativa para fixarmos um mínimo local do potencial no ponto z = 0, onde o centro do sóliton será colocado).

Quantidades físicas como g_3D = são denominadas de força efetiva de não linearidade para férmions em 3D, = ħ/mω_⊥o comprimento do oscilador harmônico, G_3D ≡ λa_s/) N é o coeficiente que representa a interação entre bósons em 3D, λ é o comprimento de onda do laser e a_s > 0 o comprimento de espalhamento da interação repulsiva entre os átomos. O comprimento de espalhamento a_s e o coeficiente G_3D podem ser controlados por meio da técnica de ressonância de Feshbach. A Eq. (1) é utilizada para estudar férmions e inclui um termo não linear repulsivo |ψ_(F) |^4/3ψ_(F) [12]. Este termo não considera as colisões entre átomos, porém é indiretamente induzido pelo principio de Pauli através da distribuição de Fermi dos átomos. Na Eq. (2) o termo |ψ_(B)|²ψ_(B) [13] representa a interação repulsiva ou atrativa entre bósons. A Eq. (1) e Eq. (2) estão sujeitas a normalização,

e possuem soluções estacionárias ψ_η(x, y, t) = (x, y, z), onde µ_η é o potencial químico, u_η(x, y, z) é uma função real para sólitons fundamentais que obedece a seguinte equação em 3D para férmions

e para bósons

as quais estão sujeitas à condição de normalização ∫ ∫ ∫(x, y, z)dxdydz = 1. A Eq. (4) para férmions pode ser obtida a partir da lagrangiana

e a Eq. (5) para bósons torna-se

Soluções variacionais para a Eq. (6) e Eq. (7) são obtidas ao assumirmos um ansatz simétrico para sólitons em 3D na forma gaussiana

onde N corresponde à norma, W é a largura bidimensional e V a largura axial do sóliton (que tem formato de charuto). A substituição do anzatz (Eq. (8)) na lagrangiana (Eq. (6) e Eq. (7)) produz a lagrangiana efetiva para férmions

e para bósons

As equações variacionais serão obtidas a partir da lagrangiana efetiva. Primeiro, para a Eq. (9) façamos ∂L_eƒ(F) / ∂µ = 0, como usual N = 1. Na sequência as equações ∂L_eƒ(F) / ∂W = ∂L_eƒ(F) / ∂V = 0 predizem a relação entre as larguras do sóliton (W, V) e o coeficiente de não linearidade (g_3D) conforme explicito abaixo

Considerando ∂L_eƒ(F) / ∂N = 0 obtemos µ_F (potencial químico) em função das larguras do sóliton (W, V) e do coeficiente de não linearidade para férmions (g_3D)

As equações variacionais para bósons são obtidas como segue. Para bósons (Eq. (10)) consideremos ∂L_eƒƒ(B) / ∂µ = 0 que resulta em N = 1. A partir das equações ∂L_eƒ(F) / ∂W = ∂L_eƒ(F) / ∂V = 0 obtemos a relação entre as larguras do sóliton (W, V) e o coeficiente de interação repulsiva (G_3D)

Quando ∂L_eƒ(F) / ∂N = 0 obtemos µ_B (potencial químico) em função das larguras do sóliton (W, V) e do coeficiente de interação repulsiva para bósons (G_3D)

As soluções variacionais para as Eqs. (13) e Eq. (16) produzem uma dependência de g_3D e G_3D em função do potencial químico µ_η para sólitons fundamentais em 3D. Note que o ansatz (Eq. (8)) foi considerado na forma simétrico (com respeito a x, y e z), porém, sólitons assimétricos em 3D também existam.

3. Aproximação variacional para sólitons em um gás de férmions ou bósons em uma dimensão

A Eq. (4) e Eq.(5) em três dimensões podem ser transformadas em equações unidimensionais ao considerarmos o estado fundamental na direção transversal

com normalização = 1 e satisfazendo a equação

Como complemento consideremos a função de onda µ_η(x, y, z) escrita através da relação

Ao substituímos a Eq. (19) na Eq. (4) e Eq. (5), multiplicá-la por Φ_η(x, y) e integramos em relação à x e y obtemos uma equação hidrodinâmica de campo médio em 1D para férmions e bósons

onde g_1D = 3g_3D α^1/3 / 5π^2/3e G_1D = . A lagrangiana obtida a partir da Eq. (20) para férmions e bósons (Eq. 21) é dada por

Soluções para a lagrangiana Eq. (22) e Eq. (23) em 1D, são obtidas ao assumirmos o ansatz variacional em 1D na forma gaussiana

sendo N (norma) e V (largura) os parâmetros variacionais do sóliton em 1D. Ao substituirmos a Eq. (24) na Eq. (22) e Eq. (23) e integrarmos em relação a z obtemos a lagrangiana efetiva em 1D para férmions e bósons

A partir da lagrangiana efetiva Eq. (25) e Eq. (26) nós obteremos as equações variacionais. A equação ∂L_eƒ(F) / ∂V = ∂L_eƒ(F) / ∂N = 0 conduz a N = 1 (como esperado) e produz a relação para férmions

e para bósons

As soluções das Eq. (28) e Eq. (30) produzem uma dependência de g_3D e G_3D em função do potencial químicoµ_η para sólitons fundamentais em 1D.

4. Resultados obtidos a partir da aproximação variacional

Na Fig. 1, nós temos a força efetiva de não linearidade (g) para férmions e o coeficiente de interação repulsiva entre os bósons (G), ambos em função do potencial químico µ_η para o caso em 3D e 1D obtidos a partir da aproximação variacional. Ao consideramos G = g = 0 em todas as equações, a solução variacional obtida no limite linear prediz os valores do potencial químico µ_(η)0 = µ_η(G = g = 0), µ_(η)0 = -2.103 o qual coincide com o valor da primeira borda esquerda na primeira banda de gap.

As famílias de gap sólitons fundamentais para um gás de férmions ou bósons são encontradas na primeira e segunda banda de gap do potencial periódico ε cos(2z). A linha tracejada é obtida para férmions em 3D (Eq. (13), Fig. 1(a)), e a linha contínua para férmions em 1D (Eq. (28), Fig. 1(a)). A linha pontilhada é obtida para bósons em 3D (Eq. (16), Fig. 1(b)) e linha contínua em 1D (Eq. (30), Fig. 1(b)). As barras verticais representam as bandas de Bloch que separam os gap. Embora as soluções variacionais predizerem famílias de gap sólitons fundamentais na primeira banda de gap e continuam através da segunda banda de gap, elas não sentem a presença das bandas de Bloch que separam as banda de gap [14, 16].

Gap sólitons fundamentais são localizados em um único sitio da rede óptica para pequenos valores de não linearidade. Entretanto, nós poderíamos obter outros tipos de gap sólitons estáveis com distintos valores de µ_η. Como na Fig. 1 há varias famílias de gap sólitons fundamentais para bósons ou férmions, nós podemos observar a sua forma utilizando a gaussiana Eq. (8). Na Fig. 2 nós temos o comportamento da gaussiana na qual a largura bidimensional (W) e axial (V) do sóliton foram obtidas utilizando as equações variacionais (11) e (12) para férmions em 3D, e a Eq. (14) e Eq. (15) para bósons em 3D. Os valores obtidos das larguras W e V são substituídos na Eq. (8). Este é um exemplo de gap sólitons pertencente à primeira banda de gap do espectro em 3D onde utilizamos os valores para bósons: (a) G_3D = 5 com µ = 0.35; (b) férmions: g_3D = 5 com µ = 0.81.

Na Fig. 2 devido à diferença de potencial químico entre bósons e férmions a largura e amplitude da gaussiana não são iguais. Esta diferença pode ser observada na Fig. 1, em outras palavras quando maior o potencial químico maior será a diferença entre G e g.

A forma dos gap sólitons fundamentais para férmions e bósons obtidos pela aproximação variacional em 1D utilizando o ansatz gaussiano (Eq. (24)) e os valores para (a) bósons: G_1D = 0.8; férmions: g_1D = 0.8, são apresentados na Fig. (3). Os resultados encontrados são obtidos para os gap sólitons pertencentes a primeira banda de gap, os quais podem ser identificados pelo valores do potencial químico indicado na Fig. (1). Podemos observar (Fig. 3) que a forma dos gap sólitons fundamentais no modelo obtido a partir da aproximação variacional para férmions e bósons em 1D são aproximadamente a mesma para pequenos valores do potencial químico.

Nossos resultados confirmam a validade do ansatz gaussiano utilizado na aproximação variacional. Os resultados expostos neste trabalho fornecem importantes contribuições ao estudo de condensados, no caso para um gás de bósons e férmions. Estes resultados nos mostram que há uma evolução no comportamento dos gap solitons. Na literatura há trabalhos que estudam a dependência de N (norma, proporcional ao número de átomos) em função do potencial químico, porém trabalhos que exploram G ou g como nós estamos fazendo são poucos. Entretanto, um completo estudo precisa observar o comportamento das famílias de gap sólitons criados por cada potencial químico.

5. Conclusão

Em resumo nós mostramos que a aproximação variacional é adequada para descrever e prever famílias de gap sólitons fundamentais obtidas a partir de tais configurações de potencial de aprisionamento transversal em 2D e rede óptica em 1D. Nesta configuração nossos resultados são semelhantes ao artigo [15]. Como observado na Ref. [15] no caso para 1D a aproximação variacional formalmente prediz que famílias de gap solitons ultrapassam as bandas de Bloch, o mesmo comportamento foi averiguada em nossos resultados em 3D e 1D.

Em três dimensões ou em uma dimensão sistemas físicos podem ser estudados mediante aproximações. Entretanto, um potencial deve ser introduzido na equação hidrodinâmica de campo médio para a formação de estados ligados serem possíveis. O mesmo procedimento pode ser realizado experimentalmente, porem é necessário a introdução de tais potenciais de confinamentos. Em nossas analises obtidas pela aproximação variacional nós detectamos a existência de gap sóliton nas duas bandas de gap, entretanto, a analise variacional também prevê a existência de uma segunda banda ou terceira banda. Desta forma, nós sugerimos que gap sóliton podem ser obtidos e estudados em laboratórios utilizando átomos de ⁶Li (férmion) ou ⁸⁷Rb (bóson), para isso é necessário considerar a geometria do potencial de aprisionamento externo em 2D e o potencial da rede óptica em 1D.

Agradecimentos

Gostaríamos de agradecer a Fundect/CNPq chamada 01/2008 (23/200.018/2009) pelo suporte financeiro, e ao Prof. Dr. Sadhan K. Adhikari (IFT/UNESP) pelas sugestões.

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Recebido em 13/4/2010; Aceito em 10/7/2010; Publicado em 6/6/2011

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  02 Set 2011
• Data do Fascículo
  Jun 2011

Histórico

• Recebido
  13 Abr 2010
• Aceito
  10 Jul 2010