Resumos
Este artigo soma-se aos outros recentes que vêm sendo publicados, principalmente nesta revista que está, ao nosso ver, tornando-se um fórum de discussão deste que é o campo elétrico na superfície de um condutor esférico carregado. Recentemente publicamos um artigo que discutia três modelos para encontrar o recalcitrante fator 1/2 que persegue muitos aficionados por esta questão eletrostática. Desta forma, este texto foi elaborado, exclusivamente, para tentar esclarecer e contrapor, algumas interpretações colocadas em um mais recente artigo [11. F.M.S. Lima, Rev. Bras. Ensino Fís. 42, e20200182 (2020)] que defende uma integral própria para encontrar o teimoso fator. Desta forma, reabordamos o método da superposição do campo de anéis para discutir comportamento do campo através de uma superfície esférica carregada uniformemente, tentando chegar a um consenso.
Palavras-chave
campo elétrico de anéis; esfera carregada; descontinuidade
This article adds to the other recent ones that have been published, mainly in this magazine that is, in our view, becoming a forum for discussion of this which is the electric field on the surface of a charged spherical conductor. We recently published an article that discussed three models for finding the recalcitrant factor 1/2 that chase many fans of this electrostatic issue. In this way, this text was elaborated, exclusively, to try to clarify and oppose, some interpretations put in a later recent article [11. F.M.S. Lima, Rev. Bras. Ensino Fís. 42, e20200182 (2020)] that defends a proper integral to find the stubborn factor. In this way, we reaffirm the method of superposition of the ring field to discuss the field’s behavior through a uniformly charged spherical surface, trying to reach a consensus.
Keywords
electric field of rings; charged sphere; discontinuity
1. Introdução
Na intenção de esclarecer o comportamento do campo elétrico sobre e através da superfície de um condutor esférico com distribuição superficial de cargas (σ é considerado constante em qualquer situação mostrada ao longo da discussão deste texto), trazemos, motivados por um artigo muito recente publicado nesta revista por Lima [11. F.M.S. Lima, Rev. Bras. Ensino Fís. 42, e20200182 (2020)], um contraponto ao que esta referência tenta “demonstrar”, refutando os argumentos por nós colocados, em [22. G.E. Assad, Rev. Bras. Ens. Fís. 42, e20190245 (2020)]. Na Ref. [11. F.M.S. Lima, Rev. Bras. Ensino Fís. 42, e20200182 (2020)], o autor conclui que, para um modelo de distribuição superficial de cargas:
O campo elétrico é então descontínuo na superfície de uma esfera condutora, saltando de 0 para σ/(2ε0) quando passamos de pontos dentro da esfera para qualquer ponto em sua superfície, e então deste para σ/ε0 para pontos imediatamente externos a esfera.1 1 Texto traduzido para a língua portuguesa.
Indicando que o comportamento do valor campo elétrico através da superfície de um condutor é dado conforme a representação da Figura 1. Mostraremos, outra vez, que a regularização da integral imprópria encontrada, leva ao fator 1/2 que representa o campo gerado por todas as cargas na vizinhança P, excetuando-se a carga do elemento de superfície que encerra P. Isto não indica, em absoluto, que o comportamento do campo se dá como o representado na Figura 1.
Comportamento gráfico do campo elétrico em uma distribuição esférica superficial de cargas, segundo a Ref. [11. F.M.S. Lima, Rev. Bras. Ensino Fís. 42, e20200182 (2020)].
2. O Método da Superposição do Campo de Anéis
Embora não achemos que este procedimento seja o mais simples para a determinação destes resultados (a lei de Gauss é rápida e suficiente para nos mostrar o que vemos na Eq. (9) e a descontinuidade na superfície. Lembremo-nos de Occam e sua navalha!), a superposição do campo de anéis tem sido usada para a discussão do campo elétrico na superfície em alguns artigos recentes publicados na RBEF, são eles [11. F.M.S. Lima, Rev. Bras. Ensino Fís. 42, e20200182 (2020), 22. G.E. Assad, Rev. Bras. Ens. Fís. 42, e20190245 (2020), 33. K. Slodkowski, M.C. Pinheiro e T.C. Luchese, Rev. Bras. Ensino Fís.40, e2311 (2018).] e [44. F.M.S. Lima, Resonance 23, 1215 (2018)]. Desta forma, para efeito comparativo direto, ipsis litteris por Lima [11. F.M.S. Lima, Rev. Bras. Ensino Fís. 42, e20200182 (2020)], reproduziremos o ubíquo resultado do campo de um anel carregado com carga dQ, apoiado sobre uma esfera (Figura 2), gerando em um ponto da superfície um campo dado por:
Representação do anel de carga dQ uma esfera de raio R e o campo que ele produz ao longo do eixo de simetria no ponto P.
Usando z = Rcosθ e r = Rsenθ e dQ = σ(2πrRdθ),2 2 O elemento de carga pode ser escrito, sem perda de generalidade, por dQ = 2πσR2senθdθ. encontra-se:
ou
Tomando as identidades sen(θ) = 2sen(θ/2)cos(θ/2) e sen2(θ/2) = (1−cosθ)/2, tem-se:
ou
Agora, temos três grupos de equações para descrever o mesmo campo gerado por um anel carregado com carga dQ. Qual o campo dEz para r=0, z=R ou θ = 0? Nitidamente, as Equações (1) e (2) mostram que ele é indefinido neste ponto, o que o Lima também concorda [11. F.M.S. Lima, Rev. Bras. Ensino Fís. 42, e20200182 (2020)]. Então, quando passamos para a Equação (3), onde deveríamos obter o mesmo resultado, Lima diz que, agora, o campo é definido neste ponto. A descontinuidade/continuidade é um invariante topológico e as três equações devem e mostram o mesmo resultado. Uma mudança de variável não faz a função (campo) deixar de ser descontínua num ponto (z=R), e não fará dEz ser definido neste ponto. A reinclusão do ponto representativo de z=R (ou θ = 0), feita pelo autor, mostra-se equivocada. Qualquer variação da Equação (1) ou integrações para a determinação do campo em P, devem valer em [−R,R) ou seu análogos, inclusive a Equação (3a).
Uma carga não gera campo nem força sobre ela mesma. Basta fazer r=0 e z=R na Eq. (1); e θ = 0 nas Eqs. (2a, 2b) e (3b). Na Equação (3a), a indefinição do campo fica obscurecida pela manipulação algébrica proposta, mas é facilmente vista quando dθ é trocado por uma expressão com dQ (i.e. dQ = 2πσR2senθdθ), conforme mostrado na Eq. (3b).
Para ratificar a argumentação acima, observe a Figura 3 e apliquemos a lei de Gauss sobre o elemento de superfície cilíndrico (pill box) para encontrar a conhecida equação da descontinuidade, aqui mostrada na Equação (4) encontrada na ampla literatura de nível superior (e.g. pág. 31 da Ref. [55. J.D. Jackson, Classical Electrodynamics: (Wiley, NewYork, 1998), 3rd ed., p. 31.]).
Descontinuidade da componente normal do campo elétrico através de uma superfície carregada.
A descontinuidade em uma superfície carregada é uma função da carga local, ou melhor, da densidade de carga local. Se não há carga em um elemento de área da superfície não há descontinuidade através deste elemento. Tomando o bem conhecido livro de eletrodinâmica de David Griffith [66. D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics (Prentice Hall, Upper Saddle River-NJ, 1999), p. 102.], veja a transcrição de um fragmento de texto da pág. 102, que reitera os argumentos acima.
Agora, o elemento de área não pode exercer uma força sobre ele mesmo, da mesma forma que você não pode erguer a si mesmo ficando em pé em um cesto e puxando as alças. A força no elemento, então, deve-se exclusivamente ao EOutras, e este não sofre descontinuidade (se retirássemos o elemento, o campo no “buraco” seria perfeitamente suave/regular). A descontinuidade deve-se inteiramente à carga do elemento.3 3 Texto traduzido para a língua portuguesa.
Mesmo diante da argumentação de Griffith [66. D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics (Prentice Hall, Upper Saddle River-NJ, 1999), p. 102.], um resultado ubíquo na literatura, o autor (em [11. F.M.S. Lima, Rev. Bras. Ensino Fís. 42, e20200182 (2020)]) afirma que a presença de uma carga elétrica (dQ) em um ponto não cria um campo infinito neste ponto e que o campo dela pode ser definido sobre ela mesma. Como argumento, usa o conhecido campo no interior de uma esfera uniformemente carregada (i.e. E(r) = (k|Q|/R3)r). Este é o campo da carga líquida contida no interior de uma superfície gaussiana (qGauss) de raio r, sobre esta superfície (i.e. k|qGauss|/r2). Este é um excelente resultado que mostra que, conforme em [22. G.E. Assad, Rev. Bras. Ens. Fís. 42, e20190245 (2020)], se há uma distribuição volumétrica de cargas, em casca ou esfera, existe uma transição contínua do campo através desse volume até a superfície. Este resultado não mostra o campo de um elemento infinitesimal desta distribuição sobre ele mesmo.
Em outro trecho, Lima afirma que a Eq. (1) não apresenta uma singularidade não integrável em z=R (extensivo para as Eqs. (2) e (3)) sob o argumento de que o ponto P é encerrado por uma área nula e, portanto, não está associado a uma quantidade finita de carga, não podendo, assim, ser tratado como uma carga puntiforme. Se não houvesse carga em P:
-
(i)
a densidade local de cargas seria nula e não haveria descontinuidade alguma;
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(ii)
se σ = 0 e dQ=0, as Equações (2a,2b e 3a,3b), obviamente, levariam ao valor EP = 0, mostrando que este é um ponto “vazio” e esse elemento em nada influencia na superposição dos anéis. Em suma, o campo calculado em P só se deve ao restante das cargas, é dado por todas as cargas, menos a do anel de P;
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(iii)
o campo evoluiria suavemente de dentro para fora (de 0 a 1 ou 0 a σ/ε0), passando por infinitos valores e até mesmo por 1/2 na superfície, mas, de forma alguma, seria descontínuo ou representado pelo gráfico da Figura 1, defendido pelo Teorema encontrado em [11. F.M.S. Lima, Rev. Bras. Ensino Fís. 42, e20200182 (2020)]. (Vide transcrição do Griffith acima);
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(iv)
não haveria força radial para fora sobre o elemento de superfície em P nem sobre qualquer outro elemento da superfície da esfera4 4 A força elétrica sobre a superfície (dF = σdQ/2ε0) pode ser vista na página 30 da Ref. [7]. ;
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(v)
não haveria pressão eletrostática alguma sobre a superfície da esfera.5 5 Se tomarmos a expressão da nota de rodapé anterior e substituirmos dQ por σdA, encontramos a força por unidade de área ou a pressão eletrostática (dF/dA = p = σ2/2ε0) que pode ser vista na Ref. [6] ou na página 32 da Ref. [7], inclusive com um cálculo de um valor típico de 3, 6.10−4 N/m2.
Sendo assim, existe sim um elemento de carga não nulo em ambos os anéis diametralmente opostos da esfera (em z = ±R) dados, justamente, por dQ = σdA (para que σ seja constante, finito e diferente de zero, dQ e dA são não nulos). Contudo, para mostrar que este elemento de carga se comporta como uma carga puntiforme, façamos r=0 e d = R−z na Eq. (1), encontrando a expressão para o campo de uma carga puntiforme a uma distância “d” não nula da mesma e que não está definido em d=0 (ou z=R).
Em um caso particular de um ponto sobre a esfera, podemos fazer z = −R na Eq. (1); e θ = π nas Eqs. (2b) e (3b), encontrando, em todas,
Esta é a expressão do campo de uma carga puntiforme dQ a uma distância 2R da mesma. Obviamente, isto ocorre pois d = 2R≫Rdθ. Ao nos aproximarmos muito do elemento de carga dQ, que ocupa a superfície dA em z=R, ele irá se comportar como um pequeno disco carregado, gerando em pontos próximos à sua face um campo de módulo para dentro e para fora da esfera. Não estamos dizendo que o campo do disco é infinito, estamos dizendo que este pequeno disco gera campos com valores finitos e sentidos opostos em suas faces e que o campo não está definido sobre a superfície, sobre o próprio disco, onde d=0 ou z=R. Então, o restante das cargas deve gerar um campo em P de dentro para fora (é aí que está o recalcitrante fator 1/2), de modo a fazer com que o campo interno seja nulo e o externo seja . Mais adiante, como já feito em [22. G.E. Assad, Rev. Bras. Ens. Fís. 42, e20190245 (2020)], mostraremos como se comporta o campo quando “viajamos” através de um orifício na esfera, tal qual através do ponto P quando se retira a carga dQ.Passaremos por 1/2 e não saltaremos para ele.
3. A Integração
Admitindo-se, como dito por Jackson [55. J.D. Jackson, Classical Electrodynamics: (Wiley, NewYork, 1998), 3rd ed., p. 31.], Griffith [66. D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics (Prentice Hall, Upper Saddle River-NJ, 1999), p. 102.], Purcell [77. E.M. Purcell e D. J. Morin, Electricity and Magnetism: 3rd ed. (Cambridge University Press, New York, 2013), v. 2.], etc., que o campo é descontínuo na superfície de um condutor com distribuição superficial de cargas, no caso da geometria esférica e com o método da superposição de anéis, a superposição de todos os anéis sobre a esfera gera uma singularidade não integrável em pontos da superfície. Assim, para regularizar a integral, exclui-se o ponto do domínio em que há descontinuidade (em que o integrando diverge) e procede-se com o limite de aproximação de P. Método já mostrado e bem fundamentado em [22. G.E. Assad, Rev. Bras. Ens. Fís. 42, e20190245 (2020), 33. K. Slodkowski, M.C. Pinheiro e T.C. Luchese, Rev. Bras. Ensino Fís.40, e2311 (2018).] e [44. F.M.S. Lima, Resonance 23, 1215 (2018)]. Para generalizar, considere dEz função de uma variável qualquer (e.g. dEz = f(w)), com descontinuidade em w=a (f(a) é indefinido). O procedimento bem conhecido de regularização da integral impropria é:
Desta forma, os procedimentos de integração associados às Eqs. (1–3), retirando-se um elemento infinitesimal de carga (dq) da superfície, levariam ao mesmo fator 1/2. Isto é, o campo gerado por todas as cargas da vizinhança de P (EQ–dq), excluindo-se a carga deste elemento de superfície seria radial para fora e dado por:
Onde Q é a carga total da esfera. Este campo, ao se superpor ao campo do elemento de superfície em z=R, zera o campo no interior, faz o campo ser em pontos externos muito próximos da esfera e cria descontinuidade em z=R.
Com todo o rigor matemático, na Ref. [22. G.E. Assad, Rev. Bras. Ens. Fís. 42, e20190245 (2020)] é mostrada uma expressão para o cálculo do campo de “todos” os anéis em um ponto qualquer do diâmetro da esfera e não só na superfície. A equação na forma dimensional é mostrada a seguir na Equação (8). O eixo de simetria foi tomado no eixo z para efeito comparativo com [11. F.M.S. Lima, Rev. Bras. Ensino Fís. 42, e20200182 (2020)].
A descontinuidade no valor do campo pode ser rigorosamente obtida quando se faz o limite de E(z) com z tendendo a R pela direita e pela esquerda, além de que, E(R) é indefinido, a função E(z), como esperado, apresenta uma descontinuidade na superfície, conforme mostra a Figura 4. Na Figura 5, coloca-se o conhecido gráfico do potencial elétrico com destaque para a não diferenciação do mesmo com respeito a z, em z=R, ratificando a descontinuidade do campo.
Gráfico de V(z) com destaque para o fato de que esta função é NÃO derivável em z=R (superfície).
Agora, se retirarmos o elemento de carga do elemento de área onde se encontra P, conforme as palavras citadas de David Griffith [66. D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics (Prentice Hall, Upper Saddle River-NJ, 1999), p. 102.], o campo deve evoluir suavemente entre seus notórios valores de “0” no interior da esfera até “” em pontos justapostos à sua superfície. Para verificar este comportamento, em [22. G.E. Assad, Rev. Bras. Ens. Fís. 42, e20190245 (2020)], o procedimento de retirada do elemento de carga é feito através da alteração do limite de integração, tal qual feito nas demais referências associadas, levando ao seguinte resultado:
Esta equação mostra que quando ξ→0, o campo neste pequeno orifício é “” e que não há, de fato, descontinuidade alguma entre pontos internos e externos. Os limites laterais são absolutamente iguais e também assumem este valor. Vide Eq. (11).
Para mostrar a transição do campo através do orifício e a confirmação da não descontinuidade, observe a Figura 6 que mostra a plotagem de três gráficos representativo da Eq. (10), com ξ = 10−7 rad em três escalas diferentes.
Gráficos que mostram a evolução do campo através do elemento de área carregado retirado da superfície do condutor no ponto P.
Estes gráficos, com escalas horizontais diferentes, mostram a evolução do campo quando “viajamos” através do orifício de onde foi retirada a carga da superfície para eliminar a descontinuidade do campo. Ao ponto que nos afastamos da esfera, vemos uma transição súbita do valor do campo e, quando próximos, vemos que, de fato, o campo evolui suavemente através desse, mostrando mais uma vez que, em se retirando o elemento de superfície, a descontinuidade não mais existe. Não obstante, como o campo é contínuo em todo o domínio e sabendo que mostra-se, na Figura 7, o comportamento do potencial elétrico ao longo do eixo z, com destaque para pontos muito próximos de z=R, de onde foi retirado o elemento de carga e por onde transita-se através do “buraco”. Este destaque mostra que V(z) está longe de estar associado à transição do campo sugerida em [11. F.M.S. Lima, Rev. Bras. Ensino Fís. 42, e20200182 (2020)] e representada no gráfico da Fig. 1. Sugere-se, enfim, que o leitor se indague: como seria o comportamento do potencial se a transição do campo fosse, de fato, como mostrada na Fig. 1?
Comportamento do potencial elétrico em função da posição, ao longo de uma direção radial com destaque para a transição entre pontos internos e externos próximos do “buraco” deixado pela retirada do elemento de carga dq.
4. Conclusões
Após análise da metodologia adotada por [11. F.M.S. Lima, Rev. Bras. Ensino Fís. 42, e20200182 (2020)], observamos que o uso da superposição de anéis para a determinação do campo elétrico em um ponto da superfície carregada de um condutor esférico apresenta um nítida descontinuidade em z=R, evidenciada, exatamente, a partir da fórmula clássica do campo elétrico gerado por um anel em pontos do eixo de simetria do mesmo, Eq. (1). O campo não deixa de ser descontínuo neste ponto (z=R ou θ = 0), nem a função não passa a ser integrável nele, por uma mudança de variável. A descontinuidade tem invariância topológica. Todas as Equações advindas de (1) devem ser aplicáveis em todos os pontos do domínio, excetuando-se z=R, inclusive a Equação (3a), através da qual Lima [11. F.M.S. Lima, Rev. Bras. Ensino Fís. 42, e20200182 (2020)] afirma que o ponto pode ser reincluído e que leva ao suposto salto de E=0 até e deste para . Sendo assim, os limites de integração associados às Equações (1–3) devem ser [−R,R) e (0,π]. Ainda, conforme o próprio autor, a retirada deste ponto do domínio não afeta o valor da integração e leva ao mesmo fator 1/2 (associado ao Valor Principal de Cauchy para integrais impróprias) mas, não faz o campo variar de acordo com a Fig. 1. O campo transitaria suavemente de E=0 a através do orifício deixado em P, conforme dito por [66. D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics (Prentice Hall, Upper Saddle River-NJ, 1999), p. 102.] e demonstrado por [22. G.E. Assad, Rev. Bras. Ens. Fís. 42, e20190245 (2020)] com a Eq. (10) e a representação gráfica na Fig. 5. Isto não é nada além de estarmos dizendo que a descontinuidade do campo elétrico em uma superfície carregada é dada, exclusivamente pela carga presente no elemento de superfície, pela densidade de cargas local. Excluindo-se este elemento, não há mais descontinuidade, conforme ratificado pela famosa Ref. [55. J.D. Jackson, Classical Electrodynamics: (Wiley, NewYork, 1998), 3rd ed., p. 31.].
Por fim, se o modelo adotado é o de uma distribuição superficial esférica de cargas, o gráfico representativo é o da Figura 4 e sugere-se:
“Para qualquer esfera condutora de raio R e densidade superficial σ, em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é descontinuo em pontos de sua superfície, nulo em seu interior e para pontos da superfície externa quando, então, cai com a lei do inverso do quadrado da distância ao centro da esfera.”
REFERÊNCIAS
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1.F.M.S. Lima, Rev. Bras. Ensino Fís. 42, e20200182 (2020)
-
2.G.E. Assad, Rev. Bras. Ens. Fís. 42, e20190245 (2020)
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3.K. Slodkowski, M.C. Pinheiro e T.C. Luchese, Rev. Bras. Ensino Fís.40, e2311 (2018).
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4.F.M.S. Lima, Resonance 23, 1215 (2018)
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5.J.D. Jackson, Classical Electrodynamics: (Wiley, NewYork, 1998), 3rd ed., p. 31.
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6.D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics (Prentice Hall, Upper Saddle River-NJ, 1999), p. 102.
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7.E.M. Purcell e D. J. Morin, Electricity and Magnetism: 3rd , ed. (Cambridge University Press, New York, 2013), v. 2.
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1
Texto traduzido para a língua portuguesa.
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2
O elemento de carga pode ser escrito, sem perda de generalidade, por dQ = 2πσR2senθdθ.
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3
Texto traduzido para a língua portuguesa.
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4
A força elétrica sobre a superfície (dF = σdQ/2ε0) pode ser vista na página 30 da Ref. [77. E.M. Purcell e D. J. Morin, Electricity and Magnetism: 3rd ed. (Cambridge University Press, New York, 2013), v. 2.].
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5
Se tomarmos a expressão da nota de rodapé anterior e substituirmos dQ por σdA, encontramos a força por unidade de área ou a pressão eletrostática (dF/dA = p = σ2/2ε0) que pode ser vista na Ref. [66. D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics (Prentice Hall, Upper Saddle River-NJ, 1999), p. 102.] ou na página 32 da Ref. [77. E.M. Purcell e D. J. Morin, Electricity and Magnetism: 3rd ed. (Cambridge University Press, New York, 2013), v. 2.], inclusive com um cálculo de um valor típico de 3, 6.10−4 N/m2.
Datas de Publicação
-
Publicação nesta coleção
29 Jan 2021 -
Data do Fascículo
2021
Histórico
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Recebido
03 Nov 2020 -
Aceito
15 Dez 2020