Grafos de Emparelhamento de Arestas

RESUMO

Neste trabalho propomos uma nova técnica para verificar se um grafo corresponde a algum emparelhamento de arestas. Para isso propomos o uso do que intitulamos grafo paralelo; um grafo onde cada aresta é dividida em duas semi-arestas orientadas. Este grafo associa uma palavra a um dado emparelhamento, de forma que operações sobre as palavras podem ser usadas para determinar a equivalência entre dois emparelhamentos. A relação entre a palavra e os vértices do emparelhamento é determinada por um algoritmo proposto chamado chuva de vértices. Por fim, determinamos a relação entre a extensão de vértices e a palavra associada.

Palavras-chave:
geometria e topologia; computação científica; grafos; emparelhamento de arestas

ABSTRACT

In this work we propose a new technique to verify if a graph corresponds to some edge pairing. For that, we propose the use of what we call parallel graph; a graph where each edge is divided into two oriented half-edges. This graph associates a word with a given pairing, so that operations on the words can be used to determine the equivalence between two pairings. The relationship between the word and the vertices of the pairing is determined by a proposed algorithm called vertex rain. Finally, we determine the relationship between the vertex length and the associated word.

Keywords:
geometry and topology; scientific computing; graphs; edge pairing

1 INTRODUÇÃO

Neste trabalho, propomos um método alternativo para determinar se um dado grafo G com A arestas, mergulhado sobre uma superfície fechada e orientada M, corresponde a algum emparelhamento de arestas de polígono regular 𝒫 com 2A arestas. Em outras palavras, introduzimos grafos paralelos γ, como bordo de uma vizinhança tubular da imagem do mergulho de G sobre M, para verificar se a imagem de G coincide com a imagem de algum emparelhamento de aresta de 𝒫.

Um grafo pode estar associado a diferentes emparelhamentos, correspondentes a mergulhos não equivalentes de G sobre M. Os diagramas de emparelhamento determinam se dois emparelhamentos associados a um mesmo grafo são equivalentes ou não (ver ^{9), (11}). As palavras associadas aos grafos paralelos sobre M é uma forma alternativa, aos diagramas de emparelhamento, para determinar se dois emparelhamentos associados a um mesmo grafo são ou não equivalentes.

Em ⁶, foram introduzidas dois tipos de cirurgias que contribuíram para determinar novas famílias de grafos de emparelhamentos trivalentes associado a superfície com gênero $g=\sum _{i=1}^m{g}_i$, a partir de conjuntos de m emparelhamentos já conhecidos associados às superfícies com gênero g _i .

Em ⁵ foi introduzido extensão e contração de grafos, uma técnica que mostra como determinar grafos de emparelhamento de arestas de polígonos regulares a partir de outros grafos de emparelhamento, como por exemplo o grafo de emparelhamento com único vértice, bastante conhecido com a topologia quociente. Veremos na Seção 4 a extensão do grafo paralelo correspondente a esta extensão de grafos.

A motivação para estudo do caso particular dos emparelhamentos associados à tesselação {12_g − 6, 3}, cujos os grafos são 3-regulares, está baseada no fato que tais tesselações fornecem empacotamentos de esferas com densidade máxima ^{2), (7} e, portanto, estão relacionadas com a construção de códigos ótimos cuja probabilidade de erro é mínima, ³. Jorgensen-Naatanen fizeram o estudo para o caso do bitoro, em ⁹, mostrando que, a menos de reflexão, existem 8 formas diferentes de emparelhamento de P ₁₈, que foram generalizado em ⁷ por Faria e Palazzo.

O caso do tritoro foi estudado por Lee Mosher, em ¹⁰ e Nakamura em ¹¹, utilizando métodos semelhantes ao usado em ⁹, isto é, métodos que envolvem o estudos dos sistema de rotação dos mergulhos e dos grupos fuchsianos, exibiram os possíveis emparelhamentos para os grafos trivalentes, mostrando que menos de reflexão existem 927 padrões de emparelhamentos de P ₃₀.

O presente artigo está organizado da seguinte forma: na Seção 2, apresentamos algumas definições preliminares ao desenvolvimento do trabalho. Já na Seção 3, introduzimos o grafo paralelo, a palavra e exemplos sobre o bitoro. Além disso introduzimos a construção da aplicação do grafo paralelo no emparelhamento, denominada chuva de vértice. Já na Seção 4 foi estabelecida a relação entre o grafo paralelo e as extensões e consequentemente, a relação entre a palavra e as extensões.

2 EMPARELHAMENTOS DE ARESTAS

Seja 𝒫 _n um polígono regular com n = 2A arestas, A > 1 e M _g uma superfície fechada e orientada com gênero 0 ≤ g ≤ A/2. Seja ϕ : 𝒫 _n → M _g uma aplicação quociente que identifica pares de arestas de 𝒫 _n . Ou seja, cada par de arestas $(a_i,a_i^{\text{'}})$ de 𝒫 _n é levado num arco de curva α _i (i = 1, · · · , A) em M _g e k _j vértices de ${\mathcal{P}}_n(\sum _{j=1}^V{k}_j=2A)$ é levado em um ponto p _j , de forma que o ponto p _j é incidente a curva α _i se, e somente se, um destes k _j vértices de 𝒫 _n é incidente a uma das aresta s $(a_i,a_i^{\text{'}})$ (vide Figura 1). Os conceitos e proposições desta seção estão contidos em ⁵. A Figura 1 ilustra uma aplicação do polígono 𝒫 na superfície M _g , a qual os pares de arestas (f , f), (b, b), (a, a) do polígono são mapeados para os arcos de curva ’f ’, ’b’, ’a’ da superfície, respectivamente. Como os três pontos do polígono, marcados em negrito, são extremos das arestas contidas nos pares citados, eles são mapeados para o único ponto marcado em negrito na superfície, que é extremo dos arcos de curva.

Figura 1:
Exemplo local de emparelhamento de arestas.

Definição 2.1. A aplicação quociente ϕ: 𝒫 _n → M _g que identifica pares de arestas do polígono 𝒫 _n é chamada de emparelhamento de arestas do polígono regular 𝒫 _n .

O conjunto de segmentos de retas no polígono, apontando os pares de arestas $(a_i,a_i^{\text{'}})$ identificadas por ϕ, é chamado de diagrama de emparelhamento, e será denotado por 𝒟 (ver Figura 2).

Figura 2:
Exemplos de emparelhamentos 4g-regular, para g = 2.

Definição 2.2. Dois diagramas de emparelhamento 𝒟 ₁ e 𝒟 ₂ são ditos diagramas equivalentes se 𝒟 ₁ pode ser obtido de 𝒟 ₂ por alguma rotação, reflexão por algum eixo ou por combinação delas.

2.1 Extensão de grafo de emparelhamento

Sejam G um grafo conexo, com V vértices e A arestas, e M _g uma superfície fechada e orientada com gênero g. Denotamos por ι: G → M _g um mergulho de G sobre a superfície M _g e por 𝒢 = ι(G). Denotamos por C(G) o número de regiões do complemento M _g \𝒢 . Denotamos por χ(G) a característica de Euler do grafo G, definida por χ(G) = V −A.

Proposição 2.1.⁵ Se todas as C(G) regiões conexas de M _g \ 𝒢 são simplesmente conexas (homeomorfas ao disco), então χ(G) = 2 − 2_g −C(G).

Denotamos por ∂𝒫 _n o conjunto de arestas (bordo) de 𝒫 _n .

Proposição 2.2. Se 𝒫 _n é um polígono de n lados, onde n é par e ϕ: 𝒫 _n → M _g é uma aplicação quociente, então existem algum grafo G e um mergulho ι: G −→ M _g , tal que 𝒢 = ι(G) = ϕ(∂𝒫 _n ) e o complemento M _g \𝒢 é simplesmente conexo (homeomorfo a um disco).

Proof. Como ϕ: 𝒫 _n −→ M _g é uma aplicação quociente, temos que as arestas de 𝒫 _n são identificadas aos pares para formar M _g . Dessa forma, o bordo de 𝒫 _n constitui naturalmente um grafo mergulhado em ℳ _g , o qual cada aresta do grafo representa uma e exatamente uma classe de equivalência da aplicação quociente e os vértices de tal grafo mergulhado são dados pelas interseções dos vértices de 𝒫 _n em ℳ _g , geradas pelo mapa ϕ. □

Definição 2.3. Um grafo G com A arestas será dito um grafo de emparelhamento de arestas do polígono 𝒫 _n (n = 2A) se existe um mergulho ι: G → M _g tal que o complemento M _g \𝒢 é simplesmente conexo (homeomorfo a um disco).

Definição 2.4. Sejam v um vértice de um grafo G. O grau de v, denotado por degG(v) ou deg(v), é o número de arestas incidente a v. Sendo que cada loop contabiliza duas arestas incidentes.

Definição 2.5. Sejam G um grafo K-regular (todos os vértices tem grau K). Se G é grafo de emparelhamento de 𝒫 _n , então diremos que G é um grafo de emparelhamento K -regular e que 𝒫 _n é polígono de emparelhamento K-regular.

Definição 2.6. O emparelhamento do polígono 𝒫 _4g (g ≥ 1), sobre a superfície M _g , será chamando de emparelhamento 4g-regular (ver Figura 2).

A Figura 2 ilustra dois mergulhos distintos, de um mesmo grafo, sobre o Bitoro, os quais geram emparelhamentos distintos 4g−regulares, com g = 2, para o Bitoro.

O próximo resultado ⁵ determina os possíveis valores de V e A, para emparelhamentos k- regulares sobre M _g , em função de K e g.

Proposição 2.3.⁵Seja 𝒫n um polígono de emparelhamento K-regular associado ao par (M _g , 𝒢). Então, o número de vértices V e o número de arestas A é dado por

$(V,A)=\left(\frac{2(2g-1)}{K-2},\frac{K(2g-1)}{K-2}\right).$

A seguir veremos a definição de extensão e contração de um grafo sobre uma superfície, introduzida em ⁵.

Definição 2.7. Uma aresta uv ∈ 𝒢 será dita uma extensão do vértice w ∈ 𝒢 ₁ sobre a superfície M _g se os vértices u, v ∈ 𝒢 e a aresta uv pode ser obtida por um “estiramento” do vértice w. Neste caso, dizemos que o grafo 𝒢 é uma extensão do grafo 𝒢 ₁ ou 𝒢 ₁ é uma contração do grafo G.

O grau de w satisfaz deg(w) = deg(u) + deg(v) − 2.

Denotamos por β ₁(G) = 1 −V + A o número de cíclos do grafo G. Segue dos resultados mostrado s em ⁵, que a extensão de grafos sobre a superfície M _g tem as seguintes propriedades.

Proposição 2.4. ⁵ Seja 𝒢 ₁ um grafo com A ₁ arestas obtido da extensão (ou contração), sobre a superfície M _g , do grafo 𝒢 com A arestas. Então:

• 1. β₁(𝒢₁) = β₁(𝒢).

• 2. C(𝒢₁) = C(𝒢).

• 3. Se 𝒢 é grafo de emparelhamento do polígono regular 𝒫 _2A então 𝒢 ₁ é grafo de emparelhamento do polígono regular ${\mathcal{P}}_{2A_1}$ .

• 4. Todo emparelhamento de arestas sobre M_gpode ser obtido pela extensão de algum emparelhamento 4g-regular sobre M _g .

A Figura 3 ilustra o efeito local da extensão de um vértice de grau oito. Observe que a cada extensão feita é adicionado um novo vértice e uma nova aresta, sendo assim claro a invariância do número de Betti. Nesta figura também é possível observar que o número de componentes do complemento do grafo se mantém constante em relação às extensões.

Figura 3:
Exemplo local da extensão de grafos.

3 PALAVRA DE UM EMPARELHAMENTO

Em ⁹ e ⁵ os autores mostraram que podem existir diferentes emparelhamentos de arestas de um polígono associados a um mesmo grafo. Estes emparelhamentos são diferenciados pelos diagramas de emparelhamentos, ou seja, dois emparelhamentos são equivalentes se seus diagramas são isomorfos. Nosso objetivo é introduzir uma técnica alternativa para verificar se um grafo mergulhado sobre uma superfície é grafo de algum emparelhamento, que é equivalente a determinar qual o diagrama associado.

3.1 Grafo paralelo

Seja ι: G → M _g um mergulho do grafo G. A vizinhança tubular de 𝒢 = ι(G) em M _g será denotado por ν(𝒢) (ver Figura 4c). Se M _g \𝒢 tem C(G) componentes conexas, então o bordo de ν(𝒢) tem C(G) componentes de curvas simples e fechadas contidas em M _g \𝒢.

Figura 4:
Exemplo de projeção do Bitoro e grafo paralelo.

Definição 3.8. O conjunto de curvas bordo da vizinhança tubular ν(𝒢) em M _g será chamado de curvas paralelas a 𝒢 e denotado por B(G).

Observação 1. O número de componentes de curvas de B(G) é igual a C(G), pois cada componente conexa de B(G) está contida em uma região conexa de M\𝒢.

Consequentemente, se G é uma árvore, então C(G) = 1.

Uma consequência imediata da Definição 2.3 é o seguinte

Lema 3.1.Se 𝒢 é um grafo de emparelhamento de arestas, então C(G) = 1.

O próximo resultado segue direto da Proposição 2.4.

Lema 3.2.Todo grafo de emparelhamento de arestas, sobre a superfície fechada e orientada M_g, satisfaz β₁(G) = 2_g.

Lema 3.3.Se β₁(G) = 2_ge M\𝒢 é conexo, então M\𝒢 é simplesmente conexo.

Proof. Se β ₁(G) = 2_g , então $\chi (M\setminus G)=\chi \left(M\right)-\chi \left(G\right)=(2-2g)-(V-A)=2-{\beta }_1\left(G\right)-(V-A)=2-(1-V+A)-(V-A)=1$. Se χ(M\G(V, A)) = 1 e M\G(V, A) é conexo, então M\G(V, A) é simplesmente conexo. □

Teorema 3.1.𝒢 é um grafo de emparelhamento de arestas se, e somente se, satisfaz β₁(G) = 2_ge a curva paralela B(G) tem única componente conexa.

Proof. Se 𝒢 é um grafo de emparelhamento de arestas sobre M _g , pelo Lema 3.1, B(G) tem única componente conexa e pelo Lema 3.2 β ₁(G) = 2_g .

A volta, se B(G) tem única componente conexa, então M\𝒢 é conexo, pelo Lema 3.1. Se β ₁(G) = 2_g e M\𝒢 é conexo, então M\𝒢 é simplesmente conexo, pelo Lema 3.3, e 𝒢 é um grafo de emparelhamento de arestas sobre M _g . □

Definição 3.9. Uma projeção do g-toro no plano p: M _g → ℝ² será chamada de projeção trivial se o conjunto singular de p contém g + 1 componentes (conexas) de curvas e a imagem destas no plano são curvas simples e disjuntas, sem pontos de cúspides ou pontos duplos. Seja ι: G → M _g um mergulho (ver Figura 4a) e p: M _g → ℝ² uma projeção trivial. Em cada cruzamento de duas arestas de p(𝒢) no plano será indicado por uma descontinuidade a aresta que está por baixo em M _g (ver Figura 4b). A vizinhança tubular de p(𝒢) no plano será denotado por ν(p(𝒢)) = π(ν(𝒢)), para alguma imersão π:ν(𝒢) → ℝ², sem pontos singulares.

Observação 2. Se 𝒢 é grafo de emparelhamento de arestas, então o bordo de π(ν(𝒢)) tem única componente conexa. pois o bordo ν(𝒢) tem única componente.

Vamos construir o grafo paralelo a um dado grafo de emparelhamento 𝒢, sobre a única curva π(B(G)), da seguinte forma:

• • Considere os dois arcos da curva B(G), paralelos a arestas a _i de 𝒢 (i = 1, · · · , A), como um par de arestas, que será denotado por A _i e $A_i^{-1}$, uma vez que a superfície é orientada. O sinal −1 indica que a orientação local de $A_i^{-1}$ é inversa da orientação de A _i . Entre duas arestas consecutivas colocamos um vértice, como ilustra a Figura 4d. Este grafo, com 2A arestas, será chamado de grafo paralelo a 𝒢 e será denotado por γ(𝒢).

• • Uma orientação natural para γ(G) é como segue: partindo de uma aresta A ∈ γ(G), caminhe sobre γ(G) de forma que as arestas do grafo 𝒢 estejam do lado esquerdo de A _i (vide Figura 4d).

• • Se q: 𝒫 → M é a aplicação quociente, do polígono 𝒫 sobre M _g , que tem o grafo 𝒢 como grafo de emparelhamento, então a pré-imagem de γ(G) é uma curva no bordo de 𝒫, com as arestas ${\overline{A}}_i$ e ${\overline{A}}_i^{-1}$, pré-imagem de A _i e $A_i^{-1}$.

• • O diagrama de emparelhamento, denotado por 𝒟 , associado a aplicação q está formado pelos seguimentos de retas que conectam as arestas $({\alpha }_i,{\alpha }_i^{-1})$ de 𝒫 paralelas ao par $({\overline{A}}_i,{\overline{A}}_i^{-1})$.

O processo de divisão das arestas do grafo em duas, seguindo uma orientação, é similar ao usado na estrutura de dados da half-edge (vide ¹²). A half-edge é uma estrutura topológica de dados usada para representar malhas e subdivisões planares. Já no grafo paralelo, o objetivo é associar uma palavra ao emparelhamento, abrindo assim um novo horizonte para o estudo dos emparelhamentos. Consequentemente passamos pelo estágio de indexar o bordo da face via uma curva, de onde segue a similaridade.

3.2 Construção da palavra

A palavra formada percorrendo γ(G) ou o bordo de 𝒫 descreve de forma única o emparelhamento, como pode ser visto na Figura 5, um polígono com 10 arestas $A_1{A}_3{A}_4{A}_3^{-1}{A}_2{A}_5{A}_1^{-1}{A}_2^{-1}{A}_4^{-1}{A}_5^{-1}$.

Figura 5:
Pré-imagem do grafo paralelo e pré-imagem do grafo de emparelhamento.

A Figura 5 mostra, do lado esquerdo, a palavra obtida ao percorrer γ(G) e do lado direito mostra essa palavra sendo mapeada, bijetivamente, para o bordo do polígono, gerando assim o diagrama de emparelhamento.

A palavra formada quando caminhamos ao longo de B(G) ou no bordo do polígono 𝒫, no sentido horário, será denotada por 𝒲 _g , onde g é o gênero da superfície em questão.

Se α, β e Γ representam blocos quaisquer de uma dada palavra 𝒲 _g , ou seja, os demais termos da mesma, então algumas das transformações que não alteram a topologia da superfície serão apresentadas a seguir:

• T1 Pode-se dizer que a permutação cíclica de uma palavra não altera a topologia da superfície a qual estas estão associadas, ou seja, αβ = βα.

• T2 A remoção ou introdução de um par de arestas consecutivas A A ⁻¹ (ou A ⁻¹ A), no polígono e, consequentemente, na palavra não altera a topologia da superfície. Isto é, α A A ⁻¹ β = α β.

• T3 Considerando a superfície representada pelo bloco β , tem-se que β ⁻¹ também representa a superfície, ou seja, β = β ⁻¹ .

• T4 A permutação de dois blocos quaisquer, entre duas arestas do tipo A e A ⁻¹ , não altera a topologia da superfície, ou seja, α A β Γ A ⁻¹ = α A Γ β A ⁻¹ .

• T5 A permutação de termos do tipo A A ⁻¹ não altera a topologia da superfície, ou seja, α A β A ⁻¹ Γ = α A ⁻¹ β A Γ.

Para mais detalhes acerca dos itens anteriores, veja ⁸.

Definição 3.10. Se ?? _g é uma palavra associada a um grafo, então cada elemento A _i (ou $A_i^{-1}$) desta será chamado de sílaba da palavra 𝒲 _g .

Definição 3.11. Duas palavras ${\mathcal{W}}_g^1$ e ${\mathcal{W}}_g^2$ são ditas palavras equivalentes se ${\mathcal{W}}_g^1$ pode ser obtida de ${\mathcal{W}}_g^2$ via aplicação das transformações T1, T2, T3, T4, T5 anteriores ou combinação destes.

Teorema 3.2. Seja 𝒲 _g uma palavra associada ao grafo emparelhamento 𝒢. Então existe único diagrama de emparelhamento associado a 𝒲 _g .

Proof. Primeiramente, mostremos a existência de um diagrama associado a 𝒲 _g . Seja 𝒲 _g uma palavra associada a um grafo de emparelhamento 𝒢, então 𝒲 _g admite 2A sílabas. Pela construção do Grafo paralelo, as arestas do A _i e $A_i^{-1}$ são paralelas a aresta α _i de 𝒢, para cada i = 1, · · · , A. Em um diagrama de 2A lados transcreva a palavra para o seu bordo e conecte as arestas referentes às sílabas A _i e $A_i^{-1}$. Resta mostrar que tal diagrama é único. Dado a palavra 𝒲 _g , seja 𝒟 o diagrama de emparelhamento associado a 𝒲 _g . Suponha 𝒟′ outro diagrama de emparelhamento associado a 𝒲 _g , não equivalente à 𝒟. Então 𝒟′ não é fruto de nenhuma rotação, reflexão ou combinação delas de 𝒟. Como a palavra em questão é a mesma para os dois diagramas, então pode ocorrer que

• 1. A disposição das sílabas é a mesma para os dois diagramas. Neste caso, os diagramas são exatamente iguais. Uma contradição.

• 2. A disposição das sílabas é uma permutação circular. Neste caso, 𝒟′ é uma rotação de 𝒟. Uma contradição.

Logo, o diagrama ao qual 𝒲 _g está associado é único. □

Corolário 3.2.1. Se ${\mathcal{W}}_g^1$ e ${\mathcal{W}}_g^2$ são palavras equivalentes, associadas aos diagramas 𝒟 ¹ e 𝒟 ² , respectivamente, então 𝒟 ¹ e 𝒟 ² são equivalentes. Vale a recíproca (vide Figura 6 ).

Figura 6:
Palavras e diagramas equivalentes.

A Figura 6 ilustra duas palavras equivalentes e os seus respectivos diagramas associados. As setas verticais indicam a quais diagramas as palavras estão associadas. A seta horizontal superior, indica que os diagramas são equivalentes. Tal equivalência é natural, visto que um diagrama pode ser obtido do outro por uma rotação. Portanto, resta mostrar a equivalência das palavras, indicadas pela seta horizontal inferior. A fim de verificar que as palavras são de fato equivalentes é necessário e suficiente obter uma a partir da outra via as operações da Definição 3.11.

$$\begin{gathered} A_1{A}_3{A}_4{A}_3^{-1}{A}_2{A}_5{A}_1^{-1}{A}_2^{-1}{A}_4^{-1}{A}_5^{-1} \\ {A}_1{A}_3{A}_4{A}_3^{-1}{A}_2{A}_5{A}_1^{-1}{A}_5^{-1}{A}_2^{-1}{A}_4^{-1} \end{gathered}$$ (Transformação T4)

$$\begin{gathered} A_1{A}_3{A}_4{A}_3^{-1}{A}_2{A}_5{A}_1^{-1}{A}_5^{-1}{A}_2^{-1}{A}_4^{-1} \\ {A}_1{A}_5{A}_3{A}_4{A}_3^{-1}{A}_2{A}_1^{-1}{A}_5^{-1}{A}_2^{-1}{A}_4^{-1} \end{gathered}$$ (Transformação T4)

3.3 Relação entre palavras e vértices

Dado um grafo de emparelhamento G de M _g , uma vez definida a relação de um emparelhamento, 𝒢, sobre uma superfície M _g e a palavra associada 𝒲 _g , via grafo paralelo, a natureza biunívoca de tal relação fica nítida. Portanto, nos apoiando nessa bijetividade do processo, é natural pensar que as perguntas que podem ser respondidas analisando a geometria do emparelhamento, sobre a superfície, também possam ser respondidas apenas estudando 𝒲 _g . Tendo em vista este pensamento natural, de responder questões estudando apenas 𝒲 _g , colocado no parágrafo anterior, existem algumas perguntas plausíveis. Uma palavra associada a um emparelhamento carrega informações sobre os vértices do emparelhamento? Como saber se essa palavra está associada a um emparelhamento K-regular? Para responder essas questões, será construída a aplicação do grafo paralelo, consequentemente da palavra, ao emparelhamento. Considere G um emparelhamento sobre a superfície M _g , com V _n vértices e A arestas e 𝒲 _g a palavra associada a esse emparelhamento. Note que 𝒲 _g carrega com si o gênero da superfície e pela construção do grafo paralelo o número de sílabas da palavra, denotado por |𝒲 _g |, coincide com o dobro do número de arestas, |𝒲 _g | = 2A. Como 𝒢 é emparelhamento, segue que V _n − A = 1 − 2_g (vide ⁵). Assim a resposta para a primeira pergunta da seção é sim, os vértices estão unicamente determinados por 𝒲 _g . Agora, para responder a segunda pergunta, será definido o conceito de vértices associados em γ(𝒢) e posteriormente será construído um algoritmo.

Definição 3.12. Sejam 𝒢 um grafo de emparelhamento sobre uma superfície M _g e γ(𝒢) o seu grafo paralelo. Dois vértices U e Z do γ(𝒢) são ditos associados se estão na vizinhança de um mesmo vértice v ₁ de 𝒢. Neste caso, dizemos que U e Z são associados por v ₁.

Observação 3. Seja a _i uma aresta qualquer de 𝒢, e modo que v ₁ e v ₂ constituam os seus extremos. Ao construir γ(𝒢) pode ser observado que as arestas A _i e $A_i^{-1}$ de γ(𝒢) são paralelas à a _i e assim o vértice que está no início da aresta A _i e o que está no fim da aresta $A_i^{-1}$ (ou vice-versa) são associados por v ₁ (ou no caso contrário, por v ₂). (Vide Figura 7a).

Figura 7:
(a) Disposição de vértices associados em um grafo; (b) representação, na palavra, de vértices associados.

Para representar o conjunto de vértices de γ(𝒢) associados por v ₁ e v ₂ na palavra, veja a Figura 7b.

Sabendo que a palavra determina de forma única os vértices do emparelhamento e com a Observação 3 está apresentada uma forma de associar palavra aos vértices diretamente. Portanto, o algoritmo para determinar os vértices associados é como segue.

O algoritmo será chamado chuva de vértices da palavra 𝒲 _g , ou simplesmente chuva de vértices.

Observação 4. Para facilitar a leitura do algoritmo, colocamos em negrito os passos propriamente ditos e todo o restante são observações referente aos passos.

Algoritmo chuva de vértices:

• 1. Input: Os dados de entrada do algoritmo são: a palavra 𝒲 _g e a seleção de quaisquer duas sílabas consecutivas desta palavra, digamos A _i e A _j , exatamente nessa ordem.

• 2. Entre as sílabas selecionadas coloque uma seta (com o tamanho de uma unidade) apontando para baixo e no fim da seta coloque a notação v ₁.

• (Essa notação é para indicar que o vértice, do grafo paralelo, que conecta as arestas consecutivas A _i e A _j são associados pelo vértice V ₁ do grafo original).

• 3. Coloque uma cópia da seta citada anteriormente (com tamanho de uma unidade, direcionada para baixo e com a notação V ₁ em seu extremo), imediatamente antes da sílaba${\mathit{A}}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}$e imediatamente depois da sílaba${\mathit{A}}_{\mathbf{j}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}$. (Note que pela Observação 3 o vértice do grafo paralelo, que aparece imediatamente depois de A _k é associado ao vértice que aparece imediatamente antes de$A_k^{-1}$, isso para todo k existente. Logo essa notação indica que os vértices antes de$A_i^{-1}$e depois de$A_j^{-1}$são associados também pelo vértice V ₁ do grafo original).

• 4. (Se a sílaba A _l está imediatamente antes da sílaba$A_i^{-1}$e a sílaba A _m está imediatamente depois da sílaba$A_j^{-1}$, pelo item anterior existe uma seta entre A _l e$A_i^{-1}$e entre$A_j^{-1}$e A _m , necessariamente nessa ordem).

• Coloque uma cópia da seta imediatamente antes de${\mathit{A}}_{\mathbf{l}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}$e imediatamente depois de${\mathit{A}}_{\mathbf{m}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}$. (Note que novamente estamos usando a Observação 3 e que os passos 3. Note também que 4 foram unicamente determinados pela escolha dos passos 1 e 2).

• 5. Repita o procedimento até que não seja mais possível colocar, via a regra dada pela Observação 3, a seta em questão.

• 6. Coloque uma seta direcionada para baixo, com duas unidades de comprimento e com a notação v ₂ em seu final, entre duas sílabas consecutivas ainda não rotuladas, caso existam. Digamos A _n e A _o , exatamente nessa ordem. (Com essa notação estamos dizendo que o vértice do grafo paralelo que conecta as arestas An e Ao é associado pelo vértice V ₂ do grafo original).

• 7. Repita os passos 3, 4 e 5 para a nova seta, agora com as sílabas A _n e A _o como referência. (Posteriormente, repita o passo 6 apenas adicionando uma unidade no tamanho da seta e também uma unidade no índice da notação do extremo da seta).

• 8. Output: Conjuntos de todos os vértices associados por V ₁ ,V ₂ ,...,V _n , respectivamente, onde n é a cardinalidade do conjunto de vértices do grafo original.

Observação 5. Note que com a chuva de vértices, dada uma palavra 𝒲 _g é possível determinar quantos vértices tem o grafo que é representado por tal palavra. Tal número coincide com o tamanho, em termos de unidades, da maior seta do algoritmo e consequentemente com o maior índice atribuído aos vértices nomeados no algoritmo. Para verificar esta observação, basta notar que todo vértice do grafo original, por construção, tem vértices do grafo paralelo em sua vizinhança.

Observação 6. A chuva de vértices é independente da escolha aleatória, de duas sílabas consecutivas A _i e A _j , feita no passo 1 e da escolha de colocar a notação V ₁ para denotar que o vértice do grafo paralelo que conecta as arestas A _i e A _j está associado pelo vértice V ₁ (isto é, está na vizinhança do vértice V ₁). Para tal, é suficiente notar que o vértice do grafo paralelo que conecta as arestas consecutivas A _i e A _j , por construção, está na vizinhança de algum vértice do grafo original. Com tais escolhas, o que estamos fazendo é fornecer um rótulo para o vértice do grafo original em questão.

Observação 7. Uma palavra 𝒲 _g representa um emparelhamento K-regular se, e somente se, o conjunto de vértices de γ(𝒢) associados por V, de 𝒢, tem exatamente K elementos, para cada V em 𝒢.

Para verificar tal afirmação, é suficiente notar que, pela definição do grafo paralelo, o número de vértices de γ(𝒢) que estão na vizinhança de um vértice V de 𝒢 coincide com deg(V).

Exemplo 1. Considere a seguinte palavra:

${\mathcal{W}}_2=A_1{E}_1{C}_1{F}_1{D}_1{E}_1^{-1}{C}_1^{-1}{B}_1{A}_1^{-1}{F}_1^{-1}{B}_1^{-1}{D}_1^{-1}$

então, aplicando o algoritmo, a chuva de vértices de 𝒲 ₂ é dada por:

Figura 8:
Chuva de vértices para 𝒲 ₂.

Para chegar em tal resultado operamos os seguintes passos:

• 1. Dada a palavra 𝒲 ₂, escolhemos o par consecutivo A ₁ E ₁ e entre este par colocamos a seta de tamanho uma unidade, com a notação V ₁.

• 2. Como a seta do item anterior aparece imediatamente depois de A ₁ e imediatamente antes de E ₁, colocamos uma cópia da seta imediatamente antes de${\mathit{A}}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}$e imediatamente depois de${\mathit{E}}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}$.

• 3. Em decorrência direta do passo 2, a seta aparece também depois de B ₁ e antes de $C_1^{-1}$. Devido a tais fatos, colocamos uma cópia da seta imediatamente antes de${\mathit{B}}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}$e imediatamente depois de C ₁

• 4. Em decorrência do passo 3, a seta aparece também depois de $F_1^{-1}$ e imediatamente antes de F ₁. Portanto, a regra dada pela Observação 3 não pode mais ser aplicada. Portanto, escolhemos as sílabas consecutivas E ₁ C ₁ , que ainda não foram usadas no algoritmo, e colocamos entre elas uma seta de duas unidades de comprimento, indexada com a notação V ₂.

• 5. Como a nova seta aparece imediatamente depois de E¹ e imediatamente antes de C¹, colocamos uma cópia da nova seta imediatamente antes de${\mathit{E}}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}$e imediatamente depois de${\mathit{C}}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}$

• 6. Em decorrência do item 5, a nova aresta aparece também, imediatamente depois de D ₁ e imediatamente antes de B ₁, devido a tais fatos, colocamos uma cópia da nova aresta imediatamente antes de${\mathit{D}}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}$e imediatamente depois de${\mathit{B}}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}$ (Posições coincidentes).

• 7. Em decorrência do passo 6 não é possível aplicar a regra a regra novamente, portanto escolhemos as sílabas consecutivas F ₁ D ₁, que ainda não colocamos seta entre elas no algoritmo e agora colocamos uma seta de comprimento de três unidades e notação V ₃ entre elas.

• 8. Como a seta de índice V ₃ aparece imediatamente depois de F ₁ e imediatamente antes de D ₁, colocamos uma cópia dessa seta imediatamente antes de${\mathit{F}}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}$e imediatamente depois de${\mathit{D}}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}$. Completando assim a chuva de vértices.

Além disso, note que o grafo associado à palavra dada possui três vértices de modo que deg(V ₁) = 5, deg(V ₂) = 4 e deg(V ₃) = 3.

4 GRAFO PARALELO E EXTENSÕES DE GRAFOS

Seja 𝒢 um grafo mergulhado em M _g , que constitui um emparelhamento para a mesma. A Proposição 2.4 garante que qualquer extensão de um emparelhamento, feito sobre uma superfície fechada e orientada, é também um emparelhamento. Uma vez que é possível construir o grafo paralelo de um emparelhamento, é natural pensar: qual a ação da extensão de um grafo na palavra associada a ele? É possível conceber as extensões usando apenas a palavra?

A resposta para a segunda questão é sim. O esclarecimento para esta afirmação está presente na Observação 8. A primeira questão será respondida ao decorrer desta seção.

Se o grafo 𝒢 possui V vértices e A arestas, está associado ao diagrama de emparelhamento 𝒟, então estender o grafo a um vértice, sobre a superfície M _g equivale a adicionar duas arestas ao diagrama 𝒟 e portanto adicionar duas sílabas à palavra associada ao grafo 𝒢, via grafo paralelo (vide Figura 9).

Figura 9:
Extensão de grafos sobre o Bitoro e efeito sobre a palavra.

A Figura 9 mostra extensões, sobre o Bitoro, do grafo que contém um vértice e quatro arestas (o chamaremos de I ₄) e seus respectivos diagramas. Em todos diagramas os lados dos polígonos (E e E ⁻¹ ) conectados por um segmento de reta pontilhado são os lados acrescentados no diagrama de emparelhamento associado a I ₄, em decorrência das extensões.

Note que caso não sejam feitas algumas restrições o processo de extensão de grafos pode se tornar infinito. Portanto, a restrição que será feita é: deg(v) ≥ 3, para todo vértice v em um grafo obtido como extensão de 𝒢. Assim, determinar as extensões de um grafo a partir de sua palavra constitui um problema finito de combinação.

A fim de determinar precisamente o que ocorre com a palavra ao estender um vértice do grafo, basta excluir os casos em que a extensão gera um vértice de grau 1 e 2.

Se a extensão de um vértice gera a aresta i _j , conectada a um novo vértice com grau 1, então, a menos de equivalência, a palavra associada a esse novo grafo é dada por:

${\mathcal{W}}_g=\alpha I_j{I}_j^{-1}\beta .$

Sendo α e β blocos da palavra. Veja a Figura 10A.

Figura 10:
Visão local (A) deg(v) = 1; (B) deg(v) = 2.

Se a extensão de um vértice gera uma aresta i _j , conectada a um novo vértice com grau 2, digamos que este esteja conectado também à aresta i _m . Então, a menos de equivalência, a palavra associada e este novo grafo é:

${\mathcal{W}}_g=\alpha I_j{I}_m\beta I_m^{-1}{I}_j^{-1}\Gamma$

onde α, β e Γ são blocos da palavra. Veja a Figura 10B.

A exclusão desses casos torna natural a seguinte proposição.

Proposição 4.5.Seja 𝒢 um emparelhamento para M_gtal que deg(v) ≥ 3, para todo vértice. Se K é a palavra associada a 𝒢, então estender 𝒢, sob as restrições discutidas, é equivalente a adicionar sílabas aos pares em 𝒲 _g de modo que nenhuma das seguintes situações ocorra:

• (i) ${\mathcal{W}}_g=\alpha I_j{I}_j^{-1}\beta$;

• (ii) ${\mathcal{W}}_g=\alpha I_j{I}_m\beta I_m^{-1}{I}_j^{-1}\Gamma$.

Observação 8. Uma vez que agora já sabemos que ao estendermos um grafo sobre uma superfície temos como efeito no diagrama de emparelhamento o acréscimo de dois lados da forma A _i e $A_i^{-1}$ (veja o comentário sobre a Figura 9), chegamos a conclusão que para estender um grafo a partir da palavra, basta acrescentar duas sílabas do tipo A _i e $A_i^{-1}$ na palavra. Mas vale notar que essa adição de sílabas não pode ser totalmente arbitrária e nesse sentido a Proposição 4.5 traz as adições proibidas, ou seja, adições de sílabas que geram extensões que não estamos interessados. O motivo do não interesse nessas extensões é que a ambas adições geram extensões não úteis, topologicamente falando, pois palavra obtida pela primeira adição é equivalente, pela aplicação da transformação T2, à palavra inicial (sem a adição). A segunda forma de adição gera apenas uma subdivisão do garfo original.

Exemplo 2. Considere a palavra ${\mathcal{W}}_2=A_1{B}_1{A}_1^{-1}{B}_1^{-1}{C}_1{D}_1{C}_1^{-1}{D}_1^{-1}$, associada a um mergulho de I ₄ sobre o Bitoro. As seguintes palavras estão associadas a extensões 5-regulares de I ₄, onde os pares adicionados estão grifados.

• 1. ${\mathcal{W}}_2^1=A_1{B}_1\underset{¯}{E_1}{A}_1^{-1}{B}_1^{-1}{C}_1{D}_1\underset{¯}{E_1^{-1}}{C}_1^{-1}{D}_1^{-1}$

• 2. ${\mathcal{W}}_2^2=A_1{B}_1{A}_1^{-1}{B}_1^{-1}\underset{¯}{E_1}{C}_1{D}_1{C}_1^{-1}{D}_1^{-1}\underset{¯}{E_1^{-1}}$

Considere a palavra ${\mathcal{L}}_2=A_1{C}_1{D}_1{C}_1^{-1}{B}_1{A}_1^{-1}{B}_1^{-1}{D}_1^{-1}$, associada a outro mergulho do grafo I ₄, sobre o Bitoro. As seguintes palavras estão associadas a extensões 5-regulares de I ₄, onde os pares associados estão grifados.

• 3. ${\mathcal{L}}_2^1=A_1\underset{¯}{E_1}{C}_1\underset{¯}{E_1^{-1}}{D}_1{C}_1^{-1}{B}_1{A}_1^{-1}{B}_1^{-1}{D}_1^{-1}$

• 4. ${\mathcal{L}}_2^2=A_1{C}_1{D}_1\underset{¯}{E_1}{C}_1^{-1}{B}_1\underset{¯}{E_1^{-1}}{A}_1^{-1}{B}_1^{-1}{D}_1^{-1}$

Construindo todas as extensões possíveis de 𝒲 ₂ e ℒ ₂ e aplicando o algoritmo da chuva de vértices, pode ser mostrado que as extensões ${\mathcal{W}}_2^1$ e ${\mathcal{W}}_2^2$ de 𝒲 ₂ e ${\mathcal{L}}_2^1$ e ${\mathcal{L}}_2^2$ de ℒ , são as únicas que representam emparelhamentos 5-regulares, sobre o Bitoro, a menos de equivalências.

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Os conceitos de curva paralela e grafo paralelo nos fornecem uma forma alternativa de saber se um dado grafo, sobre uma superfície fechada e orientada, constitui ou não um grafo de emparelhamento para essa superfície. Além disso, a associação de palavras aos grafos nos permite verificar, alternativamente aos diagramas de emparelhamento, se dois emparelhamentos são ou não equivalentes. No decorrer deste texto também foi mostrado que as palavras associadas aos emparelhamentos carregam consigo todas as informações referentes aos emparelhamentos. Tornando possível o estudo dos emparelhamentos, retirando o apelo geométrico. Além disso, a formação dessas palavras pode facilitar a automação do processo de determinação dos emparelhamentos de uma dada superfície.

Estes grafos tem importância por estarem ligados à tesselação {12_g − 6, 3} (ver ¹¹), que por sua vez estão relacionadas a construção de códigos topológicos quânticos, que são uma subclasse dos códigos estabilizadores. Para detalhes veja ⁴, onde os autores construíram famílias de códigos topológicos quânticos derivados de tesselações auto-duais, ortogonais e densas, conseguindo assim boas distâncias mínimas e veja ¹ onde foi proposto um procedimento de construção de códigos topológicos quânticos de correção de erros sobre superfícies com gênero g ≥ 2.

Em termos de trabalhos futuros, pretendemos, em um primeiro momento, construir um programa que determine e separe em famílias, os emparelhamentos provenientes de extensões dos grafos canônicos e em um segundo momento, estender o conceito de emparelhamento para as superfícies não orientadas, via grafo paralelo. O que pode ter implicações na construção de novas estruturas de dados computacionais para representar superfícies do tipo trabalhado.

REFERÊNCIAS

• ¹
  C. Albuquerque, R. Palazzo Jr & E. Silva. Topological quantum codes on compact surfaces with genus g ≥ 2. Journal of mathematical physics, 50(2) (2009), 023513.
• ²
  C. Bavard. Disques extrémaux et surfaces modulaire. In “Annales de la Faculté des sciences de Toulouse: Mathématiques”, volume 5 (1996), p. 191-202.
• ³
  R.G. Cavalcante, H. Lazari, J. de Deus Lima & R. Palazzo Jr. A New Approach to the Design of Digital Communication. In “Algebraic Coding Theory and Information Theory: DIMACS Workshop, Algebraic Coding Theory and Information Theory, December 15-18, 2003, Rutgers University, Piscataway, New Jersey”, volume 68. American Mathematical Soc. (2005), p. 145.
• ⁴
  C.D. De Albuquerque, R. Palazzo & E.B. Da Silva. Families of classes of topological quantum codes from tessellations {4i+ 2, 2i+ 1},{4i, 4i},{8i-4, 4} and {12i-6, 3}. Quantum Information & Computation, 14(15-16) (2014), 1424-1440.
• ⁵
  C.M. de Jesus & P.D. Romero. Graphs and closed surfaces associated with a pairing of edges for Regular Polygons. Bulletin of the Brazilian Mathematical Society, New Series, 51(2) (2020), 527-541.
• ⁶
  M. Faria, C.M. de Jesus & P. Sanchez. Surgeries of pairing of Edges associated to trivalent graphs. Bulletin of the Brazilian Mathematical Society, New Series , 47(4) (2016), 1085-1095.
• ⁷
  M. Faria & R. Palazzo Jr. Emparelhamentos Generalizados Associados à Tesselação {12_g - 6, 3}. TEMA-Tendências em Matemática Aplicada e Computacional, 11(1) (2010), 59-67.
• ⁸
  P.A. Firby & C.F. Gardiner. “Surface topology”. Elsevier (2001).
• ⁹
  T. Jørgensen & M. Näätänen. Surfaces of genus 2: generic fundamental polygons. The Quarterly Journal of Mathematics, 33(4) (1982), 451-461.
• ¹⁰
  L. Mosher. A user’s guide to the mapping class group: once punctured surfaces. Proc. of a Comput. Sci, 25 (1996), 101-174.
• ¹¹
  G. Nakamura. Generic fundamental polygons for surfaces of genus three. Kodai Mathematical Journal, 27(1) (2004), 88-104.
• ¹²
  R. Paris. Modified half-edge data structure and its applications to 3D mesh generation for complex tube networks. (2013).

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  29 Maio 2023
• Data do Fascículo
  Apr-Jun 2023

Histórico

• Recebido
  10 Dez 2020
• Aceito
  16 Out 2022