Resumos
O presente artigo trata de um tipo de delineamento denominado "composto central duplo", basicamente simétrico, constituído de dois fatoriais (ou fatoriais fracionados) nos níveis ±1 e ±W, duas estrelas nos níveis ±a e ±ga para cada fator e pontos centrais, e podendo apresentar cinco, sete ou nove níveis para cada fator. Devido à maior flexibilidade desse tipo de delineamento em relação ao composto central, propriedades como ortogonalidade dos coeficientes, subdivisão ortogonal em blocos e rotacionalidade são mais facilmente integradas no mesmo delineamento. Como podem ser estabelecidos com uma parte fracionada de um fatorial completo, esses delineamentos podem explorar um maior número de níveis na amplitude de variação que se pretende pesquisar, com um número um pouco maior de pontos que o delineamento composto central correspondente. Na Agricultura, em contraste com os experimentos tecnológicos e, principalmente, nas pesquisas com fertilizantes, devido à variabilidade do solo e do clima, os experimentos devem ser efetuados com a utilização dos tratamentos do delineamento colocados, todos, de uma só vez. As respostas obtidas podem ser mais altas, na amplitude estudada, nos anos bons, e, nos anos ruins, de menor magnitude, ascendente e com resposta em uma amplitude menor, apresentando, em certos casos, uma "resposta em platô" para as dosagens mais altas. O delineamento composto central duplo pode adaptar-se melhor a essa peculiaridade, porque, pela sua estrutura, utiliza maior número de pontos na amplitude de dosagens utilizada. Se uma calibração adequada foi originalmente adotada e o ano agrícola muito bom, a amplitude maior utilizada capta a resposta aos fertilizantes em toda a extensão pesquisada; se o ano foi ruim, a resposta aos fertilizantes é de menor magnitude e, provavelmente, com resposta da "curva em platô" para as dosagens mais altas; a análise do delineamento como um todo pode causar, nesse caso, um "viés" nos coeficientes do modelo, e a determinação da dosagem econômica fica prejudicada; nesse caso, o delineamento proposto torna possível contornar o problema, efetuando a análise da parte central do delineamento como um delineamento composto central simples, usando os níveis ±1 para a parte fatorial e ±a para a axial, possibilitando a obtenção de uma estimativa justa (não enviesada) dos coeficientes do modelo e uma determinação mais precisa das dosagens econômicas; para a mesma amplitude estudada, isso não poderia ser obtido caso se utilizasse um delineamento composto central ou um fatorial 3 x 3 x 3. Basicamente, este artigo apresenta três tipos de delineamento; no quadro 1, delineamentos que, além de ortogonais, são subdivísíveis em dois, três ou cinco blocos: os níveis foram escolhidos de forma a que os níveis W da parte fatorial sejam menores que dois (níveis mais altos são raramente utilizados na prática). Os delineamentos do segundo grupo (Quadro 2) são ortogonais, divisíveis ortogonalmente em blocos, com os pontos da parte fatorial inseridos em duas hiperesferas de raios a = Ök e ga»WÖk, contendo dois ou quatro pontos centrais; esses delineamentos podem ser considerados como constituídos de dois delineamentos compostos centrais, apresentando, cada um deles, segundo LUCAS (7), eficiência do tipo D-ótimo. No terceiro grupo, incluídos no quadro 3, os delineamentos são ortogonais, subdivísíveis ortogonalmente em blocos e com rotacionalidade plena ou quase plena (marcados com um asterisco), no sentido dado por BOX & HUNTER (1), apresentado com um número adequado de pontos centrais, visando fornecer boa estimativa do erro experimental e possibilitando, assim, um teste mais preciso de adequação do modelo estudado. Esses delineamentos podem ser de utilidade aos pesquisadores e aos estatísticos naqueles casos, como na pesquisa agrícola e na pequisa com fertilizantes, em que a subdivisão em blocos é muito importante; possibilitam uma determinação precisa da dose econômica dos fertilizantes e servem também para aqueles casos em que se sente que é importante cobrir a área pesquisada com várias doses de cada fator.
The present paper deals with the type of designs known as "Double Central Composite". Basically they are a symmetric type composed of two factorials (or fractional factorials) at levels ±1 and ±W, two stars at levels ±a and ±ga for each factor and central points, presenting five, seven or nine levels for each factor. Due to the higher flexibility of this type of design in comparison with the central composite, properties like orthogonality of the coefficients, orthogonal blocking and rotatability are easily put together in the same design. As these designs can be arranged with a fractionary part of a 2k factorial, they can explore more levels in the range considered with just a few more points than the correspondent central composite design. In agriculture, opposite to technological experiments, and principally in fertilizer research, due to the soil and climatic variability, the experiments should be performed with all treatments allocated at the same time. The responses obtained may be higher and enlarged in the good years and smaller or with a "plateau response" in the bad years. The double central composite design may fit better this situation, because by its structure they cover better a broader range of dosages. If an adequate calibration was originally adopted and the year was a good one, the larger range will fit better the response. If the year was bad, the response is smaller and may present some type of "plateau response" to the higher dosages; the analysis of the complete design may cause a "bias" in the coefficients of the model and in the determination of the economical dosages. In this case the design makes possible to contour the problem by just analysing the central part of the design, as a central composite, using the levels ±1 for the factorial and ± ato the axial, getting an "unbiased" estimate of the coefficients; for the same range of dosages originally utilized, this could not be obtained through an original central composite or with a 3x3x3 factorial. Basically this paper presents three types of design. In Table 1, designs are presented that, besides being orthogonal, are orthogonally blocked in 2, 3 or 5 blocks. The levels were chosen in such a manner as to become the W levels of all designs, smaller than two (levels higher than two are seldom used in practice). The designs of the second group are orthogonal, orthogonally blocked with the external points all of them on the surface of two hyperspheres of rays a= Ök and ga» WÖk, containing two or four central points; these designs may be considered as composed of two central composites, each one having, according with Lucas, quasi optimum D-efficiency. In the third group, presented in Table 3, the designs are orthogonal, orthogonally blocked and with full rotatability or quasi rotatability (the last one presented with an asterisk), in Box and Hunter sense, with enough central points to furnish good estimates of the experimental error, allowing a more precise test for the adequacy of the model. The double central composite design should be of value for the research workers or for the statisticians in those cases in which blocking is very important as in field agriculture experiments and particularly in fertilizer experiments when we are looking for the economical response to NPK. They may be utilized in other areas of research with similar problems, in cases in which we want to evaluate the response for several levels of each factor.
ARTIGOS
Delineamentos compostos centrais duplos1 1 Trabalho apresentado na 10.ª Conferência Internacional de Biometria, Guarujá (SP), em agosto de 1979.
"Double central composite" designs
Armando Conagin
Divisão de Plantas Alimentícias Básicas, Instituto Agronômico, IAC
RESUMO
O presente artigo trata de um tipo de delineamento denominado "composto central duplo", basicamente simétrico, constituído de dois fatoriais (ou fatoriais fracionados) nos níveis ±1 e ±W, duas estrelas nos níveis ±a e ±ga para cada fator e pontos centrais, e podendo apresentar cinco, sete ou nove níveis para cada fator. Devido à maior flexibilidade desse tipo de delineamento em relação ao composto central, propriedades como ortogonalidade dos coeficientes, subdivisão ortogonal em blocos e rotacionalidade são mais facilmente integradas no mesmo delineamento. Como podem ser estabelecidos com uma parte fracionada de um fatorial completo, esses delineamentos podem explorar um maior número de níveis na amplitude de variação que se pretende pesquisar, com um número um pouco maior de pontos que o delineamento composto central correspondente. Na Agricultura, em contraste com os experimentos tecnológicos e, principalmente, nas pesquisas com fertilizantes, devido à variabilidade do solo e do clima, os experimentos devem ser efetuados com a utilização dos tratamentos do delineamento colocados, todos, de uma só vez. As respostas obtidas podem ser mais altas, na amplitude estudada, nos anos bons, e, nos anos ruins, de menor magnitude, ascendente e com resposta em uma amplitude menor, apresentando, em certos casos, uma "resposta em platô" para as dosagens mais altas. O delineamento composto central duplo pode adaptar-se melhor a essa peculiaridade, porque, pela sua estrutura, utiliza maior número de pontos na amplitude de dosagens utilizada. Se uma calibração adequada foi originalmente adotada e o ano agrícola muito bom, a amplitude maior utilizada capta a resposta aos fertilizantes em toda a extensão pesquisada; se o ano foi ruim, a resposta aos fertilizantes é de menor magnitude e, provavelmente, com resposta da "curva em platô" para as dosagens mais altas; a análise do delineamento como um todo pode causar, nesse caso, um "viés" nos coeficientes do modelo, e a determinação da dosagem econômica fica prejudicada; nesse caso, o delineamento proposto torna possível contornar o problema, efetuando a análise da parte central do delineamento como um delineamento composto central simples, usando os níveis ±1 para a parte fatorial e ±a para a axial, possibilitando a obtenção de uma estimativa justa (não enviesada) dos coeficientes do modelo e uma determinação mais precisa das dosagens econômicas; para a mesma amplitude estudada, isso não poderia ser obtido caso se utilizasse um delineamento composto central ou um fatorial 3 x 3 x 3. Basicamente, este artigo apresenta três tipos de delineamento; no quadro 1, delineamentos que, além de ortogonais, são subdivísíveis em dois, três ou cinco blocos: os níveis foram escolhidos de forma a que os níveis W da parte fatorial sejam menores que dois (níveis mais altos são raramente utilizados na prática). Os delineamentos do segundo grupo (Quadro 2) são ortogonais, divisíveis ortogonalmente em blocos, com os pontos da parte fatorial inseridos em duas hiperesferas de raios a = Ök ega»WÖk, contendo dois ou quatro pontos centrais; esses delineamentos podem ser considerados como constituídos de dois delineamentos compostos centrais, apresentando, cada um deles, segundo LUCAS (7), eficiência do tipo D-ótimo. No terceiro grupo, incluídos no quadro 3, os delineamentos são ortogonais, subdivísíveis ortogonalmente em blocos e com rotacionalidade plena ou quase plena (marcados com um asterisco), no sentido dado por BOX & HUNTER (1), apresentado com um número adequado de pontos centrais, visando fornecer boa estimativa do erro experimental e possibilitando, assim, um teste mais preciso de adequação do modelo estudado. Esses delineamentos podem ser de utilidade aos pesquisadores e aos estatísticos naqueles casos, como na pesquisa agrícola e na pequisa com fertilizantes, em que a subdivisão em blocos é muito importante; possibilitam uma determinação precisa da dose econômica dos fertilizantes e servem também para aqueles casos em que se sente que é importante cobrir a área pesquisada com várias doses de cada fator.
SUMMARY
The present paper deals with the type of designs known as "Double Central Composite". Basically they are a symmetric type composed of two factorials (or fractional factorials) at levels ±1 and ±W, two stars at levels ±a and ±ga for each factor and central points, presenting five, seven or nine levels for each factor.
Due to the higher flexibility of this type of design in comparison with the central composite, properties like orthogonality of the coefficients, orthogonal blocking and rotatability are easily put together in the same design.
As these designs can be arranged with a fractionary part of a 2k factorial, they can explore more levels in the range considered with just a few more points than the correspondent central composite design.
In agriculture, opposite to technological experiments, and principally in fertilizer research, due to the soil and climatic variability, the experiments should be performed with all treatments allocated at the same time. The responses obtained may be higher and enlarged in the good years and smaller or with a "plateau response" in the bad years. The double central composite design may fit better this situation, because by its structure they cover better a broader range of dosages.
If an adequate calibration was originally adopted and the year was a good one, the larger range will fit better the response. If the year was bad, the response is smaller and may present some type of "plateau response" to the higher dosages; the analysis of the complete design may cause a "bias" in the coefficients of the model and in the determination of the economical dosages. In this case the design makes possible to contour the problem by just analysing the central part of the design, as a central composite, using the levels ±1 for the factorial and ± ato the axial, getting an "unbiased" estimate of the coefficients; for the same range of dosages originally utilized, this could not be obtained through an original central composite or with a 3x3x3 factorial.
Basically this paper presents three types of design.
In Table 1, designs are presented that, besides being orthogonal, are orthogonally blocked in 2, 3 or 5 blocks. The levels were chosen in such a manner as to become the W levels of all designs, smaller than two (levels higher than two are seldom used in practice).
The designs of the second group are orthogonal, orthogonally blocked with the external points all of them on the surface of two hyperspheres of rays a= Ök and ga» WÖk, containing two or four central points; these designs may be considered as composed of two central composites, each one having, according with Lucas, quasi optimum D-efficiency.
In the third group, presented in Table 3, the designs are orthogonal, orthogonally blocked and with full rotatability or quasi rotatability (the last one presented with an asterisk), in Box and Hunter sense, with enough central points to furnish good estimates of the experimental error, allowing a more precise test for the adequacy of the model.
The double central composite design should be of value for the research workers or for the statisticians in those cases in which blocking is very important as in field agriculture experiments and particularly in fertilizer experiments when we are looking for the economical response to NPK. They may be utilized in other areas of research with similar problems, in cases in which we want to evaluate the response for several levels of each factor.
Texto completo disponível apenas em PDF.
Full text available only in PDF format.
Recebido para publicação a 24 de junho de 1980.
- 1. BOX, G. E. P. & HUNTER, J. S. Multifactor experimental designs for exploring response surfaces. Annals of Mathematical Statistics, 28:195-241, 1957.
- 2. __________ & WILSON, K. B. On the experimental attainment of optimum conditions. Journal of the Royal Statistical Society B, 13:1-45, 1951.
- 3. CONAGIN, A. & JORGE, J. P. N. Delineamento duplo central composto com 29 pontos. Bragantia, Campinas, 38:215-235, 1979.
- 4. __________; __________; VENTURINI, W. R. Delineamentos experimentais utilizáveis na experimentação de campo. In: REYNAERT, E. E. La investigación de fertilidad de suelos para la producción en la zona templada. Montevideo, IICA. Zona Sur, 1969. p.171-182.
- 5. DAVIES, O. L. Design and analysis of industrial experiments. New York, Hafner Publishing Company, 1954. 637p.
- 6. HARTLEY, H. P. Smallest composite designs for quadratic response surfaces. Biometrics, 15:611-624, 1959.
- 7. LUCAS, J. M. Optimum composite designs. Technometrics, 16:561-567, 1974.
- 8. __________ Which response surface design is best. Technometrics, 18:411-417, 1976.
- 9. MYERS, R. H. Response surface methodology. Boston, Allyn and Bacon, 1971. 243p.
- 10. VOSS, R. & PESEK, J. T. Yield of corn as affected by fertilizer rates and environmental factors. Agronomy Journal, 59:567-572, 1967.
Datas de Publicação
-
Publicação nesta coleção
17 Dez 2007 -
Data do Fascículo
1982
Histórico
-
Recebido
24 Jun 1980
