Assistente da 6a. Cadeira
As tabelas de locações de curvas circulares indicam raios de curvas até para as de grau igual (1 (1 ) Gráu de curva é o arco ou ângulo central que subtende uma corda de 20 metros. ) a 20°.
Calculemos o êrro relativo que se comete em tomar a corda, em lugar do arco correspondente àquela amplitude, para se locar uma curva, por êsse processo.
A tabela VI da caderneta de Campo de Passos (2 (2 ) Caderneta de Campo para uso dos Engenheiros incumbidos em trabalhos de estrada de ferro por Francsico Pereira Passos. ) indica para o ângulo de 20° a corda de 0,34730, medida em relação ao raio de 1 metro. O arco correspondente a 20° medido também em relação ao raio será : R/9 = 0,34907 R.
Como este valor e o da corda são medidos na mesma unidade, poderemos achar o êrro relativo que se comete na substituição da corda pelo arco, e êste será:
próximo de 1/200.
Êste êrro é relativamente grande, pois quando se deseja um traçado com aceitável aproximação é necessário que o erro seja menor. Admitindo que êste êrro não deve ultrapassar 1/1.000, demonstraremos que isto se dará quando demarcarmos cordas que correspondam no máximo a um ângulo de 8º 52'.
Consideremos um ângulo central G, compreendido por uma corda c; correspondente a um arco L.
Calculemos um valôr para G correspondente a uma relação
cujo valor corresponde a um erro de 1/1.000 na substituição da corda c em lugar de L.
Da figura tiramos: L = R x G, quando G é expresso em radianos, e c = 2R sen (G/2).
Tomando G/2 = x, para facilitar o cálculo que iremos fazer, teremos:
L = 2 Rx
c = 2R senx. Substituindo estes valores na relação acima teremos:
O numerador da fração corresponde ao desenvolvimento em série da função senx.
Simplificando aquela relação vem:
Nesta série, se despresarmos os têrmos do terceiro em diante cometeremos um êrro inferior, em valor absoluto ao primeiro termo desprezado, isto é a x6/5040.
Como êste têrmo desprezado é pequeno, desprezível mesmo para o arco ou ângulo central de 20°, com maior razão será para um arco que estamos supondo menor.
A equação fica:
Simplificando, teremos:
x4 20 x2 + 0,12 = 0.
Resolvendo esta equação encontramos:
quando se considera sòmente o sinal negativo de dentro do radical. Como x G/2, teremos que
G = 2 x 0,154942 (expresso em radianos).
Consultando tabelas que dão arcos medidos em relação aos raios (3 (3 ) Tables Portatives de Logarithmes Par Francois Call et. Edition Stereotype Graveé, Fondue et Imprimeé par Firmin Didot. ), veremos que êste valor corresponde ao ângulo central de 8º 52' 39".
Portanto, se tomarmos ângulos inferiores a 8º 52' cometeremos erros inferiores a 1/1.000.
CONSEQUÊNCIAS
Em virtude do que demonstramos, se fixarmos o limite indicado, poderemos organizar tabela que fixe raios mínimos para cordas de comprimentos" pré-determinados, tais como de 20m, 10m, 5m, etc, usuais em locações de curvas de estradas.
De fato, c/L = 0,999 .'. c = L x 0,999
Mas: L = RG e G = 0,154942
então:
c = R x 0,154918 x 0,999 de onde tiramos:
R = 6,461 c.
Dando valores a c, de 20, 10, 5 e 2 metros respectivamente encontramos:
Daí concluímos que podemos locar com cordas de 20 metros curvas que tenham raios no mínimo de 129,2 metros. Para raios inferiores, locaremos com cordas menores, de acôrdo com a tabela.
No caso de se querer locar uma curva de grau 20, teremos que fazer a locação com cordas que equivalham a um ângulo central de 8º, se quizermos estar dentro do limite de 1/1.000.
Talvez por este motivo é que na Caderneta de Campo de Passos encontramos : "Nas curvas de mais de 4º é conveniente marcar pontos de 10 em 10 metros".
Astolfo da Silveira (4 (4 ) Topografia de Álvaro Astolfo da Silveira 3a. Edição. ) assim se expressa:
"Estaqueia-se a linha do projeto de 20 em 20 metros, tendo o cuidado de estaquear de 5 em 5 metros as curvas de raios inferiores a 150 metros, de 10 em 10 metros as curvas de raio inferior a 300 e de 20 em 20 metros as de raios superiores a 300 metros.
Como se pode inferir dêsses conselhos, não há um critério único para locações de curvas com cordas pré-estabelecidas.
Além dos livros citados consultamos também:
A Tratado General de Topografia por Doctor W. Jordan. Revisado y Ampliado por los Doctores C. Reinhertz e O. Eggert. Version de la 9a. edición alemana por José Maria Mantero.
B Curso da Cadeira de Estradas de Ferro e de Rodagem de Geronymo Monteiro Filho.
Uma questão relativa ao traçado de curvas em estradas de rodagem
Datas de Publicação
-
Publicação nesta coleção
06 Nov 2012 -
Data do Fascículo
1951
