Analysis of experiments in square lattice with emphasis on variance components. i. Individual analysis

Análise de experimentos em látice quadrado com ênfase em componentes de variância. i. Análises individuais

Análise de experimentos em látice quadrado com ênfase em componentes de variância. i. Análises individuais¹

Heyder Diniz Silva², Adair José Regazzi³, Cosme Damião Cruz⁴ e José Marcelo Soriano Viana⁵

Resumo - Este trabalho teve como objetivo avaliar as seguintes alternativas de análise de experimentos em látice quadrado ("Square Lattice"), quanto à estimação de componentes de variância e alguns parâmetros genéticos: i) análise intrablocos com tratamentos ajustados, e blocos dentro de repetições não-ajustados; ii) análise do látice como blocos casualizados completos; iii) análise intrablocos com tratamentos não-ajustados e blocos dentro de repetições ajustados; iv) análise do látice como blocos casualizados completos, utilizando-se as médias ajustadas dos tratamentos, obtidas a partir da análise com recuperação da informação interblocos, tendo como quadrado médio do resíduo a variância efetiva média desta mesma análise com recuperação da informação interblocos. Para as quatro alternativas de análise, obtiveram-se os estimadores e as estimativas para os componentes de variância e coeficientes de herdabilidade. Houve uma grande concordância entre as quatro alternativas de análise estudadas, quanto à classificação dos materiais avaliados. Para um particular conjunto de dados e dependendo dos objetivos da análise, convém pesquisar qual das alternativas de análise é preferível, principalmente nos casos em que se obtém uma estimativa negativa para o componente de variância devido a efeitos de blocos dentro de repetições ajustados.

Termos para indexação: delineamentos experimentais, parâmetros genéticos, melhoramento de plantas.

Analysis of experiments in square lattice with emphasis on variance components. i. Individual analysis

Abstract - This paper focused on four alternatives of analysis of experiments in square lattice as far as the estimation of variance components and some genetic parameters are concerned: 1) intra-block analysis with adjusted treatment and blocks within unadjusted repetitions; 2) lattice analysis as complete randomized blocks; 3) intrablock analysis with unadjusted treatment and blocks within adjusted repetitions; 4) lattice analysis as complete randomized blocks, by utilizing the adjusted means of treatments, obtained from the analysis with recovery of interblock information, having as mean square of the error the mean effective variance of this same analysis with recovery of inter-block information. For the four alternatives of analysis, the estimators and estimates were obtained for the variance components and heritability coefficients. The classification of material was also studied. The present study suggests that for each experiment and depending of the objectives of the analysis, one should observe which alternative of analysis is preferable, mainly in cases where a negative estimate is obtained for the variance component due to effects of blocks within adjusted repetitions.

Index terms: experimental design, genetic parameters, plant breeding.

Introdução

Nos programas de melhoramento vegetal, é comum a avaliação de um grande número de tratamentos (linhagens, progênies, híbridos). Com o objetivo de controlar a heterogeneidade ambiental, o melhorista normalmente adota o delineamento em blocos casualizados completos. No entanto, quando o número de tratamentos a ser avaliado ou o tamanho das parcelas é muito grande, os blocos completos podem tornar-se heterogêneos, e deste modo, este tipo de delineamento perde sua eficiência, pois a pressuposição de homogeneidade dentro dos blocos é geralmente violada. Nesta situação, o melhorista deve optar por um tipo de delineamento que possua maior controle local, como os delineamentos em blocos incompletos, e dentre estes, os látices quadrados têm se destacado, sendo utilizados principalmente no melhoramento genético vegetal.

Se um experimento é conduzido em látice, existem algumas alternativas de análise que podem ser realizadas. Quando o efeito de tratamentos for fixo, o interesse está em testar hipóteses a respeito de combinações lineares dos mesmos. Neste caso, o problema torna-se mais simples.

Na análise usual de um experimento em látice, podem estar envolvidas a análise intrablocos ou a análise com recuperação da informação interblocos. A metodologia para a execução deste tipo de análise pode ser encontrada em Federer (1955), Cochran & Cox (1957) e Pimentel-Gomes (1990), dentre outros. Viana (1993) apresentou, matricialmente, as metodologias para análise intrablocos no caso de análises individuais e conjunta dos látices quadrados, por meio de ajuste de modelos específicos para a obtenção de cada uma das somas de quadrados envolvidas na análise. Apresentou também as expressões generalizadas das esperanças matemáticas dos quadrados médios das análises individuais e conjunta, considerando o modelo aleatório e o misto com efeito de tratamentos fixo e demais aleatórios.

Quando o efeito de tratamentos for considerado aleatório, naturalmente o interesse do melhorista está na estimação de componentes de variância, que são de grande importância no melhoramento genético vegetal, pois o método de melhoramento e a população a serem utilizados dependem do conhecimento de certos parâmetros genéticos, cujas estimativas podem ser obtidas por meio dos componentes de variância.

Em vista disto, objetivou-se, no presente trabalho, avaliar as seguintes alternativas de análise de experimentos conduzidos em látice quadrado, quanto à estimação de componentes de variância e alguns parâmetros genéticos: análise intrablocos, com tratamentos ajustados e blocos dentro de repetições não-ajustados; análise do látice como blocos casualizados completos; análise intrablocos com tratamentos não-ajustados e blocos dentro de repetições ajustados; e análise do látice como blocos casualizados completos, utilizando-se as médias ajustadas dos tratamentos obtidas a partir da análise com recuperação da informação interblocos, tendo como quadrado médio do resíduo a variância efetiva média desta mesma análise do látice com recuperação da informação interblocos.

Material e Métodos

Para avaliação das alternativas de análises apresentadas no presente trabalho, foram utilizados os dados referentes à altura das plantas, em centímetros, obtidos em um experimento de avaliação de híbridos pré-comerciais de milho, da empresa Cargill Agrícola S.A., montado no delineamento em látice duplo 6 x 6, no ano agrícola 93/94, em 16 locais.

Para cada uma das análises, foram obtidos os estimadores dos componentes de variância genotípica , fenotípica , e de ambiente , herdabilidade no sentido amplo, para seleção com base nas médias dos tratamentos e a eficiência relativa da análise do látice, com recuperação da informação interblocos, em relação aos blocos casualizados completos.

Análise intrablocos com tratamentos ajustados e blocos dentro de repetições não-ajustados

Para análise individual intrablocos do látice foi considerado o seguinte modelo estatístico:

em que

yi(j) é o valor observado do tratamento i (i = 1, 2, ... , v = k²), no bloco incompleto ( = 1, 2, ..., k), da repetição j (j = 1, 2, ... , r);

m é uma constante inerente a todas as observações;

t_i é o efeito do tratamento i;

r_j é o efeito da repetição j;

ei(j) é o erro aleatório associado à observação yi(j).

Procedeu-se à seguinte decomposição ortogonal da soma de quadrados de parâmetros, devida ao ajuste do modelo completo, denotada por R(m,t,a,b), apresentada por Viana (1993):

Para a obtenção das esperanças matemáticas dos quadrados médios, apresentadas na Tabela 1, foi considerado o modelo aleatório e as seguintes pressuposições:

a) t_i ~ NID (0,s²_g);

b) r_j ~ NID (0,s²_r);

c) (b/r) (j) ~ NID (0,s²_b);

d) ei (j) ~ NID (0,s²); e

e) t_i, r_j, (b/r)(j) e ei(j) são independentes.

A partir da Tabela 1, foram obtidos os estimadores dos componentes de variância, dados por

Cabe salientar que este componente (não-ajustado) não é aquele que se utiliza na análise do látice com recuperação da informação interblocos. Ele está apresentado com o objetivo de usá-lo nos resultados e discussão.

A estatística utilizada para se testar a hipótese

que sob H₀⁽¹⁾ tem distribuição F com (v-1) e (k-1)(rk-k-1) graus de liberdade.

O estimador da variância fenotípica, em nível de médias dos tratamentos é dado por (Viana, 1993):

.

Análise do látice como blocos casualizados completos

Para realizar este tipo de análise, considerou-se cada repetição do látice como sendo um bloco completo (inclui todos tratamentos), e utilizou-se o modelo usual para análise de experimentos em blocos casualizados completos:

em que

y_ij é o valor observado do tratamento i (i = 1, 2 , ... , v = k²), na repetição j (j = 1, 2, ... , r);

mé uma constante inerente a todas as observações;

t_i é o efeito do tratamento i;

r_j o efeito da repetição j; e

e_ij é o erro aleatório associado à observação y_ij.

Para obtenção das esperanças matemáticas dos quadrados médios, apresentadas na Tabela 2, admitiu-se o modelo aleatório e as seguintes pressuposições:

a) t_i ~ NID (0,s²_g);

b) r_j ~ NID (0,s²_r);

c) e_ij ~ NID (0,s²); e

d) t_i , r_j e e_ij independentes.

A estatística utilizada para se testar a hipótese H₀⁽²⁾:

que sob H₀⁽²⁾ tem distribuição F com (v-1) e (r-1)(v-1) graus de liberdade.

A partir das esperanças matemáticas dos quadrados médios apresentadas na Tabela 2, obtiveram-se os estimadores dos componentes de variância, dados por

O estimador do componente de variância fenotípica, em nível de médias dos tratamentos é dado por

Análise intrablocos com tratamentos não-ajustados e blocos dentro de repetições ajustados

Para realizar a análise intrablocos do látice com tratamentos não-ajustados e blocos dentro de repetições ajustados, utilizou-se o mesmo modelo estatístico e pressuposições adotados para realização da análise intrablocos com tratamentos ajustados e blocos dentro de repetições não-ajustados (primeira análise), diferindo desta apenas na decomposição ortogonal da soma de quadrados de parâmetros que, para o presente caso foi:

O esquema da análise de variância com as respectivas esperanças dos quadrados médios está apresentado na Tabela 3.

Neste tipo de análise, não existe nenhum tipo de teste de hipótese de real interesse, pois o teste F sobre o componente de variância devido a tratamentos é aplicado com tratamentos ajustados, como apresentado na primeira análise.

A partir da Tabela 3, obtiveram-se os estimadores dos componentes de variância, dados por

Este componente (ajustado) é aquele que se utiliza na análise do látice com recuperação da informação interblocos.

O estimador da variância fenotípica, em nível de médias dos tratamentos é dado por (Viana, 1993):

Análise do látice como blocos casualizados completos utilizando-se utilizadas as médias ajustadas dos tratamentos da análise com recuperação da informação interblocos, e tendo como quadrado médio do resíduo a variância efetiva média desta mesma análise com recuperação da informação interblocos.

O primeiro procedimento para se realizar esta análise foi obter as médias ajustadas dos tratamentos, da análise com recuperação da infomação interblocos. Procedimento este realizado por meio da metodologia apresentada por Pimentel-Gomes (1990). Em seguida realizou-se a análise do látice como blocos casualizados completos, utlizando-se as médias ajustadas dos tratamentos da análise com recuperação da informação interblocos e tendo como quadrado médio do resíduo a variância efetiva média desta mesma análise do látice com recuperação da informação interblocos.

As esperanças matemáticas dos quadrados médios, para esta análise, considerando o modelo aleatório, apresentadas na Tabela 4, foram simplesmente acopladas ao esquema de análise, como se fosse o modelo usual de análise de experimento em blocos casualizados completos, adotando as mesmas pressuposições deste modelo. Este procedimento é idêntico ao adotado por Suwantaradon (1974) e Vianna & Silva (1978), sendo uma alternativa de análise aproximada utilizada pelos melhoristas de plantas.

Neste caso, tem-se que

= média ajustada do tratamento i, obtida da análise do látice com recuperação da informação interblocos.

Q₁^* é a variância efetiva média, da análise do látice com recuperação da informação interblocos , que é dada por

em que

r é o número de repetições;

k é o número de parcelas em cada bloco;

V_b é o quadrado médio, da análise intrablocos, correspondente à fonte de variação blocos dentro de repetições (ajustado); e

V_r é o quadrado médio do resíduo intrablocos.

A estatística utilizada no modelo aleatório, para se testar a hipótese

que sob H₀⁽³⁾ tem, aproximadamente, distribuição F, com (v -1) e (k-1)(rk-k-1) graus de liberdade.

A partir das esperanças matemáticas dos quadrados médios apresentadas na Tabela 4, obtiveram-se os estimadores dos componentes de variância, dados por

O estimador do componente de variância fenotípica, em nível de médias dos tratamentos é dado por

com igual a média ajustada do tratamento i, obtida da análise do látice com recuperação da informação interblocos,

Eficiência relativa

A eficiência relativa dos experimentos montados em látice da análise com recuperação da informação interblocos, em relação aos blocos casualizados completos, foi calculada pela fórmula:

em que

= variância efetiva média da análise do látice com recuperação de informação interblocos; e

QMR = quadrado médio do resíduo da análise do látice como blocos casualizados completos.

Pela teoria tem-se que V_b ³ V_r. Mas, em virtude das variações do acaso, pode-se ter V_b<V_r. Nos casos onde ocorreu V_b<V_r, tomou-se V_b-V_r = 0. Este critério resulta nos seguintes fatos: i) o quadrado médio de tratamentos da quarta análise é idêntico ao da segunda e terceira análises; ii) ; e iii) a eficiência da análise do látice com recuperação da informação interblocos (Ef) em relação aos blocos casualizados completos é menor que 100%.

Sabe-se que o estimador do componente de variância devido a blocos dentro de repetições ajustados ( da 3^a análise) é dado por Assim, se na análise de dados realmente ocorrer V_b=Vr, então . Neste caso, a eficiência (Ef) é igual a 100%, conforme demonstrado por Silva (1997).

Herdabilidades

Estimaram-se as herdabilidades no sentido amplo, para a seleção com base nas médias dos tratamentos, para a variável altura de plantas, utilizando as estimativas dos componentes de variância fornecidas pelos quatro métodos de análise de experimentos montados em látice quadrado estudados, usando a seguinte fórmula:

Resultados e Discussão

Os resumos das análises de variâncias individuais, considerando as quatro alternativas de análise estudadas, encontram-se apresentadas na Tabela 5.

Nota-se que as hipóteses formuladas sobre os tratamentos, , foram rejeitadas menos vezes na primeira análise do que nas demais, ou seja, o teste F para estas hipóteses apresentou resultados contraditórios para o mesmo experimento, em alguns locais, dependendo do tipo de análise adotado. Esta discordância deve-se ao fato de que a primeira análise (análise intrablocos do látice com tratamentos ajustados e blocos dentro de repetições não-ajustados), apresentou, em média, maiores probabilidades de ocorrência do erro tipo I (rejeitar H₀, quando H₀ é verdadeira), em comparação com os demais tipos de análise estudados, como pode ser observado na Tabela 6.

Na terceira análise não se aplicou o teste de significância referente a tratamentos, pois considerando o modelo de análise intrablocos do látice, o teste deve ser realizado com tratamentos ajustados, isto é, primeira análise.

Pode-se observar que o coeficiente de variação (CV) apresentou valores entre 2,72% e 7,42%, com média igual a 5,72% quando foram realizadas as análises intrablocos do látice, e de 3,5% a 9,46% com média 6,19% quando o látice foi analisado como blocos casualizados completos. Com base nestes resultados, verifica-se que os experimentos apresentaram boa precisão, e que a análise do látice como blocos casualizados completos apresentou, em média, coeficientes de variação ligeiramente maiores do que as análises intrablocos do látice.

Quanto à eficiência relativa, observou-se, em média, um reduzido ganho do delineamento em látice, em relação aos blocos casualizados completos, 112,45%. Porém, pode-se verificar, que em alguns locais, o delineamento em látice apresentou uma superioridade incontestável sobre o delineamento em blocos casualizados completos, chegando a apresentar valores de eficiências relativas bem elevados, como, por exemplo, no local 16, que foi de 210,57%.

Na Tabela 7, verifica-se que as estimativas do componente obtidas por meio da análise do látice como blocos casualizados completos e da análise intrablocos do látice com tratamentos não-ajustados e blocos dentro de repetições ajustados foram idênticas, isto é concordando com os resultados obtidos por Cecon (1992). Viana (1993) demonstrou matematicamente a igualdade entre os estimadores destes dois componentes.

Comparando-se as Tabelas 5 e 7, verifica-se que a obtenção de estimativas de eficiência relativa dos delineamentos em látice com recuperação da informação interblocos, em relação aos blocos casualizados completos, inferiores a 100%, está associada à obtenção de estimativas negativas do componente de variância devido a efeitos de blocos dentro de repetições ajustadas (obtidas pela terceira análise), pois neste caso o cálculo da eficiência foi feito tomando-se V_b-V_r = 0, conforme descrito na metodologia. Nota-se, também, uma associação entre a eficiência relativa do látice e a relação existente entre os valores de obtidos pela quarta análise e os obtidos pela segunda e terceira análise. Quando a eficiência relativa foi maior que 100%, as estimativas obtidas pela quarta análise foram maiores que as obtidas pela segunda e terceira análise, e quando a eficiência relativa foi menor que 100% estas estimativa foram inferiores às outras em questão. Estes resultados estão de acordo com os obtidos por Vianna & Silva (1978).

As estimativas do componente de variância obtidas pela primeira análise (análise intrablocos com tratamentos ajustados e blocos dentro de repetições não-ajustados) ora foram maiores, ora foram menores que as obtidas pela segunda análise (análise do látice como blocos casualizados completos), de acordo com a seguinte expressão:

com

sendo o estimador do componente de variância genotípica obtido na 1^a análise;

sendo o estimador do componente de variância genotípica, obtido na 3^a análise;

sendo o estimador do componente de variância devido ao efeito de blocos dentro de repetições não-ajustados, obtido na 1^a análise; e

sendo o estimador do componente de variância devido ao efeito de blocos dentro de repetições ajustados, obtido na 3^a análise.

As estimativas do componente de variância residual, obtidas confirmam os resultados obtidos por Cecon (1992):

Observando as estimativas do coeficiente de herdabilidade obtidas pelas quatro análises, apresentadas na Tabela 8, nota-se que elas foram, em média, bem semelhantes, o que poderia indicar a viabilidade de utilização de qualquer uma das quatro análises para se estimar a herdabilidade. Porém, deve-se ressaltar que estas conclusões foram realizadas a partir de um conjunto específico de dados, e que em média, a eficiência relativa dos delineamentos em látice foi baixa.

Fazendo-se uma divisão destas estimativas em dois grupos, de acordo com a eficiência relativa dos delineamentos em látice, nota-se que nos locais em que a eficiência relativa foi igual ou superior a 100%, as estimativas da herdabilidade, obtidas pela análise intrablocos do látice com tratamentos ajustados, foram superiores às obtidas via análise do látice como blocos casualizados completos. Porém, nos locais em que a eficiência dos delineamentos em látice foram inferiores a 100%, estas estimativas foram as menores obtidas, e isto se deve ao fato de que as estimativas do componente de variância devido a efeitos de tratamentos (), obtidas nesta análise, foram menores que as demais, quando a eficiência relativa dos delineamentos em látice em relação aos blocos casualizados completos foram menores que 100%.

Os coeficientes de correlação de Spearman entre as médias ajustadas dos tratamentos, médias não- ajustadas e médias ajustadas com recuperação da informação interblocos, apresentados na Tabela 8, mostram que não houve grande discordância entre a classificação dos materiais avaliados, sendo que, no local 5, a classificação das médias não-ajustadas e ajustadas com recuperação da informação interblocos foram iguais (correlação igual a um). Este fato demonstra que os materiais selecionados por qualquer uma das estratégias de análise seriam praticamente os mesmos.

Silva (1997) apresentou as esperanças matemáticas dos produtos médios para as quatro alternativas de análise aqui apresentadas. Verificou que as relações observadas entre os componentes de variância também são válidas para os componentes de covariância. Apresentou ainda um estudo sobre correlações genotípicas, fenotípicas e de ambiente entre caracteres.

Conclusões

1. O delineamento em látice apresenta, em média, um reduzido ganho em eficiência em relação aos blocos casualizados completos.

2. As estimativas dos componentes de variância devidos a efeitos de tratamentos, obtidas a partir da segunda e terceira análises são exatamente iguais.

3. As estimativas desses componentes obtidas através da primeira e terceira análise obedecem a seguinte relação:

4. As estimativas de herdabilidade, para seleção com base nas médias dos tratamentos, obtidas pelas quatro alternativas de análise são semelhantes entre si, e há uma grande concordância entre as quatro alternativas de análise quanto à classificação dos materiais avaliados.

Referências

• CECON, P.R. Alternativas de análise de experimentos em látice e aplicações no melhoramento vegetal Piracicaba: ESALQ, 1992. 109p. Dissertação de Doutorado.
• COCHRAN, W.G.; COX, G. Experimental designs 2.ed. New York: John Wiley & Sons, 1957. 611p.
• FEDERER, W.T. Experimental designs New York: MacMillan, 1955. 544p.
• PIMENTEL-GOMES, F. Curso de Estatística Experimental 13.ed. Piracicaba: Nobel, 1990. 468p.
• SILVA, H.D. Análise de experimentos em látice quadrado ("Square Lattice") com ênfase em componentes de variância e aplicações no melhoramento genético vegetal Viçosa, MG: UFV, 1997. 139p. Dissertação de Mestrado.
• SUWANTARADON, K. Simultaneous selection for several agronomic characters in the BSSS2 maize population by means of selection indices Ames: Iowa State University, 1974. 159p. Ph.D. Thesis.
• VIANA, J.M.S. Análises individual e conjunta intrablocos de experimentos em Látice Quadrado ("Square Lattice"), com aplicação no melhoramento genético Viçosa, MG: UFV, 1993. 89p. (Monografia de Genética e Melhoramento, n.1).
• VIANNA, R.T.; SILVA, J.C. Comparação de três métodos estatísticos de análise de experimentos em "Látice" em milho (Zea mays L.). Experientiae, v.24, n.2, p.21-41, 1978.

Publication Dates

• Publication in this collection
  07 Nov 2005
• Date of issue
  Oct 1999

History

• Accepted
  18 Feb 1999
• Received
  18 Feb 1999