Modelagem bayesiana da precipitação máxima de Petrópolis (RJ) e Poços de Caldas (MG)

Bayesian modeling of the maximum rainfall of Petrópolis (RJ) and Poços de Caldas (MG)

Resumo

As cidades de Petrópolis (RJ) e Poços de Caldas (MG) estão situadas em regiões serranas de seus respectivos estados e sofrem frequentemente com estragos provocados por fortes chuvas. Analisar e prever a ocorrência de precipitações máximas nessas localidades são fundamentais para o planejamento de atividades vulneráveis à sua ocorrência. A modelagem dessa variável é feita geralmente com distribuição generalizada de valores extremos (GEV), e a metodologia bayesiana tem apresentado bons resultados na estimação de seus parâmetros. Sendo assim, o presente estudo teve como objetivos ajustar a distribuição GEV às séries históricas de precipitação máxima de Petrópolis e Poços de Caldas e avaliar diferentes estruturas de distribuições a priori, informativas e não informativas, na predição da precipitação máxima esperada para diferentes tempos de retorno. Foram analisados o número de acertos e a precisão a fim de avaliar as previsões obtidas com as informações advindas das precipitações máximas de diferentes localidades para eliciação da distribuição a priori. A obtenção das distribuições marginais a posteriori foi realizada usando-se o método Monte Carlo via cadeias de Markov. A utilização da distribuição a priori informativa fundamentada nos dados de Poços de Caldas foi mais precisa e teve maior número de acertos para predizer as precipitações máximas para Petrópolis, enquanto para Poços de Caldas foi a priori informativa com base nas informações de São João da Boa Vista (SP). Para ambas as localidades, espera-se que, em um tempo médio de cinco anos, ocorra pelo menos um dia com precipitação máxima igual ou superior a 100 mm.

Palavras-chave:
chuva extrema; distribuição generalizada de valores extremos; priori informativa; tempos de retorno

ABSTRACT

The cities of Petrópolis (RJ) and Poços de Caldas (MG) are located in the mountain range regions of their respective states in Brazil. They frequently suffer from damage caused by heavy rains. Therefore, analyzing and predicting the occurrence of maximum rainfall for these locations is fundamental for planning activities that are vulnerable to its occurrence. The modeling of this variable is done, generally, through the generalized distribution of extreme values (GEV), which the Bayesian methodology has shown good results in estimating its parameters. Therefore, the present study aimed to fit the GEV distribution to the historical series of maximum rainfall in Petrópolis and Poços de Caldas, and to evaluate different structures of prior distributions, informative and non-informative, in predicting the maximum rainfall expected for different return times. The number of successes and precision were analyzed in order to evaluate the predictions obtained with the information from the maximum rainfall of different locations to elicit the prior distribution. To obtain the posterior marginal distributions, the Monte Carlo method via Markov Chains was used. The use of informative prior distribution based on data from Poços de Caldas was more precise and accurate to predict the maximum rainfall for Petrópolis, while for Poços de Caldas, the informative prior based on information from São João da Boa Vista (SP) provided the best results. For both locations, it is expected that, in an average time of 5 years, there will be at least one day with maximum rainfall equal to or greater than 100 mm.

Keywords:
extreme rainfall; generalized distribution of extreme values; informative prior; return time

INTRODUÇÃO

As ocorrências de eventos climáticos extremos severos têm ganhado cada vez mais atenção da sociedade e da comunidade científica, principalmente pelo seu poder de destruição, acarretando perdas de vidas humanas e animais e de ordem econômica. A chuva apresenta grande influência nas atividades humanas, com aspectos favoráveis quando moderada e desfavoráveis quando intensa. Quando ocorre com alta intensidade, os seus efeitos são danosos, causando alagamentos, erosão nos solos, destruições nas plantações, rompimentos de diques e represas, entre outros (BASSO et al., 2016; REBOITA et al., 2017; PETRUCCI; OLIVEIRA, 2019).

As cidades de Petrópolis (RJ) e Poços de Caldas (MG) têm sofrido danos por causa da ocorrência de chuvas intensas, que têm ocasionado enchentes e alagamentos nos últimos anos, uma vez que municípios erguidos em regiões de relevos e declividades proeminentes têm maior chance de sofrer os impactos de grandes volumes pluviométricos (TAVARES; FERREIRA, 2020). As fortes chuvas ocorridas nos anos de 2011, 2013 e 2022 na região serrana do estado do Rio de Janeiro e que provocaram um dos piores desastres do país (PINHEIRO; ANDRADE; MOURA, 2011; OTTERO; CHARGEL; HORA, 2018; LARA; WIEDERKEHR, 2022) e as 25 ocorrências relacionadas a desastres naturais em Poços de Caldas, entre 2000 e 2013 (SARDINHA et al., 2016), somadas ao fato de que Petrópolis e Poços de Caldas estão localizadas em regiões serranas e possuem climas (Cfb e Cwb, respectivamente) semelhantes quanto às precipitações mensais e anuais (ROLIM et al., 2007), foram as principais motivações para a seleção das áreas a serem analisadas.

Sendo assim, a análise estatística dos registros meteorológicos é fundamental para entender os padrões climáticos das cidades e até mesmo das regiões, que são base para o planejamento das atividades de agricultura, saúde, planejamento urbano, entre outros. Logo, a previsão probabilística da ocorrência de precipitações máximas é de grande importância para o planejamento das atividades sujeitas a seus efeitos adversos, tais como a implantação de projetos de engenharia hidráulica e agrícola (PETRUCCI; OLIVEIRA, 2019). Portanto, conhecer, analisar e prever um evento climático extremo ao longo do tempo se faz relevante para o planejamento de atividades vulneráveis à sua ocorrência.

Com respeito a eventos climáticos extremos, a predição de ocorrência pode ser feita, entre outros modos, por meio da distribuição generalizada de valores extremos (GEV), a qual foi desenvolvida por Jenkinson (1955) e expressa em uma única função os três tipos de distribuição assintótica de valores extremos (Gumbel, Fréchet e Weibull). Há alguns métodos utilizados com o intuito de obter os estimadores dos parâmetros da distribuição GEV. Embora o método da máxima de verossimilhança seja um dos mais usados (BAUTISTA; ZOCCHI; ANGELOCCI, 2004), Coles e Dixon (1999) indicaram que esses estimadores não mantêm as boas propriedades em pequenas amostras, além de que, quando −1 < ξ < −0,5, os estimadores de máxima verossimilhança existem, mas não são regulares, e, quando ξ < −1, os estimadores de máxima verossimilhança não existem (SMITH, 1985). Uma maneira de contornar essa dificuldade, no processo de estimação, é adotar a inferência bayesiana, conforme sugerido por Coles e Powell (1996), que, juntamente com Coles e Tawn (1996), estão entre os primeiros autores a aplicar inferência bayesiana na distribuição GEV.

A abordagem bayesiana tem apresentado resultados mais acurados e precisos na análise de valores extremos (COLES; DIXON, 1999; BEIJO; VIVANCO; MUNIZ, 2009; MARTINS et al., 2018), já que ela permite que sejam incorporadas informações a priori, o que possibilita a redução das incertezas acerca das estimativas dos parâmetros. Outro ponto favorável, segundo Coles e Pericchi (2003), é que, além de possibilitar técnicas simples e transparentes para expressar incertezas e previsões, a abordagem bayesiana fornece um quadro mais coerente para acompanhar e quantificar as incertezas envolvidas no processo de previsão de precipitação máxima.

Apesar de diferentes trabalhos realizados analisarem a precipitação e suas consequências para diversas regiões por intermédio de métodos variados sobre as estimativas dos parâmetros da distribuição GEV (MEDEIROS; BARROS, 2011; OLIVEIRA et al., 2014; OTTERO; CHARGEL; HORA, 2018), não foram encontrados estudos abrangendo o nível de retorno pluviométrico das cidades de Petrópolis e Poços de Caldas que aplicassem a inferência bayesiana. Soma-se a isso o fato de que neste estudo, para a estimação dos parâmetros e para a predição da ocorrência de precipitações máximas, se utilizam diferentes informações a priori provenientes de cidades com características que se assemelham às em questão, como distância, altura e clima, o que possibilita a obtenção de melhores resultados.

Em razão da importância da previsão da ocorrência de precipitações extremas, objetivou-se com este trabalho predizer a ocorrência de precipitações máximas esperadas para as cidades de Petrópolis e Poços de Caldas, mediante o ajuste da distribuição GEV via abordagem bayesiana, comparando diferentes distribuições a priori (informativas e não informativas). Especificamente, foi avaliado se as informações a respeito das precipitações máximas das duas cidades em estudo e das cidades de Campos do Jordão (SP), Juiz de Fora (MG), São João da Boa Vista (SP) e Teresópolis (RJ), que são próximas às localidades em estudo, favorecem o aumento do número de acertos e a precisão na predição de precipitação máxima. Por meio da escolha da distribuição a priori mais adequada, foram realizadas para ambas as localidades a predição pontual e a predição intervalar das precipitações máximas esperadas para os tempos de retorno de dois, cinco, 10, 25, 50, 100, 125, 150 e 200 anos.

METODOLOGIA

Dados e região de estudo

Os dados de precipitação diária utilizados são expressos em altura por lâmina d’água (mm) e referem-se aos anos de 1943 a 2020. Desse conjunto de dados, foram selecionadas as precipitações máximas diárias anuais, totalizando uma série de máximos de até 78 dados para cada cidade analisada.

Os dados de precipitação de Petrópolis foram obtidos no Portal HidroWeb, do Sistema Nacional de Informações sobre Recursos Hídricos (SNIRH), gerenciado pela Agência Nacional de Águas e Saneamento Básico (ANA) na estação de coleta número 02243011, que possui dados referentes aos anos de 1943 a 2020. De acordo com Guerra, Gonçalves e Lopes (2007), Petrópolis está localizada ao norte do estado do Rio de Janeiro, a 845 m de altitude, e tem área de 811 km². Conforme a classificação de Köppen, seu clima é do tipo Cfb mesotérmico, com verão longo e chuvoso.

Visando obter uma série histórica de precipitação máxima para Poços de Caldas com a maior quantidade de dados, foi composta uma única série de precipitação máxima por meio de observações obtidas de três diferentes estações. A série principal da estação, de código 83681 (1989 a 2015), foi obtida no Banco de Dados Meteorológicos para Ensino e Pesquisa do Instituto Nacional de Meteorologia, e as demais séries das estações, com os respectivos códigos 2146048 e 2146074 (1941-1988 e 2016-2020), foram obtidas no Portal HidroWeb e utilizadas para complementar as lacunas da série principal. Como se verifica na Tabela 1, a série de precipitações máximas diárias anuais de Poços de Caldas possui 61 dados. Isso se deve ao fato de os registros das estações não conterem dados para os anos de 1952 a 1955, 1971 a 1979, 1982 e 1986 a 1988.

Poços de Caldas está situada ao sul do estado de Minas Gerais, a 1.286 m de altitude, e possui área total de 544 km². Segundo a classificação de Köppen, a cidade possui clima do tipo Cwb mesotérmico, caracterizado por verão com altos índices pluviométricos nos meses de outubro a março e inverno seco nos meses de abril a setembro (SARDINHA et al., 2016).

Para ambas as séries, as observações referentes aos anos de 1943 a 1980 foram utilizadas para estimar os parâmetros da distribuição GEV e calcular a precipitação máxima provável para os tempos de retorno de 10, 20, 30 e 40 anos. Das observações restantes (1981 a 2020), foram extraídas as precipitações máximas observadas em 10, 20, 30 e 40 anos para verificar o número de acertos na predição e o erro absoluto médio percentual das precipitações máximas esperadas obtidas via inferência bayesiana, considerando as diferentes distribuições a priori.

Para verificar se as observações satisfaziam à pressuposição de independência da função de verossimilhança, foi utilizado o teste de Ljung-Box (LJUNG; BOX, 1978) ao nível de significância de 1%. Para analisar a estacionariedade da série, utilizou-se o teste de Mann-Kendall (MANN, 1945; KENDALL, 1975) ao nível de significância de 5%.

Modelagem

Para ambas as séries de precipitação máxima, de Petrópolis e Poços de Caldas, ajustou-se a distribuição GEV, que, conforme Mendes (2004), tem a função densidade de probabilidade dada pela Equação 1:

(1) $$f\left(x\right)\frac{1}{\sigma }\left\{{\left[1+\xi \left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)\right]}^{-\left(\frac{1+\xi }{\xi }\right)}exp\left\{-{\left[1+\xi \left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)\right]}^{-\left(\frac{1}{\xi }\right)}\right\}\right\},$$

Definida $\text{em +}\xi \left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)>0$ para ξ ≠ 0 e x ∈ ℝ para ξ ≠ 0.

Em que:

μ = parâmetro posição, com σ > 0.

σ = parâmetro escala, com σ > 0.

ξ = parâmetro forma, com σ > 0.

Para obter estimativas dos parâmetros da distribuição GEV, foi utilizada inferência bayesiana. Essa metodologia permite incorporar toda informação acerca dos parâmetros na distribuição a posteriori (p(θ|x)), dada pela Equação 2, a qual combina a função de verossimilhança da distribuição (L(θ|x)), que incorpora informação provinda dos dados, e a distribuição a priori (p(θ)), que incorpora conhecimento a respeito dos parâmetros externos aos dados que pode ser obtido de problemas e fatos análogos ou da experiência de um especialista.

(2) $$p\left(\theta |x\right)\propto L\left(\theta |x\right)p\left(\theta \right).$$

A função de verossimilhança da distribuição GEV é dada pela Equação 3:

(3) $$L\left(\theta |x\right)=\frac{1}{{\sigma }^n}{\displaystyle \prod _{i=1}^n\left\{{\left[1+\xi \left(\frac{x_i-\mu }{\sigma }\right)\right]}^{-\left(\frac{1+\xi }{\xi }\right)}\right\}}exp\left\{{\displaystyle \sum _{i=1}^n\left\{-{\left[1+\xi \left(\frac{x_i-\mu }{\sigma }\right)\right]}^{\frac{-1}{\xi }}\right\}}\right\},$$

Em que:

θ = (μ, σ, ξ)

Como distribuição a priori, foi utilizada a distribuição normal trivariada, conforme proposto por Coles e Powell (1996), dada pela Equação 4:

(4) $$p\left(\theta \right)\propto exp\left\{-\frac{1}{2}{\left(\theta -{\Phi }_0\right)}^t{{\displaystyle \sum {}_0}}^{-1}\left(\theta -{\Phi }_0\right)\right\},$$

Em que:

Φ₀ = (μ₀, log σ₀, ξ₀) = vetor de médias dos hiperparâmetros;

Σ₀ = a matriz de variâncias e covariâncias, dada pela Equação 5:

(5) $${\displaystyle {\sum }_0=\left[\begin{array}{ccc}var\left({\mu }_0\right)& cov\left(\log {\sigma }_0,{\mu }_0\right)& cov\left({\xi }_0,{\mu }_0\right)\\ cov\left({\mu }_0,\log {\sigma }_0\right)& var\left(log\left({\sigma }_0\right)\right)& cov\left({\xi }_0,\log {\sigma }_0\right)\\ cov\left({\mu }_0,{\xi }_0\right)& cov\left(\log {\sigma }_0,{\xi }_0\right)& var\left({\xi }_0\right)\end{array}\right]}$$

Para a obtenção das informações para os hiperparâmetros da distribuição a priori, foi ajustada a distribuição GEV aos dados de precipitação máxima das cidades de Campos do Jordão, Juiz de Fora, São João da Boa Vista e Teresópolis, que são próximas às duas localidades em estudo (Figura 1), tendo sido os dados obtidos no Portal HidroWeb. Além das cidades citadas, os dados de Poços de Caldas e Petrópolis foram utilizados mutuamente como informação a priori.

Figura 1
Mapa de localização das cidades de (1) Campos do Jordão (SP), (2) Juiz de Fora (MG), (3) Petrópolis (RJ), (4) Poços de Caldas (MG), (5) São João da Boa Vista (SP) e (6) Teresópolis (RJ).

Os valores dos hiperparâmetros adotados para priori informativa de Campos do Jordão, Juiz de Fora, São João da Boa Vista, Petrópolis, Poços de Caldas e Teresópolis estão na Tabela 2. Posto que as matrizes de covariância 3 × 3 são simétricas, foram apresentados somente os valores da diagonal principal (variância) e superior ou inferior (covariância).

Tabela 1
Características climáticas e geográficas das cidades de Campos do Jordão, Juiz de Fora, Petrópolis, Poços de Caldas, São João da Boa Vista e Teresópolis, além dos respectivos tamanhos de amostra (n) utilizada e da distância linear (km) das cidades a Petrópolis e Poços de Caldas.

Cidade	Clima (Köppen)	Altitude (m)	Latitude	Longitude	n	Distância a Petrópolis	Distância a Poços de Caldas
Campos do Jordão	Cfb subtropical	1.628	22°44’22”S	45°35’29”W	78	250,3	145,3
Juiz de Fora	Cwa subtropical	698	21°41’20”S	43°20’59”W	78	91,7	332,5
Petrópolis	Cfb mesotérmico	845	22°30’00”S	43°10’12”W	78	–	358,7
Poços de Caldas	Cwb mesotérmico	1.286	21°47’18”S	46°33’45”W	61	358,7	–
São João da Boa Vista	Cwa mesotérmico	780	21°58’00”S	46°48’00”W	75	378,7	31,6
Teresópolis	Cfb mesotérmico	980	22°25’00”S	42°58’41”W	78	21,8	376,3

Guerra, Gonçalves e Lopes (2007)Lima e Medeiros (2008)Medeiros e Barros (2011)Silveira (2012)et al.et al.et al.Cardozo e Valério Filho (2021)

Com o intuito de flexibilizar as informações fornecidas a priori, as matrizes de variância e covariância, Σ₀ das distribuições a priori informativas de Campos do Jordão, Juiz de Fora, São João da Boa Vista, Poços de Caldas e Teresópolis foram multiplicadas por 1 e 4, as quais foram denominadas, respectivamente, de PICJ1, PICJ4, PIJF1, PIJF4, PISJ1, PISJ4, PIPC1, PIPC4, PITe1, PITe4. Conforme Butturi-Gomes, Beijo e Avelar (2019) e Branco, Oliveira e Beijo (2022), a flexibilização das informações a priori é o processo de suavização do peso da priori no processo de estimação e ocorre por causa do aumento do valor da variância.

Para o caso da distribuição a priori não informativa, foram adotados os respectivos valores dos hiperparâmetros:

$${\Phi }_0=\left(0,1,0\right)\text{e a diagonal principal de }.{\displaystyle {\sum }_0=\left[\begin{array}{ccc}10000& 0& 0\\ 0& 10000& 0\\ 0& 0& 100\end{array}\right]}$$

A distribuição a posteriori, dada pelo produto das Equações 3 e 4, não possui solução analítica, e, para obtenção das cadeias a posteriori para cada parâmetro, necessitou-se utilizar o algoritmo iterativo de Metropolis Hastings (GAMERMAN, 1996), que é fundamentado no método de Monte Carlo via cadeias de Markov (MCMC). Foram geradas cadeias com 120 mil iterações, tendo sido feito descarte (burn-in) das 20 mil primeiras iterações e realizados saltos (thinning) a cada 20 iterações.

A análise de convergência das cadeias foi realizada por meio de três critérios: critério de Geweke, critério de Raftery e Lewis e critério de Heidelberger-Welch. Na prática, o critério de Geweke (1992) deve ser observado se o módulo da estatística do teste é superior a 1,96, isto é, |ZG| < 1,96. No critério de Raftery e Lewis (1992) foi verificado se o fator de dependência é próximo de 1. No critério de Heidelberger-Welch (1983) se constatou se o valor p do teste foi superior ao nível de significância adotado (5%).

Avaliação das distribuições a priori

Para avaliar o desempenho das distribuições a priori, foram utilizados o critério de informação pela desviância (DIC), o número de acertos na predição (NAP), a amplitude intervalar média (AIM) e o erro absoluto médio percentual (EAMP).

O DIC, introduzido por Spiegelhalter et al. (2002), em problemas bayesianos de seleção de modelos para os quais amostras das distribuições a posteriori dos parâmetros dos modelos são obtidas por simulação Monte Carlo via cadeias de Markov é comum e dá-se pela Equação 6:

(6) $$DIC=D\left(\overline{\theta }\right)+2p_D$$

Em que:

$D\left(\overline{\theta }\right)$ = a desviância na média a posteriori;

p_D = o número efetivo de parâmetros no modelo, que é dado por $p_D=\overline{D\left(\theta \right)}-D\left(\overline{\theta }\right)$, em que $\overline{D\left(\theta \right)}=E\left[D\left(\overline{\theta }\right)\right]$ é a desviância média a posteriori.

Spiegelhalter et al. (2003) sugerem utilizar o módulo da diferença entre os valores de DIC de dois modelos, A e B (Equação 7):

(7) $$D=\left|DI{C}_A-DI{C}_B\right|$$

Segundo os autores, se D > 5, existe diferença substancial entre os modelos e deve-se preferir o modelo de menor DIC. Caso contrário, não há diferença substancial entre os modelos, e outro critério deve ser aplicado.

Os valores das métricas NAP, AIM e EAMP foram obtidos baseando-se nos níveis de retorno para os tempos de retorno (T) de 10, 20, 30 e 40 anos.

O nível de retorno, que corresponde ao quantil da distribuição GEV (1), equivalente à precipitação máxima esperada para determinado tempo de retorno (T, em anos), conforme Mendes (2004), é dado pela Equação 8:

(8) $$x_p=\widehat{\mu }-\frac{\widehat{\sigma }}{\widehat{\xi }}\left\{1-{\left[-ln\left(1-\frac{1}{T}\right)\right]}^{-\widehat{\xi }}\right\}.$$

Tabela 2
Valores dos hiperparâmetros obtidos via distribuição generalizada de valores extremos ajustada aos dados de precipitação máxima diária anual dos municípios Campos do Jordão, Juiz de Fora, São João da Boa Vista, Petrópolis, Poços de Caldas e Teresópolis.

Cidade	Média			Variância			Covariância
	μ 0	σ 0	ξ 0	μ 0	σ 0	ξ 0	σ0, μ0	ξ0, σ0	ξ0, μ0
Campos do Jordão	65,76	19,93	0,10	15,09	9,22	0,03	6,51	−0,31	−0,20
Juiz de Fora	64,55	20,53	−0,26	14,10	7,66	0,02	1,18	−0,20	−0,21
São João da Boa Vista	67,60	13,75	−0,16	7,22	4,20	0,03	1,87	−0,25	−0,23
Petrópolis	73,80	22,04	−0,08	17,19	9,23	0,02	4,31	−0,27	−0,22
Poços de Caldas	75,66	20,30	−0,44	19,84	11,72	0,03	−1,60	−0,32	−0,37
Teresópolis	64,05	16,58	−0,16	9,98	5,57	0,02	2,18	−0,24	−0,22

As estimativas x_p foram obtidas pela substituição das cadeias a posteriori dos parâmetros das distribuições GEV na Equação 8, formando assim uma distribuição preditiva. Como estimativa pontual, foi adotada a média a posteriori.

Mediante o conhecimento dos níveis de retorno preditos, pôde-se calcular o EAMP, dado pela Equação 9:

(9) $$EAMP=\frac{1}{k}{\displaystyle \sum _{j=1}^k\left|\frac{x_o-x_p}{x_o}\right|\times 100,}$$

Em que:

x_o = precipitação máxima observada;

x_p = precipitação máxima predita para o j-ésimo tempo de retorno;

|k| = número de previsões.

Para avaliar o número de acertos na predição, foi analisado se os valores observados da precipitação máxima, para cada tempo de retorno, pertencem aos intervalos de credibilidade highest posterior density (HPD) a 95% para os respectivos tempos de retorno. A precisão foi avaliada usando-se a amplitude de intervalo de credibilidade HPD a 95%, que é dada pela diferença entre o seu limite superior e o seu limite inferior, tendo sido adotada a AIM, dada pela Equação 10:

(10) $$AIM=\frac{1}{k}{\displaystyle \sum _{j=1}^k\left(L{S}_j-L{I}_j\right),}$$

Em que:

|LI_j| e |LS_j| = respectivamente, os limites inferior e superior do intervalo HPD de 95% de credibilidade da precipitação máxima predita para o j-ésimo tempo de retorno;

|k| = número de previsões.

Como critério de decisão para seleção da distribuição a priori mais adequada para se realizar as predições de precipitação máxima para cada cidade, utilizou-se a seguinte ordem das métricas de avaliação: se D > 5, deve-se selecionar o modelo com menor valor de DIC; se não, deve-se escolher o modelo com maior NAP, menor AIM e menor EAMP.

Com base no conhecimento da distribuição a priori utilizada, foram realizadas, para ambas as localidades, a predição pontual e intervalar das precipitações máximas esperadas para os tempos de retorno de dois, cinco, 10, 25, 50, 100, 125, 150 e 200 anos.

Todas as análises estatísticas foram feitas com auxílio do software R Core Team (2021) e seus respectivos pacotes: coda (PLUMMER, 2015), evdbayes (STEPHENSON; RIBATET, 2006) e extRemes (GILLELAND; KATZ, 2015).

RESULTADOS E DISCUSSÃO

Na Figura 2 são apresentados os gráficos de dispersão das precipitações máximas anuais de Campos do Jordão, Juiz de Fora, São João da Boa Vista, Petrópolis, Poços de Caldas e Teresópolis, correspondentes aos registros de 1943 a 2020. Pode-se observar que a cidade de Juiz de Fora e Petrópolis têm maior ocorrência de precipitações máximas superiores a 100 mm.

Figura 2
Gráfico de dispersão das séries de precipitação máxima diária anual (mm) ocorridas no período de 1943 a 2020 nas cidades de Campos do Jordão (SP), Juiz de Fora (MG), São João da Boa Vista (SP), Petrópolis (RJ), Poços de Caldas (MG) e Teresópolis (RJ).

Na Figura 3 estão os diagramas de caixa dos dados de precipitação máxima anual referentes aos anos de 1943 a 2020 das cidades Campos do Jordão, Juiz de Fora, São João da Boa Vista, Petrópolis, Poços de Caldas e Teresópolis. Observa-se que o terceiro quartil para os dados Petrópolis apresenta valor superior a 100 mm, indicando que, das precipitações máximas anuais que ocorreram entre 1943 e 2020, 25% exibiram valores superiores a 101,4 mm. Vê-se também que somente para as séries de máximos das cidades de Petrópolis e Juiz de Fora as medianas foram superiores a 80 mm. Pode-se verificar que, com exceção da série de máximos de São João da Boa Vista, há presença de outliers para todas as demais séries.

Figura 3
Diagramas de caixa (boxplot) referentes às precipitações máximas anuais ocorridas nos anos de 1943 a 2020 nas cidades de Campos do Jordão (SP), Juiz de Fora (MG), São João da Boa Vista (SP), Petrópolis (RJ), Poços de Caldas (MG) e Teresópolis (RJ).

Para verificar as pressuposições de independência e estacionariedade das séries de precipitações máximas, foram utilizados, respectivamente, os testes de Ljung-Box e Mann-Kendall, com seus resultados apresentados na Tabela 3.

Tabela 3
Resultados dos testes (valor p) de Ljung-Box e Mann- Kendall das séries de precipitação máxima anual (mm), de 1943 a 1980, em Campos do Jordão (SP), Juiz de Fora (MG), São João da Boa Vista (SP), Petrópolis (RJ), Poços de Caldas (MG) e Teresópolis (RJ).

Cidade	Ljung-Box	Mann-Kendall
Campos do Jordão	0,8229	0,0645
Juiz de Fora	0,9995	0,6150
São João da Boa Vista	0,9982	0,5887
Petrópolis	0,8780	0,8799
Poços de Caldas	0,3190	0,8773
Teresópolis	0,4199	0,5974

Conforme a Tabela 3, pode-se observar que, pelos resultados do teste de Ljung-Box ao nível de significância de 5%, as séries de máximos são independentes. Por meio do teste de Mann-Kendall, verificou-se que as séries são estacionárias, ou seja, não há indícios de presença de tendências nas séries de máximos. Esse resultado corrobora os obtidos por Penereiro e Meschiatti (2018), que, ao analisarem tendências climáticas em 243 séries anuais de precipitação pluviométrica em cidades do Brasil, constataram ausência de tendência no índice de precipitação em mais de 91% dos casos.

Satisfeitas às pressuposições de que as séries de Petrópolis e Poços de Caldas são independentes e que não há evidência de presença de tendências, torna-se possível o ajuste da distribuição GEV via inferência bayesiana aos dados de precipitação máxima de Petrópolis e Poços de Caldas. Na Tabela 4, há o resumo dos resultados dos critérios de convergência utilizados, Geweke, Raftery e Lewis e Heidelberger-Welch, constando apenas o maior valor do fator de Raftery e Lewis, a maior estatística de Geweke e o menor valor p de Heidelberger-Welch, entre os três parâmetros de cada distribuição a priori.

Pelos resultados da Tabela 4, verifica-se que, para todas as distribuições a priori e todos os parâmetros (μ, σ, ξ), não há evidências de ausência de convergência das cadeias a posteriori. De fato, analisando-se o fator de dependência do critério de Raftery e Lewis, os valores ficaram próximos de 1, o que indica independência entre as iterações. Conforme Nogueira, Safadi e Ferreira (2004), considera-se que não há convergência das cadeias a posteriori para valores de fator de dependência acima de 5. Pelo critério de Geweke, tem-se que os módulos das estatísticas são inferiores a 1,96, indicando que não há indícios de ausência de convergência. Por meio do teste de Heidelberger e Welch, constatou-se que os valores p foram não significativos, isto é, p > 0,05, indicando a estacionariedade das cadeias a posteriori.

Tabela 4
Resumo dos resultados dos critérios de convergência: fator Raftery e Lewis, módulo da estatística de Geweke e valor p de Heidelberger-Welch.

Prioris	Petrópolis			Poços de Caldas
	Fator Raftery e Lewis	Módulo da estatística de Geweke	Valor p de Heidelberger-Welch	Fator Raftery e Lewis	Módulo da estatística de Geweke	Valor p de Heidelberger-Welch
PNI	1,2	1,193	0,593	1,4	1,365	0,756
PICJ1	1,3	1,648	0,465	1,3	0,898	0,083
PICJ4	1,7	1,954	0,070	1,7	1,748	0,185
PIJF1	1,3	1,779	0,416	1,4	1,090	0,252
PIJF4	1,6	1,176	0,653	1,7	1,255	0,473
PISJ1	1,1	0,791	0,773	1,1	0,625	0,130
PISJ4	1,5	1,417	0,340	1,5	1,110	0,068
PIPC1	1,4	1,179	0,227	–	–	–
PIPC4	1,7	1,060	0,262	–	–	–
PIPe1	–	–	–	1,2	0,928	0,257
PIPe4	–	–	–	1,9	1,649	0,255

• PNI: distribuição a priori não informativa.

Uma vez identificado que não há evidências de ausência de convergência das cadeias a posteriori, foram calculados, para ambas as localidades, os níveis de retorno predito para os tempos de retorno de 10, 20, 30 e 40 anos, considerando todas as distribuições a priori, e, com base nos valores obtidos, foram calculados o DIC, NAP, EAMP e AIM, cujos resultados estão na Tabela 5.

Tabela 5
Resultados do critério de informação pela desviância, erro absoluto médio percentual, número de acertos na predição e amplitude intervalar média das precipitações máximas anuais preditas para os tempos de retorno de 10, 20, 30 e 40 anos, para a cidade de Petrópolis (RJ) e Poços de Caldas (MG), via inferência bayesiana, fundamentada nos dados de Campos do Jordão (SP), Juiz de Fora (MG), São João da Boa Vista (SP), Petrópolis (RJ), Poços de Caldas (MG) e Teresópolis (RJ).

Petrópolis					Poços de Caldas
Priori	DIC	NAP	AIM_(mm)	EAMP	Priori	DIC	NAP	AIM_(mm)	EAMP
PIPC1	357,5	4	61,7	9,7	PISJ4	233,5	4	56,3	13,1
PIT1	362,0	4	79,9	7,9	PIT4	233,3	4	56,5	13,1
PISJ1	360,5	4	93,5	7,7	PIPe4	233,3	4	58,7	13,3
PIJF1	358,4	3	56,7	12,1	PIJF4	233,5	3	50,6	13,3
PNI	357,7	3	57,7	16,6	PICJ4	234,6	3	52,2	12,4
PIJF4	358,4	3	59,5	14,6	PNI	231,5	2	25,7	16,3
PIT4	358,2	3	65,8	14,0	PIJF1	237,6	4	63,2	11,3
PIPC4	357,2	3	66,1	13,4	PIPe1	238,3	4	98,8	15,7
PICJ4	359,1	3	69,6	14,1	PICJ1	243,9	4	99,2	11,6
PISJ4	357,7	3	70,6	13,4	PISJ1	239,8	4	107,5	19,1
PICJ1	365,3	4	91,4	7,3	PIT1	239,9	4	108,1	18,9

• DIC: critério de informação pela desviância; EAMP: erro absoluto médio percentual; NAP: número de acertos na predição; AIM: amplitude intervalar média; PNI: distribuição a priori não informativa.

Analisando-se os resultados da Tabela 5, pode-se observar que, entre as distribuições a priori que apresentaram menor valor de DIC, entre os quais a diferença de DIC não foi maior que 5, as distribuições a priori informativas (PIPC1, PIT1 e PISJ1) para Teresópolis e as distribuições a priori informativas (PISJ4, PIT4 e PIPe4) para Poços de Caldas exibiram maior NAP, com quatro acertos, porém a priori PIPC1 para Teresópolis e a priori PISJ4 para Poços de Caldas apresentaram menor AIM, sendo assim as mais precisas.

Ressalta-se também que todas as distribuições a priori informativas apresentaram menor EAMP e maior NAP do que as não informativas, na análise da série de Petrópolis e Poços de Caldas, respectivamente. Esses resultados corroboram os obtidos por Coles e Powell (1996) e Martins et al. (2018), que, ao utilizarem a metodologia bayesiana, observaram que o fato de adotar distribuições a priori informativas permitiu obterem estimativas de precipitações máximas, para certos períodos de retorno, com maior número de acertos na predição e maior precisão. Conforme Eli et al. (2014), a inclusão das informações a priori permite reduzir a quantidade de incerteza na modelagem de extremos.

Mediante a obtenção do modelo mais adequado, foi predita a precipitação máxima via inferência bayesiana para os tempos de retorno de dois, cinco, 10, 25, 50, 100, 125, 150 e 200 anos, via inferência bayesiana, para Petrópolis e Poços de Caldas, utilizando-se PIPC1 e PISJ4, respectivamente, estando os resultados na Tabela 6.

Tabela 6
Estimativas (médias a posteriori) da precipitação máxima anual (mm) de Poços de Caldas (MG) e Petrópolis (RJ) obtidas via PIPC1 e PISJ4, respectivamente, para os tempos de retorno de dois, cinco, 10, 25, 50, 100, 125, 150 e 200 anos e seus respectivos intervalos de credibilidade HPD_95%.

Cidade	Priori	Tempo de retorno	Estimativa	Intervalo HPD95%
				LI	LS
Petrópolis	PIPC1	2	76,8	73,3	80,7
		5	104,6	97,4	112,6
		10	125,9	113,3	138,4
		25	156,5	135,6	180,3
		50	182,5	152,3	218,9
		100	211,5	169,9	265,7
		125	221,5	174,9	281,8
		150	229,9	178,8	295,5
		200	243,8	185,3	319,2
Poços de Caldas	PISJ4	2	75,3	70,1	80,6
		5	100,2	91,34	109,1
		10	116,2	103,7	129,9
		25	136,0	116,6	158,1
		50	150,4	126,2	181,8
		100	164,6	132,9	204,8
		125	169,1	134,2	211,9
		150	172,7	135,5	218,0
		200	178,5	138,0	228,3

• HPD: highest posterior density; LI: limite inferior do intervalo; LS: limite superior do intervalo.

Uma interpretação prática para os níveis de retorno de precipitação máxima de Petrópolis, considerando os resultados da Tabela 6 e o tempo de retorno de 50 anos, é a seguinte: espera-se, em um tempo médio de 50 anos, que ocorra pelo menos um dia com precipitação máxima no ano maior ou igual a 182,5 mm. Além disso, espera-se com 95% de credibilidade que ocorra precipitação máxima maior ou igual a um valor que esteja entre 152,3 e 218,9. Esse resultado corrobora os obtidos por Ottero, Chargel e Hora (2018), que utilizaram a distribuição Gumbel (caso particular da GEV) para predizer a precipitação máxima da estação meteorológica Itamarati, em Petrópolis, para tempos de retorno de 50 e 100 anos e obtiveram, respectivamente, precipitações de 185,6 e 203,4 mm, valores contidos nos respectivos intervalos HPD_95% obtidos.

Medeiros e Barros (2011) analisaram a precipitação máxima para a região serrana do Rio de Janeiro e previram os níveis de retorno de máximas anuais para 10, 50 e 100 anos com o recurso da distribuição Gumbel e obtiveram 122, 157 e 171 mm, ratificando assim os resultados da Tabela 6.

Oliveira et al. (2014) analisaram a aplicabilidade da distribuição GEV no estudo de precipitação máxima no sul de Minas Gerais e verificaram, utilizando o método dos momentos L para estimação dos parâmetros da GEV, que, para o tempo de retorno de 50 anos, se espera precipitação máxima diária anual de 167 mm na cidade de Poços de Caldas, valor este que pertence à estimativa intervalar HPD_95% de ambos os períodos para o mesmo tempo de retorno do presente trabalho.

CONCLUSÕES

Neste trabalho, utilizou-se a abordagem bayesiana, comparando diferentes distribuições a priori (informativas e não informativas), para ajustar a distribuição GEV e predizer a ocorrência de precipitações máximas esperadas para as cidades de Petrópolis e Poços de Caldas.

A distribuição GEV ajustou-se às séries de dados de precipitação máxima anual de Petrópolis e Poços de Caldas e mostrou-se eficaz para predições de precipitação máxima nas localidades. As séries de precipitações máximas anuais de Petrópolis e Poços de Caldas não apresentam tendência.

A incorporação de informações a priori, via metodologia bayesiana, permitiu aumentar o número de acertos e a precisão na predição da precipitação máxima anual de Petrópolis e Poços de Caldas. A distribuição a priori informativa, fundamentada nos dados de Poços de Caldas e São João da Boa Vista, foram as mais adequadas para predizer as precipitações máximas para Petrópolis e Poços de Caldas, respectivamente.

Para ambas as localidades, espera-se que, em um tempo médio de cinco anos, ocorra pelo menos um dia com precipitação máxima igual ou superior a 100 mm.

As estimativas de precipitação máxima apresentaram certa sensibilidade à escolha do local usado para a formulação das priori informativas, destacando-se a necessidade de se adotar alguma métrica para avaliar o efeito da informação a priori na predição de precipitação máxima.

Os resultados obtidos no presente trabalho podem ser utilizados por gestores e demais profissionais de diferentes setores para o planejamento de atividades sujeitas aos efeitos adversos da precipitação extrema em Petrópolis e Poços de Caldas.

• Financiamento: Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – Código de Financiamento 001.

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  03 Abr 2023
• Data do Fascículo
  2023

Histórico

• Recebido
  24 Dez 2021
• Aceito
  24 Out 2022