Acessibilidade / Reportar erro

Nota sobre a atração entre carga e folha dielétrica: Uma errata comentada

Note on the attraction between charge and a dielectric foil: A commented errata

Resumos

Corrige-se e comenta-se resultado obtido em artigo publicado nesta revista sobre a atração entre carga elétrica e folha dielétrica – Revista Brasileira de Ensino de Física 24, 285 (2002). O caso de folhas condutoras também é discutido.

força eletrostática; carga elétrica; folha dielétrica


Results of an article published in this journal, Revista Brasileira de Ensino de Física 24, 285 (2002), concerning the attraction between a charge and a dielectric foil are corrected and commented. The case of a conducting foil is also discussed.

electrostatic force; electric charge; dielectric foil


1.

Introdução

No artigo “Carga em presença de folha dielétrica e a atração entre elas” [1[1] G.F. Leal Ferreira, Revista Brasileira de Ensino de Física 24, 285 (2002).], usou-se o método das imagens para se obter a solução do problema eletrostático.Na Fig. 1 mostra-se a disposição entre elas, sendo h a distância da carga q ao plano médio da folha, de espessura s. (e não à superfície da folha como na Ref. [1[1] G.F. Leal Ferreira, Revista Brasileira de Ensino de Física 24, 285 (2002).]). Na Fig. 2 mostram-se as cargas e dipolos imagens – com orientações convencionadas –, para as três regiões de continuidade do campo elétrico, com a notação em que as grandezas com linha estão abaixo da folha e os sub-índices designam a região a que se aplicam. A região I é aquela onde está colocada a carga q, a região II a do interior da folha, e a III é a livre, abaixo da folha. Para a região I usou-se, além da carga q, carga q″ simetricamente a q, (que resultou nula, e será ignorada aqui), e dipolo m′I em III, simulando a reação da folha. Para a região II, usou-se carga qii e dipolo mii na posição de q e carga q′II e dipolo m′II na posição simétrica, abaixo da folha. Finalmente, para a região III, carga q e dipolo mIII na posição de q. Impôs-se a seguir a continuidade do potencial e da componente normal do deslocamento elétrico nas interfaces da folha, sendo k a constante dielétrica da folha. Os termos referentes às cargas foram desenvolvidas até a ordem de s, obtendo-se na Ref. [1[1] G.F. Leal Ferreira, Revista Brasileira de Ensino de Física 24, 285 (2002).], para as grandezas m′I, qII, mII, q′II, m′II e mIII, as equações Eqs. (25) a (28), com sua solução nas Eqs. (24) e (29), com a particularidade de fazer a força de atração finita para h tendendo a infinito (Eqs. (30) e (31) da Ref. [1[1] G.F. Leal Ferreira, Revista Brasileira de Ensino de Física 24, 285 (2002).]). Porem, os momentos de dipolo resultantes não coincidiram com aqueles induzidos da solução de Smythe [2[2] W.R. Smythe, Static and Dynamic Electricity (McGraw Hill Book Co., New York, 1950), chap. 5.] para blocos dielétricos no limite em que suas espessuras se tornam desprezíveis em relação à distância da carga à folha. Mas neste caso, a força tende para infinito para k, para distâncias finitas, fato este fisicamente inaceitável, O artigo termina confessando não saber a razão da discrepância e implicitamente promovendo a solução obtida pelo método das imagens como a correta (porque finita).

Presentemente retomamos o problema e verificamos que a Eq. (26) do sistema na Ref. [1[1] G.F. Leal Ferreira, Revista Brasileira de Ensino de Física 24, 285 (2002).] apresentava erro e o sistema a ser resolvido tornou-se então

mImIImII=qs2(1+1k),mIkmIIkmII=qs2(1+k),mIImII+mIII=qs2(11k),kmII+kmII+mIII=qs2(1k),
com a confirmação dos valores das cargas, qII = q(k + 1)/2k, q′II = q(k − 1)/2 e qIII = q. Do sistema corrigido acima, resultaram os momentos de dipolo
mI=k212kqs,mII=(k1)(k21)4k2qs,mII=(k1)2(k2+1)4k2qs,
e
(1)mIII=(k1)22kqs,
dos quais mIII em especial coincide com aquele advindo do tratamento de Smythe [2[2] W.R. Smythe, Static and Dynamic Electricity (McGraw Hill Book Co., New York, 1950), chap. 5.], Eq. (33) na Ref. [1[1] G.F. Leal Ferreira, Revista Brasileira de Ensino de Física 24, 285 (2002).]. Note-se que os dipolos na Fig. 2 devem ser revertidos e se anulam para k = 1. Com o valor de m′I negativo, obtém-se a força de atração F entre a carga e a folha,
(2)F=(k21)q2s16kh3,
em vez do valor na Eq. (30) na Ref. [1[1] G.F. Leal Ferreira, Revista Brasileira de Ensino de Física 24, 285 (2002).].

2.

Discutindo a aparente divergência da força de atração para k → ∞

E. Durand [3[3] E. Durand, Életrostatique (Masson Éditeurs, Paris, 1966), v. 3, p. 233.] no seu tratamento do mesmo problema, carga indutora-bloco dielétrico, dá explicitamente o valor do potencial, V′1, na região I. Com os símbolos das Figs. 12, em coordenadas cilíndricas, ρ e z, com origem no ponto simétrico de q (onde foi colocadoq′I) e exclusive da ação direta de q, esse potencial é dado por

(3)V1=2βq0(senhms).emzJ0(mρ)1β2e2msdm,h+s2<z<,
em que J0 é a função de Bessel de ordem 0, e β = (k − 1)/(k + 1). Devemos recorrer ao tratamento analítico (de Durand ou Smythe) para avaliar a região de validade dos momentos de dipolo obtidos, em relação aos parâmetros do problema, em especial ao da constante dielétrica k, permitindo saber a aproximação com que foram calculados. Para simplificar, notemos logo que para o cálculo da força necessitamos apenas do potencial em pontos do eixo, o que nos permite impor ρ = 0 e assim J0(0) = 1 no integrando da Eq. (1). Façamos além disso a mudança de notação
(4)m=M/h,S=s/heZ=z/h.

Com isto, temos para V′1

(5) V1(Z)=2βqh0(senhMS)eMZ1β2e2MSdM

Notemos ainda que a força e os momentos de dipolo calculados derivam da aproximação senhMSMS na Eq. (5) e e−2MS ≅ 1 e, por conseguinte, uma melhor aproximação seria e−2MS ≅ 1−2MS. Nesse caso temos

(6) V1(Z)=2βqh(1β2)[S0MeMZdM2β2S21β20M2eMZdM+]
que depois das integrações pode ser escrito como
(7) V1(Z)=2βq(1β2)[sz24β2S21β21z3+].
em série alternada, com o primeiro termo correspondendo.ao do dipolo m11, Eq. (1), já calculado. Se nos restringimos a este termo de dipolo, o erro incorrido será da ordem do segundo termo, como propriedade das séries inteiras em (1/z) decrescentes alternadas. Assim, o momento de dipolo m11 será representativo se for muito maior que o segundo, em z = 2h, posição da carga q,
(8) sh2>>4β2s21β21h3,
ou seja,
(9)sh<<12[1β21]=2k(k1)2
e que para folhas finas e situações usuais em folhas de polímeros (espessuras da ordem de dezenas de micra e cargas a centímetros de distância), pequenos valores de β (ou k próximo a 1) satisfazem confortavelmente esta relação, mas não para valores β’s próximos de 1, isto é, para altas constantes dielétricas,.resolvendo-se assim o problema da divergência para os momentos de dipolo na Eq. (1).

Por outro lado, obtém-se para β → 1 (folhas condutoras), diretamente da Eq. (2), que a reação da folha vem de uma carga −q colocada especularmente em relação á superfície mais próxima da folha (hs/2 na Fig. 1), independentemente de sua espessura.

Agradecimentos

Agradecemos ao Prof. José Alberto Giacometti pela ajuda na preparação desta Nota e ao Luiz Nunes de Oliveira pelas muitas discussões proveitosas sobre o assunto, ajudas ambas, inestimáveis.

  • Nota do Editor
    Lamentamos registrar o falecimento do autor, ocorrido em São Carlos, no último dia 10 de janeiro. O professor Guilherme F. Leal Ferreira era um colaborador atuante da RBEF.

Referências

  • [1]
    G.F. Leal Ferreira, Revista Brasileira de Ensino de Física 24, 285 (2002).
  • [2]
    W.R. Smythe, Static and Dynamic Electricity (McGraw Hill Book Co., New York, 1950), chap. 5.
  • [3]
    E. Durand, Életrostatique (Masson Éditeurs, Paris, 1966), v. 3, p. 233.

Figures

Figura 1
Carga q à distância h do ponto O do plano médio da folha dielétrica de constante k e espessura s (<< h). Pe P′’são pontos na superfície da folha para aplicação das condições de contorno. I, II e III são as regiões contínuas do potencial e campo elétrico onde agem cargas e dipolos convenientemente dispostos, como na Fig. 2.
Figura 2
Cargas e dipolos usados para obtenção dos campos para as regiões I, acima da folha, II, no interior da folha, e III, abaixo da folha.

Datas de Publicação

  • Publicação nesta coleção
    30 Mar 2015
  • Data do Fascículo
    Jan-Mar 2015

Histórico

  • Recebido
    03 Set 2014
  • Aceito
    16 Set 2014
Sociedade Brasileira de Física Caixa Postal 66328, 05389-970 São Paulo SP - Brazil - São Paulo - SP - Brazil
E-mail: marcio@sbfisica.org.br