Nota sobre a atração entre carga e folha dielétrica: Uma errata
                    comentada

Leal Ferreira, Guilherme F.

doi:10.1590/S1806-11173711672

Resumos

Corrige-se e comenta-se resultado obtido em artigo publicado nesta revista sobre a atração entre carga elétrica e folha dielétrica – Revista Brasileira de Ensino de Física 24, 285 (2002). O caso de folhas condutoras também é discutido.

força eletrostática; carga elétrica; folha dielétrica

Results of an article published in this journal, Revista Brasileira de Ensino de Física 24, 285 (2002), concerning the attraction between a charge and a dielectric foil are corrected and commented. The case of a conducting foil is also discussed.

electrostatic force; electric charge; dielectric foil

1.

Introdução

No artigo “Carga em presença de folha dielétrica e a atração entre elas” [¹[1] G.F. Leal Ferreira, Revista Brasileira de Ensino de Física 24, 285 (2002).], usou-se o método das imagens para se obter a solução do problema eletrostático.Na Fig. 1 mostra-se a disposição entre elas, sendo h a distância da carga q ao plano médio da folha, de espessura s. (e não à superfície da folha como na Ref. [¹[1] G.F. Leal Ferreira, Revista Brasileira de Ensino de Física 24, 285 (2002).]). Na Fig. 2 mostram-se as cargas e dipolos imagens – com orientações convencionadas –, para as três regiões de continuidade do campo elétrico, com a notação em que as grandezas com linha estão abaixo da folha e os sub-índices designam a região a que se aplicam. A região I é aquela onde está colocada a carga q, a região II a do interior da folha, e a III é a livre, abaixo da folha. Para a região I usou-se, além da carga q, carga q″ simetricamente a q, (que resultou nula, e será ignorada aqui), e dipolo m′_I em III, simulando a reação da folha. Para a região II, usou-se carga q_ii e dipolo m_ii na posição de q e carga q′_II e dipolo m′_II na posição simétrica, abaixo da folha. Finalmente, para a região III, carga q e dipolo m_III na posição de q. Impôs-se a seguir a continuidade do potencial e da componente normal do deslocamento elétrico nas interfaces da folha, sendo k a constante dielétrica da folha. Os termos referentes às cargas foram desenvolvidas até a ordem de s, obtendo-se na Ref. [¹[1] G.F. Leal Ferreira, Revista Brasileira de Ensino de Física 24, 285 (2002).], para as grandezas m′_I, q_II, m_II, q′_II, m′_II e m_III, as equações Eqs. (25) a (28), com sua solução nas Eqs. (24) e (29), com a particularidade de fazer a força de atração finita para h tendendo a infinito (Eqs. (30) e (31) da Ref. [¹[1] G.F. Leal Ferreira, Revista Brasileira de Ensino de Física 24, 285 (2002).]). Porem, os momentos de dipolo resultantes não coincidiram com aqueles induzidos da solução de Smythe [²[2] W.R. Smythe, Static and Dynamic Electricity (McGraw Hill Book Co., New York, 1950), chap. 5.] para blocos dielétricos no limite em que suas espessuras se tornam desprezíveis em relação à distância da carga à folha. Mas neste caso, a força tende para infinito para k → ∞, para distâncias finitas, fato este fisicamente inaceitável, O artigo termina confessando não saber a razão da discrepância e implicitamente promovendo a solução obtida pelo método das imagens como a correta (porque finita).

Presentemente retomamos o problema e verificamos que a Eq. (26) do sistema na Ref. [¹[1] G.F. Leal Ferreira, Revista Brasileira de Ensino de Física 24, 285 (2002).] apresentava erro e o sistema a ser resolvido tornou-se então

\begin{array}{l} m_{I}^{'} - m_{II} - m_{II}^{'} = \frac{qs}{2} (- 1 + \frac{1}{k}), \\ - m_{I}^{'} - k m_{II} - k m_{II}^{''} = \frac{qs}{2} (- 1 + k), \\ - m_{II} - m_{II}^{'} + m_{III} = \frac{qs}{2} (1 - \frac{1}{k}), \\ - k m_{II} + k m_{II}^{'} + m_{III} = \frac{qs}{2} (1 - k), \end{array}

com a confirmação dos valores das cargas, q_II = q(k + 1)/2k, q′_II = q(k − 1)/2 e q_III = q. Do sistema corrigido acima, resultaram os momentos de dipolo

\begin{array}{l} m_{I}^{'} = - \frac{k^{2} - 1}{2 k} qs, \\ m_{II} = - \frac{(k - 1) (k^{2} - 1)}{4 k^{2}} qs, \\ m_{II}^{'} = - \frac{{(k - 1)}^{2} (k^{2} + 1)}{4 k^{2}} qs, \end{array}

e

(1)

m_{III} = - \frac{- {(k - 1)}^{2}}{2 k} qs,

dos quais m_III em especial coincide com aquele advindo do tratamento de Smythe [²[2] W.R. Smythe, Static and Dynamic Electricity (McGraw Hill Book Co., New York, 1950), chap. 5.], Eq. (33) na Ref. [¹[1] G.F. Leal Ferreira, Revista Brasileira de Ensino de Física 24, 285 (2002).]. Note-se que os dipolos na devem ser revertidos e se anulam para k = 1. Com o valor de m′_I negativo, obtém-se a força de atração F entre a carga e a folha,

(2)

F = \frac{(k^{2} - 1) q^{2} s}{16 k h^{3}},

em vez do valor na Eq. (30) na Ref. [¹[1] G.F. Leal Ferreira, Revista Brasileira de Ensino de Física 24, 285 (2002).].

2.

Discutindo a aparente divergência da força de atração para k → ∞

E. Durand [³[3] E. Durand, Életrostatique (Masson Éditeurs, Paris, 1966), v. 3, p. 233.] no seu tratamento do mesmo problema, carga indutora-bloco dielétrico, dá explicitamente o valor do potencial, V′₁, na região I. Com os símbolos das Figs. 1–2, em coordenadas cilíndricas, ρ e z, com origem no ponto simétrico de q (onde foi colocadoq′_I) e exclusive da ação direta de q, esse potencial é dado por

(3)

\begin{array}{l} V_{1}^{'} = - 2 β q \int_{0}^{\infty} \frac{(senhms) . e^{- mz} J_{0} (m ρ)}{1 - β^{2} e^{- 2 ms}} dm, \\ h + \frac{s}{2} < z < \infty, \end{array}

em que J₀ é a função de Bessel de ordem 0, e β = (k − 1)/(k + 1). Devemos recorrer ao tratamento analítico (de Durand ou Smythe) para avaliar a região de validade dos momentos de dipolo obtidos, em relação aos parâmetros do problema, em especial ao da constante dielétrica k, permitindo saber a aproximação com que foram calculados. Para simplificar, notemos logo que para o cálculo da força necessitamos apenas do potencial em pontos do eixo, o que nos permite impor ρ = 0 e assim J₀(0) = 1 no integrando da . Façamos além disso a mudança de notação

(4)

m = M / h, S = s / h e Z = z / h .

Com isto, temos para V′₁

(5)

V_{1}^{'} (Z) = \frac{- 2 β q}{h} \int_{0}^{\infty} \frac{(senhMS) e^{- M Z}}{1 - β^{2} e^{- 2 M S}} d M

Notemos ainda que a força e os momentos de dipolo calculados derivam da aproximação senhMS ≅ MS na Eq. (5) e e^−2MS ≅ 1 e, por conseguinte, uma melhor aproximação seria e^−2MS ≅ 1−2MS. Nesse caso temos

(6)

\begin{array}{l} V_{1}^{'} (Z) = \frac{- 2 β q}{h (1 - β^{2})} [S \int_{0}^{\infty} M e^{- M Z} d M - \\ \frac{2 β^{2} S^{2}}{1 - β^{2}} \int_{0}^{\infty} M^{2} e^{- M Z} d M + \dots] \end{array}

que depois das integrações pode ser escrito como

(7)

V_{1}^{'} (Z) = \frac{- 2 β q}{(1 - β^{2})} [\frac{s}{z^{2}} - \frac{4 β^{2} S^{2}}{1 - β^{2}} \frac{1}{z^{3}} + \dots] .

em série alternada, com o primeiro termo correspondendo.ao do dipolo

m_{1}^{1}

, , já calculado. Se nos restringimos a este termo de dipolo, o erro incorrido será da ordem do segundo termo, como propriedade das séries inteiras em (1/z) decrescentes alternadas. Assim, o momento de dipolo

m_{1}^{1}

será representativo se for muito maior que o segundo, em z = 2h, posição da carga q,

(8)

\frac{s}{h^{2}} > > \frac{4 β^{2} s^{2}}{1 - β^{2}} \frac{1}{h^{3}},

ou seja,

(9)

\frac{s}{h} < < \frac{1}{2} [\frac{1}{β^{2}} - 1] = \frac{2 k}{{(k - 1)}^{2}}

e que para folhas finas e situações usuais em folhas de polímeros (espessuras da ordem de dezenas de micra e cargas a centímetros de distância), pequenos valores de β (ou k próximo a 1) satisfazem confortavelmente esta relação, mas não para valores β’s próximos de 1, isto é, para altas constantes dielétricas,.resolvendo-se assim o problema da divergência para os momentos de dipolo na .

Por outro lado, obtém-se para β → 1 (folhas condutoras), diretamente da Eq. (2), que a reação da folha vem de uma carga −q colocada especularmente em relação á superfície mais próxima da folha (h − s/2 na Fig. 1), independentemente de sua espessura.

Agradecimentos

Agradecemos ao Prof. José Alberto Giacometti pela ajuda na preparação desta Nota e ao Luiz Nunes de Oliveira pelas muitas discussões proveitosas sobre o assunto, ajudas ambas, inestimáveis.

Nota do Editor

Lamentamos registrar o falecimento do autor, ocorrido em São Carlos, no último dia 10 de janeiro. O professor Guilherme F. Leal Ferreira era um colaborador atuante da RBEF.

Referências

^[1]
G.F. Leal Ferreira, Revista Brasileira de Ensino de Física 24, 285 (2002).
^[2]
W.R. Smythe, Static and Dynamic Electricity (McGraw Hill Book Co., New York, 1950), chap. 5.
^[3]
E. Durand, Életrostatique (Masson Éditeurs, Paris, 1966), v. 3, p. 233.

Figures

Figura 1
Carga q à distância h do ponto O do plano médio da folha dielétrica de constante k e espessura s (<< h). Pe P′’são pontos na superfície da folha para aplicação das condições de contorno. I, II e III são as regiões contínuas do potencial e campo elétrico onde agem cargas e dipolos convenientemente dispostos, como na .

Figura 2
Cargas e dipolos usados para obtenção dos campos para as regiões I, acima da folha, II, no interior da folha, e III, abaixo da folha.

Datas de Publicação

Publicação nesta coleção
30 Mar 2015
Data do Fascículo
Jan-Mar 2015

Histórico

Recebido
03 Set 2014
Aceito
16 Set 2014

Este é um artigo publicado em acesso aberto (Open Access) sob a licença Creative Commons Attribution Non-Commercial, que permite uso, distribuição e reprodução em qualquer meio, sem restrições desde que sem fins comerciais e que o trabalho original seja corretamente citado.

[1] Nota do Editor

Lamentamos registrar o falecimento do autor, ocorrido em São Carlos, no último dia 10 de janeiro. O professor Guilherme F. Leal Ferreira era um colaborador atuante da RBEF.

Brasil