Resumos
No presente artigo consideramos um problema de valor de fronteira não linear com múltiplos pontos. Dois resultados de existência de solução são estabelecidos: o primeiro utilizando a Alternativa de Leray-Schauder e o segundo utilizando o Teorema de ponto fixo de Banach. Motivados pelo segundo resultado, apresentamos um método numérico. Exemplos não clássicos são utilizados para testar o método citado.
alternativas de Leray-Schauder; soluções numéricas; Teorema de ponto fixo de Banach
In this paper we consider a nonlinear order multi-point boundary value problem. Two results of existence of solution are established: the first using Alternative of Leray-Schauder's type and the second using the Banach fixed point theorem. Motivated by the second result, we present a numerical method. Nonclassical examples are used to test the method cited.
alternative of Leray-Schauder; numerical solutions; Banach fixed point theorem
Um estudo de soluções para um problema de segunda ordem com múltiplos pontos de fronteira
A.L.M. MartinezI; C.A.P. MartinezI; T.S.PintoI; E.V. CastelaniII, * * Autor correspondente: Emerson Vitor Castelani 1 2 3
ICoordenação de Matemática, COMAT, UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Campus Cornelio Procópio, Av. Alberto Carazzai, 1640, 86300-000 Cornelio Procópio, PR, Brasil. E-mails: andrelmmartinez@yahoo.com.br; crismartinez@utfpr.edu.br; thiagosp@utfpr.edu.br
IIDepartamento de Matemática, DMA, UEM - Universidade Estadual de Maringá, Av. Colombo, 5790, 87020-900, Maringá, PR, Brasil. E-mail: emersonvitor@gmail.com
RESUMO
No presente artigo consideramos um problema de valor de fronteira não linear com múltiplos pontos. Dois resultados de existência de solução são estabelecidos: o primeiro utilizando a Alternativa de Leray-Schauder e o segundo utilizando o Teorema de ponto fixo de Banach. Motivados pelo segundo resultado, apresentamos um método numérico. Exemplos não clássicos são utilizados para testar o método citado.
Palavras-chave: alternativas de Leray-Schauder, soluções numéricas, Teorema de ponto fixo de Banach.
ABSTRACT
In this paper we consider a nonlinear order multi-point boundary value problem. Two results of existence of solution are established: the first using Alternative of Leray-Schauder's type and the second using the Banach fixed point theorem. Motivated by the second result, we present a numerical method. Nonclassical examples are used to test the method cited.
Keywords: alternative of Leray-Schauder, numerical solutions, Banach fixed point theorem.
1. INTRODUÇÃO
Neste artigo apresentaremos um estudo de existência de solução considerando o seguinte problema de valor de fronteira não linear:
onde são funções contínuas e, possivelmente, não lineares. Este problema é conhecido na literatura como problema de segunda ordem com múltiplos pontos de fronteira, ou simplesmente, com m-pontos. Os primeiros resultados de existência de solução foram apresentados por II'in e Moiseev [5, 6] cuja equação considerada foi:
De acordo com [7], equações com múltiplos pontos surgem em problemas que modelam fluxos viscoelásticos, inelásticos e deformação de vigas. Devido a importância dessa classe de problemas em diversas aplicações, muitos autores têm desenvolvido estudos considerando variações e generalizações de (1.2). A maior parte desses estudos são relacionados à existência de solução, recomendamos as referências [3, 4, 8, 9, 10] para maior detalhamento dos resultados e técnicas utilizadas.
Em [8, 9], Ma realizou um estudo de existência de solução para duas equações com múltiplos pontos, mantendo linearidade na fronteira, onde os resultados obtidos fazem uso da Alternativa de Leray-Schauder. Posto que a equação dada em (1.1) tem condições gerais de fronteira, vamos, fazendo uso também da Alternativa de Leray-Schauder, demonstrar um resultado de existência de solução e portanto, complementar os estudos apresentados em [8, 9]. A apresentação deste resultado dar-se-á na Seção 2.
Se por um lado existem vários artigos dedicados à existência de solução, por outro lado pouca atenção é dada aos métodos numéricos, sobretudo, quando as condições de fronteira são gerais, como é o caso de (1.1). Em [2], o problema (1.1) considerando m = 3 e L = 1 e abordado e um resultado de existência e unicidade de solução é obtido através do Teorema de ponto fixo de Banach. Tal resultado fornece uma sequência iterativa que sob determinadas condições locais em f e g converge para a solução de (1.1). Naturalmente este resultado motiva a elaboração de métodos numéricos. Dessa forma, os estudos apresentados em [2] contemplam, ainda, a apresentação de dois algoritmos. Neste sentido, na Seção 3, apresentamos uma adaptação do Algoritmo 1 de [2] para m > 3 e L > 0 bem como uma generalização do resultado de existência e unicidade via Teorema de ponto fixo de Banach. No intuito de testar o novo algoritmo e validar o teorema, exemplos não clássicos são fornecidos.
Devido ao propósito deste trabalho precisamos introduzir o seguinte teorema.
Teorema 1.1. Seja E um espaço de Banach, C E um subconjunto fechado e convexo, um conjunto aberto em C e p . Então cada função contínua T : → C admite pelo menos uma das propriedades seguintes:
(Al) Τ possui um ponto fixo em .
(A2) Existe u ee λ ∈ (0, 1) tal que u = λT(u) + (1 - λ)p.
Este resultado é conhecido como Altenativa de Leray-Schauder. Uma demonstração deste teorema pode ser encontrada em [1].
2. EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO
Seja E = C1 [0, L] oespaco de Banach de todas as funções continuamente diferenciáveis em [0, L] com a norma
Iniciamos esta seção observando que as soluções de (1.1) podem ser escritas como
onde G é a função de Green
Assim, u é uma solução de (1.1) se, e somente se, u e um ponto fixo do operador T : E → E definido por:
Vamos detalhar algumas propriedades de G. Note que
Assim, G satisfaz:
Utilizando (2.2), podemos verificar importantes propriedades do operador definido em (2.1). De fato, para cada x ∈[0, L] temos:
Então,
Observação 1. Note que se u ∈ E, então T u satisfaz (Tu)(0) = 0. Assim, temos que
Para garantir a existência de solução de (1.1) precisamos da seguinte hipótese:
(H1) Existem constantes positivas α, A, B tais que:
Teorema 2.1. Suponha que (H1) ocorre. Então (1.1) possui solução u* E tal que
Demonstração. Utilizaremos o Teorema 1.1 com Observe que o operador Τ : → Ε é completamente contínuo pelo teorema Arzelà-Ascoli. Agora, suponha que exista u e e λ ∈ (0, 1) com u(x) = λTu(x). De acordo com a observação 1 e utilizando (H1) e (2.3) obtemos:
Portanto, . Dessa forma, a conclusão (A2) do Teorema 1.1 nao pode acontecer. Consequentemente, concluímos que (A1) deve ocorrer. Assim, existe u* ∈ E tal que
Exemplo 1. Neste exemplo, vamos considerar os elementos que definem o problema (1.1) da seguinte forma:
Escolhendo as constantes
podemos verificar que as condições impostas em (H1) são satisfeitas e portanto, existe uma solução u ∈ E tal que . De fato,
3. SOLUÇÕES ITERATIVAS
Nesta seção apresentamos um resultado que mostra a existência e unicidade de solução pelo Teorema do ponto fixo de Banach. Embora clássico, este estudo é muito importante a fim de estabelecer algoritmos para resolver o problema proposto. Começamos esta seção, considerando a sequência iterativa:
Para demonstrar a existência de limite da sequência definida acima, precisamos das seguinte: hipóteses.
(H 2) Existem constantes λ f > 0 e λg > 0 tais que
para todo
Teorema 3.1. Suponha que (H1), (H2) e (H3) ocorrem. Então (1.1) possui uma solução única u tal que, Além disso, esta solução é o limite da sequência iterativa uk+1 = T (uk).
Demonstração. Para mostrarmos que Τ aplica em , onde , basta procedermos de maneira similar a demonstração do Teorema 2.1. Desta forma, resta demonstrar apenas que T é uma contração. De fato:
Assim, podemos aplicar (H2) e consequentemente obtemos:
Finalmente, segue de (H3) que T e uma contração e portanto, pelo do Teorema de ponto fixo de Banach, temos o resultado.
O último teorema nos permite estabelecer as condições para a convergência local de algoritmos que utilizam a sequência iterativa:
uk+1= T (uk).
Neste sentido, apresentamos a seguir, um método numérico que estende o Algoritmo 1 apresentado em [2].
Algoritmo A
1. Defina uma malha uniformemente espacada {xj} em [0, L].
2. Escolha uma aproximação inicial u0j= u0(xj).
3. Para k = 1, 2, 3,...
(a) Calcule uk (η1), uk (η2),uk (ηm-2) usando interpolação por spline cúbica.
(b) Calcule u'kj utilizando diferenças finitas (central).
(c) Calcule ukj+1 usando uk+1 = T(uk)
onde as integrais (dadas por (8)) são calculadas através da regra de trapézios.
4. Teste a convergência.
Observação 2.Note que, quando consideramos o Algoritmo A com m = 3 e L = 1 este Algoritmo fica reduzido ao Algoritmo 1.
Exemplo 2. Neste exemplo, vamos considerar os termos que definem o problema (1.1) da seguinte forma:
f (x, u, u') = u(u2 + υ 2)
g(y) = 0.591470984807897 + y2
Exemplo 3. Neste exemplo, vamos considerar os termos que definem o problema (1.1) da seguinte forma:
f (x, u, u') = u(u2 + υ 2)
g(y) = 0.420735492403948 + 0.392943630388474y1 + 0.472478473157369y2
A solução exata, tanto no Exemplo 2 como no Exemplo 3, e u(x) = sen(x).
Exemplo 4.Neste exemplo, vamos considerar os termos que definem o problema (1.1) da seguinte forma:
A solução exata e u(x) = 1 - cos(x).
Os resultados numéricos são apresentados nas Tabelas 1, 2 e 3, onde foi considerado
Agora podemos fazer um teste adicional. De acordo com o Teorema 2.1 podemos afirmar que o Exemplo 1 possui solução, mas não conhecemos esta solução. Vamos aplicar o Algoritmo A neste problema com o intuito de encontrar uma aproximação para esta solução. Neste sentido, vamos considerar
como critério de parada para o algoritmo.
Testando o Exemplo 1 com η = (0.25 0.5 0.75) e n = 20, o Algoritmo A teve seu critério de parada satisfeito após 5 iterações. Os resultados numéricos são apresentados na Tabela 4 e o gráfico da solução obtida e mostrado na Figura 1. Ainda, podemos observar que a solução encontrada pelo algoritmo no Exemplo 1 aparentemente verifica a condição , o que sugere ser esta a solução garantida pelo Teorema 2.1.
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste trabalho apresentamos um resultado teórico de existência de solução para o problema (1.1) utilizando a Alternativa de Leray-Schauder. Também, analisamos a existência de soluções iterativas e exploramos exemplos com condições não lineares para testar o algoritmo estudado. O desempenho do algoritmo nos exemplos testados e promissor, no sentido de que todas as soluções foram encontradas. Embora a técnica de cálculo de integrais utilizada seja simples, nós pudemos identificar que ao modificar o algoritmo com outras técnicas de integração (extrapolação e via spline) a precisão dos resultados e ordem de convergência foram pouco alteradas. Isto se deve a dois fatores: diferenças finitas (que limitam a qualidade da solução) e a proximidade dos valores de η do extremo L pois neste, o valor da solução é desconhecido, enquanto que proximo de 0 o valor da solução e fixo (u(0) = 0).
Recebido em 30 setembro, 2012
Aceito em 12 agosto, 2013
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Datas de Publicação
-
Publicação nesta coleção
08 Nov 2013 -
Data do Fascículo
Ago 2013
Histórico
-
Recebido
30 Set 2012 -
Aceito
12 Ago 2013