A teoria das filas aplicada aos serviços bancários

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A teoria das filas aplicada aos serviços bancários^*

Luiz Ricardo Amidani

Ex-professor da EAESP/FGV, Departamento de Métodos Quantitativos. Mestrando pela EAESP/FGV. Assistente técnico da Divisão de Planejamento (DEPAD/DIPLA) do Banco do Brasil S.A. e professor do CIPAD - Curso Intensivo para Administradores, do mesmo banco, na Direção Geral - Brasília (DF). Economista e licenciado em matemática

1. INTRODUÇÃO

A pesquisa sobre o problema das filas diante dos caixas é um assunto bastante oportuno, já que a literatura bancária nada diz a respeito. No geral, existe atualmente uma vasta bibliografia sobre a matéria, porém "a teoria das filas, como instrumental para análise de problemas práticos, permanece em seu estado primitivo"(4).

A matéria-prima da empresa bancária é o próprio dinheiro; mas a clientela considera importante a qualidade do atendimento, quando examina os pontos para escolher um banco que centralize suas operações financeiras. Supondo-se que o capital esteja disponível - exceção feita quando ocorrem graves crises - um dos termômetros mais úteis para análise da qualidade dos serviços é o atendimento pelos caixas, pois o cliente tende a julgá-la pelas filas que encontra.

Logo, qualquer banco deveria estar disposto a evitar que seus clientes esperassem em fila, transformando tal fato em indicador de bons serviços, e conquistando mercado face à satisfação da clientela. Diante de certas restrições (prédio, bateria de caixas, tamanho e potencial da praça) e dos custos (ociosidade do serviço e espera do cliente), deve a agência tentar estabelecer critérios de escolha de alternativas que visem: a) encontrar o número ótimo de pontos de atendimento (caixas); b) estabelecer medidas de eficiência e/ou desempenho.

2. OS ELEMENTOS FUNDAMENTAIS DAS FILAS

"Fila é qualquer agregado de sujeitos (no caso, clientes) que espera a função de um serviço (atendimento, pelo caixa)" (2). "A formação da fila ocorre quando a demanda corrente de clientes excede à oferta corrente de serviços" (8). Mesmo que a fila não siga a forma geral - um cliente atrás de outro e se apresente como um aglomerado frente ao ponto de serviço, ainda assim é uma fila, se houver o pressuposto de uma ordem de atendimento.

É necessário conhecer os quatro elementos básicos do processo de filas (1), (3):

2.1 Chegadas - o exame das chegadas deve definir

O padrão estatístico de chegadas, isto é, a taxa média de chegadas por unidades de tempo (λ); a distribuição de probabilidade que melhor se ajusta à distribuição de chegadas; se as chegadas têm probabilidade estacionária, isto é, se a probabilidade de ocorrência de uma chegada no instante t deixa de depender do estado inicial do sistema, após certo tempo de funcionamento;¹ e o tipo de chegadas que, em nosso caso, são aleatórias.

2.2 Serviços - a investigação de serviços deve encontrar

O padrão estatístico da duração de serviços, ou seja, a taxa média de atendimento traduzido pelo número de clientes atendidos na unidade de tempo (µ); a distribuição de probabilidade à qual melhor se ajusta a distribuição de tempo de serviço; se o tempo de serviço tem distribuição de probabilidade estacionária;² a disponibilidade dos serviços; a capacidade do sistema, isto é, o número de clientes que podem estar simultaneamente no sistema; a eficiência do serviço, geralmente medida pela distribuição do tempo de espera no sistema; e o tipo de durações do serviço, as quais, em nosso caso, são aleatórias.

2.3 A disciplina da fila

Interessa-nos o caso de canais múltiplos paralelos. Os regimes mais comuns são: a) primeiro a chegar, primeiro a ser atendido (FIFO); b) último a chegar, primeiro a ser atendido (LIFO); c) em ordem aleatória (SIRO); d) com prioridade: atendimento obedecendo a uma escala de preferência; e) com manobra (jockeying): é facultado ao cliente mudar de fila; f) fila única: uma só alimenta o sistema.

Interessam-nos dois dos regimes: FIFO e com manobra.

2.4 Canais

Devem ser analisados o número e o tipo de canais (paralelos, seriados, singulares). Está claro que nos interessa o caso de canais paralelos, e otimizar seu número é justamente nosso objetivo.

3. OS PROCESSOS ESTOCÁSTICOS

O caráter aleatório dos fenômenos das filas de espera indica, como principal instrumento de investigação, o cálculo de probabilidade (2). É importante conhecer o comportamento teórico de chegadas e saídas, e as distribuições adequadas para tratar estes eventos no sistema em exame.

Tanto para as chegadas, como para o tempo de serviço, pode-se pensar numa seqüência de intervalos aleatórios definidos por chegadas ou saídas; a sucessão desses intervalos vai nos dizer qual a distribuição de probabilidade para estas variáveis. Definindo a variável aleatória,

x = número de sucessos n que ocorrem em um intervalo de tempo Δt

P_n(t) = probabilidade de ocorrer n sucesso no intervalo t sucesso = ocorrer uma chegada ou uma saída, deve-se observar os três seguintes postulados:

1. Para qualquer valor de x₀ e o tempo decorrido desde o instante inicial t₀, existe a mesma probabilidade de ocorrer um sucesso em um mesmo intervalo de tempo Δt ; isto é, P_n(t) não depende do tempo já transcorrido, nem do número de sucessos havidos.

2. A probabilidade de ocorrer mais de um sucesso em um mesmo intervalo de tempo infinitesimal, Δt, tende a zero.

3. A probabilidade de ocorrer um sucesso no intervalo Δt é proporcional ao intervalo, isto é, P₁(Δt) = ∝ . Δt

Verifica-se que estão garantidas três condições básicas: independência, estado estacionário e aleatoriedade. Pode-se resumir no seguinte:

a) os intervalos ocorrem aleatoriamente; b) os sucessos são independentes entre si; c) não ocorrem dois sucessos ao mesmo tempo; d) a taxa média de sucessos não varia com o tempo.

Dada a ocorrência destas condições - e pode-se perfeitamente verificar que, no processo de filas de caixa, elas estão inteiramente presentes quando se divide o período de trabalho em horas e se estabelece as taxas médias de chegada e serviço para cada hora - a teoria demonstra que a distribuição de chegadas ajusta-se a uma distribuição Poisson, com função-densidade.

com média e variância λ, e o tempo de serviço se ajusta a uma distribuição exponencial, F'(t) = µe^-µt com média 1/µ e variância 1/µ².

4. TERMINOLOGIA - NOTAÇÃO

λ = taxa média de chegadas de clientes, por unidade de tempo, ao sistema µ = taxa média de atendimento de um canal, por unidade de tempo; se _s é o tempo médio de serviço então µ = 1/_s S = número de canais ou serviços paralelos no sistema Q =

= fator de utilização para um canal

n = número de clientes que estão no sistema, entre fila e serviço; _f = número médio de clientes em fila (excluindo o que está em serviço); _f = tempo médio de espera em fila para um cliente _s = tempo médio de serviço para um cliente = S - Q = número médio de canais ociosos.

5. HIPÓTESES BÁSICAS E OBJETIVOS

5.1 Hipóteses básicas para o modelo

1. Em se tratando de canais paralelos, de igual serviço, o tratamento ideal seria o das "manobras" (jockeying phenomena); entretanto, como tal tratamento não se encontra disponível na literatura pesquisada, e é de aplicação excessivamente complexa, admitimos que o regime FIFO possa ser satisfatoriamente aplicado a essa situação.

2. A distribuição de probabilidade das chegadas se ajusta bem a uma distribuição de Poisson.

3. A distribuição de probabilidade de tempo de serviço se ajusta bem a uma distribuição exponencial.

4. Deve existir uma variação sazonal para horas diferentes do mesmo dia, dias diferentes da mesma semana e dias diferentes do mesmo mês, expressa pela variação da taxa de chegadas.

5. Embora deva existir variação entre a taxa de serviços para canais diferentes, em se tratando de serviços rotineiros, pode-se considerá-la negligível, aceitando a taxa de serviço por canal como sensivelmente constante, estabelecendo taxas para períodos de 1 hora.

5.2 Objetivos

Nosso trabalho procura focalizar critérios práticos que facilitem sua aplicação, mesmo por pessoas não muito conhecedoras do assunto. Logo, vamos nos apoiar em pesquisas feitas, e que embasaram nossa tese de Mestrado com o mesmo título. O objetivo primordial é estabelecer padrões para que os executivos possam, com certa confiabilidade, remover os obstáculos grosseiros, endereçando o refinamento aos técnicos da pesquisa operacional. Assim, são objetivos de nosso estudo:

a) construir e demonstrar a validade de um modelo de filas;

b) estabelecer duas políticas (I e II) para determinação do número ótimo de caixas;

c) oferecer sugestões para o tratamento de outros fatores.

6. A UNIDADE EXPERIMENTAL E A COLETA DE DADOS

6.1 A unidade experimental

A agência bancária escolhida para servir de suporte às investigações conta com 180 funcionários e localiza-se em prédio de cinco pavimentos, com boas instalações, mas com uma configuração próxima à tradicional. Possui duas baterias de caixas, e no que importa ao estudo, foi escolhida a bateria do andar térreo, que tem listados a seu cargo os seguintes serviços principais:

depósitos e saques (cheques)

cheques de viagem

restituição do imposto de renda

ordens de pagamento (Orpag)

saques e depósitos do FGTS

carnês do INPS

O atendimento é feito pelo chamado sistema de atendimento direto e integrado, isto é, qualquer caixa está apto a prestar qualquer dos serviços listados para sua bateria, e o cliente resolve seus problemas diretamente com o caixa. O atendimento se processa durante sete horas, de nove às 16 horas, e os caixas estão obrigados a cinco horas de serviço na bateria e três em serviço interno. Este sistema é hoje adotado pela maioria dos grandes bancos, e seus executores denominam-se "caixas executivos" ou "Caiexec".

A bateria escolhida tem 15 guichês instalados, podendo funcionar todos simultaneamente, se necessário.

6.2 A coleta de dados

É fácil estabelecer os padrões estatísticos de chegadas e tempo de serviço. Durante diversos dias - digamos, 15 dias - nos mesmos horários durante o expediente, o observador registra o número de clientes que chegam ao sistema em cada período de uma hora; e dividindo o número de clientes pelo tempo em minutos, obtém a taxa média de chegadas por minuto, para aquela hora. Suponha, por exemplo, que em três dias, no período de 10-11 horas, foram colhidos os dados:

Primeiro dia - 195 chegadas, em 60 min

segundo dia - 186 chegadas, em 60 min

terceiro dia - 131 chegadas, em 40 min

total - 512 chegadas, em 160 min

512 chegadas/160 min

= 3,2 clientes/min =

= λ para o período

A taxa de serviços obtém-se com a colaboração dos Caiexec. Durante os mesmos 15 dias, em que o observador colhe dados sobre as chegadas, pede-se a um grupo de caixas que anote, para cada intervalo de uma hora, quantos clientes atende cada um, tendo o cuidado de registrar o tempo que esteve ocioso, isto é, em que não compareceram clientes ao seu guichê. Não é necessário tomar observações para a hora toda: o importante é registrar realmente o número de atendimentos e o tempo em que esteve atendendo. É interessante diversificar o grupo, trocando caixas para dias ou períodos diferentes. Pode-se construir um mapa para este serviço, que os Caiexec preencherão. Após a coleta dos dados, para cada período horário somam-se tempo de trabalho e número de atendimentos, e dividindo-se a primeira soma pela segunda, obtém-se o

_s, o tempo médio de atendimento para um cliente. Por exemplo, em três dias no período de 10-11 horas, foram obtidos os seguintes dados por dois caixas:

_s = = 1,916 min

µ = =

µ = 0,526 clientes/min, que é a taxa de serviços para o período considerado

Com λ = 3,2 calculado anteriormente e µ = 0,526, tem-se, para o período de 10-11 horas, Q = 3,2/0,526 Q = 6,08 (veja item 7.6).

É importante informar aos caixas dos motivos da pesquisa, para minimizar a influência de variáveis psicológicas: por exemplo, o receio de que seu padrão de produção possa estar em dúvida, pode acarretar distorção considerável para as observações.

7. A CONSTRUÇÃO DO MODELO

Calcados na teoria de apoio, estabelecemos as hipóteses para o modelo conforme o item 5.1, que indica a expectativa de uma distribuição de Poisson para chegadas, uma distribuição exponencial para o tempo de serviço e um regime de fila FIFO. Procuramos então obter confirmação para estas hipóteses.

7.1 A distribuição de chegadas

Utilizando um mapa foram colhidos dois grupos de observações iniciais, em dias diferentes, um grupo em cada dia, e submetidos à prova do x². Ambos os grupos, constituídos de amostras razoáveis, forneceram boas respostas à prova, levando à conclusão que realmente a distribuição de chegadas segue uma Poisson. Procedemos então à coleta de grande número de observações (chegadas), em diversos dias, do mês e da semana, em diferentes horários. A resposta foi λ = 3,8052 clientes/ min e teste de x² permitiu a aceitação da hipótese do processo de Poisson para chegadas, ao nível ∝ = 0,001. Enquanto os dois testes iniciais deram resultados excelentes, a terceira amostra, com maior número de elementos, revelou um ajuste muito apertado. Após algum raciocínio, chegamos à conclusão de que o enfraquecimento do modelo devia-se à sazonalidade, hipótese que foi se confirmando no decorrer da pesquisa, conforme veremos. Realmente, as restrições para uma Poisson estavam satisfeitas, com exceção da necessidade do padrão estacionário. Verificamos que a taxa de chegadas se modificava bastante para horas diferentes do mesmo dia, mas era razoavelmente constante para o mesmo horário, em diversos dias. Para contornar o problema, decidimo-nos pela investigação, análise e conclusão para cada período de uma hora, e esta foi uma feliz decisão, pois que, a partir daí, como veremos nos testes de validade, as conclusões ficaram bem próximas das expectativas; tal providência garantiu razoavelmente a existência do padrão-estacionário por hora, eliminando as distorções causadas pela sazonalidade.

7.2 A distribuição do tempo de serviço

Verificadas as três condições para existir uma Poisson para chegadas, e enquanto permanecerem válidas, a distribuição da duração do tempo de serviço provavelmente será exponencial ou uma distribuição gama particular.

Usando um outro mapa, colhemos dados para avaliar a taxa média de serviços. Foram feitos dois testes: um para verificar se havia variação muito grande na taxa de serviço, de canal para canal, e outro, para verificar o ajuste do tempo de serviço à exponencial, em amostra inicial. O primeiro teste revelou que, investigados cinco caixas, as taxas médias de atendimento não eram muito diferentes; quatro delas variavam entre 0,47 e 0,55 clientes/minuto, e uma só se revelou mais alta; 0,61 clientes/minuto. O segundo teste, com uma amostra prévia, forneceu µ = 0,519 clientes/minuto, e mostrou bom ajuste do tempo de serviço à distribuição exponencial. Procedemos então à coleta de grande número de dados que forneceram µ = 0,5557 clientes/minuto, e novamente o ajuste pelo teste de x² foi satisfatório. Entretanto, preocupados com a sazonalidade para diferentes horas de um dia, passamos às investigações conforme

o fizemos para a taxa de chegada, determinando as taxas médias de serviço para períodos de uma hora, reduzindo assim a influência da sazonalidade.

7.3 A disciplina da fila

O regime FIFO para canais múltiplos paralelos pressupõe uma fila única alimentando os pontos de serviço; ao vagar um canal, o primeiro da fila se desloca para ele. Mas nosso estudo envolve canais com filas paralelas com manobra, o que evidentemente não garante o regime FIFO, isto é, um cliente que chegar primeiro que outro, pode não ser atendido primeiro, dependendo da fila que escolha. O cliente é livre para mudar de fila e aqui duas referências nos ajudam: a) segundo Lee (3) a manobra agiliza o atendimento; em seu estudo sobre recepção de passageiros em um aeroporto, uma das soluções foi abrir portas no saguão para permitir maior manobra; b) segundo Cox (1) os efeitos de fila única ou de várias com manobra são idênticos; se a manobra não é permitida, o sistema com o segundo regime é menos eficiente.

Assim, na impossibilidade de tratar o regime como sendo de manobra, por falta de instrumental adequado, aceitamos o regime FIFO; afinal, o cliente tem a esperança de ser atendido antes de outro que chegue depois e é um regime adequado para uma mesma fila; só não o é, inteiramente, para o sistema como um todo.

7.4 Número de canais

Temos uma bateria com 15 guichês, e possibilidade de alocar até 15 caixas se necessário, e o problema é determinar quantos alocar, dentre os 15. Assim, trabalhamos com um campo variável para S, discreto, definido por Q < S < 15, levando em conta que o Q limita o número de canais, pois para S < Q, a fila cresce sem limite.

7.5 Definição do modelo

Afinal, temos nosso modelo. As filas frente aos caixas têm uma distribuição de chegadas de Poisson, e o tempo de serviço segue uma exponencial. O regime de filas mais adequado é FIFO, e o número de canais é variável no dia, devendo ser fixado por períodos de uma hora. O padrão é (tende para) estacionário para estes intervalos (uma hora), o que torna a sazonalidade negligível.

7.6 Formulação adequada

Introduziremos, aqui, alguns conceitos operacionais e fórmulas para cálculos sem contudo deduzi-las: endereçamos o leitor interessado para as referências bibliográficas ao fim do texto. O conceito mais importante é o do "fator de utilização", Q, expresso por Q = λ/µ, que dá a taxa de utilização de cada canal, onde X é a taxa média de chegadas de clientes no sistema, e µ é taxa média de serviços para um canal, supondo que todos tenham igual taxa de atendimento. Todo o desenvolvimento da teoria das filas está baseado na determinação de Q e de P₀, que é a probabilidade de que não haja clientes no sistema, e é expresso por:

onde

= S - Q = número médio de canais ociosos;

n = número de clientes no sistema entre fila e serviço;

S = número de canais (caixas abertos);

Outras fórmulas importantes são: número médio de clientes em fila:

número médio de clientes sendo servidos:

_s = Q

número médio de clientes no sistema: = _f + _s

tempo total médio de espera de um cliente:

tempo médio de fila para um cliente:

tempo médio de serviço para um cliente:

8. RESPOSTAS OBTIDAS E VALIDAÇÃO DO MODELO

Com uma formulação mais detalhada, e um programa de computador, obtivemos os valores de P₀, , _f e _f, em função de λ e µ fornecidos, para o número de canais S, tal que Q < S < 15. Entretanto, isto não é absolutamente necessário para um emprego rotineiro; na verdade, necessita-se somente da determinação de λ e µ, através das observações por hora, em diversos dias, e do cálculo do tempo médio de fila, _f, o que pode ser feito com a tabela 1 que é mostrada mais adiante. Com os parâmetros determinados pelas observações, em períodos de uma hora (λ e µ), o fator de utilização Q, e calculando, pelas observações, , _f e _f, pudemos compará-los com os resultados do computador, para os valores de S, obtendo as "respostas" conforme o modelo.

Para validar o modelo, imaginamos dois testes. O teste 1 compara os valores observados e esperados de

_f e o teste 2 compara valores observados e esperados de _f e . Voltamos a coletar um bom número de chegadas e tempo de serviço, em diversos dias e diversos horários, calculando os parâmetros λ, µ, Q e S. Os testes revelaram um comportamento muito bom do modelo, e que é adequado para a maioria dos casos. Naturalmente, certos casos particulares, como dias de picos (peak's days) ou expediente antes de e após feriados, devem merecer tratamento especial. Os testes estão descritos nos quadros 1 e 2, e um exame rápido é suficiente para se perceber como registramos as comparações.

8.1 Sazonalidade

A partir da validação, ficou clara a veracidade da hipótese da sazonalidade para diferentes horas de um mesmo dia, bem como, uma razoável semelhança para os Q horários, em uma mesma hora de diferentes dias, E ficou patente que a definição do número de canais por hora é a providência mais aceitável. Um acompanhamento mais longo, por certo, levaria os Q horários a convergirem para um valor fixo, que seria o fator de utilização daquela hora.

Por outro lado, verifica-se que a taxa média de ser viços pode se alterar quando a chegada de clientes é grande; é o que se chama "pressão da fila".

9. A DETERMINAÇÃO DE S_ótimo

Buscamos agora determinar o número de S de canais, que seja o mais econômico: S_ótimo. Duas políticas serão definidas, a política I, mais sofisticada, que considera os custos do banco e dos clientes a fim de determinar que para S ocorre custo mínimo; e a política II, mais simples, que fixa um tempo médio de fila para o cliente e, a partir daí, determina o S correspondente ao _f fixado.

9.1 Política 1

Inicialmente é necessário obter o custo de um caixa, para compor os elementos da decisão; a seguir, estabelecer um instrumento simples para obter o tempo de espera do cliente e, finalmente, obter o custo dessa espera.

O custo de caixas é casuístico, e muda de banco para banco, conforme suas organizações internas. Ademais, é um custo simples, pois baseia-se no salário do caixa, sua comissão ou função gratificada, gratificação, obrigações sociais, recolhimento para caixas de assistência ou previdência do banco, 13.º salário, férias, etc. No caso investigado, não consideramos os salários do caixa, mas sua comissão; isto porque o caixa é sempre um funcionário do banco que, ao assumir a caixa, continua a ganhar seu salário mais uma comissão. Isto pode ser "caixa-executivo" (Caiexec) custa Cr$ 4 189,70 ao banco (setembro/74), por mês.

A estimativa do tempo médio de espera para o cliente pode ser facilmente obtida utilizando-se a tabela 1, ao final do texto. Está construída em gráfico semilogaritmico, com o número de canais S variando de 1 a 17; utilizando os cálculos do computador, traçamos as curvas de Q, para cada S e o produto µ

_f. As curvas de Q são completas para os valores terminados em 0,0 e 0,5; consideramos só os extremos superiores para valores terminados em 0,25 e 0,75 a fim de não complicar a tabela. Então, conhecido Q, para cada S se obtém no eixo vertical o valor de µ

_f e dividindo este por µ que é conhecido, obtém-se _f para o cliente, em minutos (as frações são decimais).

Finalmente, o custo de espera para o cliente foi considerado como igual à renda média do cliente, isto é, a renda mensal funcionou como estimador do custo do tempo utilizado pelo cliente na espera do serviço. O instrumento para avaliação dessa renda foi um questionário passado entre os clientes, em diversos dias e diversas horas. O resultado está espelhado no quadro 3. As rendas de clientes forneceram = Cr$ 3 678,87 e s = Cr$ 3 526,40 e um intervalo de confiança: Cr$ 3 055,69 < µ < Cr$ 4 302,66 ao nível de ∝ = 0,05. A consideração desse intervalo de confiança é feita somente como subsídio, dado que, como se vê no quadro 3, as rendas não têm distribuição normal, o que concorda com vários estudos em economia.

É necessário agora estabelecer o que seja "custo": como considerar o custo de espera do cliente, em relação ao banco? Três abordagens foram feitas:

A) O S_ótimo ocorre para o ponto de mínimo na curva de custo médio total.

Neste custo total, consideramos a soma do custo de ociosidade de caixas com o custo de espera em fila de clientes, ou seja:

_t - _Ld . λ . _f + _Xd . , onde: _t = custo médio total

custo médio diário para um cliente; equivale à sua renda média diária, onde

_Lm = custo (= renda) médio mensal

_Ld . λ . _f = custo médio diário de espera para clientes. Das fórmulas sabemos que λ . _f = _f ; e _Ld . _f é o número médio de pessoas que esperam em fila multiplicado pelo seu custo

_Xm = custo médio mensal para um caixa e _Xd = = custo diário

_Xd . = produto do custo diário de um caixa pelo número de caixas ociosos no dia, e dá o custo de ociosidade.

Finalmente, investigamos por que considerar essa soma como custo para o banco, onde entra o custo do cliente. Podemos admitir que o banco assuma uma de três atitudes em relação à fila de clientes, baseado em duas variáveis principais:

x₁ = número de bancos em certa praça

x₂ = potencial econômico-financeiro da praça

Se x₁ e x₂ são ambos pequenos, o banco não tem interesse em investir, sem a pressão da concorrência e com baixa expectativa de retorno, e deixa que o cliente tenha maior espera em fila. Se existir relação inversa entre x₁ e x₂, o banco é obrigado a oferecer menor tempo de espera para obter melhor captação de depósitos, ou para conseguir maior fatia do mercado face ao bom potencial econômico, ou para garantir a sobrevivência da agência, se há muitos concorrentes para um potencial baixo. E se x₁ e x₂ são grandes, isto é, há vários bancos e bom potencial financeiro, a captação será, em boa parte, função do bom atendimento que, neste caso, o banco será obrigado a dar.

Esta análise é simplista, mas não podemos esquecer que ao banco interessa a boa imagem que possa criar junto ao cliente; isto influi diretamente na captação de recursos, com os quais o banco trabalha, e dos quais depende sua disponibilidade para operar com empréstimos, pois o volume de aplicação e a captação de recursos estão intimamente correlacionados, positivamente. Esta a razão por que parece aceitável incluir o custo de espera do cliente no custo total para o banco.

B) O S_otimo ocorre quando o custo de ter mais caixas ultrapassa o custo de espera do cliente.

Aqui não mais consideramos a ociosidade. Interessa somente o quanto custa ao banco manter S caixas e quando esse custo supera o custo de espera do cliente. Ou seja, comparamos _Xd . S com _Ld . λ . _f.

C) O S_ótimo ocorre no ponto em que o custo de ociosidade de caixas é igual ao custo de espera do cliente.

Ou seja, interessa o ponto em que manter caixas ociosos custa igual ou mais que o ponto de espera. Comparamos

_Xd . com _Ld . λ . _f.

O mapa 1 traz elementos para as três análises. Conhecidos:

o custo de caixas (Cr$ 4 189,70 cada caixa)

o tempo médio de espera em fila por cliente (tabela 1)

o custo de espera para o cliente (quadro 3),

podemos preencher o mapa 1, cujas instruções para preenchimento constam em seu próprio corpo, entre colchetes.

Usando o mapa 1, fizemos o estudo n.º 1 (quadro 4), encontrando que S_ótimo é 9 e S_mínimo é 8. Verificamos nos demais estudos que a decisão mais razoável é geralmente dada pela abordagem A. Em princípio, a decisão final é o S mais freqüente resultante das três abordagens, mas depende da perspicácia do analista em considerar ou não outros fatores.

O mapa 1 é, portanto, um instrumento para tomada de decisão. Conhecidos os parâmetros horários (λ e µ ), avaliados em amostra de tamanho razoável e em diversos dias para os mesmos horários, pode-se estabelecer o S_ótimo de canais (caixas) para aquele período e, alocados os S em cada hora, qual o número de caixas necessários para o dia, o que indica a dotação do Caixec para a agência analisada.

Recalculando os dados coletados, e efetuando estudos semelhantes ao estudo 1, por hora, encontramos uma distribuição dos Caiexec por hora; e comparando com o horário programado pela agência, tem-se:

Portanto, 13 Caiexec são suficientes para suportar o movimento, não obstante a agência esteja utilizando 14. Admitimos, entretanto, as seguintes considerações:

1. Não previmos providências para os dias de picos e para a provável diferença de movimento entre dias diferentes da mesma semana (por exemplo, segunda e quarta-feira.

2. A taxa de serviços da agência é boa, superior à prevista pelo banco; o valor de µ gira entre 0,5 e 0,6, atendendo aproximadamente 0,55 clientes por minuto, enquanto o critério do banco é exigir 0,4 autenticações por minuto (120 autenticações no período diário de cinco horas).

3. Confirmação desse fato é a declaração dos clientes, conforme o quadro 3, em relação às filas: 92,8% afirmam não encontrá-las ou encontrar filas curtas.

Se os estudos confirmarem a previsão da agência, isto não os torna inúteis; pelo contrário, saber-se-á que a previsão é boa, o que é uma informação bastante valiosa.

9.2 Política II

No sentido de facilitar a aplicação da teoria das filas, pode-se pensar em fixar tempos médios de filas. As variáveis x₁ = número de agências concorrentes na praça e x₂ = potencial econômico da praça, consideradas a aplicação e a captação, definidas para a política de custos, podem ajudar a administração da agência a orientar-se no sentido de fixar um tempo médio de fila, que chamaremos tempo crítico, t_c . A administração local, levando em conta x₁ e x₂ e pela observação de filas em outros bancos, fixará um t_c de 1, 2, etc. minutos, considerado compatível com o movimento bancário da praça. Fixado o t_c e obtidos λ, µ e Q horários, o número de caixas S será estabelecido usando a tabela 1, construindo-se um quadro, com os seguintes procedimentos:

a) toma-se para cada hora, o produto µt_c, que será localizado no eixo vertical da tabela 1 (isto é, µt_c = µ

_c);

b) localizado o ponto correspondente a µt_c, procura-se a interseção da linha horizontal que passa por µt_c com a curva de Q calculado para aquele horário;

c) descendo a vertical pelo ponto de interseção, encontra-se o S correspondente, no eixo horizontal;

d) procede-se como em a, b, e c para as sete horas de atendimento.

Como teste, efetivamos esta análise para a agência pesquisada; os resultados encontrados estão na tabela a seguir (quadro 6) e as explicações vêm a seguir. O t_c fixado foi de 1min.

Conhecidos λ, µ e Q, e estabelecido o t_c, o preenchimento do quadro 6 é relativamente fácil. Basta calcular a coluna (4), µt_c, isto é, o produto do tempo médio fixado pela administração da agência, pelo µ horário correspondente a cada período; o resultado é o valor de µt_f a ser procurado na tabela 1, para o Q horário correspondente e conseqüente estabelecimento do S para aquele período. As colunas (6) e (8) são aproximações do S estabelecido (S calculado), para o inteiro mais próximo, menor e maior; e as colunas (7) e (9) dão os _f correspondentes a estes números de canais, pela tabela 1, calculando _f = onde k é µ

_f (eixo vertical da tabela). O critério aqui adotado foi escolher S₁ quando o _f era menor ou igual a 1,20m (20% a mais de espera, além do t_c) e aceitar S₂, em caso contrário. Na linha do período 10-11, o S escolhido foi o próprio calculado, pois seu _f = 1min. A coluna (11) dá a probabilidade de o tempo de espera na fila ser maior que o t_c, no caso, 1min, e é dada pela fórmula:

onde: = S - Q, µ é o do período, _f é calculado por _f = , k = µ

_f da tabela 1, e o seu cálculo é simples, dispondo de uma tabela de e^-~ que é muito conhecida. Note-se que, não obstante os _f para os S_fix serem geralmente menores que 1min, ainda assim as probabilidades de se esperar mais que 1min são no mínimo de 14,2% e no máximo de 35,4%, o que não indica folga muito grande para a ociosidade.

9.3 Política para a matriz

Verifica-se que a política II é mais simples de se aplicar, e fornece resultados razoáveis se soubermos dimensionar adequadamente os t_c. A política I forneceu um número de 13 Caiexec, enquanto a política II, fixando t_c = 1 min, fornece 12 Caiexec, com folga de 0,8 Caiexec. Entretanto, ambas as políticas são do âmbito de decisão da agência, que não tem autonomia para decidir qual a dotação de caixas; este número é determinado pela sede central do banco. A política de fixação desse número adotada pelo banco pesquisado nos parece muito razoável. Consiste em determinar, para cada caixa, um número mínimo de autenticações diárias de 120. Autenticação é o ato de o caixa registrar, na máquina, o pagamento ou recebimento de um papel. A quantidade de 120 autenticações diárias tem dado bons resultados, ressentindo-se de dois defeitos: a) não indica à agência como programar convenientemente o horário dos caixas, face ao movimento; b) a fixação de padrão de produção, quando exeqüível, acaba forçando a produção a convergir para aquele padrão. Nossa sugestão para a política da matriz, envolve duas fases: 1.ª inicialmente, a dotação de Caiexec será estabelecida dividindo-se o número de autenticações em seis meses, fornecido pelas agências de per si, pelo produto entre 120 autenticações e o número de dias úteis no semestre; 2.ª as dotações seguintes serão estabelecidas pelo mesmo processo, se o gerente de cada agência, utilizando a política II, não tiver razões suficientemente fortes para sua alteração.

Supondo, por exemplo, que uma agência informe 125 dias úteis e 150 000 autenticações no semestre; o cálculo do número de caixas será:

Porém, a agência situa-se em zona de alto índice de crescimento, com muitas agências bancárias que tendem a crescer. O gerente, após observação do atendimento pelos demais bancos, e análise de seu movimento pela política II, conclui que deve reduzir seu tempo crítico, que é de l,5min para lmin, para o que precisa de 12 caixas. Exporá suas razões à matriz, e, da análise das duas fases, resultará a nova dotação de Caiexec para a agência.

Outra consideração relevante é como tratar baterias com serviços diferentes. Muitas agências possuem duas ou mais baterias, usualmente divididas em depósitos e cobrança. Enquanto o critério das 120 autenticações é geralmente folgado para a bateria de depósitos, que é mais ágil, é geralmente apertado para a de cobrança, mais vagarosa pela natureza dos serviços. A aplicação da política II permitirá ao gerente alocar números diferentes para as duas baterias, face ao exame dos parâmetros, isto é: se a agência tem 30 caixas, o método pode revelar que devem ser designados 12 para depósitos e 18 para cobrança, o que é da estrita competência da administração da filial.

9.4 A alocação de caixas por hora

Determinados os S_ótimos por hora, é preciso montar um quadro com o número de Caiexec em cada hora, considerando o intervalo legal para refeições e os períodos de trabalho do caixa, de cinco horas no atendimento e três horas em serviço interno. O mapa 2 (quadro 7), a seguir, foi construído com os resultados do quadro 6:

Pelo exame do quadro 7, vê-se que foram alocados 12 Caiexec. Os 10,5 no início do expediente são boa providência, pois às nove horas, na abertura do expediente, há geralmente um grande público aguardando. No período de 12-13 horas, a média de seis Caiexec resulta da alocação de sete e cinco Caiexec, mas esta providência beneficia o horário de 14-15 horas, pois o movimento maior é das 14:30 horas em diante (veja 10.1) e esse período conta com 12 Caiexec.

10. OUTROS FATORES IMPORTANTES

Não vamos tratar aqui de outros fatores que nos chamaram a atenção e que investigamos durante a pesquisa. São eles: a) influência da localização do guichê: quanto mais próximo da entrada se localiza o guichê, mais procurado ele é; b) agilização do fator de utilização o, pelo aumento na taxa de serviços µ , e suas conseqüências; c) preferência por certos caixas. Preferimos abordar outro fator, procurando dar um instrumental aos administradores, para localizar a concentração do fluxo de chegadas.

10.1 Concentração e sazonalidade

Um dos processos que pode ajudar o administrador a verificar se seu cálculo de S caixas, por período horário, está razoável, é um gráfico da concentração para isto, durante vários dias, ao fim de cada hora, um observador passa pelos caixas e anota o número de autenticações feitas em cada máquina, acumuladamente. Depois, monta-se uma distribuição de freqüências pelo número de autenticações, em cada período horário.

Em seguida, traça-se um gráfico de freqüências acumuladas, como no gráfico 1, com um eixo percentual vertical, à direita; dividindo esse eixo em quatro partes, obtém-se os níveis de 25%, 50% e 75%, e traçando retas horizontais passando por eles, até a curva de freqüência acumulada, e descendo retas verticais pelos pontos de interseção, obtêm-se os períodos que englobam a concentração de serviços correspondentes a múltiplos de 25%, no eixo horizontal. No caso, 25% do movimento ocorre entre 9-10:30; 50% entre 10:30-14:40; e 25% entre 14:40-16 horas, aproximadamente, o que indica grande concentração no início e no fim do expediente, e relativa calma no período de almoço e próximo dele. O período mais calmo é entre 10:30-13:10 horas. Estes resultados referem-se a 13 dias de observação.

11. CONCLUSÕES

O artigo não abrangeu a análise dos dias de picos (peak's days), isto é, os dias após feriados, fim de semana, fim de mês, etc, onde o volume de serviços cresce bastante; e não abordou o regime de caixa-reserva, que é um elemento treinado que fica no serviço interno, sendo chamado quando o movimento excede às expectativas.

É claro que não só aos bancos interessa a metodologia exposta: empresas como supermercados, indústrias como linhas de produção, e outras, poderão utilizá-la. E, afinal, se conseguirmos com este artigo indicar aos interessados um caminho para tratar as filas, e alocar um número adequado de pontos de serviço, estaremos satisfeitos em nosso propósitos.

BIBLIOGRAFIA

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• 9. Amidani, L. R. A teoria das filas aplicada aos serviços bancários. Tese de Mestrado junto à EAESP/PFG, exemplar disponível na biblioteca da Escola, 1974.

*

Resumo e adaptação da tese de Mestrado com o mesmo título, já aprovada pela EAESP/FGV. O autor dedica o artigo a Nair e Gema Amidani, suas tias, pelo muito que lhes deve.

1

A esse respeito, diz Lee (3): "Costuma-se assumir que a distribuição é estacionária, quando isto raramente ocorre; porém, a discrepância entre a teoria e a realidade nem sempre é grave: torna-se mais grave quando a taxa de chegadas é alta." O modo de contornar tal dificuldade é estabelecer uma taxa de chegadas (ou de serviços) por hora, o que, como veremos, isola a influência da sazonalidade e pode permitir a aceitação do padrão estacionário.

2

Veja nota 1.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  12 Ago 2013
• Data do Fascículo
  Out 1975