Seja L <FONT FACE="Symbol">Ì</FONT> <img src="http:/img/fbpe/aabc/73n1/0059c2.gif"> uma variedade real de dimensão 3. Para todo ponto regular p <FONT FACE="Symbol">Î</FONT> L existe uma única reta complexa l p no espaço tangente à L em p. Quando o campo de linhas complexas p <img ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img4.gif" ALT="$\displaystyle \mapsto$"> l p é completamente integrável, dizemos que L é uma variedade de Levi. Mais geralmente, seja L <FONT FACE="Symbol">Ì</FONT> M uma subvariedade real em uma variedade analítica complexa. Se existe uma distribuição real integrável de dimensão 2 em L que é invariante pela estrutura holomorfa J induzida pela variedade complexa M, dizemos que L é uma variedade de Levi. Vamos provar: Teorema. Seja <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img5.gif" ALT="$ \cal {L}$"> uma folheação de Levi e seja <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img6.gif" ALT="$ \cal {F}$"> a folheação holomorfa induzida. Então <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img6.gif" ALT="$ \cal {F}$"> tem integral primeira Liouvilliana. Em outras palavras, se <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img5.gif" ALT="$ \cal {L}$"> é uma folheação real de dimensão 3 tal que a folheação holomorfa induzida define uma folheação holomorfa <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img6.gif" ALT="$ \cal {F}$">; isto é, se <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img5.gif" ALT="$ \cal {L}$"> é uma folheação de Levi; então <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img6.gif" ALT="$ \cal {F}$"> admite uma integral primeira Liouvilliana - uma função que pode ser construida por composição de funções rationais, exponenciações, integrações e funções racionais (Singer 1992). Por exemplo, se f é uma função holomorfa e se teta é uma 1-forma real em <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img8.gif" ALT="$ \mathbb {R}$">²; então o pull-back de teta por f define uma folheação de Levi: <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img5.gif" ALT="$ \cal {L}$"> : f*teta = 0 a qual é tangente a folheação holomorfa <img ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" src="http:/img/fbpe/aabc/v73n1/0059img6.gif" ALT="$ \cal {F}$"> : df = 0. Este problema foi proposto por D. Cerveau em uma reunião (Fernandez 1997).
folheações de Levi; folheações holomorfas; singularidades; variedades de Levi
