Parameters and Infinite Solutions of Linear Equation Systems

Hernández-Zavala, Luis Enrique; Acuña-Soto, Claudia; Liern, Vicente

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Bolema: Boletim de Educação Matemática

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Sumário

ARTIGOS • Bolema 37 (76) • May-Aug 2023 • https://doi.org/10.1590/1980-4415v37n76a23 copy

Parameters and Infinite Solutions of Linear Equation Systems

Authorship SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

Abstract

In the present work, we investigate the didactic usefulness of using parameters as variables of dual nature (active or inactive variables), as well as the actualization of five Mexican teachers in this knowledge. In this actualization we analyzed systems of linear equations (SLE) with two equations and three unknowns that had infinite solutions. For this purpose, we proposed, via the Internet, five semiotic artifacts: 1. A definition, 2. The inclusion of the parameter in the SLE, 3. The calculation of solutions, 4. Graphical representations, and 5. The application to a problem in context. The results revealed the relevance of introducing the parameter through this process and, in addition, the teachers achieved control over the valid solutions among the infinite ones of the system posed. For some teachers, the strategy and the role of the parameter was just one more method to be added to those already known; however, for others, it allowed an explanation of the relationship between the variable and the parameter, as well as the possibility of the controlled use of the infinite solutions.

Parameters; Infinite solutions; Systems of linear equations; Semiotic artifacts; Teacher Update

Categoría	Criterios de análisis
Manejo de SEL	Conocimientos generales de sistemas de ecuaciones lineales y sus conjuntos solución.
Manejo de SEL con infinitas soluciones	Conocimientos sobre la resolución de SEL con infinitas soluciones.
Uso de parámetros	Conocimientos del uso de los parámetros en los SEL.
Parámetro como variable dual	Efecto de la intervención con respecto al uso de los parámetros en los SEL.
Actualización de saberes	Efecto de la intervención en sus conocimientos sobre las infinitas soluciones en un SEL.

Categoría	Criterios de análisis	Indicadores
Interpretación de la definición	Cómo es percibido el parámetro (variable o constante).	Percepción del parámetro como una variable especial.
Interpretación de la definición	Detección de la naturaleza dual del parámetro.	Resultados de la aplicación de la naturaleza dual del parámetro.
Interpretación simultánea de las representaciones gráficas	Cuál es el impacto que tuvieron las representaciones gráficas asociadas al parámetro y a las infinitas soluciones.	Identificación de los conjuntos solución en las gráficas.
	Qué relaciones son detectadas cuando se usa el parámetro.	Uso del parámetro como una herramienta de control.
Solución e interpretación de problemas contextuales	Cómo son interpretados los problemas contextuales de un SEL con infinitas soluciones.	Interpretación de las infinitas soluciones en los problemas contextuales.
Solución e interpretación de problemas contextuales	Interpretación de las soluciones válidas relacionadas con las infinitas soluciones.	Aceptación e interpretación de las soluciones válidas.

Profesor	Docente en el nivel	Manejo de SEL	Manejo de SEL con infinitas soluciones	Uso de parámetros	Parámetro como variable dual	Actualización
1	Preparatoria abierta	Sólo maneja sistemas cuadrados, con soluciones únicas y numéricas.	Considera que este tipo de sistemas no pueden resolverse por que se llega a una contradicción algebraica.	Desconoce el uso de los parámetros en los SEL.	Mediante este recurso dio sentido y fue capaz de manipular el conjunto solución con infinitas soluciones.	La redujo a un método para encontrar soluciones y decidir sobre ellas, no apreciando la utilidad de la naturaleza dual del parámetro.
2	Licenciatura Humanidades	Manejo adecuado de SEL cuadrados y rectangulares.	Maneja este tipo de SEL, pero en su práctica docente no los aborda.	Conoce y ha utilizado los parámetros, sin embargo, desconoce su naturaleza dual.	Con este recurso dio sentido y manipuló las infinitas soluciones.	Conocía el tratamiento paramétrico, pero sólo ahora tuvo conocimiento de cómo abordar a las infinitas soluciones y su relación de variación.
3	Licenciatura Ciencias Sociales	Sólo maneja sistemas cuadrados, con soluciones únicas y numéricas.	No lo maneja adecuadamente, y tiene una concepción puntual de este tipo de soluciones. Considera que, si el sistema tiene una cantidad infinita de soluciones, este no será resuelto.	Ha escuchado de los parámetros, pero desconoce su uso y su naturaleza.	Con base en la naturaleza dual dio sentido y fue capaz de manipular las infinitas soluciones.	Dio sentido al gráfico y al problema contextual. Identificó un intervalo adecuado de soluciones válidas en las infinitas soluciones.
4	Secundaria	Sólo maneja sistemas cuadrados, con soluciones únicas y numéricas.	No aborda este caso en clase y considera que, si el sistema tiene una cantidad infinita de soluciones, el sistema no será resuelto.	No ha oído hablar de los parámetros y nunca los ha utilizado.	Mediante la naturaleza dual dio sentido al parámetro y manipuló las infinitas soluciones.	Estableció la relación entre las variables en el caso gráfico, así como la utilidad de las soluciones válidas en el caso del problema en contexto.
5	Secundaria	Únicamente maneja sistemas cuadrados, con soluciones únicas y numéricas.	No aborda este caso en clase y considera que, si el sistema tiene una cantidad infinita de soluciones, el sistema no será resuelto.	No ha oído hablar de los parámetros y nunca los ha utilizado.	Mediante la naturaleza dual dio sentido y fue capaz de manipular el conjunto de soluciones infinitas.	Considera la dualidad del parámetro, pero sólo como medio para obtener soluciones en condiciones distintas a las conocidas.

Profesor	Percepción del parámetro como una variable especial	Resultados de la aplicación de la naturaleza dual del parámetro
1	Al parecer el cambio de x a λ advierte a la profesora la diferencia entre el parámetro y las variables comunes.	Detecta que, por medio del rol del parámetro como variable inactiva, se puede resolver un sistema 2x3 que antes no era posible.
2	Detecta la variabilidad del parámetro, lo cual nos muestra que ha trascendido al sólo cambio de la naturaleza de la variable a la de un parámetro, es decir, de x por λ.	Identifica el papel del parámetro dependiendo de la necesidad operativa .
4	Se percata que el parámetro es una variable especial, pero de distinta naturaleza.	Identifica los cambios de los roles del parámetro, de manera particular, asociado a las infinitas soluciones.

Profesor	Identificación de los conjuntos solución en las gráficas	Uso del parámetro como una herramienta de control
1	Da sentido a los roles del parámetro y detecta la variabilidad de este. Además, asocia la reducción del tamaño del SEL al uso del parámetro, por medio del rol de variable inactiva.	Detecta el control de las soluciones , asociado a la variación del parámetro. Identifica gráficamente el control de las soluciones por medio del parámetro y la capacidad de elección asociado a la no negatividad de estas.
2	Identifica la relación entre el conjunto original y el que incluye un parámetro, gráficamente, como una proyección del espacio en el plano cartesiano .	Identifica la relación de cambio entre las representaciones en ℝ ² y ℝ ³ . Detecta la posibilidad de control sobre las infinitas soluciones, en la gráfica, mediante el rol del parámetro como una variable activa.
4	Identifica la reducción del tamaño del SEL por medio del parámetro, además, de una ventaja para poder trabajar con rectas en lugar de planos.	Detecta la variabilidad del parámetro asociado al control de las soluciones en la gráfica. La reducción del tamaño del SEL , la pone en un terreno conocido y cómodo, en donde puede controlar y encontrar soluciones

Profesor	Interpretación de las infinitas soluciones en los problemas contextuales	Aceptación e interpretación de las soluciones válidas
1	Estos le permiten organizar los artefactos anteriores y dar sentido a las infinitas soluciones.	Reconoce la posibilidad de poder manipular, acotar y elegir soluciones particulares, en un conjunto de infinitas soluciones. Identifica un intervalo de soluciones válidas , asociado a las condiciones específicas del problema.
2	Dan un sentido lógico al uso del parámetro, de forma que no se contradiga la realidad de los contextos. Además, identifica la utilidad de las infinitas soluciones.	Reconoce la lógica del caso de las infinitas soluciones, asociadas a una situación en un contexto realista. Identifica la posibilidad de manipular, acotar y elegir soluciones particulares en un conjunto de infinitas soluciones.
4	Afirma que para que un aprendizaje sea más significativo, estos problemas son adecuados.	Identifica cierta particularidad en las soluciones de un problema contextual, pero no la validez de estas.

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E-mail: bolema.contato@gmail.com

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