Oportunidades de aprendizagem profissional em um contexto de formação continuada a respeito do raciocínio matemáticoResumo
Embora o conhecimento dos professores para promover o raciocínio matemático, no contexto de sua prática docente, seja fundamental para atender às exigências dos currículos educacionais, aprimorar esse conhecimento é um desafio. Diante disso, a presente pesquisa, de natureza qualitativa e interpretativa, tem como objetivo compreender oportunidades de aprendizagem profissional acerca do raciocínio matemático que surgem quando professores participantes de um processo formativo se reúnem para discutir e analisar coletivamente suas práticas no ensino de Matemática. O contexto para produção e coleta de dados é um processo formativo que reuniu, em formato online, ao longo do 1º semestre de 2023, professores de anos iniciais e finais do Ensino Fundamental e do Ensino Médio. Mais especificamente, são considerados, neste artigo, dados oriundos dos dois últimos encontros, nos quais foram realizadas reflexões acerca das aulas elaboradas e desenvolvidas por esses professores, tanto em discussões que ocorreram em dois pequenos grupos, quanto em um momento coletivo com a presença dos formadores. Como resultados, identificamos oportunidades de aprendizagem profissional que foram geradas nessas discussões, sendo essas categorizadas em dois grupos: Conhecimento Especializado do raciocínio matemático (como explorar conexão entre conjecturas e generalização, e reconhecer e avaliar diferentes tipos de generalização) e Conhecimento Pedagógico do raciocínio matemático (como incentivar a autonomia dos alunos na validação de estratégias, ou usar questionamentos estratégicos que os influenciem a revisá-las).
Palavras-chave:
Educação Matemática; Formação de Professores; Oportunidades de aprendizagem profissional; Raciocínio Matemático
Abstract
Although teachers' knowledge of how to promote mathematical reasoning in the context of their teaching practice is fundamental to meeting the demands of educational curricula, developing such knowledge remains a challenge. In view of this, this qualitative and interpretive research aims to understand the opportunities for professional learning about MR that arise when teachers participating in a training process come together to collectively discuss and analyze their practices in teaching mathematics. The context for the production and collection of data is a training process that brought together, in an online format, during the first semester of 2023, teachers from the early and final years of schooling. More specifically, this article considers data from the last two meetings, in which reflections were made on the planned and implemented lessons by these teachers, both in discussions that took place in two small groups, and in a collective moment with the presence of the trainers. As a result, we identified professional learning opportunities that were generated in these discussions, which were categorized into two groups: Specialized Knowledge of mathematical Reasoning (how to explore connections between contexts and generalization, and recognize and evaluate different types of generalization) and Pedagogical Knowledge of mathematical reasoning (such as encouraging students' autonomy in validating strategies and using strategic questioning to prompt students to review their reasoning).
Keywords:
Mathematics Education; Teacher Training; Professional Learning Opportunities; Mathematical Reasoning
1 Introdução
O ensino da Matemática tem como um de seus objetivos contribuir para o desenvolvimento do raciocínio matemático (RM) dos estudantes (Carneiro; Araman; Trevisan, 2022; Jeannotte; Kieran, 2017; Mata-Pereira; Ponte, 2017; Oliveira; Araman; Trevisan, 2022). Deste modo, compreender o que se entende por raciocinar matematicamente e saber quais ações e práticas pedagógicas contribuem para o seu desenvolvimento é uma questão relevante. Considerando a importância do assunto, torna-se indispensável, tanto na formação inicial quanto continuada dos professores, aprimorar seu conhecimento profissional a respeito do tema.
Pensando na aprendizagem profissional dos professores que ensinam Matemática em uma perspectiva de ação coletiva, Ball e Cohen (1999) e Ball, Ben-Peretz e Cohen (2014) destacam a importância de promover oportunidades de aprendizagem para que eles aprendam uns com os outros, considerando isso como um meio fundamental para superar o isolamento que muitas vezes permeia o trabalho docente. De acordo com Ribeiro e Ponte (2020), as Oportunidades de Aprendizagem Profissional (OAP) podem surgir em um contexto que envolve discussões e reflexões facilitadas por um processo formativo utilizando registros de prática, criando um ambiente de formação que, por meio das interações entre os participantes, aproxima as experiências vivenciadas em sala de aula dos conhecimentos científicos, visando contribuir para o aprimoramento da prática docente.
Trabalhos que abordam o desenvolvimento profissional em contextos de formação relacionados ao RM são ainda incipientes. Em especial, nos últimos anos, acentuam-se investigações relevantes no cenário acadêmico a partir de estudos que procuram identificar, analisar e reconhecer como conhecimentos sobre RM se articulam com a formação docente (Trevisolli, 2024). Vieira, Rodrigues e Serrazina (2020), por exemplo, apontam uma maior clareza na explicitação do quê professores em formação entendem serem os processos do RM após essa experiência. De modo similiar, Rodrigues, Vieira e Serrazina (2021) indicam um melhor entendimento dos professores sobre ações docentes que desafiam os estudantes a utilizar os processos de generalizar e justificar, como resultado de sua participação em um processo formativo. Por fim, Santos et al. (2022) argumentam que professores participantes de processos formativos centram progressivamente a sua atenção em processos de RM, com oportunidades em identificá-los e caracterizá-los.
Apesar dos resultados promissores desses trabalhos, para estudar se e como um processo formativo pode apoiar a aprendizagem profissional do professor acerca do RM (Martins; Henriques; Caetano, 2023), é necessário compreender de forma mais sistemática que OAP (Ribeiro; Ponte, 2020) em relação às diferentes dimensões do conhecimento matemática para o ensino (Ball; Thames; Phelps, 2008) são necessários para que os professores promovam o desenvolvimento do RM dos alunos.
Assim, este artigo tem por objetivo compreender oportunidades de aprendizagem profissional acerca do raciocínio matemático que surgem quando professores participantes de um processo formativo se reúnem para discutir e analisar coletivamente suas práticas no ensino de Matemática. Para tal, considera dados oriundos de um processo formativo da qual participaram professores que ensinam Matemática em diferentes níveis de escolaridade, dos anos iniciais do Ensino Fundamental ao Ensino Médio.
2 Enquadramento teórico
2.1 Raciocínio matemático e seus processos
Raciocinar matematicamente é considerado um aspecto fundamental para a aprendizagem matemática, sendo necessário o incentivo ao seu desenvolvimento ao longo de todo processo de escolarização, iniciando desde os primeiros anos escolares (Lannin; Ellis; Elliot, 2011; Mata-Pereira; Ponte, 2018; Stylianides, 2009). Jeannotte e Kieran (2017, p. 7) definem-no como um “processo de comunicação com outros ou consigo mesmo, que permite inferir enunciados matemáticos a partir de outros enunciados matemáticos”, sendo essa a perspectiva de RM que adotamos neste trabalho.
Jeannotte e Kieran (2017, p. 7) identificaram dois aspectos centrais do RM: o aspecto estrutural e o aspecto processual. Enquanto o aspecto estrutural considera os tipos de raciocínio, como indutivo, dedutivo e abdutivo, o aspecto processual (nosso foco de interesse) abrange seus diversos processos, que podem ser categorizados em três grupos: (i) processos relacionados à busca de semelhanças e diferenças, como conjecturar, comparar, classificar, identificar padrões e generalizar; (ii) processos de validação, incluindo justificar e provar; e (iii) processos de suporte a outros tipos de raciocínio, como exemplificar. Discutiremos brevemente os três principais: conjecturar, generalizar e justificar, segundo argumentam Ponte, Quaresma e Mata-Pereira (2020).
O processo de conjecturar envolve formular uma hipótese acerca de uma relação matemática geral, baseando-se em evidências incompletas. Para Morais, Serrazina e Ponte (2018, p. 555), conjecturar consiste em “um processo que envolve raciocínio sobre relações matemáticas, desenvolvendo declarações, nomeadas como conjecturas, que requer maior exploração para verificar se são verdadeiras ou não verdadeiras”. Segundo Jeannote e Kieran (2017), conjecturar envolve processos cíclicos de: enunciar a conjectura, verificar os casos e exemplos existentes, tentar refutar e encontrar motivos para a conjectura ser verdadeira. Os alunos desenvolvem suposições que exigem exploração e evidências para apoiá-las; com isso, as conjecturas servem de ponto de partida para determinadas atividades matemáticas e o raciocínio matemático (Ponte; Quaresma e Mata-Pereira, 2020).
Para Jeannotte e Kieran (2017), generalizar significa inferir afirmações sobre um conjunto de objetos ou sobre suas relações, com base na análise de um subconjunto desses itens. Para Mata-Pereira e Ponte (2017), as generalizações permitem identificar uma propriedade que é válida para um determinado conjunto e que continua a ser válida para uma variedade mais ampla. Lannin, Ellis e Elliot (2011) destacam dois aspectos fundamentais no processo de generalizar: (i) identificar elementos comuns em situações diversas; e (ii) ampliar o raciocínio para além do contexto inicial em que os elementos comuns foram observados, ou seja, considerar uma relação, ideia, representação, regra, padrão ou outra propriedade matemática em um contexto mais abrangente. Na ciência, a generalização, enquanto processo de RM, tem papel fundamental, pois é vista como base para construção matemática. Desde os anos iniciais faz-se necessário desenvolver o processo de generalizar, com ênfase na construção de significados e na compreensão (Cusi; Malara, 2007; Kaput, 1999). Segundo Warren e Cooper (2007), é importante que os alunos sejam capazes de descrever uma dada regularidade utilizando linguagem natural, para que possam, posteriormente, expressar a generalização por meio de notação simbólica.
Apoiando os processos de conjecturar e generalizar, a identificação de padrões envolve focar em um aspecto específico de um problema e pensá-lo de forma abrangente, conforme descrito por Lannin, Ellis e Elliot (2011). Ao identificar padrões, pode-se chegar a uma conjectura ou a uma generalização, identificando pontos comuns em diferentes casos. Assim, “generalizar em diferentes casos, que resulte em generalizações verdadeiras ou falsas, pode ser uma introdução essencial ao processo de raciocínio e pode aprofundar a compreensão do aluno” (Lannin; Ellis; Elliot, 2011, p. 20).
O ato de validar, segundo Jeannote e Kieran (2017), tem como objetivo alterar valores epistêmicos de narrativas, sendo feita de três formas: justificar, provar e provar formalmente. Para as autoras, justificar é um processo de procura de dados, afirmações e suporte para modificar o valor epistêmico. Justificar é um processo social, podendo assumir dois formatos (i) justificar a conjectura que surgiu no processo e (ii) relatar a validade que altera o valor epistêmico (Jeannotte; Kieran, 2017). O processo de justificar envolve a criação de uma sequência lógica de declarações, cada uma fundamentada em conhecimentos já existentes, com o propósito de chegar a uma conclusão. Assim, elaborar uma justificativa válida para uma generalização não é uma tarefa simples, pois requer a verificação da validade da generalização para todos os casos do domínio, utilizando relações implícitas apropriadas. Uma justificativa válida deve explicar o motivo subjacente, fornecendo uma visão das relações presentes em todos os casos.
2.2 Aprendizagem profissional do professor que ensina Matemática
Ao considerarmos o RM e sua evolução no ambiente escolar, é essencial priorizarmos a formação dos professores como ponto de partida. Serrazina, Rodrigues e Mendes (2022) ressaltam que um dos objetivos principais dessa formação é permitir que os professores aprofundem seus conhecimentos, especialmente sobre a Matemática e seu ensino. Isso os capacita a utilizar tais conhecimentos de forma eficaz ao tomar decisões sobre o quê, quando e como ensinar durante sua prática pedagógica.
Em relação aos conhecimentos do professor que ensina Matemática, adotamos neste trabalho o modelo Mathematical Knowledge for Teaching (MKT) – Conhecimento Matemático para o Ensino, proposto por Ball, Thames e Phelps (2008) (Figura 1). O MKT concentra-se em um entendimento aprofundado e específico dos conhecimentos relevantes para o ensino da Matemática, que envolvem reconhecer as conexões entre diferentes conceitos matemáticos, compreender as dificuldades que os estudantes podem enfrentar ao aprender certos temas e criar estratégias apropriadas para apoiar o processo de aprendizagem dos estudantes.
O modelo apresentado está estruturado em diferentes tipos de conhecimentos, considerados essenciais para que os professores efetivamente ensinem Matemática. O Conhecimento Específico do Conteúdo (CK) é dividido em três subdomínios: o Conhecimento Comum do Conteúdo (CCK), que é utilizado por uma pessoa que tenha estudado Matemática, sem foco específico no ensino; o Conhecimento Especializado do Conteúdo (SCK), que é voltado para o ensino e capacita o professor a fazer adaptações para atender às necessidades dos alunos; e o Conhecimento do Conteúdo no Horizonte (HCK), que permite ao professor entender as conexões entre os tópicos matemáticos e sua evolução ao longo da educação.
No âmbito do Conhecimento Pedagógico do Conteúdo (PCK), temos mais três subdomínios: Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes (KCS), que se refere ao conhecimento matemático combinado com o entendimento de como os estudantes aprendem e as dificuldades que normalmente enfrentam; o Conhecimento do Conteúdo e do Ensino (KCT), que permite ao professor planejar as aulas levando em conta as dificuldades comuns no ensino de Matemática, escolhendo uma estratégia metodológica que atenda a essas necessidades; e o Conhecimento do Conteúdo e do Currículo (KCC), que envolve o entendimento da organização da Matemática ao longo do currículo, reconhecendo a sequência usual dos temas de ensino.
O objetivo desse modelo teórico não é apenas classificar o conhecimento do professor em categorias separadas, mas sim mostrar que nenhuma delas, por si só, é suficiente para abranger o conhecimento necessário para o ensino. Dessa forma, entendemos que a articulação desses domínios do conhecimento matemático em um contexto de formação deve gerar OAP relacionadas ao RM ao professor e, como consequência, impulsionar o aprimoramento da qualidade do ensino. Assim, tal modelo será utilizado como base em nossa análise de dados, para categorização dos conhecimentos profissionais mobilizados por professores em um contexto de formação continuada a respeito do RM.
Na perspectiva de se ampliar o conhecimento profissional específico para o ensino, diferentes modelos teóricos que discutem a aprendizagem profissional do professor têm sido apresentados no campo da Educação Matemática. Neste trabalho, baseamo-nos em Ribeiro e Ponte (2020), que propõe um modelo teórico-metodológico de Oportunidades de Aprendizagem do Professor (OAP) (Professional Learning Opportunities for Teacher - PLOT), que visa: (i) estruturar processos de formação com o objetivo de promover a aprendizagem dos professores; (ii) reconhecer oportunidades para que eles aprendam que são geradas durante esses processos. Para alcançar esse propósito, o modelo apresentado inclui também três etapas de implementação prática (Ferreira; Ponte; Ribeiro, 2023), detalhadas na Figura 2.
Esse modelo toma como pressuposto que os professores aprendem melhor quando estão envolvidos em sua prática diária, interagindo com colegas e realizando tarefas feitas especialmente por eles. Essa socialização é fortalecida quando o professor encontra espaço de fala e de escuta entre colegas de profissão que conhecem a realidade da escola e dos estudantes.
Além disso, há evidências de que os professores aprendem com o processo de planejamento, execução e reflexão das aulas (Sullivan et al., 2016). Desta forma, ressaltamos a importância de se contemplar em processos formativos os ciclos interativos que envolvam essas três atividades da prática docente (planejamento, desenvolvimento e reflexão), denominados Ciclo PDR (Trevisan; Ribeiro; Ponte, 2020). Destaca-se que, na estrutura interativa do ciclo, é essencial que haja, na etapa do planejamento, uma cuidadosa seleção das tarefas matemáticas, visando estimular a mobilização de diferentes processos de RM. Para tal, paralelamente aos conhecimentos específicos do conteúdo subjacente à tarefa, é necessário considerar os conhecimentos pedagógicos atrelados a esse conteúdo, que incluem, no planejamento da aula, a previsão de diferentes estratégias de resolução e as dificuldades que podem surgir (Serrazina, 2017). Para a autora, os professores são mais propensos a incluir o RM em suas aulas se entenderem as oportunidades que favorecem o desenvolvimento dos alunos, antecipando respostas e possíveis dúvidas, e incentivando uma participação ativa dos estudantes.
Também é essencial que o planejamento inclua relações curriculares, ou seja, a delimitação do conteúdo em acordo com o currículo básico, considerações pedagógicas do conteúdo e formas de avaliação sobre os entendimentos dos alunos, bem como sobre os seus conhecimentos prévios. Esses aspectos devem também ser considerados na etapa de desenvolvimento, no efetivo trabalho em sala de aula, mediante uma visão abrangente das capacidades de RM dos alunos. Ao refletir sobre o RM de seus alunos, o professor pode elaborar um acompanhamento, esclarecendo eventuais equívocos e, assim, experimentar desafios, visando melhorias no planejamento de lições subsequentes (Davidson; Herbert; Bragg, 2019).
Sobre a etapa de reflexão, Silva, Serrazina e Campos (2014) indicam sua importância no contexto do desenvolvimento profissional. Opfer e Pedder (2011) enfatizam que a aprendizagem profissional dos professores emerge de suas experiências e conhecimentos anteriores. No entanto, Webster-Wright (2009) acredita que a mera experiência não é suficiente para promover a aprendizagem, atribuindo à reflexão o papel central na transformação da experiência em aprendizado.
Assim, um processo de formação continuada necessita promover ações em que os professores tenham a oportunidade de pensar e discutir coletivamente, estimulando o trabalho em equipe e a reflexão conjunta sobre as aulas que desenvolvem com seus alunos (Anjos, 2023).
3 Procedimentos metodológicos
Nesta seção, apresentamos a caracterização da pesquisa e do contexto, a estrutura do processo formativo, os dados coletados e os procedimentos para a análise desses dados.
3.1 Caracterização da pesquisa e do contexto
A presente pesquisa segue uma abordagem qualitativa com caráter interpretativo (Bogdan; Biklen, 1994), parte da dissertação da primeira autora, inserida em uma investigação mais ampla, aprovada pelo Comitê de Ética da UTFPR. O processo formativo foi implementado em 2023, com objetivo de promover discussões e reflexões envolvendo o RM, por meio da análise de práticas de ensino de Matemática (Oliveira, 2024).
Inspirado no modelo PLOT (Ribeiro; Ponte, 2020), o processo formativo utilizou Tarefas de Aprendizagem Profissional (TAP), e foi estruturado em nove encontros síncronos, cada um com duração de 3 horas, propostos quinzenalmente às quartas-feiras, por meio da plataforma Google Meet, totalizando 24 horas. Esses encontros incluíram períodos de trabalho individual e em grupo, e no primeiro encontro contou com a participação de 13 professores, que aceitaram o convite feito pelos três formadores (uma mestranda, uma doutoranda e um professor universitário – esse último, segundo autor deste artigo).
Ao longo do processo formativo, alguns deles desistiram, sendo que, nos dois últimos encontros (foco deste artigo), sete professoras participaram. Todas elas atuavam em sala de aula, sendo duas professoras nos anos iniciais do Ensino Fundamental e as outras cinco nos anos finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio. Foram adotados nomes fictícios, sugeridos pelas próprias professoras: Branca, Eloísa, Fernanda, Lívia, Paula, Rebeca e Serena.
O processo formativo foi organizado em três etapas: (i) apresentação e aspectos gerais RM no primeiro encontro; (ii) exploração dos processos de RM nos encontros 2 a 4, e (iii) o ciclo PDR nos encontros 5 a 8. Na terceira etapa (nosso foco de interesse), inicialmente os professores, organizados em pequenos grupos (a partir do nível de escolaridade em que atuavam), elaboraram e discutiram planos de aula, organizados a partir de tarefas matemáticas com potencial para mobilização de processos do RM, que pudessem ser aplicados em suas próprias turmas. Cinco professoras aplicaram os planos em suas próprias turmas (etapa D) e, durante a implementação, pelo menos um dos formadores acompanhou as atividades para coletar registros práticos, incluindo protocolos escritos dos alunos, além de registros em áudio e vídeo das discussões de alguns grupos de alunos e da plenária mediada pela professora.
No oitavo e nono encontro, foram destinados momentos para análise e reflexão sobre registros de práticas das aulas ministradas, por meio de TAP elaboradas pelos formadores, estruturadas para abranger os estágios iniciais das aulas com a apresentação da tarefa, os períodos de discussão em pequenos grupos e, por fim, trechos das plenárias.
3.2 Coleta e análise de dados
Sendo a reflexão das aulas elaboradas o foco deste estudo, foram considerados dados do oitavo encontro, em que as professoras foram separadas em dois grupos, denominadas sala temática 1 (ST1) e sala temática 2 (ST2), devido ao uso das funcionalidades de salas de breakout no Google Meet. Essas salas não se organizam a partir de temas; são, na verdade, espaços virtuais separados, criados para permitir que grupos menores discutam e trabalhem em atividades específicas de forma mais focada. Cada sala tem sua própria sessão de vídeo, permitindo que os participantes interajam entre si sem a interferência do grupo maior. Essa etapa durou 1 hora e 30 minutos. Após a conclusão das atividades nas salas temáticas, todos retornam à reunião principal (GM) para compartilhar as conclusões dos pequenos grupos.
O trabalho desse encontro focou na discussão dos registros de práticas das aulas ministradas pela professora Serena, desenvolvida em uma turma do 6º ano, contando com a participação de 26 alunos, organizados em 6 grupos de 3 alunos e 4 duplas. Esta escolha deve-se à qualidade dos registros de prática coletados, bem como a diversidade de processos de RM neles implícitos. A tarefa matemática, intitulada Os Colares e adaptada de Pedro (2013), tinha como objetivos explorar os conceitos de sequência numérica, regularidade e introdução aos critérios de divisibilidade. Os formadores elaboraram uma TAP com seis questões para nortear a discussão nas salas temáticas, que incluía episódios em áudio/vídeo e protocolos de alguns grupos de estudantes.
A análise dos dados coletados foi realizada de forma conjunta pelos autores deste artigo. Um deles (segundo autor), como já mencionado, atuou como formador, e orientador da pesquisa de mestrado da primeira autora; a terceira autora foi coorientadora. A primeira fase da análise de dados contou com a transcrição das gravações das discussões ocorridas nas salas temáticas pela primeira autora. Em seguida, realizou a seleção de trechos de momentos que evidenciassem OAP acerca do RM que surgiam nessas discussões, bem como dimensões dos conhecimentos associados.
Após a leitura e a organização do material, os pesquisadores se debruçaram sobre as ideias contidas nas falas com o foco em reconhecer e discutir as OAP relacionadas à compreensão do RM e implicações pedagógicas associadas. Por fim, numa terceira etapa de análise, essas OAP foram articuladas a subdomínios do modelo MKT (Ball; Thames; Phelps, 2008), com ênfase em dois aspectos: Conhecimento Especializado do Conteúdo (SCK) e Conhecimento Pedagógico do Conteúdo (PCK).
Considerando o envolvimento das professoras participantes e a densidade analítica das interações ocorridas na ST1 (Paula, Serena e Fernanda), optamos por apresentar dados dessa sala temática. Entendemos por discussão de qualidade aquelas interações em que: (i) houve explicitação conceitual dos processos de RM mobilizados; (ii) as professoras problematizaram distinções entre processos como conjectura e generalização; (iii) realizaram análises comparativas entre diferentes estratégias dos alunos; e (iv) estabeleceram relações entre as intervenções docentes e o desenvolvimento do RM. Esses elementos estiveram mais explicitamente presentes nas discussões da ST1, justificando o foco analítico adotado neste artigo.
Os dados apresentados na sequência referem-se às transcrições das discussões entre as professoras Paula, Serena e Fernanda (sala temática 1 – ST1) ocorridas no oitavo encontro, no qual elas debateram questões apresentadas na TAP a partir dos registros de práticas oriundos das aulas ministradas em uma turma de 6º ano pela professora Serena, sobre a tarefa Os Colares. As transcrições foram organizadas a partir das questões da TAP, denominadas Questão 1, Questão 2, e assim sucessivamente. Cada fala está precedida pelo nome da professora e pela ordem da fala, representada pelo código [1.1], [1.2] os quais representam o trecho e a ordem da fala no trecho. Então, por exemplo, o código [1.2] representa a segunda fala ocorrida no trecho. Esta codificação ocorre em todos os trechos apresentados.
4 Resultados
Questão 1: Ao se envolver com a tarefa, quais processos de RM os alunos parecem ter mobilizado?
[1.1] Fernanda: Eles conseguiram fazer uma generalização, né?
[1.2] Paula: Sim, eles foram falando que era de dois em dois, né? E o dobro também, né? Usaram o dobro. Porque eles ficaram um pouco na dúvida na hora que a professora perguntou.
[1.3] Fernanda: É, daí depois que eles generalizaram, eles foram provar isso e viram que não... que não era…
[1.4] Paula: Eu acho que eles conjecturam, porque do cinco para o sete aumentou duas. Da conjectura deles, eles fizeram uma generalização, então eu penso assim que a hora que eles falaram, a hora que eles estavam falando né, que do 5 para o 7 eles pensaram aumentou 2, então eles estavam conjecturando nesse momento, eles estavam vendo quanto que estava aumentando, aumentou 2, então do 7 para o 9 aumentaram mais 2, então eles estavam vendo que estava aumentando, né, cada. Não seria isso que eles pensaram? Falando primeiro que está aumentando de 2 em 2, depois eles relacionaram se está aumentando de 2 em 2, logo ao dobro. Só que aí a professora fez a pergunta para eles, do 5 para o 7, se o dobro de 5 era 7, né? Aí pintou a dúvida. É isso mesmo?
[1.5] Fernanda: Então eles conjecturaram ao invés de generalizar?
[1.6] Paula: Eu acho assim que a conjectura e a generalização, elas caminham junto. Eles conjecturam ali a ideia do que está acontecendo e generalizam (Diálogo entre participantes da pesquisa, 2023).
Nesse diálogo entre Paula e Fernanda, há o reconhecimento de diferentes processos de RM mobilizados pelos estudantes, como o conjecturar e o generalizar, bem como uma reflexão sobre a natureza desses processos. Elas reconhecem que, inicialmente, os estudantes apresentaram uma conjectura sobre o padrão de crescimento da sequência, sugerindo que os números aumentam de dois em dois [1.2], por meio da observação de padrões e formulação de conjecturas, características importantes do RM.
Em seguida, Paula reflete sobre essa conjectura, relacionando-a à generalização [1.4]. Ela percebe que os estudantes estão tentando generalizar o padrão observado para outros números, indicando uma capacidade de abstração e generalização. No entanto, Fernanda levanta uma questão importante ao perguntar se os estudantes realmente generalizaram ou apenas conjecturaram [1.5]. Isso evidencia uma análise crítica por parte das professoras, que estão buscando compreender a diferença entre esses processos.
A discussão entre Paula e Fernanda também mostra o reconhecimento de uma inter-relação entre conjectura e generalização [1.6], sugerindo que esses processos são complementares e não distintos. Essa reflexão mostra que o contexto da discussão gerou uma OAP de explorar a conexão entre conjectura e generalização no RM nos alunos.
Questão 2: Como as intervenções realizadas pela professora possibilitaram mudança na estratégia que a dupla havia elaborado inicialmente?
[2.1] Fernanda: Ela fez com que os alunos tentassem validar o que a gente colocou ali na verdade, né? Que os alunos tentassem validar as generalizações que eles estavam fazendo, mas ela não interferiu, só fez que eles refletissem mais sobre ...
[2.2] Paula: Não interferiu nas respostas né?! Ela fez com que os alunos tentassem validar sobre as generalizações que estavam fazendo, mas não interferiu nas respostas (Diálogo entre as participantes da pesquisa, 2023).
Percebemos neste trecho uma reflexão acerca das intervenções realizadas pela professora Serena durante o desenvolvimento da aula. Fernanda observa que ela interveio de forma a incentivar os alunos a validar suas generalizações e a refletir sobre elas [2.1]. Elas parecem reconhecer que a professora promoveu um ambiente de aprendizagem no qual os alunos foram desafiados a justificar e fundamentar suas conclusões matemáticas.
Paula, por sua vez, destaca que a professora Serena não interferiu diretamente nas respostas dos alunos [2.2], o que indica uma abordagem pedagógica com o intuito de valorizar a autonomia e a responsabilidade dos estudantes diante da resolução da tarefa. De alguma forma, as intervenções da professora podem ter provocado uma mudança na estratégia dos alunos. Ao serem incentivados a validar suas generalizações e refletir sobre elas, os alunos podem ter revisado sua abordagem inicial e ajustado sua estratégia para melhor adequar-se ao que era pedido na tarefa. Evidencia-se, assim, uma OAP quanto ao reconhecimento da importância em incentivar a autonomia dos alunos na validação de suas próprias estratégias, como meio para o desenvolvimento de seu RM.
Questão 3: Que tipo de perguntas poderiam, talvez, ser feito pela professora de modo que os alunos percebam que sua estratégia está equivocada (ou seja, não era matematicamente válida)?
[3.1] Fernanda: Eu achei interessante quando ela falou, aqui é 9? 5 e 9. Eles são o dobro um do outro? E aí ela falou como que a gente pode fazer agora, vamos pensar você, falou que tá indo de dois em dois, então ela não interviu sobre a resposta do aluno, mas ela fez ele refletir para ver se realmente era o dobro.
[3.2] Paula: A princípio, achamos que a professora fez os questionamentos né, não interviu.
[3.3] Fernanda: Fez os questionamentos de uma forma que não daria uma resposta, mas fez com que refletissem sobre …
[3.4] Paula: Não induzindo a uma resposta. Mas fez com que refletissem sobre o que estavam dizendo se era o dobro, se realmente o que estavam dizendo era o dobro, né, será que é isso mesmo? Eles perceberam o equívoco, né? Quando ficaram pensativos. Quando falam que eles ficaram pensando ali, eu acredito que eles ficaram pensativos porque eles perceberam que não era o dobro, né? (Diálogo entre as participantes da pesquisa, 2023).
Neste trecho, as professoras discutem o trecho da aula em que a professora Serena questiona se os números 5 e 9 (quantidades de miçangas das etapas 2 e 4) são o dobro um do outro, incentivando os alunos a analisar a relação entre eles. Dessa forma, os alunos foram levados a refletirem criticamente sobre sua estratégia inicial de pensar nos números como dobras um do outro. Isso implica questionar a validade dessa suposição e considerar alternativas.
Fernanda e Paula observam que a professora fez questionamentos cuidadosos, sem dar respostas diretas [3.2], o que permitiu que os alunos refletissem sobre suas próprias estratégias e conclusões [3.3]. Elas reconheceram que a professora não induziu os alunos a uma resposta específica, mas os fez refletir sobre a validade de sua estratégia e considerar diferentes perspectivas [3.4]. Também perceberam que os alunos reconheceram o equívoco em sua abordagem inicial, indicando que o questionamento da professora os levou a revisar sua compreensão e identificar erros. Assim, a reflexão gerou uma OAP relacionada à compreensão de que utilizar questionamentos estratégicos pode levar os alunos a revisar e questionar a validade de estratégias.
Questão 4: A partir das resoluções apresentadas de dois grupos de estudantes, pede-se: Os alunos pensaram a tarefa da mesma maneira? Que semelhanças e diferenças há nas resoluções dos dois grupos. Comente a respeito.
[4.1] Fernanda: A semelhança é que eles observaram que a soma das miçangas era sempre um número ímpar, né?
[4.2] Paula: Então acho que foi isso, que eles descobriram que era de dois em dois, a semelhança, né? Elas falam aqui de dois em dois, não falam?
[4.3] Fernanda: Falam.
[4.4] Paula: Mas em nenhum momento mencionaram o que era, pensam de maneiras diferentes, a semelhança é que contaram o número de miçangas de 2 em 2. A diferença é que o grupo da Sabrina percebeu que os resultados eram sempre números ímpares e o grupo do Cauã não percebeu apenas registraram de 2 em 2 os resultados, mas em nenhum momento mencionaram que eram números ímpares (Diálogo entre as participantes da pesquisa, 2023).
As professoras comparam as resoluções dos dois grupos de alunos, destacando as semelhanças e diferenças entre suas estratégias de resolução da tarefa. Ao observar que ambos os grupos contaram o número de miçangas de dois em dois, as professoras reconhecem um padrão comum nas resoluções dos alunos e fazem reconhecimento de regularidades, por exemplo, que o número de miçangas era sempre um número ímpar [4.1], que as quantidades aumentam de dois em dois [4.2].
Sugerem também diferenças na compreensão matemática entre os grupos com base em suas resoluções, ao notar que apenas um grupo percebeu que os resultados eram sempre números ímpares, enquanto outro apenas registrou os resultados contando de 2 em 2 [4.4]. Assim, gerou-se uma OAP de analisar e comparar diferentes abordagens e descobertas feitas pelos alunos.
Questão 5: A partir das respostas ao item 6 [da tarefa matemática “Os Colares”], quais generalizações você reconhece que os grupos conseguiram elaborar?
[5.1] Fernanda: Basicamente o que estava anterior, né? A generalização do grupo da Sabrina, que as miçangas aumentavam de dois em dois e sempre resultava em um número ímpar. E do grupo do Cauã, a generalização que eles fizeram é que teria números a partir das etapas, da etapa 1, etapa 2 e etapa 3, eles consideraram que haviam números que sempre teriam a unidade terminada em 3, em 5 e em 7. Nas unidades, né? Na casa das unidades.
[5.2] Serena: Gente, vocês acreditam que só o grupo da Sabrina conseguiu perceber que eram os ímpares?
[5.3] Paula: Eu não acredito.
[5.4] Serena: A maioria só falou que aumentava de dois em dois. E teve um aluno, né, o Jean, mas ele, eu acho que ele estava fazendo, não lembro se ele estava em grupo, ou ele acabou fazendo sozinho. E ele foi o único que percebeu a relação entre o número da etapa e o número de miçangas. Ninguém mais tinha percebido, tanto que na hora que ele foi na lousa, nossa, todo mundo ficou de boca aberta. Até a formadora filmou, porque ele explicou super bem. E foi o único que percebeu a relação entre o número da etapa e o número das miçangas. Mas a maioria foi sem falar. Tipo, contando de 2 e 2 (Diálogo entre as participantes da pesquisa, 2023).
Neste trecho, fica evidente o reconhecimento, por parte das professoras, da importância da capacidade dos alunos de observar padrões e regularidades matemáticas, como caminho para generalizá-los. Fernanda reconhece, a partir dos registros, que os estudantes realizaram a observação de padrões nas quantidades de miçangas, generalizando que os resultados teriam a unidade terminada em 3, em 5 e em 7 [5.1], enquanto Serena destaca que eram números ímpares [5.2].
Além disso, destaca-se na fala de Serena o reconhecimento de que um aluno em particular, Jean. Ele conseguiu estabelecer uma relação entre o número da etapa e o número de miçangas [5.4], chegando assim a uma generalização mais robusta do que aquela realizada pela maioria dos colegas da turma (de que as quantidades aumentavam de dois em dois). Em termos de OAP, evidencia-se nesse trecho da discussão o reconhecimento e avaliação de diferentes tipos de generalizações que a tarefa ofereceu a oportunidade dos estudantes realizarem.
Questão 6: A partir dessas respostas, que intervenções poderiam ser realizadas para ampliar o RM?
[6.1] Fernanda: Devolvendo novas perguntas e novos questionamentos aos alunos? É que a gente não viu a plenária, né?
[6.2] Paula: É perguntar para eles: que sequência que era aquela? De 3, 13, 23…
[6.3] Fernanda: Que relação existia, ali? Qual a relação matemática que você vê? Você consegue perceber algo? Você consegue perceber alguma lógica nesses números?
[6.4] Paula: Por que eles vão falar? Poderia descobrir que era um número simples, né? Para ele falar.
[6.5] Fernanda: Você consegue perceber alguma lógica nesses números?
[6.6] Paula: Tem alguma relação com esses que vocês colocaram, né? Não, vocês descobriram uma sequência (Diálogo entre as participantes da pesquisa, 2023).
Na discussão entre Fernanda e Paula, podemos observar que reconhecem a importância da abordagem colaborativa e investigativa na aula de Matemática, que visa estimular o desenvolvimento do RM dos alunos por meio de perguntas e questionamentos mais direcionados. Fernanda, por exemplo, propõem que poderiam ser feitas perguntas desafiadoras que incentivassem os alunos a identificar padrões e relações matemáticas na sequência numérica apresentada, levando-os a reconhecer um padrão [6.1, 6.3].
Tem-se, assim, que a discussão proporcionada pela análise desses protocolos escritos gerou a OAP relacionada à promoção da exploração de padrões matemáticos e relações por meio de perguntas investigativas.
5 Discussão dos resultados
No intuito de explicitar as OAP acerca do RM que surgiram quando professores participantes de um processo formativo se reúnem para discutir e analisar coletivamente suas práticas no ensino de Matemática, articuladas aos conhecimentos profissionais manifestados e aprofundados, bem como sua categorização com base no modelo MKT (Ball; Thames; Phelps, 2008), organizamos o Quadro 1, sintetizando tais OAP, bem como evidências presentes nos dados analisados.
Após identificar as OAP geradas na etapa R (reflexão) do ciclo PDR, procuramos categorizá-las de acordo com os subdomínios do modelo de Conhecimento Matemático para o Ensino (MKT), com ênfase em dois aspectos: Conhecimento Especializado do Conteúdo (SCK) e Conhecimento Pedagógico do Conteúdo (PCK). A organização do quadro foi baseada em uma primeira versão de um modelo de categorização de OAP sistematizado por Trevisolli (2024), a partir de discussões ocorridas no grupo de pesquisa na qual se desenvolveu este estudo.
Da categorização realizada, duas OAP (1 e 5) foram identificadas como parte do Conhecimento Especializado do Conteúdo (SCK), estão diretamente ligadas aos processos e entendimentos essenciais do RM e, por isso, foram categorizadas como Conhecimento Especializado do RM. Assim, referem-se às possibilidades vivenciadas pelas professoras de desenvolverem habilidades para identificar processos de RM como conjecturar, generalizar, identificar padrões, validar, justificar e refutar, por exemplo, como condição essencial para fomentar essas práticas na sala de aula (Lannin; Ellis; Elliot, 2011). De modo similar ao relatado por Vieira, Rodrigues e Serrazina (2020) e Santos et al. (2022), esses resultados evidenciam uma maior clareza dos professores em relação aos processos do RM.
Por sua vez, as outras quatro OAP associadas ao Conhecimento Pedagógico do RM foram divididas em dois grupos: Conhecimento do RM e do Ensino (OAP 4 e 6) e Conhecimento do RM e dos Estudantes (OAP 2 e 3). No que diz respeito ao Conhecimento do RM e do ensino, o conhecimento do professor deve ir além dos fatos e conceitos específicos da matemática, ampliando também a compreensão de como os princípios fundamentais estão organizados. Essa visão implica não apenas na boa escolha de exemplos e abordagens pedagógicas, mas também na criação de estratégias que promovam o desenvolvimento do RM, adaptadas às diferentes formas de aprender dos alunos, no geral, “combina conhecer sobre ensino e conhecer sobre Matemática” (Ball; Thames; Phelps, 2008, p. 41).
No que se refere ao Conhecimento do RM e dos estudantes, Rodrigues, Vieira e Serrazina (2021) destacam algumas ações fundamentais que o professor deve adotar para promover o RM em sala de aula. Essas ações incluem questionar, encorajar a partilha de ideias, valorizar as contribuições dos estudantes e desafiá-los a justificar e generalizar suas respostas. Além disso, envolvem a antecipação do que os alunos provavelmente pensam, do que podem achar confuso, dos tipos de tarefas que considerarão difíceis ou fáceis, e de como completar um pensamento incompleto de um aluno. De modo geral, “é um conhecimento que combina conhecer sobre estudantes e conhecer sobre Matemática” (Ball; Thames; Phelps, 2008, p. 40).
De forma sintética, os resultados evidenciam que a etapa de reflexão do ciclo PDR favoreceu a emergência de OAP relacionadas tanto ao aprofundamento conceitual dos processos de RM (como a distinção e articulação entre conjecturar e generalizar, bem como o reconhecimento de diferentes tipos de generalizações), quanto ao refinamento de ações pedagógicas promotoras de RM (como o uso de questionamentos estratégicos e a valorização da autonomia dos estudantes na validação de estratégias). Tais resultados indicam que processos formativos estruturados a partir da análise coletiva de registros de prática podem contribuir para o desenvolvimento articulado do Conhecimento Especializado e do Conhecimento Pedagógico do RM, ampliando a capacidade do professor de interpretar produções dos alunos e intervir de forma intencional para promover o RM.
6 Considerações finais
Este artigo aborda uma problemática relevante e atual no âmbito das pesquisas em Educação Matemática. Sua relevância e atualidade está no fato de o contexto da pesquisa realizada ser um processo formativo de professores que ensinam matemática que abordou o RM, seus processos e como promovê-lo em sala de aula. O referido processo formativo foi estruturado e desenvolvido buscando considerar as experiências e conhecimentos profissionais das professoras participantes e articulá-los com os conhecimentos sobre RM de tal forma que houvesse alguma implementação em sala de aula, lócus onde efetivamente os conhecimentos profissionais dos professores se manifestam e se aprofundam (Serrazina; Rodrigues; Mendes, 2022).
A estrutura do processo formativo destacada no modelo PLOT (Ribeiro; Ponte, 2020), junto com a realização da etapa de reflexão do ciclo PDR (Trevisan; Ribeiro; Ponte, 2024), forneceu aos professores a oportunidade de participar tanto de estudos coletivos quanto individuais. Esse ambiente evidenciou a importância do envolvimento dos professores no processo formativo, sugerindo que este processo deve oportunizar a eles participar ativamente, em lugar de apenas “assistir”. Assim, as OAP identificadas respondem ao esperado em relação ao processo formativo, mas para que essas respostas sejam eficientes e alinhadas ao objetivo de compreender como os conhecimentos sobre RM são mobilizados, é fundamental que eles se engajem ativamente nas discussões e reflexão de suas práticas de ensino (Webster-Wright, 2009).
Além disso, o sucesso dessas práticas depende do envolvimento dos participantes, refletindo sobre os impactos na prática pedagógica e buscando continuamente o aprimoramento. O envolvimento do professor não apenas contribui para sua própria evolução profissional, mas também enriquece o ambiente educacional, promovendo uma cultura de aprendizado colaborativa e inovadora.
Assim, podemos concluir que esta pesquisa contribui para a compreensão de que os processos de formação continuada, que conectam teoria e prática, ampliam a geração de OAP relacionadas ao RM, tanto em relação aos seus aspectos específicos quanto questões pedagógicas. Dessa forma, destacamos a relevância deste trabalho para a formação de professores, no sentido de ampliar sua capacidade em desenvolver, em suas salas de aulas, práticas que favoreçam o desenvolvimento do RM dos estudantes.
Finalmente, destacamos como uma das limitações do estudo o fato da categorização das OAP aqui apresenta ser para um contexto específico de formação — predominantemente vinculado à Educação Básica e com a participação de professores que já mostravam certo engajamento com a pesquisa e a reflexão sobre a prática. Essa particularidade pode restringir sua aplicabilidade imediata em contextos mais heterogêneos ou em contextos formativos menos sistematizadas.
Agradecimentos
O presente trabalho foi realizado com apoio do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq, e da Fundação Araucária de Apoio ao Desenvolvimento Científico e Tecnológico do Estado do Paraná.
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