Modelización del grupo fundamental de un nudo como estrategia para establecer la estructura de una superficie

Mateus-Nieves, Enrique

doi:10.1590/1980-4415v36n73a07

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Bolema: Boletim de Educação Matemática

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Sumário

ARTIGOS • Bolema 36 (73) • May-Aug 2022 • https://doi.org/10.1590/1980-4415v36n73a07 copiar

Modelización del grupo fundamental de un nudo como estrategia para establecer la estructura de una superficie

Modellng of the fundamental group of a knot as a strategy for establishing a surface structure

Autoría SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

Resumen

Antecedentes

la práctica docente evidencia escaso desarrollo de competencias matemáticas en los estudiantes para dar respuesta satisfactoria a situaciones cotidianas, manifiestas en dificultades para identificar la topología como una herramienta que admite modelar este tipo de situaciones.

Objetivo

elaborar e implementar una propuesta de modelización matemática, que involucra la topología, como manera de conectar el mundo real con las matemáticas.

Metodología

se adelantó una investigación-acción de enfoque cualitativo con cincuenta estudiantes universitarios. Análisis y resultados: se destaca la importancia de estudiar invariantes topológicas porque permiten encontrar diferencias y similitudes en trayectorias tridimensionales cerradas, elementos que conforman la estructura de una superficie. Se resalta la importancia de: relacionar espacios métricos con la topología; necesidad de manejar e institucionalizar un lenguaje claro, preciso y propio de topología como componentes que permiten al estudiante reconocer que las propiedades topológicas de los nudos (invariantes), están directamente relacionadas con las propiedades de las superficies que se pueden generar a partir de ellos.

Topología; Invariante topológico; Teoría de nudos; Grupo fundamental

Momentos de trabajo	Transiciones del ciclo de modelización propuesto por Blum y Leiß (2007)BLUM, W.; LEIß, D. How do students’ and teachers deal with modelling problems? En: HAINES, C. et al. (ed.). Mathematical Modelling: Education, Engineering and Economics. Chichester: Horwood, 2007. p. 222-231.	Subcompetencias desde la teoría de nudos
Momento 1 Sensibilización	Construcción etapas	Construye y representa nudos: libres, trivial y trébol, Elabora diagramas regulares representativos. Indica en el diagrama: orientación y número de cruces. Visualiza nudos construidos desde software .
Momento 1 Sensibilización	Estructuración	Enuncia la definición funcional de nudo. Construye el diagrama regulador mediante proyecciones en el plano. Diagrama todas las ecuaciones (líneas y curvas) que representan las partes del nudo. Asocia un diagrama regular con la construcción, el nudo que representa. Relaciona el nudo construido con el diagrama presentado. Determina quiralidad o aquiralidad.
Momento 2 Implementación y evaluación	Matematización	Indica en el diagrama regular de un nudo: el tipo de nudo, orientación, número de cruces que están representados. Determina cuáles invariantes del grupo fundamental se satisfacen y cuáles no. Determina si existe una isotopía X del espacio que no altere la topología de X. Extiende el significado de invariante topológico con la afectación existente en la construcción de la estructura de una superficie. Construye enlaces a partir de funciones bien definidas, digitadas en el software . Relaciona las nociones de compacidad y conexidad en la estructura de una superficie con los invariantes del grupo fundamental.
	Resolución	Relaciona el diagrama regular con la construcción tridimensional. Identifica y relaciona los invariantes que conforman el grupo fundamental del nudo. Establece equivalencia entre nudos.
	Interpretación	Expresa, de manera concreta y en contexto real, los resultados encontrados relacionados con nudos o enlaces. Reconoce los invariantes que conforman el grupo fundamental. Identifica, desde el software , posibilidad de expresar gráficamente un nudo desde el uso de funciones. Expresa y registra de forma correcta en el software la(s) función(es) bien definida(s) que representan el nudo o enlace. Diagrama y visualiza en el software el nudo o enlace correspondiente. Busca relación entre las nociones de compacidad y conexidad en la estructura de una superficie con los invariantes del grupo fundamental.
	Validación	Crea construcciones a partir de funciones bien definidas, digitadas en el software . Contrasta si los resultados obtenidos con el software corresponden a la situación planteada y satisfacen las condiciones pedidas.
	Exposición	Sustenta, coherentemente, el trabajo desarrollado y la extensión a otras posibles situaciones propias del quehacer de un ingeniero. Visualiza, relaciona y extiende el significado de invariante topológico con la afectación existente sobre la construcción de la estructura de una superficie, buscando acercamiento a las nociones de compacidad y conexidad de una superficie.

Construyendo nudos
Primera parte Conceptos: Nudo trivial, es una circunferencia geométrica canónica embebida (mediante la aplicación inclusión) en el espacio euclídeo ℝ ³ . Los nudos no triviales más sencillos son el nudo trébol y el nudo con figura de ocho. Llamamos nudo poligonal a aquel nudo cuya imagen está formada por un número finito de segmentos de recta. Un nudo equivalente a un nudo poligonal se denomina manso. Por tanto, un nudo es un enlace que tiene solo una cuerda. Sin embargo, un nudo es un caso particular de enlace, colección anudada de una o más cuerdas cerradas. Dos ejemplos de enlaces compuestos por más de una cuerda son el enlace de Whitehead y los anillos de Borromeo.
Actividad	Descripción	Indicador
Construcción nudo trivial	Nudo trivial . El nudo mas sencillo es S ¹ visto en ℝ ³ , esto es el conjunto de puntos $\{(x, y, z) \in R / x^{2} + y^{2} = 1\}$ .	1. Construye el diagrama regulador para un nudo trivial y el nudo sencillo en forma de ocho
Construcción nudo trébol	Nudo trébol . Es el nudo sencillo no trivial, tiene tres cruces	2.Construye el diagrama regulador para un nudo trébol
Construcción de otros nudos	Nudo de Saboya	3. Construye el diagrama del nudo
Construcción de otros nudos	Nudo de Kimoshita- Torasaka	3. Construye el diagrama del nudo
Construcción de enlaces		4. Identifica los lazos que conforman el enlace y realiza el respectivo diagrama
Segunda parte Comparar, construir y responder Compare dos nudos construidos por ustedes, analícelos detalladamente y responda: ¿Qué tienen en común, qué diferente? Describa de tal forma que alguien que no esté mirando las construcciones, entienda de que se está hablando. Identificar coincidencias y diferencias. ¿Es más simple replicar el nudo si en el diagrama se indica dónde está la unión de los extremos? ¿Qué problema se le presentó al tratar de hacer un nudo a partir de un diagrama? ¿Cómo lo resolvió? ¿Le es posible identificar los invariantes del grupo fundamental en el nudo que construyó? ¿Cómo matematizaría usted la construcción de ese nudo? ¿Cree que el significado de invariante topológico afecta la construcción de la estructura de una superficie? Explique.

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E-mail: bolema.contato@gmail.com

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[1] Contribución del autor. El autor declara la realización, creación y desarrollo del proyecto de investigación, así como la organización de resultados y del presente manuscrito.

Declaración de disponibilidad de datos. Los datos que respaldan este estudio serán puestos a disposición por el autor, previa solicitud razonable.

Consentimiento. El autor recogió datos no identificativos de los participantes. Los datos se mantuvieron seguros para evitar su exposición