Potencialidades e Desafios do Ensino de Matemática Online: exemplo de uma experiência com estudantes de Engenharia do Ensino Politécnico em Portugal

Potentialities and Challenges of Online Mathematics Teaching: example of an experience with Engineering students from Polytechnic Education in Portugal

Resumo

Este artigo é o resultado de um projeto realizado nas turmas dos cursos de Licenciatura em Engenharia no Ensino Superior Politécnico em Portugal, no período em que as aulas foram lecionadas de forma remota. Para adaptar o processo de ensino-aprendizagem a esta nova realidade, diferentes abordagens e métodos de avaliação foram implementados no âmbito do ensino de cálculo. A constatação de que uma avaliação tradicional no modelo online poderia ter as suas potencialidades reduzidas devido à possibilidade de o aluno utilizar diferentes ferramentas de auxílio quando é avaliado à distância, nos levou a colocar em prática um modelo de avaliação assente em trabalhos de grupo fundamentado na aprendizagem baseada em problemas. Considerando a aplicabilidade da determinação de máximos e mínimos de uma função no dia a dia, foram criadas várias situações-problema. Para a sua resolução seriam necessários conhecimentos de Geometria e de Modelagem Matemática: envolvendo a formulação de hipóteses, o questionamento por parte do aluno e a sua capacidade de análise. Com a intenção de incrementar os conhecimentos tecnológicos dos alunos, foi utilizado no projeto o software GeoGebra para relacionar de um modo mais visual e dinâmico o cálculo diferencial com a Geometria. Os resultados obtidos e o feedback positivo dos grupos de alunos revelaram que o projeto é uma boa alternativa ao modelo de avaliação tradicional, podendo mesmo servir de referencial para o trabalho de outros professores.

Palavras-chave:
Aprendizagem Baseada em Problemas; Modelagem Matemática; Avaliação Online; Cálculo Diferencial; GeoGebra

Abstract

This paper is the result of a project carried out in classes of Engineering Degree courses in Polytechnic Higher Education in Portugal, in the period when classes were taught remotely. To adapt the teaching-learning process to this new reality, different approaches and evaluation methods were implemented in the calculus teaching. The realization that a traditional evaluation in the online model could have its potentialities reduced due to the possibility of the student using different aid tools when being assessed at a distance, led us to put in practice an evaluation model based on group work founded in problem-based learning. Considering the applicability of the determination of maxima and minima of a function in everyday life, several problem situations were created. To solve them it would be necessary to have geometry and mathematical modelling knowledge: involving hypothesis formulation, questioning by the student and their analysis capacity. With the intention of increasing the students’ technological knowledge, the GeoGebra software was used in the project to relate differential calculus with geometry in a more visual and dynamic way. The results obtained and the positive feedback from the student groups revealed that the project is a good alternative to the traditional assessment model and may even serve as a reference for the work of other teachers.

Keywords:
Problem-Based Learning; Mathematical Modeling; Online Assessment; Differential Calculus; GeoGebra

1 Introdução

Com a pandemia generalizada e a obrigatoriedade de confinamento, o ano de 2020 delegou aos professores o grande desafio de reformular e readaptar as suas metodologias de ensino e instrumentos didáticos ao Ensino Online. O foco deste artigo é dedicado aos desafios do Ensino da Matemática lecionada no Ensino Superior Politécnico em Portugal. De forma geral, trata-se do estudo dos conteúdos programáticos no âmbito do Cálculo Diferencial e, em particular, os relacionados com o cálculo de derivadas e suas aplicações. Estes conteúdos são habitualmente trabalhados na disciplina de Análise Matemática II para os diversos cursos de Licenciatura em Engenharia, que tiveram as suas aulas convertidas do modelo presencial para o modelo online. Essas aulas passaram a serem lecionadas através da plataforma Microsoft Teams com o apoio da ferramenta OneNote e da plataforma de ensino Nonio, já utilizada em anos letivos anteriores pela Instituição.

A necessidade de uma readaptação na forma de lecionar, a transição do modelo presencial para o modelo remoto, fez com que novos métodos de ensino e de avaliação fossem desenvolvidos. Neste artigo serão compartilhados alguns dos trabalhos de grupo realizados pelos alunos dessa disciplina que tiveram que resolver situações-problema, adaptadas e contextualizadas, envolvendo a otimização de funções. A intenção dos trabalhos de grupo era responder à questão usual dos alunos: Em que situação vou aplicar estes conceitos? com o intuito de mostrar ao aluno problemas que podem ser resolvidos com os conceitos e técnicas aprendidas. De forma a ampliar as competências tecnológicas dos alunos, foi utilizado o programa computacional GeoGebra para representação gráfica e geométrica dos modelos funcionais construídos em cada situação-problema. Com este artigo pretende-se partilhar uma nova forma de apresentar e de avaliar os conteúdos programáticos relativos ao estudo do Cálculo Diferencial com outros professores que se debatem atualmente com os mesmos desafios.

2 Objetivo

O objetivo deste artigo consiste essencialmente em indagar e refletir sobre a questão: “O porquê de uma avaliação no ensino online em modelo diferente do tradicional”. Geralmente, considera-se como avaliação tradicional a que consiste na utilização de uma prova escrita ou oral assente no estilo pergunta-resposta. No entanto, a aplicação desse modelo no ensino remoto pode não alcançar o objetivo de medir o grau de conhecimento adquirido pelo aluno em relação aos conceitos estudados no âmbito de uma determinada unidade curricular. O aluno ao ser avaliado à distância, e ainda mais em modo (online), dispõe de muitas ferramentas de auxílio para responder corretamente às questões apresentadas, tais como: o Google, softwares de Matemática, calculadoras, entre outros apoios/recursos; os quais, habitualmente não se encontram à sua disposição numa avaliação presencial com a aplicação de uma prova escrita ou oral.

No regime de avaliação online, por mais estratégias de vigilância/observação que utilize o professor, o aluno continua a ter mais recursos e possibilidades de comunicação e assim receber/partilhar as respostas às questões da prova de/com os colegas. Sendo assim, este regime de avaliação online foge do intuito de avaliação individual dos alunos que, até ao momento, um teste presencial (tradicional) permitia. Muitos professores referem que, ao corrigir os testes de avaliação online submetidos pelos alunos, se deparam com respostas (e erros) exatamente iguais, evidenciando a fragilidade desse tipo de avaliação. O professor acaba se sentindo desmotivado pela ausência de valorização do seu empenho e trabalho desenvolvido no processo de ensino-aprendizagem. Dada esta conjuntura, e com a finalidade de contornar resultados de avaliação camuflados pelas diferentes variáveis já descritas, que conduzem a análises e conclusões erradas sobre o saber do aluno, apresentaremos aqui um modelo diferente do tradicional para uma avaliação no ensino online.

3 Embasamento teórico

Este trabalho foi baseado em vertentes metodológicas que permitem tomar em consideração tanto os objetivos gerais de um ensino online, como os objetivos específicos das unidades curriculares relacionadas com o cálculo diferencial no Ensino Politécnico português. Seja no modelo presencial ou no remoto, a participação ativa do aluno ajuda tanto a uma maior e melhor dinâmica da aula, como desperta um interesse e um entusiasmo pelo estudo. Na certeza de que cada vez mais é necessário tornar o aluno agente ativo no processo de ensino-aprendizagem, não assumindo apenas o papel de receptor de informações, o professor pode fazer uso de uma metodologia designada por: aprendizagem baseada em problemas (ABP) (em inglês, Problem-Based Learning (PBL)). De acordo com a ABP, o professor dá ao aluno autonomia, estimula o pensar, para que o mesmo saia da sua zona de conforto e encontre as respostas e soluções para um dado problema. Considera-se que a metodologia ABP apresenta uma perspectiva construtivista¹, na qual o processo de desenvolvimento do pensar está centrado no aluno, garantindo que a compreensão por parte dele e a procura de solução para os problemas sejam orientados pelo professor.

Essa metodologia permite que este último se torne um tutor ao invés de ser apenas um detentor, expositor, transmissor do conhecimento, estabelecendo este uma relação mais próxima com os alunos. Quando se usa a metodologia ABP, se está incentivando mais dois aspectos importantes para o crescimento do cidadão, nesse caso, do aluno. São eles: incentivar o trabalho individual e, ao mesmo tempo, o trabalho em grupo. Articular o desenvolvimento desses dois tipos de trabalho é de grande importância para o crescimento do aluno como cidadão que aprende a lidar com as dificuldades para resolver de forma autônoma um problema e, simultaneamente, a escutar a opinião dos seus colegas de grupo e promover conversas/debates para juntos chegarem a uma resposta unânime para o problema.

Segundo Baldes (2021, p. 4): “O mundo contemporâneo exige uma avaliação centrada na resolução de problemas e conflitos, na vivência de situações-problema, na arte da convivência e do diálogo com os diferentes […]”. Desta forma promove-se a expansão do raciocínio, de novas ideias que vão surgindo, há um aumento da curiosidade dos alunos pelos assuntos propostos, inseridos dentro de uma temática globalizada e estimula-se assim mais facilmente a aprendizagem. Além do que, quando o professor encoraja a participação ativa dos alunos, dando-lhes a possibilidade e responsabilidade para intervir no processo de ensino-aprendizagem, os alunos sentem-se “mais importantes” apenas por poderem tomar esse papel, o que melhora a sua autoestima e motivação para o estudo, em particular, em unidades curriculares do âmbito da Matemática.

Consideramos aqui o processo de ensino-aprendizagem como um processo de articulação do ensino com a aprendizagem, e não como dois processos que devem ser analisados de forma separada pelo fato de envolverem dois ou mais protagonistas tais como: o professor,

o aluno, os grupos de alunos, a turma, a instituição, a comunidade etc. Além disso, de acordo com Barbosa e Canalli (2011, p. 1),

A relação estabelecida entre professores e alunos constitui o ápice do processo pedagógico. Não há como segregar a realidade escolar da realidade de mundo vivenciada pelos discentes, e sendo essa relação uma “via de mão dupla”, tanto professor como aluno podem ensinar e aprender através de suas experiências.

Deste modo, o trabalho aqui apresentado está sustentado, de uma forma geral, na metodologia de aprendizagem baseada em problemas (ABP) e, de uma forma mais específica, em atividades de Modelagem Matemática (MM). Quanto à estrutura da atividade de MM, esta se delineia em quatro etapas, sem entrar em detalhes ou querer prejulgar uma sucessão linear temporal entre elas: (1) delimitação (construção) do sistema a ser modelado; (2) escolha das variáveis relevantes e elaboração do modelo matemático; (3) trabalho técnico dentro do modelo e interpretação deste trabalho e seus resultados dentro do sistema; (4) o modelo torna-se independente por meio da formulação de novos problemas que podem exigir a realização de novos processos de modelagem (GASCÓN, 1992, 1994; BOLEA, 2002).

Assim, a metodologia utilizada e os seus objetivos caminham para tornar o aluno mais completo como cidadão pensante, reflexivo, responsável e inserido na sociedade. Levando em consideração a preocupação com respeito ao modelo de avaliação, podemos dizer que as palavras de Baldes (2021, p. 4) promovem uma reflexão para a escolha da “melhor forma” de avaliar o aluno: “O objetivo da avaliação não é mais somente verificar o grau de retenção e de recuperação das informações, mas sim demonstrar pensamento crítico, capacidade de compreender o que lê e capacidade de usar novos recursos tecnológicos […]”.

É necessário que as atividades pedagógicas desenvolvidas nas diferentes Instituições de Ensino Superior permitam, por um lado, capacitar o aluno para contribuir de forma reflexiva e crítica em seu futuro emprego e, por outro lado, articular os papeis da escola e da sociedade na vida dos cidadãos. Dessa forma, mais uma vez, as ideias descritas por Baldes (2021, p. 4) nos impulsionam no estudo sobre uma avaliação diferente do modelo tradicional, no ensino online, quando ele diz que: “A avaliação deve ter condição de verificar se o indivíduo está ou não no caminho de um comportamento de cidadania, um comportamento inteligente, frente aos novos desafios […]”. Em particular, esse é o objetivo do Ensino Superior Politécnico em Portugal descrito na Lei de Bases do Sistema Educativo Português (DRE, 2021/05/05, artigo 11, nº 4),

O ensino politécnico, orientado por uma constante perspectiva de investigação aplicada e de desenvolvimento, dirigido à compreensão e solução de problemas concretos, visa proporcionar uma sólida formação cultural e técnica de nível superior, desenvolver a capacidade de inovação e de análise crítica e ministrar conhecimentos científicos de índole teórica e prática e as suas aplicações com vista ao exercício de atividades profissionais.

Tendo em mente todos os aspectos descritos, anteriormente, podemos, mais uma vez, deixar clara a questão referente ao processo de ensino-aprendizagem, citando outras palavras de Barbosa e Canalli (2011, p. 1),

Pode-se dizer então que os métodos de ensino são as ações do professor pelas quais se organizam atividades de ensino e dos alunos para atingir objetivos de trabalho docente em relação a um conteúdo específico. Esses métodos fazem a mediação nas formas de interação entre ensino e aprendizagem, entre professor e aluno […].

É neste âmbito que emerge o trabalho apresentado no presente artigo, como uma descrição de uma proposta de avaliação online mediante trabalhos de grupo desenvolvidos por estudantes do Instituto Superior Politécnico Gaya em Portugal.

A análise didática destes trabalhos de grupo está sustentada pela teoria antropológica do didático (TAD). De acordo com Lucas et al. (2016): “Nessa teoria o objeto primário de investigação reside na análise da atividade matemática escolar com as suas relações humanas enquadradas numa determinada instituição ou instituições […]” (LUCAS et al., 2016, p. 63). Pretende-se analisar o conjunto de interações (aluno-aluno, aluno-grupo, aluno-professor, professor-professor, professor-investigador) e de responsabilidades didáticas partilhadas entre indivíduos inseridos numa sociedade quando estão sujeitos a certas condições que as Instituições possuem e lhes propõem. Assim, com o objetivo de identificar os possíveis entraves ou restrições que impedem a exploração didática de certas tarefas matemáticas como, por exemplo, a resolução de problemas mediante trabalhos de grupo que envolvam atividade de Modelagem Matemática e o uso de ferramentas computacionais, a TAD propõe uma análise ecológica das condições institucionais, tal como Lucas et al. (2016, p. 64) referem:

Com a TAD pretendemos descobrir quais são os obstáculos ou imposições (como, por exemplo, o tempo de aula, o número de alunos ou a extensão dos programas, a estrutura e dinâmica da matemática escolar) que teremos que ultrapassar para fazer viver as atividades didáticas numa determinada instituição. Este tipo de pesquisa e reflexão a priori poderá permitir que o trabalho árduo da construção sucessiva de novas, criativas, motivadoras e cativantes atividades didático-matemáticas seja útil, possível e realizável em sala de aula e que não seja um trabalho utópico.

A TAD como teoria de investigação disponibiliza ferramentas de auxílio para a organização didática de atividades de resolução de problemas que envolvam a Modelagem Matemática (MM) e, em particular, no nosso caso do estudo do cálculo diferencial, a Modelagem Funcional (MF). Estas ferramentas tomam em consideração a existência/ausência de condições favoráveis para que a MF possa ser trabalhada com estudantes em uma determinada instituição de ensino, em um dado curso e em um semestre particular. Por exemplo, as restrições provocadas pela situação pandêmica, o confinamento e a consequente mudança repentina para uma avaliação online implicaram o desaparecimento das condições favoráveis para que a MF pudesse ser trabalhada em regime presencial no Instituto Superior Politécnico Gaya em Portugal. Daí ter surgido a necessidade de uma readaptação das técnicas didáticas que até ao momento eram utilizadas. Nesta readaptação as tecnologias de informação e comunicação tiveram obviamente um papel fundamental.

É importante referir que o termo avaliação sempre gerou discussão no meio acadêmico entre pedagogos, filósofos, professores e alunos, pelo fato de uns defenderem uma avaliação tradicional e quantitativa e outros basearem-se em uma avaliação qualitativa, contínua, que permite diagnosticar e acompanhar a evolução dos conhecimentos dos alunos ao longo do semestre. Mas, independentemente das diferentes linhas que direcionam a avaliação, existe algo que não podemos deixar de considerar atualmente: o mundo mudou, as pessoas mudaram, as necessidades e demandas exigidas são outras e, dessa forma, o ensino também deve se “atualizar” e buscar novas formas de avaliar o aluno, esteja ele em um ensino presencial ou remoto. De acordo com Baldes (2021, p. 3): “[…] A grande questão atualmente não é tanto avaliar, mas sim a finalidade da avaliação num contexto de globalização e mais recentemente de pandemia […]”. Por esses, entre outros motivos, pensamos em estruturar uma avaliação distinta da tradicional aplicada em regime presencial e mais adaptada a uma realidade que nos foi imposta no ano de 2020.

4 O papel da Modelagem Funcional na articulação do Cálculo Diferencial com a Geometria Dinâmica mediante o GeoGebra

Habitualmente as unidades curriculares que envolvem conteúdos programáticos relacionados com o Cálculo Diferencial são as que apresentam maior índice de reprovação e de insucesso dos alunos. Muitas instituições do Ensino Superior inclusive oferecem aulas de apoio aos alunos nas quais as bases necessárias para o avanço nessa disciplina são reforçadas. Esta é uma das estratégias que é usada no Instituto Superior Politécnico Gaya para atenuar as dificuldades dos alunos. No entanto, tem-se procurado usar outras estratégias de forma paralela que complementem as aulas de apoio.

Os conteúdos relativos ao cálculo diferencial servem de base para a compreensão de outros conceitos e também como ferramentas auxiliares para solucionar problemas de diferentes áreas através da construção e trabalho de modelos funcionais úteis na rotina diária e profissional. Segundo Porto, Porto e Blass (2020, p. 2), o cálculo diferencial “[…] é um veículo para a resolução de muitos prospectos que emergem em várias áreas de conhecimento e atuação, nas Engenharias, na Informática, na Administração e outras […]”. Outros autores, como, por exemplo, Rezende (2003), consideram o Cálculo Diferencial como uma grande rede que interage com outras redes, repleta de possibilidades e funcionalidades, que, quando interpretada pelo aluno, permite-lhe fazer associações e tornar a aprendizagem de certos conteúdos mais fácil e palpável. Em particular, existe uma estreita relação entre o Cálculo Diferencial e a Geometria; relação esta que se procurou explorar com os estudantes das Licenciaturas de Engenharia do Instituto Superior Politécnico Gaya mediante um projeto que consistia no desenvolvimento de trabalhos de grupo para resolver situações-problema que envolviam conceitos de Cálculo Diferencial e de Geometria, tais como: o cálculo do volume máximo, a distância que minimiza os custos etc. Em todas as situações, os alunos tinham que interpretar o enunciado e esboçar geometricamente o modelo que representaria melhor a situação. Se observou que, ao criar atividades que permitam articular os dois temas, o aluno consegue visualizar o problema de forma mais ampla e o seu poder de abstração aumenta.

De acordo com Almeida, Fatori e Souza (2010, p. 7),

[…] ao desenvolver uma atividade de modelagem matemática o aluno pode desenvolver sua criatividade, conjecturar, construir o seu conhecimento, desenvolver sua competência crítica além de, ao perceber verdadeiras aplicações da matemática escolar, irá sentir-se motivado para o envolvimento com as atividades […].

No entanto, quando associamos a atividades de Modelagem Funcional (como caso particular da Modelagem Matemática) o uso de software computacional que permita ampliar as técnicas matemáticas para solucionar um dado problema real, a atividade matemática torna-se muito mais rica e cativante para o aluno. No âmbito do estudo do Cálculo Diferencial alguns softwares permitem ajudar o aluno na realização de cálculos mais densos e custosos, ou no esboço de curvas, superfícies, entre outros. Estes softwares também permitem articular conteúdos programáticos como, por exemplo, o cálculo diferencial e a geometria de uma forma mais dinâmica e visual.

Além do mais, o uso de tecnologias no ensino da Matemática é um recurso essencial nesta era e em eras futuras. De acordo com a célebre frase de Steve Jobs na campanha da Code.org, em 2013: ”Todos deveriam aprender a programar um computador, porque isso ensina a pensar”, saber manusear um software ajuda a expandir o pensamento, assim como fornece ao aluno um upgrade em seu estudo, aumentando a sua possibilidade de sucesso no meio competitivo profissional.

Neste projeto os alunos utilizaram o software de geometria dinâmica, gratuito e de acesso livre - GeoGebra 3D - para representar e resolver a situação-problema que lhes era apresentada, articulando desta forma o Cálculo Diferencial, a Geometria e a Álgebra.

O GeoGebra é um programa de geometria dinâmica em que você pode realizar construções a partir de pontos, vetores, cônicas, funções e outros, podendo alternar dinamicamente após a construção, explorando a parte geométrica. Além disso, o software é capaz de […], derivar e integrar funções e ainda oferece comandos para encontrar raízes e pontos extremos de uma função. Além disso, o software abrange também a parte de análise de dados em que, a partir de um conjunto de pontos, o software ajusta uma curva, permitindo também simulações. Deste modo, o programa reúne as ferramentas tradicionais da geometria, com as mais avançadas da álgebra e do cálculo (MAGALHÃES; ALMEIDA, 2017, p. 4).

O uso do software permite que os alunos tenham um papel mais ativo no processo de ensino-aprendizagem ao explorar, conjeturar, deduzir, refletir e, na eventualidade de ser detectado algum erro, corrigir de forma autônoma as suas respostas ao problema.

A validação que representa no processo de modelagem um momento de grande importância para os alunos, implica em verificar se o modelo obtido é “adequado” para situação em estudo e gera no aluno a auto-confiança no sentido de sentir-se capaz para resolver um problema (ALMEIDA; FATORI; SOUZA, 2010, p. 13).

5 Implementação do projeto

O projeto foi implementado em 2 turmas de alunos do Instituto Superior Politécnico Gaya: uma turma constituída por 38 alunos das Licenciaturas de Eletrônica e Automação, Energias Renováveis e Mecânica; e uma turma constituída por 46 alunos do curso de Informática. Para a realização do trabalho as turmas foram divididas em grupos com o máximo de 5 alunos.

Os grupos tiveram 7 dias para submeter o trabalho na plataforma Nonio (3 a 10 de maio de 2020). Em cada turma, cada grupo escolhia uma situação-problema de entre 8 situações diferentes possíveis. A escolha da situação-problema foi realizada por cada um dos grupos e por ordem cronológica. Cada grupo foi colocando no chat do Teams a situação problema escolhida para que os demais grupos tivessem conhecimento das situações-problema já selecionadas e, assim, evitar intersecções/repetições nas escolhas dentro da mesma turma. Cada grupo respondeu 10 questões adaptadas a sua situação-problema. O professor estava disponível para esclarecer dúvidas dos grupos (presencial ou online), tomando o papel de orientador. Cada grupo escolheu um representante que ficava com a responsabilidade de marcar um horário com o professor para que, no início ou término da aula, pudessem expor as suas questões.

O projeto tem 2 objetivos: o pedagógico e o social. O objetivo pedagógico consiste em avaliar a capacidade dos alunos para resolver situações-problema que implicassem o uso de técnicas de Cálculo Diferencial e de Geometria, atividades de Modelagem Funcional como: a definição de variáveis, formulação de hipóteses, pesquisa, técnicas informáticas (com o GeoGebra 3D), interpretação de resultados, organização e comunicação do raciocínio em apresentação final. Em termos sociais pretende-se que os alunos adquiram competências para, no seu papel de cidadão, ajudar a comunidade a solucionar problemas práticos do dia a dia, dando os seus contributos relacionados com técnicas do Cálculo Diferencial e Geometria.

5.1 Situações-problema e análise das respostas dos alunos

Por questões de espaço, para a escrita desse artigo, das 8 situações diferentes que foram propostas, selecionamos apenas 4 exemplos de situações-problemas que foram exploradas nos 16 trabalhos avaliados nas 2 turmas. Esta seleção teve em consideração os seguintes critérios: situações de diferentes temas/áreas; situações com mais questões intermédias respondidas pelos grupos de alunos; situações que apresentavam respostas mais interessantes e criativas por parte dos alunos; situações cujas respostas apresentavam alguns erros para analisar a posteriori.

Apresentaremos em seguida os problemas e as análises das respostas dos 4 grupos de alunos que trabalharam as 4 situações-problema selecionadas. Para focar no essencial, se ressalta que foram omitidas algumas partes das respostas dos grupos, principalmente as relativas ao desenvolvimento dos cálculos algébricos e descrição dos passos nas construções no GeoGebra. No entanto, as justificativas dos mesmos e as explicações serão apresentadas, em particular, as que foram solicitadas para ajudar um cidadão leigo a compreender a análise gráfica.

Situação-Problema – Grupo 1

A EDP precisa ligar um cabo de força de uma casa que se encontra no ponto C na margem de um rio que tem 9m de largura até um centro comercial (CC) que se encontra do outro lado da margem do rio, 30 m rio abaixo, isto é, considerando esse centro comercial paralelo e bem próximo a margem do rio. O valor gasto para “levar” o cabo pelo rio é de 5 euros o metro, enquanto que para o levar por terra é de 4 euros o metro. Sendo assim, a EDP tem que determinar o percurso em que seu gasto seja o menor possível. Para isso a EDP precisa considerar um ponto P perpendicular ao rio, na qual a outra extremidade seja o centro comercial (CC). Ou seja, o ponto P se encontra na margem oposta. E um ponto Q localizado também na margem do rio do mesmo lado da casa, isto é, a menos de alguma distância da casa, na direção horizontal, ou seja, também paralelo à margem do rio, sendo esse ponto Q de muita importância, uma vez que é o local em que será feita a transição entre o cabo que irá por água ou por terra. A EDP também sabe que a distância entre os pontos Q e P é de x metros. O seu grupo ficou responsável de resolver essa questão. Para isso precisam:

• Identificar a expressão da distância entre C e Q (a distância por terra);

• Identificar a expressão da distância entre Q e CC (a distância por água);

• Identificar a expressão algébrica da função custo total (ct) e o seu domínio;

• Determinar os pontos críticos (possíveis de acordo com o seu domínio) da função custo (ct);

• Indicar o valor do custo total mínimo (ct) gasto pela EDP.

Utilizando o programa computacional GeoGebra, represente geometricamente o problema; a casa principal, a margem do rio e o centro comercial; identificando os valores que o enunciado já disponibiliza. Esboce a curva que representa o custo total e indique onde se encontra o valor que torna o custo o menor possível.

O grupo 1 de alunos analisou a situação, referiu no trabalho escrito que seria ”benéfico passar o cabo maioritariamente pela terra, visto que o seu custo é inferior do que pela água”, e apresentou o seguinte esboço:

Figura 1
Modelo geométrico, algébrico e gráfico da situação-problema pelo grupo 1

O grupo 1 solicitou a orientação do professor para a elaboração do esquema inicial. Descreveram de forma simples, mas assertiva o raciocínio que utilizaram para construir o modelo funcional que representa o custo total, as suas funções primeira e segunda derivada. Indicaram de forma precisa os possíveis pontos críticos e escolheram corretamente o que permitia encontrar o valor da distância que minimizava os gastos da empresa (147 euros quando x = 12). Revelaram ter conhecimentos básicos relacionados com triângulos retângulos (e hipotenusa), e aplicaram corretamente o conceito de distância/módulo na interpretação do problema. Ficou evidente o conhecimento dos conteúdos trabalhados em sala de aula. Demonstraram habilidade com o GeoGebra tanto na construção geométrica do problema, como na representação gráfica da função custo total, e também nos cálculos algébricos realizados através do software.

Situação-problema - Grupo 2

Uma empresa fabrica tanques para guardar substâncias inflamáveis no formato de um cilindro circular reto. Essa empresa recebeu uma encomenda para fabricar um tanque desse tipo para ser colocado dentro de uma superfície de um cone circular reto com as seguintes dimensões: 12cm de altura e 5 cm de raio. O comprador deseja que esse cilindro tenha volume máximo e que seja possível inscrever dentro do cone que ele possui.

O seu grupo faz parte dos funcionários que ficaram encarregados de resolver essas questões. Para isso vocês precisam:

• Identificar a expressão do volume do cilindro V;

• Identificar a expressão da altura (h). Dica: utilize semelhança de triângulos para a expressão da altura em função do seu raio;

• Identificar a expressão algébrica da função volume do cilindro em função do raio e seu domínio;

• Determinar os pontos críticos (possíveis de acordo com o seu domínio) de V;

Para que o volume do cilindro seja máximo, identificar qual o valor do raio e a altura do mesmo.

Utilizando o programa computacional GeoGebra, esboce a representação do cilindro inscrito dentro do cone, a semelhança entre triângulos, a curva que representa a equação do volume em função da sua base de raio r e o valor onde este se torna o maior possível.

Figura 2
Modelo geométrico, algébrico e gráfico da situação-problema do grupo 2

O grupo 2 teve dificuldade na determinação do domínio da função volume indicando que seria igual a [0,5]. No entanto, nas conclusões não consideraram o cilindro degenerado como possível solução do problema (para r = 0).

No GeoGebra, os estudantes trabalharam as várias tarefas, descreveram passo a passo a construção da curva que representava o volume do sólido e determinaram o seu valor máximo (139,6 cm³). De forma detalhada explicaram a construção dos dois sólidos (cilindro inscrito no cone) em 3D.

Situação-problema - Grupo 3

Em tempos de Covid-19, devido ao isolamento social e a quarentena, não tem sido possível sair para comprar presentes para aniversários ou dia da mãe. Sendo assim, as pessoas estão tendo que improvisar com o que têm em casa para tornar um dia especial em algo mais humano e personalizado. Foi quando surgiu a ideia de, a partir de uma folha retangular de papel fazer uma caixa. Pretende-se cortar um quadrado (de lado x cm) em cada canto da folha para fazer uma caixa com o maior volume possível. As dimensões da folha são 60 cm e 40 cm. A partir dos dados fornecidos, se tivessem que construir essas caixas primeiro deveriam determinar: o valor do lado (x) de cada quadrado e o volume máximo da caixa.

O seu grupo ficou responsável por resolver essa questão para construir a caixa com o volume máximo. Para isso precisam de:

• Identificar qual o sólido que representa o formato da caixa de presente;

• Identificar as dimensões da caixa. Por exemplo: comprimento, largura, altura;

• Identificar a expressão algébrica da função volume V da caixa e o seu domínio;

• Determinar os pontos críticos (possíveis de acordo com o seu domínio) de V;

• Após analisar os pontos críticos identificar qual (quais) pontos satisfazem o objetivo;

• Mediante esse(s) ponto(s) encontrar o valor de x que torne o volume máximo.

Utilizando o programa computacional GeoGebra, esboce a caixa, a curva que representa a função volume e o valor onde este se torna máximo.

O grupo de estudantes apresentou as seguintes representações:

Figura 3
Modelo geométrico, algébrico e gráfico da situação-problema do grupo 3

O grupo 3 foi bastante sucinto na descrição da sua resposta. Alguns cálculos não ficaram explícitos, assim como algumas análises não foram feitas, como, por exemplo, o grupo verificar que, para o intervalo de domínio indicado [0,20) quando o valor de x vale zero, não é possível construir a caixa. Alcançaram o objetivo do problema: encontrar o valor de x que maximizava o volume da caixa. No GeoGebra, realizaram o solicitado de forma transparente e satisfatória.

Situação-Problema Grupo 4

Um espaço de lazer retangular com 2000 m² de piso deve ser construído em um terreno. São necessários recuos de 5 m na frente e nos fundos, e 4 m nas laterais. A construtora precisa determinar as dimensões desse terreno para que a área de lazer seja construída com a menor área possível.

O seu grupo ficou encarregado de resolver essa questão. Para isso o grupo precisa:

• Identificar a expressão que representa a largura do terreno;

• Identificar a expressão que representa o comprimento do terreno;

• Identificar a área (A_c) do espaço de lazer;

• Identificar a área (A_t) do terreno;

• Determinar os pontos críticos (possíveis de acordo com o domínio) de A_t;

• Identificar qual ou quais pontos críticos satisfazem o objetivo;

• Mediante esse(s) ponto(s), encontrar os valores das dimensões do terreno (largura e comprimento) que permitam obter a área mínima onde esse espaço de lazer possa ser construído;

• Calcular o valor da área do terreno;

Utilizando o programa computacional GeoGebra, esboçar o terreno e a área de lazer, a curva que representa a função, e indicar onde se encontra o valor de x que torne a área a mínima possível.

O grupo 4 apresentou de forma detalhada cada passo da construção do raciocínio:

Figura 4
Modelo geométrico, algébrico e gráfico apresentado pelo Grupo 4

Ao observar as respostas deste grupo, verificamos que na representação gráfica no GeoGebra selecionaram incorretamente a função que representaria a área total, e ainda confundiram a noção de mínimo, minimizante e assíntota horizontal, o que levou a conclusões erradas ao identificarem a assíntota ao gráfico da função com o valor que tornaria a área a menor possível. Este grupo não solicitou a ajuda online dos professores, o que revela um desafio de uma avaliação contínua online relativa a uma menor percepção do professor em relação à construção dos trabalhos dos alunos.

5.2 Discussão dos resultados

Observou-se que cada trabalho exposto neste artigo seguiu um modelo próprio de exposição. Os alunos, de maneira geral, se sentiram muito confortáveis na realização das tarefas, indicando que a teoria apresentada em sala de aula foi bem entendida. Comprovaram, também, o conhecimento dos conteúdos dos anos anteriores, principalmente na área da Geometria, o que era fundamental para a realização do trabalho. Deixaram explícito o interesse no uso do software GeoGebra, mostrando entusiasmo e o gosto que tiveram ao final do projeto por trabalhar com uma parte mais prática e palpável no aspecto visual para eles. Podemos indicar que essa observação reforça a utilização de um software computacional de geometria dinâmica como uma potencialidade para o ensino de Matemática online e, ao mesmo tempo, um desafio por se introduzir algo novo para o aluno. Mas, em todo momento, tínhamos plena consciência de que nossos alunos, com as condições que nosso Instituto proporciona, no ensino online também, seriam capazes de implementar, o que nos permite afirmar que a nossa análise didática fundamentada pela TAD levou os alunos a um sucesso na execução e resultado geral do trabalho proposto.

A metodologia adotada ABP permitiu, como já referido, uma maior autonomia do aluno em seu estudo, que se sentiu mais livre para realizar a tarefa, buscando as suas próprias respostas. O desenvolvimento desta competência, associada a uma maior responsabilidade do aluno no contrato didático, é uma das potencialidades deste método. Porém, foi perceptível que com alguns grupos não foi possível manter esse equilíbrio na gestão de responsabilidades professor-aluno, talvez devido à própria situação-problema, à constituição do próprio grupo de estudantes ou à sua adaptação a um novo tipo de avaliação. Em particular, alguns grupos revelaram pouca interação com os professores, dificultando a detecção precoce de erros científicos, ausência de interpretação de resultados. Quando o aluno renuncia ao “direito” de ajuda de um tutor para o guiar por um caminho mais assertivo, isso requer um estudo mais aprofundado por parte dele, ou seja, passamos por mais um desafio: aluno mais autônomo versus qualidade de estudo mais aprofundado. Em concreto, na situação-problema do grupo 2 ocorreram erros na interpretação dos domínios das funções (tomando, por exemplo, o intervalo fechado [0,5] sem referência aos casos de cilindros degenerados); na situação-problema do grupo 3 faltou explicar se era possível a construção da caixa dentro do intervalo [0,20); na situação-problema do grupo 4 faltou representar o gráfico da função correta no GeoGebra.

Em geral, os grupos de alunos demonstraram alguma fragilidade na adaptação ao novo método de avaliação online. Entretanto, devemos deixar claro que o Instituto, assim como os professores que fizeram parte do projeto, proporcionaram aos alunos todas as condições favoráveis para tais interações, o que nos faz inferir que ainda há uma grande necessidade de testar, experimentar, investigar e analisar as potencialidades e desafios deste tipo de avaliação e, no formato proposto de trabalhos coletivos, explorar as condições e restrições (no sentido da TAD) para realizar propostas de ensino-aprendizagem mais adaptadas ao tipo de aluno da Instituição de Ensino Superior Politécnico, no sentido de reforçar o novo papel desse modelo atual de avaliação em um ensino remoto.

De qualquer forma, apesar destes desafios não totalmente alcançados e que podem ser melhorados em uma próxima experimentação, aplicação e análise de avaliação online nos moldes do projeto proposto, podemos descrever algumas potencialidades desta metodologia, tais como: permitir que o uso ilustrações, agregado à utilização do software GeoGebra por parte dos alunos para representar graficamente e realizar cálculos algébricos para confirmar resultados, o que deixa evidente que a utilização da programação no ensino da Matemática e na formação acadêmica do estudante é um dos caminhos para tornar conceitos matemáticos mais densos, como é o caso dos relativos ao cálculo diferencial, mais acessíveis à compreensão do aluno. Podemos ainda destacar a riqueza de possibilidades para a elaboração dos projetos. Cada grupo teve a sua própria linha de estrutura e organização do trabalho. Foi interessante terem diferentes visualizações para promover uma reflexão de que não existe apenas uma maneira de resolução e apresentação das técnicas matemáticas utilizadas no desenvolvimento de trabalhos de Modelagem Funcional.

6 Conclusão

O projeto descrito neste trabalho é uma proposta alternativa de instrumento de avaliação online da aquisição e aplicação de conceitos relacionados com a Geometria e com o Cálculo Diferencial. Verificou-se que o projeto permitiu estimular, motivar, aumentar o interesse dos alunos pelo conteúdo teórico e promover uma maior interação entre eles. Foi possível observar que a maioria dos alunos gostou do fato de o professor lhes ter possibilitado uma maior autonomia para explorar a atividade proposta com ferramentas informáticas. Foi evidente o entusiasmo deles, mais do que em uma aula expositiva ou avaliação tradicional.

É de salientar que um dos objetivos consistia em promover uma avaliação diferente mediante esse novo modelo e a sua necessidade surgiu perante o desafio de aplicar uma prova escrita elaborada segundo os moldes tradicionais no ensino remoto. Assim, e uma vez que o professor não conseguiria evitar totalmente a troca/compartilhamento de informações entre alunos (e alunos e explicadores) durante as avaliações online, tornou-se possível, com este projeto, transformar este desafio da avaliação online em uma potencialidade de cooperação entre os alunos, beneficiando assim por esta suscetibilidade todos os intervenientes no contrato didático (professores, aluno, grupos de alunos, instituição).

Este tipo de proposta por parte do professor/instituição permite, por um lado, ir mudando gradualmente certas atitudes dos alunos nos momentos de avaliação, tornando estes mais conscientes, responsáveis e sem necessidade de “trapacear” a avaliação ou enganar o professor. Por outro lado, conduz a uma avaliação online mais justa, imparcial, motivadora para o professor, que se sente orgulhoso por incentivar o desenvolvimento de determinadas competências matemáticas e computacionais nos seus alunos diante desta nova perspectiva. Mais ainda, o comprometimento dos alunos com a sua própria avaliação permite atenuar o sentimento de frustração por parte do professor no seu papel de avaliador de competências ou conhecimentos adquiridos pelos alunos.

Observamos que a utilização da metodologia da aprendizagem baseada em problemas (ABP) originou vantagens e sucessos no processo de ensino-aprendizagem permitindo: uma maior participação, dinâmica, autonomia no questionamento e interesse em procurar respostas por parte do aluno; a observação e consequente análise de um conjunto de interações (aluno-aluno, aluno-grupo, aluno-professor) por parte do professor/pesquisador; o acompanhamento da evolução a nível dos conhecimentos matemáticos e tecnológicos dos estudantes. A metodologia ABP associada à exploração do software GeoGebra permitiu que a avaliação online assentasse na avaliação das competências matemáticas desenvolvidas pelos alunos e não apenas na avaliação de conhecimentos adquiridos nas aulas de Cálculo Diferencial que pudessem não ser tão evidentemente aplicáveis. Também se verificou que uma avaliação online tem as suas potencialidades, tais como, promover momentos exploratórios online, de investigação, de uso de software de Geometria em modo mais dinâmico e interativo.

Outro ponto assertivo foi a proposta de expor os conteúdos apresentados nas aulas através da sua ligação com o dia a dia e a sua utilidade nas diferentes profissões. Enunciar as situações-problema dessa forma, e assim trabalhar com ABP, acelerou e facilitou o processo da aquisição do conhecimento por parte do aluno. Mesmo sem se aperceber, o aluno aprendeu a aprender, a pensar, a exercitar o raciocínio lógico através de hipóteses que os levariam a estruturar e esboçar seu problema, o que confirmou a importância da Modelagem Matemática (MM) no aprendizado. A forma como o trabalho de grupo foi proposto, permitiu que o aluno avançasse e fosse além do que foi solicitado, ou seja, o aprendizado não foi limitador, mas sim globalizante. A utilização de um programa computacional também os instigou e favoreceu a adaptação por se aproximar do “mundo” deles, uma vez que a maioria, pelo fato de estudar Engenharia, vive conectado com essas ferramentas.

A utilização da TAD como marco teórico de referência para o desenvolvimento deste projeto também originou vantagens na análise a posteriori da avaliação da atividade didática desenvolvida: na observação do uso de várias técnicas, por parte dos alunos, para resolver as tarefas propostas; no incentivo a um questionamento tecnológico pelos estudantes para comparar a economia das diferentes técnicas; no desenvolvimento de capacidades de modelação funcional para descrever as situações-problema (delimitação do sistema, definição de variáveis, construção de modelos geométricos, gráficos e algébricos, trabalho técnico dentro dos modelos com lápis e papel e/ou com o software GeoGebra; na interpretação de resultados no contexto do sistema) (LUCAS, 2015).

Relativamente aos insucessos desta proposta de projeto de avaliação online baseada na metodologia ABP, concluiu-se que, apesar do professor se mostrar sempre disponível para esclarecer as dúvidas dos grupos de trabalho, os alunos tornaram-se demasiado autônomos e não recorreram a ajuda do professor, cometendo erros científicos na resolução e análise das situações-problema. No entanto, segundo a TAD, ainda existe uma grande dificuldade em gerir as responsabilidades do professor e do aluno em uma aula, principalmente num contrato didático que implique uma maior autonomia do estudante, como, por exemplo, numa avaliação de trabalhos de grupo e online. Ao efetuar uma análise didática a priori desta nossa experiência, sob o olhar da TAD, podemos concluir que existem desafios no processo de ensino-aprendizagem online relativos ao papel do professor como tutor de um trabalho de grupo, e estes desafios provocam entraves numa avaliação contínua online eficiente.

Em suma, por um lado, ao analisar o trabalho didático que foi desenvolvido sob o olhar da TAD, estamos atualmente a pensar em propostas de projetos futuros que partam de situações-problema mais abertas (sem conduzir tanto o trabalho dos grupos), sem tarefas guiadas no enunciado, para permitir a elaboração de mais conjeturas por parte do aluno e o desenvolvimento de um trabalho mais rico de Modelagem Funcional. Também seria relevante instigar estes estudantes de Engenharia a um questionamento tecnológico das técnicas utilizadas pelos diferentes grupos, no sentido de comparar a economia das técnicas matemáticas. Por outro lado, uma análise a priori das condições e restrições institucionais para tornar possível uma avaliação online, coletiva (em grupo) justa e eficiente, poderiam auxiliar o professor neste processo e incrementar a eficácia de uma avaliação à distância em futuros períodos de isolamento social obrigatório.

• 1
  A ABP é consistente com teorias construtivistas de aprendizagem (BROOKS; BROOKS, 1999; DELISLE, 1997). Ensinar de uma perspectiva construtivista significa que, ao colocar uma questão, o professor deve dar tempo ao aluno para pensar e apenas conduzir o seu raciocínio (LEVIN, 2001).

Agradecimentos

Esse trabalho foi financiado pelo Instituto Superior Politécnico Gaya (ISPGAYA). As autoras agradecem aos alunos: Nuno Feiteira, Hugo Teixeira, Pedro Rodrigues, João Pinho, Ivan Carvalho, Helder Martins, Flavio Oliveira, Diogo Mota, José Pinheiro, Ismael Marques, Pedro Santos, Tiago Lacerda.

Referências

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  02 Dez 2022
• Data do Fascículo
  Sep-Dec 2022

Histórico

• Recebido
  21 Mar 2021
• Aceito
  21 Mar 2022