Conocimientos sobre Divisibilidad de Alumnos Ingresantes a la Universidad con el Método de Análisis Estadístico Implicativo

Conhecimento sobre a Divisibilidade de Alunos Ingressantes na Universidade, com o Método de Análise Estatística Implicativa

Resumen

El conocimiento sobre divisibilidad de los ingresantes a las carreras de ingeniería de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura de la Universidad Nacional del Nordeste, 2019, se analiza mediante Análisis Estadístico Implicativo. Se realiza un análisis de similitud de los ítems del formulario y se construye el grafo implicativo. Se concluye que en la resolución de los problemas planteados incidirían notablemente las diferentes formas de representar los números. El concepto de divisor juega un papel relevante en el problema de divisibilidad ya que se encuentra al principio del gráfico de implicación. El conocimiento de las propiedades relacionadas con las diferentes formas de representar los números no estaría ligado a la resolución de problemas en un contexto extramatemático.

Palabras clave:
Divisibilidad; Ingresantes Universitarios; Análisis Estadístico Implicativo; Similaridad; Árbol Implicativo

Resumo

O conhecimento sobre divisibilidade dos ingressantes nas carreiras de engenharia da de Ciências Exatas e Naturais e Agrimensura da Universidade Nacional do Nordeste, 2019, é analisado por meio da Análise Estatística Implicativa. Foi realizada uma análise de similaridade dos itens do formulário e, posteriormente, a construção do gráfico. Na conclusão ficou demonstrado que a resolução dos problemas propostos pode ser afetada pelas diferentes formas de representar os números. O conceito de divisor desempenha um papel importante no problema de divisibilidade, uma vez que se encontra no início do gráfico de implicação. O conhecimento das propriedades relacionadas às diferentes formas de representação dos números não estaria vinculado à resolução de problemas em um contexto extramatemático.

Palavras-chave:
Divisibilidade; Ingressantes universitários; Análise Estatística Implicativa; Semelhança; Árvore Implicativa

1 Introducción

Desde hace unos años, el Grupo de Investigación de Matemática Aplicada a la Investigación Educativa, de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura de la Universidad Nacional del Nordeste, se ha dedicado a indagar los conocimientos matemáticos previos de los ingresantes a las distintas carreras de la mencionada institución. Los resultados de investigación obtenidos se vienen constituyendo en un importante y permanente aporte al diseño y planificación de las tareas de enseñanza de los cursos de Matemática del primer año de estudios, en el cual se presentan los mayores índices de desgranamiento estudiantil.

Enfocados en caracterizar la comprensión alcanzada por los ingresantes sobre determinados objetos matemáticos, más allá de la sola determinación de las dificultades, errores o conflictos, a partir del año 2015, este grupo ha analizado pruebas diagnósticas de conocimientos previos de ingresantes a la a la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura, utilizando Análisis Estadístico Implicativo (ASI). Como señalan Caputo et al. (2016); Mendoza, Caputo y Porcel (2019) y Mendoza et al. (2019), este método de Estadística Multivariante permite hacer explícitas variadas relaciones conceptuales establecidas por estudiantes, con distintos niveles de intensidad relacional.

La Teoría de Números, en cuyo marco se encuentra la Divisibilidad, es un área clásica de la Matemática, que aportó al desarrollo de esta ciencia desde tiempos muy remotos. Tal desarrollo comenzó con algunos resultados aislados, hallados por Euclides, hasta la moderna estructura englobante de Dominio de Integridad con factorización única, de Dedekind, la que expande la aritmética con su teoría de ideales y logra caracterizar al conjunto de los números enteros con sus propiedades determinativas invariantes (BODÍ, 2006; ETCHEGARAY, 2001).

En la educación formal, el estudio de esta temática se inicia en la escuela primaria, cuando los alumnos trabajan con tareas que involucran divisores, múltiplos, factores, criterios de divisibilidad, factorización, máximo común divisor, mínimo común múltiplo, clasificación de números en primos o compuestos etc. En el nivel secundario, se profundizan conceptos, definiciones, algoritmos y rutinas con renovados problemas sobre Divisibilidad en el conjunto de los Números Naturales, y se extienden algunas propiedades al conjunto de los Números Enteros (ESPINOZA R., 2019). Diversos reportes de investigación, tales como Dubinsky (1991); Vergnaud (1994); Zazkis y Gadowsky (2001); Bodí (2006); Bodí, Valls y Llinares (2007); Espinoza (2013); Vallejos Vargas (2012), muestran que los alumnos en esta etapa tienen dificultades para resolver tareas sencillas vinculadas con este contenido matemático.

Los reportes expresan, por ejemplo, que los estudiantes frecuentemente asocian el concepto de divisor con la operación de dividir y el concepto de múltiplo con la operación de multiplicar, lo cual muestra una comprensión incompleta de estos objetos. Otros, en cambio, realizan un intercambio constante e incoherente entre el lenguaje formal y no formal, como por ejemplo, la expresión ser divisible (relación entre dos números) es sustituida por ser dividido (un número que puede ser dividido por otro). En algunas carreras universitarias, se estudia la divisibilidad en el conjunto de los números enteros, con una visión netamente algebraica, sus propiedades y demostraciones, las definiciones de mínimo común múltiplo y máximo común divisor, la existencia y unicidad de la descomposición factorial prima, la congruencia entera y sus propiedades, entre otros temas (ESPINOZA, 2019). Este recorrido muestra la importancia de la divisibilidad tanto en la Matemática como en el currículo de varios niveles del sistema educativo formal de nuestro país.

En particular en la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura se estudia la divisibilidad en las asignaturas de primer año de varias carreras. Asimismo, en las actividades del curso de ingreso y en las primeras clases de los cursos de Álgebra es usual incluir actividades sobre Lógica Proposicional en las que se plantean tareas sobre divisibilidad, asumiendo que los conocimientos involucrados están disponibles para los estudiantes.

Si bien la divisibilidad y sus propiedades no son un objeto de estudio en todas las asignaturas de primer año de las carreras de la institución mencionada anteriormente, consideramos que son una base importante para el estudio de otros contenidos, como por ejemplo la Divisibilidad de Polinomios.

Por los motivos expuestos, el objetivo de este trabajo es comprender de qué saberes (objetos y relaciones conceptuales) sobre divisibilidad disponen los ingresantes, a fin de analizar si es posible asumir a la divisibilidad como un saber previo o si, por el contrario, necesita ser abordada a partir de otro campo de problemas.

2 Metodología

En este trabajo se analizan los conocimientos previos sobre divisibilidad a partir de un instrumento de indagación suministrado a 181 ingresantes de las carreras Ingeniería Eléctrica, Ingeniería en Agrimensura e Ingeniería en Electrónica de Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura. Dicho instrumento de evaluación fue elaborado a partir del instrumento diseñado por el Dr. Ricardo Fabián Espinoza en su Tesis Doctoral (ESPINOZA R., 2019). El mismo fue sometido a un análisis, a priori, según la metodología propuesta por Gregori et al. (2009) y sus resultados fueron publicados en Espinoza, R; Caputo, L, Bordón, P, Ayala, R y Porcel, E. (2019).

Para este trabajo se seleccionaron ocho problemas a partir de los cuales se generaron trece preguntas o ítems de respuesta dicotómica en las que el acierto se codificó con 1 y con 0 en caso contrario. La confiabilidad del instrumento se midió mediante el coeficiente de Kuder-Richardson. La generalizabilidad del instrumento se evaluó mediante dos coeficientes: el primero, respecto a otros ítems, mide la generalizabilidad de los resultados, si a los mismos alumnos les aplicáramos otro instrumento del mismo número de ítems, variando el enunciado de los mismos. El segundo, mide la generalizabilidad respecto a otros alumnos de similares características socioeducativas. Para el cálculo de ambos coeficientes se aplicó la propuesta de Díaz, Batanero y Cobo (2003).

Para establecer la existencia o no de relaciones entre los problemas se utilizó un método de Estadística Multivariada llamado Análisis Estadístico Implicativo, al cual, en adelante, denotamos ASI, que fue creado por Regis Gras y colaboradores de la Asociación en Investigación de Didáctica de la Matemática (ARDM) de la Universidad de Lyon, Francia. El objetivo de este método es detectar las relaciones conceptuales que los estudiantes pueden establecer – en forma consciente o no – entre los distintos problemas de una evaluación. Estos investigadores partieron del supuesto de que, si un alumno es capaz de resolver correctamente un problema complejo de una prueba o examen, es casi seguro que también responderá satisfactoriamente otro de menor complejidad (REGNIER, 2009).

A partir de esta hipótesis, ASI establece relaciones no simétricas entre variables (los problemas de un examen o cuestionario) del tipo si a, casi siempre b. Nótese que estas relaciones que detecta e interpreta ASI no son implicaciones lógicas formales, puesto que, en la lógica proposicional clásica, si a es verdadero (en este caso, sería si la respuesta al problema a es correcta), para que el condicional sea verdadero, también debe serlo el consecuente de la implicación. Como ha sido comprobado empíricamente que esto no se da taxativamente en las situaciones de evaluación de los aprendizajes, los autores han denominado a estas relaciones entre variables reglas o cuasi-implicaciones.

Así pues, Gras y Kuntz (2009) afirman que para que una regla sea admisible, es necesario minimizar el número de contraejemplos de la misma. Es decir, que el número de casos en que, habiendo sido correctamente resuelto el problema a del cuestionario analizado, la respuesta a b no sea correcta o no se haya concretado, sea el menor posible.

Matemáticamente, para trabajar con ASI es necesario considerar los siguientes conjuntos finitos: un conjunto V que contiene las variables en estudio, que son dicotómicas, puesto que asumen el valor 1, si la respuesta del estudiante es correcta, y 0, en caso contrario, y un conjunto E – también finito – formado por los sujetos que serán evaluados. Asimismo, se hace necesario definir otros dos conjuntos finitos: el primero denotado con A, formado por los sujetos de E que han respondido correctamente el problema a, y otro, B, formado por aquellos que han respondido bien el b. Ya hemos dicho que, en la lógica tradicional, si a ⇒ b es verdadera, debe estar $\text{A}\subset \text{B}$. Pero, en la práctica siempre es posible encontrar uno o más contraejemplos a la implicación, por lo tanto, generalmente $A-B\ne \varnothing$.

Eso, sin embargo, no significa que no pueda existir una relación de tipo causa-efecto entre los ítems a y b, relación que existe dada la naturaleza de los conocimientos que subyacen en ellos. Sean, además, X e Y dos subconjuntos de E coordinables con y, respectivamente y α un número real perteneciente al (0, 1). Gras y Kuntz (2009) sostienen que la cuasi-implicación a ⇒ b es admisible a un nivel de confianza 1 - α, siempre que: $Pr=[Card(X-Y)\le Card(A-B)]<\alpha$ que sigue la ley de Poisson de parámetro $\lambda =\frac{Card(A)\cdot Card(E-B)}{Card(E)}$ (GRAS y KUNTZ, 2009).

Por su parte, Spagnolo, Gras y Regnier (2009) afirman que la probabilidad de que el número de contraejemplos observados sea menor al número de casos en que a y ¬b se observan simultáneamente, bajo la hipótesis de que a y b son independientes a priori, se puede obtener, utilizando el modelo Binomial o de Poisson. Estos autores mencionan la conveniencia de utilizar este último, puesto que, bajo ciertas condiciones, se puede aproximar a una distribución gaussiana.

Para poder establecer la existencia o no de relaciones entre los ítems de una evaluación, se definen diferentes índices que permiten establecer no sólo la existencia de relaciones entre las variables, sino también, cuán fuertes son las cuasi-implicaciones. Se define un índice denominado intensidad de la regla. Esta intensidad se determina calculando las probabilidades mencionadas, utilizando la distribución Binomial, la Hipergeométrica y, principalmente, la de Poisson puesto que, como afirman Wackerly, Mendenhall y Scheaffer (2010) bajo ciertas condiciones las dos primeras se aproximan a esta última.

Ahora bien, si el número de sujetos evaluados es superior a cien, se hace necesario minimizar no sólo el número de contraejemplos de la implicación, sino también, el de contraejemplos de su contrarrecíproca. Cuando se desea utilizar la intensidad de una regla y de su contrarrecíproca se requiere utilizar el concepto de entropía de Shannon, y esto da lugar a determinar la intensidad entrópica (Binomial, Hipergeométrica o de Poisson) que es una mejor medida que la intensidad clásica, determinada por cualquiera de las distribuciones de probabilidad mencionadas (GRAS y KUNTZ, 2009).

Para obtener resultados utilizando ASI se procesan los datos mediante el software Classification Hiérarchique Implicative et Cohésitive (CHIC) que fuera creado, también, por el equipo de Régis Gras (COUTURIER, 2009). CHIC presenta todas las cuasi-implicaciones y sus intensidades en una tabla de doble entrada pero, para facilitar la interpretación de los resultados, construye: 1) un grafo implicativo en el cual se muestran las cuasi-implicaciones entre los ítems mediante arcos, y su intensidad se muestra mediante colores: una intensidad del 99% se muestra en rojo, 95% en azul, 90% en verde y 85% en gris, 2) un árbol de similaridad de las variables que permite determinar clases de cuasi-equivalencia o conglomerados de variables. Por último, este software permite determinar relaciones más complejas entre las variables, que no siempre son posibles de visualizar en un grafo implicativo, para lo cual proporciona un gráfico que se llama árbol cohesitivo o jerárquico, que permite encontrar R–reglas o meta-reglas. Estas son, por lo general, cuasi-implicaciones de una variable y una regla, de su recíproca o de dos reglas.

Cabe mencionar que al trabajar con cuasi-implicaciones, no siempre la ley del Silogismo hipotético, (p ⇒ q ∧ q⇒ r) ⇒ (p ⇒ r), es una ley de inferencia, como en la lógica proposicional clásica. Para que sí, lo sea, es preciso que la intensidad de la implicación p ⇒ r sea superior a 0.5. (GRAS y KUNTZ, 2009).

3 Resultados

En relación con el instrumento, la confiabilidad fue alta (KR20 = 0,769). La generalizabilidad respecto a otros ítems fue G = 0,767 y respecto a otros alumnos fue G = 0,979 lo que indica que el instrumento es muy factible de ser aplicado a otros alumnos, conservando fijos los ítems del mismo. Veamos la Tabla 1.

Tabla 1
Índice de dificultad

Problemas	Ocurrencias	Índice de Dificultad	Desvío Estándar
P1A	135	0,75	0,44
P1B	114	0,63	0,48
P1C	82	0,45	0,5
P1D	108	0,60	0,49
P2	44	0,24	0,43
P3	37	0,20	0,4
P4	34	0,19	0,39
P5A	102	0,56	0,5
P5B	110	0.61	0,49
P5C	85	0,47	0,5
P6	55	0,30	0,46
P7	57	0,31	0,46
P8	13	0,07	0,26

Fuente: elaboración propia

En la Tabla 1 se presenta el índice de dificultad de cada uno de los problemas del formulario, el cual es la proporción de alumnos que han respondido correctamente y su respectivo desvío estándar.

Podemos observar, en esta tabla, que los ítems no son homogéneos en cuanto a su dificultad. Además, tampoco lo son en cuanto a su contenido, lo cual puede observarse en la matriz a priori (MAP) del análisis realizado sobre el instrumento original (Espinoza, R; Caputo, L, Bordón, P, Ayala, R y Porcel, E. et al., 2019). Esta situación sería positiva ya que, de acuerdo a Díaz, Batanero y Cobo (2003), indica que el instrumento estaría evaluando una gran parte del contenido en estudio. Se observa que los alumnos han contestado correctamente en mayor porcentaje a las preguntas P1A, P1B, P5B, P1D y P5A, con valores de 75%, 63%, 61%, 60% y 56%, respectivamente. Para esto, debían conocer el significado de múltiplo y divisor; particularmente suelen responder correctamente a las preguntas formuladas como: ¿P es divisor de Q? y ¿P es múltiplo de Q?

Luego le siguen las preguntas P5C y P1C con porcentajes de respuestas correctas de 47% y 45%, respectivamente, en las que intervienen los conceptos de múltiplo y factor.

El porcentaje de respuestas correctas a las preguntas P6 y P7 no ha sido muy alto (30% y 31%, respectivamente), lo que indica cierta dificultad por parte de los alumnos en la aplicación en un contexto extramatemático del mínimo común múltiplo (MCM) y el máximo común divisor (MCD), y la correcta ejecución del procedimiento para la obtención de los mismos.

Por otra parte, en las preguntas P2, P3 y P4, donde se incluyen los conceptos de divisor, múltiplo y criterios de divisibilidad, el porcentaje de respuestas correctas es bajo (24%, 20% y 19%, respectivamente). Finalmente, el menor porcentaje de respuestas correctas se presenta en la pregunta P8, cuyo valor es 7%; esto indica que presentaron mayor dificultad en encontrar un número que posea una cantidad determinada de divisores naturales. Esto podría deberse al hecho de que la consigna plantea una tarea definida en modo inverso a la que involucra determinar la cantidad de divisores de un número, actividad que no es habitual en la enseñanza.

3.1 Análisis de similitud

La Figura 1 muestra las conexiones de similitud entre las variables del estudio referidas al éxito de los estudiantes en las tareas de divisibilidad en el cuestionario y que comprenden los significados de múltiplo, divisor y las relaciones ser divisible y ser múltiplo en representación decimal (en las preguntas P1, P2, P3 y P4), la idea de múltiplo y divisor en representación factorial, en base a la propiedad distributiva o en base al algoritmo de la división y propiedades (en las preguntas P5 y P8), así como las ideas de múltiplos y divisores comunes (en las preguntas P6 y P7). Las trece preguntas del cuestionario han quedado agrupadas (Figura 1) en tres grupos, denominados G1, G2 y G3.

Figura 1
Diagrama de similitud de las respuestas de los estudiantes en las tareas del instrumento

Los grupos de similitud quedan constituidos por la homogeneidad entre las tareas.

El grupo G1 (preguntas P1A, P1B, P8, P2, P1C) lo integran las variables que indican la utilización de las expresiones decimales en la aplicación y uso de los significados de divisor y la definición nominal de factor, y cuestiones cuya resolución se ven favorecidas por el uso de propiedades (1 es divisor de todos los números, todo número es divisor de sí mismo, un número primo p no puede descomponerse en producto salvo la descomposición trivial 1xp).

Se observa que dentro de este grupo se encuentran los problemas con mayor porcentaje de respuestas correctas, relacionadas a la pregunta formulada como ¿P es divisor de Q? (Problemas P1A y P1B) y el problema que presenta mayor dificultad, relacionada a encontrar un número que posea una cantidad determinada de divisores naturales (problema P8). El grupo G2 (problemas P1D, P6, P7) contiene las variables que indican la utilización del significado de múltiplo utilizando la representación posicional en base 10, la aplicación en un contexto extramatemático del MCM y del MCD.

Dentro de este grupo, el mayor porcentaje de respuestas correctas (60%) se presenta en el problema 1D, en cambio, el porcentaje de respuestas correctas a los problemas P6 y P7 ha sido relativamente bajo (30% y 31%, respectivamente). El grupo G3 comprende las preguntas P3, P5B y P5C que involucran poder determinar si un número es múltiplo de otro cuando los mismos aparecen en su representación posicional en base 10 (pregunta P3) y de la idea de ser múltiplo de cuando uno de los números está expresado en base a la propiedad distributiva o en base al algoritmo de la división (problemas P5B y P5C, respectivamente).

En el primer problema, en general, los alumnos utilizan la técnica del tanteo para determinar el número del cual son múltiplos los números dados en la consigna. En los dos últimos, se observa que los alumnos necesitan obtener la notación posicional en base 10 de los números para responder. En los tres casos, resuelven las tareas determinando cuando un número es múltiplo de otro, a partir de la división. Asimismo, el Grupo 3 incluye a los problemas P4 y P5A que indican la utilización de criterios de divisibilidad y de la definición de divisor. En este grupo, el mayor porcentaje de respuestas correctas (61%) corresponde al problema P5B. En él, debían identificar si un número es múltiplo de otro cuando uno de ellos está expresado en base a la propiedad distributiva.

Por otra parte, la mayor dificultad se presenta en el problema P4: 15a45 es un número de 5 cifras, ¿existe algún valor de a para que este número sea divisible por 3? Justificar, donde el porcentaje de respuestas correctas fue de 19%. Cabe destacar que las prácticas que han realizado los estudiantes ponen de manifiesto que emplean el método del tanteo, la división y la multiplicación para resolver los problemas propuestos en el instrumento de indagación, y pocos elementos argumentativos relacionados con técnicas más pertinentes, propiedades o deducciones.

3.2 Análisis de relaciones conceptuales

El grafo implicativo (Figura 2) muestra las relaciones de implicación entre las variables del cuestionario, en el sentido de que el éxito en la resolución de un problema implica el éxito en la resolución de otro.

Figura 2
Grafo implicativo de las respuestas de los alumnos a las preguntas del instrumento

Se puede observar que los problemas P2, P1B y P1A, que se implican a la izquierda del mismo, forman parte del grupo 1 del gráfico implicativo, y las de la derecha, P5C, P4 y P5B, forman parte del grupo 3. En general, los problemas del grupo 1, relacionados al uso de expresiones decimales y definiciones de divisor y factor no se implican con los del grupo 3, vinculados a representaciones expresadas en base a la propiedad distributiva o en base al algoritmo de la división. En la cuasi-implicación P2→P1B se observa que los alumnos que reconocen los casos en que el divisor de la división es divisor del dividendo, pueden reconocer cuando un número es divisor de otro. Este hecho se debe, probablemente, a que los estudiantes vinculan la definición de la relación divisor de y la validez del algoritmo de la división en $\mathbb{Z}$.

El hecho que P1B implique a P1A nos dice que cuando un alumno reconoce que un número no es divisor de otro dado, estará en condiciones de reconocer en qué casos sí, lo es. Que P1B implique a P1A permite pensar que saber que un número no es divisor de otro, siendo este último un número relativamente grande, implica reconocer cuándo un número es divisor de otro, siendo el mismo un número chico. Probablemente, en P1A era muy sencillo responder correctamente simplemente multiplicando 3x10, sin necesidad de aplicar el criterio de divisibilidad mientras que en P1B sí, era necesario hacerlo. Ambas cuasi-implicaciones se dan a un nivel de confianza del 85%.

A este mismo nivel se estableció una relación entre el ítem 7 y el 1A (P7→P1A). Para realizar la tarea involucrada en el ítem 7, en general los alumnos se apoyaron en el contexto sin siquiera reconocer que se trata de un problema de máximo común divisor y sin emplear el algoritmo convencional que involucra la descomposición factorial. En el ámbito del contexto, los distintos centímetros de longitud de cuerda están identificados con los divisores de los números que representan las longitudes de las cuerdas. Identificar los divisores de un número implica, necesariamente, reconocer cuál número es divisor de otro, de ahí la relación de P7 con P1A.

A un nivel de confianza del 85% se establece una relación entre P6 y P1A. Similarmente a lo ocurrido en el problema anterior, los estudiantes resuelven esta situación dentro del ámbito del contexto. En él contexto los distintos tiempos de llegada de los colectivos a la estación se representan con los múltiplos de los números que representan las frecuencias de arribo. La identificación de los múltiplos de un número implica, necesariamente, reconocer cuándo un número es múltiplo de otro. Luego, la relación entre las definiciones de múltiplo y divisor, favorecida incluso porque en ocasiones este segundo objeto se define a partir del primero, justifica la cuasi-implicación encontrada.

Se observa que si los alumnos pueden hallar correctamente un número que tenga una cantidad determinada de divisores naturales (P8), podrán resolver correctamente al problema sobre si un número a es divisor de uno b (P1A) a un nivel de confianza del 95%. Los estudiantes realizan la tarea del problema 8 tomando un número y buscando sus divisores. Realizar correctamente esta actividad involucra poder determinar cuándo un número es divisor de otro. Se observa que si los alumnos pueden hallar correctamente un número que tenga una cantidad determinada de divisores naturales (P8), podrán resolver correctamente el problema sobre si un número a es divisor de uno b (P1A) a un nivel de confianza del 95%.

Los estudiantes realizan la tarea del problema 8 tomando un número y buscando sus divisores. Realizar correctamente esta actividad involucra poder determinar cuándo un número es divisor de otro. Se observa que si los alumnos pueden hallar correctamente un número que tenga una cantidad determinada de divisores naturales (P8), esto los llevará a responder correctamente a la idea de ser múltiplo de cuando ambos números aparecen con expresión posicional en base diez (P1D) a un nivel de confianza del 85%. La mayoría de los estudiantes resolvieron el problema 8 usando técnicas de tanteo, realizando la tarea planteada de manera inversa, esto es, buscando un número que tuviera cuatro divisores, identificando un número (múltiplo) y probando si tiene o no cuatro divisores. La fundamentación del establecimiento de esta relación se basa en el conocimiento de la vinculación entre las nociones de múltiplo y divisor.

A un nivel de confianza del 85% la cuasi-implicación P5C→P1A estaría diciendo que identificar que un número es múltiplo de otro implica, entonces, conocer que este último es divisor del anterior. Podríamos pensar que esta relación se establece entre números expresados en su versión posicional en base 10, por los argumentos dados anteriormente. Esta relación involucra establecer, claramente, la vinculación entre las nociones de múltiplo y divisor; es decir, si a es divisor de b, entonces b es múltiplo de a.

A un nivel de confianza del 85% se puede afirmar que, habiendo utilizado como herramienta la división para determinar si un número es múltiplo de otro (pues en P5C los alumnos en su mayoría obtienen la versión decimal del número en cuestión), los que reconocen que un número no es múltiplo de otro saben, también, cuando un número sí, es múltiplo de otro (P5C→P1D).

A un nivel de confianza del 95% la cuasi-implicación P5C→P5B nos dice que se puede afirmar que, si los alumnos conocen la definición de múltiplo, entonces cuando uno de los números aparece expresado en base al algoritmo de la división (P5C) responderán correctamente a la idea de ser múltiplo de cuando uno de los números aparece expresado en base a la propiedad distributiva (P5B). Cabe destacar que la mayoría de los estudiantes expresa que transformaron los números expresados en distintas representaciones a la expresión en base 10 y trabajaron con esta última. En consecuencia, reconocer cuándo un número no es múltiplo de otro implica reconocer cuándo sí, lo es, similarmente a lo ocurrido en la cuasi-implicación P2→P1B.

Otra forma de fundamentar esta cuasi-implicación, considerando aquellos estudiantes que trabajaron con las expresiones originales de los números, es poniendo en juego la propiedad de que la suma de múltiplos de un número, es múltiplo de éste. Así, en 5C, 11x17+16 no es múltiplo de 187 porque el primer factor de la suma de este número es múltiplo de 187, mientras que el segundo no lo es, a diferencia del caso del apartado 5B.

La cuasi-implicación entre P4 y P5B está justificada a partir del reconocimiento de que ser divisible por un número implica ser múltiplo del mismo.

4 Cuestionario

En el Cuadro 1 se presenta el instrumento de indagación utilizado, que se compone de ocho problemas.

Cuadro 1
Instrumento de indagación es Espinoza, R.

Problema 1: Responde las siguientes preguntas, fundamentando cada respuesta. ¿3 es divisor de 30? ¿3 es divisor de 473? ¿-3 es factor de 30? ¿441 es múltiplo de 7?

Problema 2: Si se divide el número “a” por el número “b”, ¿existe alguna condición para que “b” sea divisor de “a”? Justifica tu respuesta.

Problema 3: Todos los múltiplos de un número, comprendidos entre 370 y 460, son: 380, 399, 418, 437 y 456. ¿De qué número se trata?, ¿es único? Explica cómo lo/s encontraste y fundamenta tu respuesta.

Problema 4: 15a45 es un número de 5 cifras, ¿existe algún valor de “a” para que este número sea divisible por 3? Si tu respuesta es afirmativa, indica todos los valores posibles de a. Explica cómo lo hiciste y justifica tu respuesta.

Problema 5: Teniendo en cuenta que: 187 = 11x17, ¿son correctas las siguientes afirmaciones?: 17 es divisor de 11x17. 11x17+1870 es múltiplo de 187. 11x17+16 es múltiplo de 187. En cada caso, fundamenta tu respuesta.

Problema 6: En una estación de colectivos, un bus para con una frecuencia de 18 minutos y el otro lo hace cada 15 minutos, ¿habrá un encuentro posterior después de una coincidencia? Si la respuesta fuera afirmativa, ¿dentro de cuántos minutos, como mínimo, se encontrarán en esa estación, después de haber coincidido en ella los dos colectivos? Fundamenta tu respuesta.

Problema 7: Se tienen 2 cuerdas que miden 240 cm y 308 cm y se las quiere cortar en trozos que tengan la misma longitud, ¿cuál será la mayor longitud en que se las puede cortar, de forma tal que la longitud de corte sea la misma en ambas cuerdas y que no sobre cuerda? Fundamenta tu respuesta.

Problema 8: Si fuera posible, escribe un número que tenga exactamente cuatro divisores naturales.

Espinoza (2019)

5 Conclusiones

El trabajo realizado tiene como objetivo describir los conocimientos previos de estudiantes sobre Divisibilidad. Los resultados obtenidos en el análisis de similaridad son concordantes con los obtenidos en el análisis implicativo, ya que, en este último, están separadas en general las variables que caracterizan al grupo 1 del diagrama de similaridad, relacionadas con modos de representación decimal, de aquellas que caracterizan al grupo 3, relacionadas con otros tipos de representación. Esto estaría indicando que en la resolución de los problemas planteados incidirían, notablemente, los diferentes modos de representación de los números involucrados.

El concepto de divisor juega un rol relevante en el problema de la divisibilidad, ya que se encuentra en el comienzo del gráfico implicativo. El conocimiento de las propiedades relacionadas a los modos de representación decimal u otros modos no quedaría vinculado a la resolución de problemas dentro de un contexto extramatemático. Esta situación estaría relacionada con el hecho de que los estudiantes, en la práctica, han utilizado el método del tanteo, la división y la multiplicación para resolver los problemas propuestos en el instrumento de indagación, y pocos elementos argumentativos relacionados con técnicas más pertinentes, propiedades o deducciones.

Ejemplos de la aplicación casi exclusiva del tanteo lo constituyen las resoluciones de las tareas inversas a las que consisten en: dado un número, determinar el conjunto de sus múltiplos, y determinar la cantidad de divisores de un número. En el primer caso, la tarea planteada consiste en la identificación del/os número/s, a partir de una lista ordenada, completa y acotada de sus múltiplos (P3). En el otro caso, se trata de determinar un número conociendo la cantidad de divisores que tiene (P8). Estos problemas se posicionan entre los que tienen mayor índice de dificultad, lo que podría deberse a lo afirmado por Martínez-Luaces et al. (2018) en el sentido de que los problemas planteados en modo inverso tienen escasa presencia en el currículo de la escuela secundaria.

En concordancia con las investigaciones de Vallejos Vargas (2012) y Bodí, Valls y Llinares (2007), los estudiantes no utilizan los números en su descomposición factorial prima para resolver tareas de divisibilidad. En nuestro caso, tampoco emplean los números expresados de esta manera, en base al algoritmo de la división o la propiedad distributiva para resolver las tareas, sino que necesitan obtener la expresión decimal de los números para, luego, trabajar mayoritariamente con la técnica de dividir.

En el ámbito de la enseñanza, creemos que es importante avanzar desde las prácticas procedimentales habituales a variadas producciones argumentativas. Asimismo, consideramos necesario proponer situaciones en las que los números estén expresados en diversas formas (descomposición prima, algoritmo de la división y propiedad distributiva) para discutir tareas enmarcadas en la divisibilidad.

Referencias

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Fechas de Publicación

• Publicación en esta colección
  02 Dic 2022
• Fecha del número
  Sep-Dec 2022

Histórico

• Recibido
  14 Abr 2022
• Acepto
  23 Jun 2022