Definiendo Familias de Poliedros: un Estudio con Estudiantes de Secundaria

Defining Families of Polyhedrons: a Study with High School Students

Resumen

Se presenta una investigación de tipo exploratorio y descriptivo en el que se caracteriza cómo es la participación de estudiantes de secundaria en la práctica matemática de definir , sin mayor intervención de un docente, y cómo esta participación los lleva a establecer definiciones con características particulares de diferentes familias de poliedros. El estudio de los datos se realiza a partir de un análisis del discurso de los estudiantes, tomando como base los rasgos comunicativos de la teoría de Sfard. Los principales resultados muestran que el uso de palabras coloquiales y ambiguas es característico del discurso de los estudiantes, y además llevan a cabo diferentes rutinas a la hora de participar en diferentes aspectos de la práctica matemática de definir que los lleva a establecer definiciones, en su gran mayoría, ambiguas, con condiciones necesarias, pero no suficientes. También se pone en evidencia la complejidad de hacer partícipes a los estudiantes en prácticas discursivas y la importancia de seguir realizando investigaciones enfocadas en el proceso de enseñanza y aprendizaje que nos brinden información para intentar mejorar la participación de los estudiantes en diferentes prácticas discursivas.

Discurso; Práctica matemática de definir; Rasgos comunicativos del discurso matemático; Familias de poliedros

Abstract

An exploratory and descriptive research is presented in which the participation of high school students in the mathematical practice of defining is characterized, without major intervention of a teacher, and how this participation leads them to establish definitions with particular characteristics of different families of polyhedrons. The data study is based on an analysis of the students’ discourse , taking as a basis the communicative features of Sfard’s theory. The main results show that the use of colloquial and ambiguous words is characteristic of the students’ discourse , and they carry out different routines when participating in different aspects of the mathematical practice of defining that leads them to establish definitions, in their great majority, ambiguous with necessary, but not sufficient conditions. It also highlights the complexity of involving students in discursive practices and the importance of continuing to conduct research focused on the teaching and learning process that provides information to try to improve student participation in different discursive practices.

Discourse; Mathematical practice of defining; Communicative features of mathematical discourse; Families of polyhedrons

1 Introducción: Descripción del problema de investigación

Desde hace más de dos décadas, en investigaciones de Educación Matemática se reconoce que, dentro de los diferentes contextos escolares, se ha dado poca importancia a que los estudiantes participen en el proceso de construcción de definiciones. Esto a pesar de que diferentes investigadores ( DE VILLIERS, 1998 ; MARIOTTI; FISCHBEIN, 1997 ) han basado sus trabajos bajo la consideración de la importancia y las ventajas que puede traer el que los estudiantes participen en la práctica matemática de definir ¹, bajo la premisa de que para aumentar la comprensión de los estudiantes de las definiciones es primordial hacerlos partícipes en alguna etapa del proceso de definir.

Diferentes investigaciones se han enfocado en esta idea esencial de promover la participación en la construcción de definiciones, particularmente en el contexto de la geometría plana ( SAMPER; VARGAS, 2019 ; OKAZAKI, 2013 ; KOBIELA; LEHRER, 2015 ) o en otras áreas del conocimiento matemático como el cálculo, el álgebra y la estadística ( SWINYARD, 2011 ; VAN DORMOLEN; ZASLAVSKY, 2003; TABACH; NACHLIELI, 2015 ; MEGÍAS; GEA; BATANERO, 2018).

Sin embargo, son pocas las investigaciones que se desarrollan en el contexto de la geometría espacial. Por ejemplo: Tanguay y Grenier (2010) , Ertekin, Yazici y Delice (2014) realizan sus investigaciones con maestros en formación, quienes construyen definiciones de diferentes conceptos propios de la geometría espacial. Estas investigaciones concuerdan en que los participantes no logran definir los conceptos de manera adecuada, pues establecen condiciones necesarias, pero no suficientes, en las definiciones propuestas. Ante esto, De Villiers (1998) menciona que, quizás, esto se debe a que en las experiencias pasadas de los participantes las definiciones les fueron impartidas directamente.

Además, es de mencionar que la mayoría de los reportes de investigación que consultamos se fundamentan bajo las ideas de diferentes perspectivas teóricas: como el caracterizar el razonamiento de los participantes en un determinado nivel de van Hiele, identificar las imágenes conceptuales que tienen los participantes de un determinado concepto y determinar si son acordes a la definición conceptual de acuerdo a las ideas de Vinner, o el fundamentar el análisis bajo las ideas de Fischbein sobre los conceptos figurales. Si bien consideramos que estas perspectivas aportan información importante para caracterizar la participación de estudiantes en la construcción de definiciones — en la participación del desarrollo de la práctica matemática de definir —, estas perspectivas no nos permiten tener una visión completa sobre las acciones, las estrategias o las diferentes actividades que pueden surgir en el proceso de definir, cuando son los estudiantes los principales protagonistas en este proceso y cuando no hay mayor intervención de un docente.

Por eso, concordamos con distintos investigadores como Sinclair y Moss (2012) y Wang y Kinzel (2014) sobre la importancia de hacer un cambio de perspectiva que se fundamente en un análisis discursivo que complemente las ideas propuestas en las teorías anteriormente mencionadas, con el fin de obtener información más detallada que permita caracterizar el razonamiento de los estudiantes cuando participan en la práctica matemática de definir . Pues, según Wang y Kinzel (2014 , p. 288-289):

El uso de una lente discursiva nos permite centrarnos en lo que los estudiantes dicen y hacen en relación con las figuras geométricas y sus propiedades, con el objetivo de proporcionar descripciones detalladas y profundas de los procesos de pensamiento de los estudiantes cuando comunican ideas matemáticas.

Bajo esta idea de hacer un cambio de perspectiva enfocado en un análisis discursivo, diferentes investigaciones (GONZÁLEZ-REGAÑA et al ., 2021; WANG, 2016 ) han fundamentado sus trabajos en perspectivas discursivas, particularmente en la teoría comognitiva de Sfard. González-Regaña et al . (2021), por ejemplo, caracterizan el discurso de maestros en formación en términos del uso de palabras matemáticas empleadas, las rutinas que realizan, las narrativas que surgen y los conflictos comognitivos que llevan a los maestros en formación a establecer definiciones de diferentes prismas. Por su parte, Wang (2016) realiza una caracterización detallada de cada uno de los niveles de van Hiele, desde el punto de vista discursivo, en términos de las herramientas teóricas que brinda la teoría comognitiva de Sfard, analizando el uso de palabras matemáticas , el uso de mediadores visuales , las narrativas vistas como proposiciones matemáticas, y las rutinas que se pueden observar en cada uno de los niveles de van Hiele.

Estas investigaciones ponen en evidencia el potencial descriptivo, explicativo y analítico que tiene la teoría de Sfard para caracterizar el razonamiento de estudiantes cuando participan en actividades geométricas, en nuestro caso, en la práctica matemática de definir .

Teniendo en cuenta las ideas planteadas en los párrafos anteriores, nuestro problema de investigación² se centra en varios elementos relevantes: primero, reconocer la importancia de caracterizar cómo se desarrolla la práctica matemática de definir cuando estudiantes de secundaria participan y son el principal protagonista en el desarrollo de esta, sin la mayor intervención de un docente; segundo, esta caracterización la hacemos a partir de un análisis detallado del discurso de los estudiantes, y tercero, centramos nuestra investigación en objetos matemáticos de estudio que forman parte de la geometría espacial, particularmente nos centramos en diferentes familias de poliedros.

Por tanto, nuestro trabajo busca dar respuesta a las preguntas de investigación: ¿cómo se desarrolla y se caracteriza la práctica matemática de definir , llevada a cabo por estudiantes de secundaria cuando definen diferentes familias de poliedros? Y para poder dar respuesta a esta pregunta, nos planteamos como pregunta secundaría: ¿cuáles son las características del discurso de estudiantes de secundaria entre los trece y quince años cuando participan en diferentes aspectos de la práctica matemática de definir , particularmente cuando definen diferentes familias de poliedros? Esto con el fin de dar cuenta cómo este proceso de participación lleva a los estudiantes a la consolidación de definiciones con características propias de su discurso.

2 Marco conceptual

Estructuramos un marco conceptual que articula dos elementos conceptuales que fundamentan nuestro análisis: por un lado, mencionamos qué entendemos como práctica matemática de definir y cómo se caracteriza; por el otro, tomamos algunos elementos de la teoria comognitiva de Sfard (2008) para análizar el discurso de los participantes con el fin de lograr caracterizar su participación en el desarrollo de la práctica matemática de definir.

2.1 La práctica matemática de definir

Consideramos una práctica matemática, desde el punto de vista de Kobiela y Lehrer (2015 , p. 424), como “formas recurrentes de actividades regidas por normas sociales que sirven para crear y perfeccionar el conocimiento”. Con el término normas sociales , en esta conceptualización de práctica matemática, hacemos referencia a las reglas que distinguen a una comunidad particular y que norman y validan las diferentes maneras en las que los individuos, pertenecientes a dicha comunidad, hacen cierta actividad matemática ( ROPERO, 2022 ). Por tanto, la práctica matemática de definir la entendemos como las distintas formas o maneras recurrentes de realizar actividades que conducen a la construcción de una definición.

En este sentido, Kobiela y Lehrer (2015) identifican ocho diferentes actividades recurrentes que permiten llegar a la consolidación de una definición, estas actividades los autores las identifican como aspectos de la práctica matemática de definir , las cuales ilustramos en la Figura 1 .

Figura 1
– Aspectos de la práctica matemática de definir

Estos aspectos a los que se refieren los autores son un elemento importante en este trabajo, puesto que nosotros identificamos, en un primer momento, en el discurso de los participantes, cuáles y cómo se manifiestan dichos aspectos.

Teniendo en cuenta que el fin mismo del desarrollo de la práctica matemática de definir es lograr establecer una definición, es importante también caracterizar, desde un punto de vista formal de las matemáticas, las definiciones propuestas por los participantes. Esta caracterización la hacemos en términos de lo que establecen diferentes investigadores como Van Dormolen y Zaslavsky (2003), Vinner (2002) , Zaskis y Leikin (2008) y Zaslavsky y Shir (2005) . Bajo lo establecido por estos autores, una definición matemática en términos de su estructura lógica debe ser no circular, no ambigua, no contradictoria y, para algunos autores, también debe ser jerárquica. Además, una definición también se puede caracterizar en términos de las condiciones en las que se establecen: definiciones con condiciones necesarias, pero no suficientes, definiciones con condiciones suficientes, pero no necesarias, o definiciones mínimas con las condiciones necesarias y suficientes.

2.2 Teoría Comognitiva de Sfard

Esta teoría se apoya bajo los principios de un enfoque participativo al concebir el aprendizaje, particularmente el aprendizaje de las matemáticas, como un proceso en el que el participante se convierte en miembro de una comunidad matemática con la habilidad de comunicarse con el lenguaje de esta comunidad, y por lo tanto, la construcción del conocimiento correspondería a que el participante sea capaz de incorporarse a un discurso especializado y bien definido, en nuestro caso en el discurso matemático ( SFARD, 2006 , 2008 ).

Bajo este enfoque participacionista, Sfard (2008) establece una relación importante entre la comunicación y el pensamiento: según la autora, la comunicación ya no se concibe como el medio por el cual expresamos lo que pensamos, sino que el pensamiento se convierte y se conceptualiza como un acto de comunicación en sí mismo. Por tanto, el pensamiento se conceptualiza como la comunicación con nosotros mismos.

Bajo esta relación que establece Sfard (2008) entre la comunicación y el pensamiento, la autora considera las matemáticas como un tipo especial de discurso que se caracteriza por los siguientes rasgos comunicativos.

Uso de palabras. Hacen referencia a las palabras empleadas y el uso que se les da y que se relacionan propiamente con las matemáticas. Sin embargo, palabras coloquiales como ladeado y volteado cuando se hace referencia a un prisma oblicuo, por ejemplo, también son consideradas palabras características del discurso matemático, porque tienen un significado matemático para un objeto particular propio, que, en este ejemplo, es para caracterizar un prisma oblicuo. Para Sfard (2008) el uso de palabras es importante ya que, a través de estas, es que podemos identificar lo que un participante puede decir sobre los objetos matemáticos.

Narrativas. Son proposiciones (del lenguaje hablado o escrito) que describen objetos matemáticos, relaciones entre los objetos matemáticos o actividades o procesos matemáticos que se pueden hacer con los objetos matemáticos.

Mediadores visuales . Son los objetos visibles que usan los participantes del discurso para identificar el objeto matemático del que se está hablando.

Rutinas . Hacen referencia a los patrones repetitivos que se observan en las acciones de los participantes cuando participan o realizan una determinada actividad matemática. Estas rutinas las podemos identificar en los otros tres rasgos comunicativos, es decir, se puede identificar una rutina en el uso de palabras que utilizan los estudiantes, en los principales mediadores visuales utilizados o en el proceso que llevan a cabo los participantes del discurso para establecer o crear narrativas .

Estos rasgos comunicativos también son un elemento importante para nuestro análisis; puesto que una vez que identificamos en el discurso de los estudiantes cómo se manifiestan los aspectos de la práctica matemática de definir , los caracterizamos en términos de cómo es ese uso de palabras matemáticas , cómo es el proceso llevado a cabo para la creación de narrativas , cuáles son los principales mediadores visuales que utilizan los estudiantes y cuáles son esas acciones repetitivas — las rutinas — que realizan los estudiantes cuando participan en diferentes aspectos de la practica matemática de definir .

3 Metodología

Atendiendo al objetivo de nuestra investigación, consideramos que la metodología que caracteriza esta investigación es de corte cualitativo, particularmente se caracteriza por ser un estudio exploratorio/descriptivo bajo las perspectivas de Hernández, Fernández y Baptista (2014) y Steffe y Thompson (2000) ; ya que realizamos una exploración y descripción de las diferentes acciones, actividades y formas en que los participantes experimentan la práctica matemática de definir .

3.1 Participantes y contexto inmerso de la investigación

Contamos con la participación de seis estudiantes colombianos entre los trece y quince años. El nivel de escolaridad de cada uno de ellos varía entre primero y tercero de secundaria y provienen de diferentes Instituciones Educativas Públicas Colombianas. La investigación se llevó a cabo bajo un escenario extra-clase, no en un aula convencional, en la que se contaban con los recursos y espacios necesarios y suficientes para la implementación de las actividades. Además, contamos con la participación de alguien externo, quien manejaba la cámara en las respectivas grabaciones de las sesiones realizadas.

3.2 Actividades realizadas

En el proceso de implementación y recogida de datos se diseñaron diferentes actividades organizadas en tres fases, cada una de las cuales describimos con más detalle en el Cuadro 1 .

Cuadro 1
– Actividades implementadas

Fase	Actividades realizadas		Descripción
1	Diagnóstico		Se realizó una actividad diagnóstica de seis ítems estructurada en dos partes: · Una primera parte con el fin de identificar si los participantes reconocían diferentes sólidos geométricos y sus elementos (caras, aristas, vértices y diagonales), conocimientos que creíamos eran claves para el desarrollo de las actividades en la fase 2. · La segunda parte se estructuró con el fin de identificar los sólidos geométricos con los que los participantes no estuvieran familiarizados, pues consideramos importante esto para evitar que las definiciones dadas fueran un producto de recordar las definiciones que quizás en algún momento escucharon o les impartieron. Esto con el propósito mismo de lograr caracterizar el proceso de construcción de definiciones con todo lo que ello implica.
2	Implementación Sesión 1	Actividad 1: definiendo la familia de poliedros	Se les entregó una hoja de trabajo en la que se encontraban algunas representaciones planas de ejemplos y no ejemplos de la familia de poliedros.
			Las indicaciones dadas en la hoja de trabajo fueron: observar cada conjunto de figuras geométricas (poliedros y NO poliedros); identificar similitudes y diferencias entre cada conjunto con el fin de reconocer propiedades o relaciones de estos, escribiéndolas en un cuadro comparativo, y finalmente escribir una posible definición de poliedro.
		Actividad 2: caracterizando los poliedros cóncavos	Esta actividad consistía en que a partir de la observación y manipulación de applets de GeoGebra en los que encontraban ejemplos (https://www.geogebra.org/m/w55cwaj2) y no ejemplos (https://www.geogebra.org/m/pkjwqkqg) de poliedros cóncavos, los participantes discutieran sobre las propiedades o relaciones relevantes que observaban y establecieran una definición para la familia de poliedros cóncavos. Para esta actividad, también se les entrego una hoja de trabajo en la que debían escribir las propiedades que observaban y la definición que lograron consolidar.
	Implementación Sesión 2	Actividad 3: Definiendo los sólidos platónicos	En esta actividad los estudiantes debían construir, descubrir y definir los cinco sólidos platónicos con ayuda del siguiente material concreto.
			Para que los participantes construyeran algunos candidatos se les mostró dos ejemplos de sólidos platónicos (el cubo y el tetraedro) y tres no ejemplos (un prisma hexagonal, una bipirámide pentagonal y el tetraedro estrellado, conocido también como la estrella octángula de Kepler)
			A medida que surgían posibles candidatos se les indicaba si eran o no un sólido platónico. Y así, a partir de la comparación de características, se esperaba que los participantes construyeran y caracterizaran los sólidos platónicos.
3	Cuestionario con preguntas abiertas		En este cuestionario los participantes debían dar una definición para cada una de las familias caracterizadas en la fase dos de implementación: poliedros, poliedros cóncavos y sólidos platónicos.

Fuente: elaborado por los autores

Las actividades implementadas y las instrucciones dadas a los estudiantes para la realización de estas, particularmente las implementadas en la fase 2, se fundamentaron teniendo en cuenta el marco de los ocho aspectos de la práctica matemática de definir propuestos por Kobiela y Lehrer (2015) . De esta manera, las actividades se desarrollaron manteniendo la siguiente estructura: (1) se observaban y comparaban ejemplos y no ejemplos de la familia de poliedros a definir; (2) se debían identificar algunas propiedades o relaciones relevantes; (3) se proponía una definición, y (4) se construía o evaluaba, según sea el caso, ejemplos y no ejemplos, argumentando por qué hacen o no parte de una familia particular de poliedros. Es importante mencionar que las actividades propuestas para la fase 1 y 3 se realizaron de manera individual, y las de la fase 2, en parejas.

3.3 Nuestras fuentes de datos

Realizamos grabaciones tanto de audio como de video de las sesiones implementadas cuando los estudiantes se encontraban desarrollando las actividades propuestas. Además, contamos como fuentes de datos lo registrado por los estudiantes en las hojas de trabajo diseñadas para cada una de las actividades y en el cuestionario de preguntas abiertas realizado en la fase 3 ( Cuadro 1 ).

3.4 Procedimientos de análisis

El análisis de los datos se realizó en tres etapas. En la primera etapa, realizamos la transcripción de las discusiones presentadas, tanto a nivel grupal como de las parejas de trabajo formadas, cuando los participantes resolvían las tareas y actividades propuestas en las dos sesiones. Para esta transcripción consideramos los principios de totalidad, fidelidad verbal y multimodalidad que se deben tener en cuenta según Sfard (2020a, 2020b) y Heyd-Metzyuyanim et al. (2013) a la hora de realizar transcripciones verbales y no verbales para analizar el discurso . En la segunda etapa, caracterizamos cómo fue el proceso y desarrollo de la participación de los estudiantes en la práctica matemática de definir . Y, en la tercera etapa, caracterizamos las definiciones que, finalmente, los estudiantes lograron establecer en términos de si las definiciones propuestas eran jerárquicas, circulares, ambiguas, contradictorias, o si en estas se establecían las condiciones necesarias y suficientes.

Particularmente para la segunda etapa de análisis, en un primer momento, y centrándonos en la transcripción previamente hecha, identificamos en cada una de las tres actividades propuestas episodios en los que se promoviera o desarrollara algún aspecto de la práctica matemática de definir ; ya que según Kobiela y Lehrer (2015 , p.450): “el marco de los ocho aspectos de la práctica de la definición proporciona un marco analítico útil para investigar la participación de los estudiantes en la práctica de la definición”. Para ello, empleamos los siguientes indicadores ( Cuadro 2 ) que nos permitieron identificarlos.

Cuadro 2
– Indicadores para identificar aspectos de la práctica matemática de definir

Aspecto de la práctica matemática de definir	Indicador
Construir o evaluar ejemplos y no ejemplos	✓ Los participantes construyen ejemplos de la familia de sólidos que se define. ✓ Los participantes evalúan ejemplos y no ejemplos para determinar si pertenecen o no a la familia particular de sólidos que se define
Describir propiedades o relaciones	Los participantes describen de manera verbal o escrita propiedades y relaciones de las familias de sólidos o de un caso particular de las familias
Construir explicaciones o argumentos de definiciones	Los participantes justifican algunas de las siguientes acciones: ✓ La inclusión o exclusión de una definición ✓ La relevancia de una propiedad o relación observada ✓ La aceptación o el rechazo de un ejemplo de la familia de sólidos que se define
Proponer una definición	Los participantes proponen una definición
Revisar las definiciones	Los participantes añaden propiedades, eliminan propiedades o modifican una definición
Establecer y razonar sobre relaciones sistemáticas	✓ Los participantes consideran las relaciones existentes entre cada una de las familias que se definen u otras clases de familias generales. ✓ Los participantes elaboran una definición jerárquica
Hacer preguntas acerca de la definición	Los participantes hacen preguntas sobre las propiedades, relaciones o ejemplos de las familias de sólidos que se definen
Negociar criterios para juzgar la adecuación o aceptabilidad de la definición	Los participantes negocian con otros participantes qué características deben tener las definiciones para considerarlas adecuadas o no

Kobiela y Lehrer (2015)

Una vez identificados los episodios en los que se desarrollara un aspecto de la práctica matemática de definir , para cada uno de estos aspectos se analizaron, con ayuda de un instrumento analítico (anexo), los rasgos comunicativos a los que hace mención Sfard (2008): identificamos el uso de palabras matemáticas , para qué y cómo las usaban; los principales mediadores visuales ; si surgían narrativas , tanto de propiedades o relaciones de las distintas familias de poliedros a definir como narrativas sobre las actividades o procesos que se hacían con o por los objetos geométricos; también identificamos si se evidenciaba alguna rutina en las actividades y acciones realizadas por los participantes, y si era así, describíamos qué secuencia de acciones se repetían y para qué las hacían.

4 Resultados

A continuación, mostramos los resultados que hallamos en cada una de las etapas de análisis descritas anteriormente: en un primer momento describimos cómo fue el proceso de participación de los estudiantes en diferentes aspectos de la práctica matemática de definir , luego ilustramos algunos resultados de la caracterización de esta participación en términos de los rasgos comunicativos de Sfard, y finalmente, mostramos cómo esa participación llevó a los estudiantes a establecer definiciones para cada una de las familias de poliedros. Es de mencionar que, para la descripción de estos resultados, únicamente damos seguimiento a una pareja de estudiantes identificados como E1 y E2.

4.1 Aspectos de la práctica matemática de definir que se manifestaron

E1 y E2 participaron en diferentes aspectos de la práctica matemática de definir, particularmente los que más se promovieron fueron el de describir propiedades y el que corresponde a construir explicaciones y argumentos . La participación de estos aspectos la ilustramos en el siguiente fragmento de conversación cuando los estudiantes se encontraban desarrollando la primera actividad de la sesión 1, que consistía en caracterizar la familia de poliedros a partir de la observación de algunos ejemplos y no ejemplos ( Figura 2 ).

Figura 2
– Ejemplos y no ejemplos de la familia de poliedros

[147] E1: Yo veo como algo diferente (3’’) <E2: Yo veo que todas son tridimensionales> sí y o sea las diferencias es que los que no son poliedros tienen lados ((haciendo referencia a las aristas)) como con curvas y estas no ((señala las figuras que representan los que sí son poliedros))

[…]

((se quedan observando las figuras))

[160] E1: Que los poliedros tienen caras rectas ¿no?

[161] E2: No, que…digamos que… no todos los lados ((haciendo referencia a las caras)) son iguales, eso es una similitud ¿no?

[162] E1: Mm… ((acentúa con la cabeza que sí))

[163] E2: O sea, acá no es un cuadrado ((señala una de las caras triangulares de la figura seis de los que son poliedros)) (1’’) las caras no tienen la misma…

[164] E1: O sea, no todas las caras no son iguales, no todas las caras son iguales

[165] E2: Aja ((empiezan a escribir una segunda similitud))

[166] E1: ¿Habrá más diferencias?

((se quedan observando las figuras))

[167] E1: Por ejemplo < E2: Que ésta ((señala la figura cinco de los que no son poliedros)) no está encerrada> que los poliedros tienen varias caras (2’’) en cambio estas no ((señala las figuras que no son poliedros)) (2’’) o bueno sí también.

((se quedan observando las figuras))

[168] E2: Mira que esta figura ((señala la figura cinco de los que no son poliedros)) no está cerrada

[169] E1: Ah pues sí

[170] E2: Pero cómo decimos que no está cerrada

[171] E1: Que en algunas figuras no son cerradas

[172] E2: No, que hay figuras donde no tienen… (2’’) que hay figuras donde no tienen… caras (3’’)

[173] E1: O sea que estas no son una figura completa ¿si me entiendes?

(Fragmento1: dialogo entre E1 y E2 cuando caracterizan la familia de poliedros, 2021).

En las líneas de transcripción 147, 161, 164 y 167 podemos evidenciar la manifestación del aspecto describir propiedades , pues E1 y E2 mencionan características relevantes para describir los ejemplos y no ejemplos dados de la familia de poliedros: son figuras tridimensionales, los que no son poliedros tienen como lados con curvas, no todas las caras son iguales y en los no ejemplos algunas figuras no están cerradas .

La manifestación del aspecto construir explicaciones y argumentos se evidencia cuando los estudiantes argumentan por qué algunas de las características que observan son relevantes. Por ejemplo, en la línea de transcripción 163, E2 identifica como característica relevante que no todas las caras de las figuras son iguales, argumentando que en la figura cinco, de los que sí son poliedros, no todas sus caras son iguales pues la base de la pirámide es cuadrada.

La participación de E1 y E2 en este último aspecto no solo se presenta cuando justifican la relevancia de una propiedad observada, sino también cuando argumentan la aceptación o el rechazo de un ejemplo como parte de una familia de sólidos geométricos. Por ejemplo, en el siguiente fragmento de conversación se ilustran los argumentos y las explicaciones que dan E1 y E2 cuando participan en el aspecto de la práctica matemática de definir que se refiere al de construir y evaluar ejemplos y no ejemplos, particularmente cuando evalúan los sólidos ilustrados en la Figura 3 como parte de la familia de poliedros cóncavos.

Figura 3
– Ejemplos y no ejemplos de la familia de poliedros cóncavos

((los estudiantes uno y dos observan el poliedro 1))

[761] E2: Listo, no

[762] E1: ¿no qué?

[763] E2: No es un poliedro cóncavo […] porque…

[764] E1: Porque no se pueden trazar diagonales por fuera de la figura

[…] ((los estudiantes uno y dos observan el poliedro 2))

[772] E2: Sí por eso, entonces escribamos mejor eso

[773] E1: Que se puede trazar un plano (5’’)

[774] E2: Al trazar un plano se corta por la mitad ((haciendo referencia a que el poliedro dos es el que queda dividido por la mitad))

[775] E1: porque se puede trazar un plano por la mitad de la figura

[776] E2: No, porque en todas se puede (3’’)

[777] E1: Mm… no sé

[778] E2: No, porque en todas se puede trazar un plano por la mitad

[779] E1: No <E2: Sí, porque la profe dijo que si ella quiere trazarlo por la mitad en todas pues las traza por la mitad>No, porque vea / en esta no se puede ((le muestra a la estudiante dos el poliedro uno del applet)) porque es por una cara (4’’) vea

[780] E2: Si…

[781] E1: En cambio en esta, por ejemplo ((le muestra al estudiante dos el poliedro dos)) si usted lo pasa por esta cara, por esta azul ((ver en la Figura 4 la cara del poliedro dos que señala)), lo va a cortar, en cambio en la otra no ((haciendo referencia al poliedro uno))

Figura 4
– Cara señalada por E1 para ilustrar que, si traza un plano por esta cara, este corta al poliedro

[782] E2: Sí…

[783] E1: No… vea ((le muestra de nuevo el poliedro uno)) porque si usted lo traza por esta cara pues no va / a partir nada ((ver en la Figura 5 la cara que señala en el poliedro uno))

Figura 5
– Cara que señala E1 para ilustrar que, si se traza un plano por esta cara, el plano no va a dividir la figura

Como podemos evidenciar, en la línea de transcripción 764 y en las líneas de la 772 a la 783 E1 y E2 afirman que el poliedro uno ilustrado en la Figura 3 no es cóncavo y el dos, sí, lo es, para ello construyen explicaciones y argumentos como: en el poliedro uno no se puede trazar una diagonal por fuera de la figura y en poliedro dos se puede trazar un plano por una de sus caras de tal manera que corte al poliedro.

Es de mencionar que la participación de E1 y E2 en estos aspectos de la práctica matemática de definir se manifestaron en todas las actividades propuestas, pero, por motivos de espacio, aquí solo ponemos como evidencia empírica lo encontrado en algunas de las actividades.

4.2 En cuanto a la caracterización del discurso

En esta sección mostramos los resultados encontrados en cuanto a la caracterización del discurso de E1 y E2 en términos del uso de palabras , las narrativas que surgieron y algunas rutinas identificadas en las acciones realizadas por los estudiantes cuando participaron en la práctica matemática de definir . No entramos a detalle en los mediadores visuales , ya que principalmente los medidores visuales utilizados por los participantes fueron los ejemplos y no ejemplos que se les dio para cada una de las familias de poliedros a definir.

Uso de palabras. Identificamos en el discurso de E1 y E2 uso de palabras coloquiales como techo, torcido y entradas para referirse a un elemento o una característica de cada una de las familias de poliedros que se intentaron definir. En el siguiente fragmento de conversación destacamos el uso de algunas de estas palabras.

((Los estudiantes se encontraban evaluando si el sólido geométrico mostrado en la Figura 6 es un poliedro))

Figura 6
– Solido geométrico a avaluar como poliedro

[407] E2: No, porque la parte de arriba es curva

[408] P: Y la parte de arriba ¿qué es? (3’’)

[409] E1: El techo ((todos se ríen))

[410] P: Pero a esto ((señala la cara superior de la figura siete a evaluar)) ¿cómo se le nombra?

[411] E2: Es una cara <E1: Una cara sí>

[…] ((Los estudiantes se encontraban evaluando por qué el poliedro mostrado en la Figura 7 no resultaba ser un sólido platónico))

Figura 7
– Solido geométrico a avaluar como sólido platónico

[970] P: Eso, y sigue siendo convexo […] entonces es convexo, tiene todas sus caras iguales y sus aristas son iguales; quiere decir que estas características no son suficientes, entonces hace falta encontrar otra <E1: Quizá es que debe ser derecho >. ¿dime?

[971] E1: Tiene que ser derecho ((risas))

[972] P: ¿a qué te refieres con derecho?

[973] E1: O sea que no esté torcido ((risas)) [...]

[975] E1: Es que no sé cómo explicarlo, es que parece que fuera a caer

(Fragmento 3: uso de palabras coloquiales en el discurso de E1 y E2 cuando evalúan ejemplos y no ejemplos de la familia de poliedros y de los sólidos platónicos, 2021).

También el uso de palabras ambiguas, en el sentido de que estas palabras pueden interpretarse de varias maneras o que una palabra los estudiantes la usan para referirse a dos cosas distintas, es característico del discurso de los estudiantes cuando quieren referirse a elementos o características de los ejemplos y no ejemplos dados. Por ejemplo, en la línea de transcripción 154 del siguiente fragmento E1 utiliza la palabra lados para referirse a las aristas de un poliedro particular, mientras que, en la línea de transcripción 161, E2 la usa para referirse a las caras de un poliedro.

[153] P: Y de diferencias ¿qué han visto?

[154] E1: Que los que no son poliedros ((señala una de las aristas de la figura dos de los que nos son poliedros)) tiene como lados con curvas y los que sí son ((señala las figuras que sí son poliedros)) no tienen

[…]

[161] E2: No, que…digamos que… no todos los lados ((haciendo referencia a las caras)) son iguales, eso es una similitud ¿no?

(Fragmento 4: uso de palabras ambiguas en el discurso de E1 y E2, 2021).

También, surgieron otras palabras ambiguas como: la palabra figuras , pues los estudiantes las usaban para referirse tanto para mencionar en un sentido holístico sobre las figuras tridimensionales como para mencionar sus caras; y el uso de las palabras figuras completas o cerradas (ver Fragmento 1 de conversación), que los estudiantes usaban para referirse a lo que matemáticamente identificamos como que un poliedro encierra un volumen finito.

Es de mencionar que el principal objetivo del uso de estas palabras, y de todas las palabras matemáticas que surgieron en el discurso de E1 y E2, se relaciona directamente con uno de los aspectos de la practica matemática de definir que más prevaleció: describir propiedades , pues las palabras matemáticas identificadas en el discurso de los estudiantes se usaron, principalmente, para comparar y describir propiedades y relaciones relevantes que observaron para cada una de las familias de poliedros. Esto da lugar a caracterizar las narrativas que identificamos en el discurso de los estudiantes como narrativas meramente descriptivas.

Narrativas. Surgieron narrativas que dan información sobre descripciones y relaciones de los objetos matemáticos cuando los estudiantes se encontraban evaluando los ejemplos y no ejemplos dados para cada una de las familias de poliedros que se intentaban definir. En el Cuadro 3 se describen dichas narrativas. Es de mencionar que las narrativas que ilustramos están descritas empleando palabras propias de los estudiantes.

Cuadro 3
– Narrativas de carácter descriptivo identificadas en el discurso de los estudiantes

Narrativas
Para la familia de poliedros	Surgieron las siguientes afirmaciones de sus propiedades (ver fragmento 1) Son figuras tridimensionales Sus caras son rectas (planas) Deben ser figuras cerradas
Para los poliedros cóncavos	Surgieron las siguientes afirmaciones de sus propiedades Sus aristas son rectas Son poliedros Tienen entradas En los poliedros cóncavos se pueden trazar diagonales por fuera del poliedro Si se traza un plano que contenga una de las caras de los poliedros cóncavos este divide al poliedro
Para los sólidos platónicos	Surgieron las siguientes afirmaciones de sus propiedades Son sólidos cuyas caras son planas e iguales Son sólidos cuyas aristas son iguales Son convexos El grado de cada uno de sus vértices debe ser igual

Fuente: elaborado por los autores

Tal como se puede evidenciar, las narrativas que mostramos en el cuadro anterior son de carácter descriptivo, pues en estas se usan palabras matemáticas que describen y caracterizan la forma de algunos elementos de cada una de las familias de los cuerpos sólidos, particularmente las caras y las aristas. Esto lleva a caracterizar algunas de las definiciones dadas por los estudiantes como definiciones con listas largas de propiedades, tal como lo ilustramos más adelante.

En la sección de nuestros elementos conceptuales, mencionamos que las narrativas no necesariamente hacen referencia a las descripciones o relaciones que se hacen de los objetos matemáticos, sino también de las actividades que se hacen con estos. Para este último caso, identificamos una narrativa que llamó nuestra atención y que surgió cuando los estudiantes se encontraban desarrollando la actividad de encontrar similitudes y diferencias entre ejemplos y no ejemplos de las diferentes familias de poliedros. Esta narrativa se relaciona con el hecho de que los estudiantes afirmaron, en varias ocasiones, que todos los no ejemplos debían tener alguna característica en común o que los ejemplos no debían tener ninguna característica en común con los no ejemplos. Evidencia de esta narrativa la encontramos en el siguiente fragmento de conversación en donde los estudiantes se encontraban evaluando ejemplos y no ejemplos de la familia de poliedros ( Figura 2 ); pues, particularmente en las líneas de transcripción 205 y 207, E2 intenta afirmar que no se puede tomar como característica común de la familia de poliedros que las aristas sean rectas, pues en dos de los sólidos geométricos dados como no ejemplos las aristas tienen esta característica.

[200] P: Acá ((señalando las figuras de las que son poliedros)) ¿las aristas cómo son?

[201] E1: Rectas

[202] P: Aja, ¡exacto!

[…]

[205] E2: No porque aquí digamos, aquí tiene aristas rectas ((señala las aristas rectas de la figura dos de los que no son poliedros))

[206] P: Sí, pero entonces puede tener aristas rectas, pero mira que esta tiene por lo menos una, tiene dos, no todas las tiene rectas

[207] E2: Pero ésta ((señala la figura cinco de los que no son poliedros)) no tiene ninguna arista curva

[208] P: No, pero entonces qué es lo que hace que esta figura no sea poliedro

[209] E1: Ah… que no esté completa / pero creo que esa ya la habíamos dicho

(Fragmento 5: dialogo entre E1, E2 y el profesor para decidir las características relevantes de la familia de poliedros, 2021).

Rutinas. En el Cuadro 4 ilustramos las rutinas que identificamos en el discurso de los estudiantes que dan cuenta de las acciones repetitivas que evidenciamos cuando participan en la práctica matemática de definir y en diferentes aspectos de esta. Algunas de estas rutinas se relacionan con los resultados descritos anteriormente respecto a los otros rasgos comunicativos: el uso de palabras y las narrativas.

Cuadro 4
– Rutinas identificadas en el discurso de los estudiantes

Rutinas
En el uso de palabras	Ya que el uso de palabras como entradas, lados, figuras y figuras completas o cerradas , solo por dar algunos ejemplos, se repiten varias veces en el discurso de los estudiantes se puede identificar como una rutina de los estudiantes: usar palabras coloquiales y ambiguas para referirse a un elemento o una característica de las familias de poliedros definidas
En las narrativas que respectan a las actividades que se hacen con los objetos geométricos	Cuando al inicio de cada una de las actividades propuestas los participantes se encontraban determinando similitudes y diferencias entre los ejemplos y no ejemplos, se manifestó, repetidamente, una narrativa en la que los estudiantes afirmaban que un no ejemplo para ser considerado como tal no debía tener ninguna característica en común con los ejemplos, o que todos los no ejemplos debían tener una característica en común
Para determinar similitudes y diferencias y desarrollar el aspecto describir propiedades	Para describir propiedades los estudiantes realizan una serie de acciones que les permite identificar similitudes y diferencias para determinar las características de una familia de sólidos en particular. Esta serie de acciones consiste en: (1) Mirar las figuras geométricas dadas como ejemplos y no ejemplos (2) Identificar una característica relevante en uno de los sólidos geométricos (3) Evaluar y comparar si otros sólidos cumplen con estas características (4) Plantear la similitud o diferencia observada
Para construir ejemplos y no ejemplos	Particularmente en la tercera actividad en la que los estudiantes construían constantemente ejemplos y no ejemplos de la familia de sólidos platónicos, identificamos el siguiente conjunto de acciones en este proceso de construcción: (1) Observar y evaluar los ejemplos y no ejemplos propuestos (2) Reconocer una propiedad relevante para caracterizar a los sólidos platónicos (3) Considerar la nueva información que les brinda esta propiedad para eliminar algunos de los polígonos o las formas de usarlos con el fin de ir acotando la forma de construir los posibles candidatos a sólidos platónicos

Ropero (2022

El conjunto de acciones que describimos en la tercera fila del Cuadro 4 las podemos evidenciar en diferentes fragmentos de conversación entre E1 y E2 cuando caracterizan a las tres familias de poliedros. A continuación, mostramos uno de estos fragmentos, destacando cada una de estas acciones, cuando los estudiantes describen propiedades para caracterizar a la familia de poliedros cóncavos.

[515] E1: Mira que estos no tienen lados curvos ((haciendo referencias a los poliedros convexos)) 1 (Mirar las figuras) y 2 (identificar una característica)

[516] E2: Entonces vamos a ver (2’’)

[517] E1: Pues ahí sí que todas sus… aristas, que todas sus aristas son rectas ahí ((señala los poliedros convexos)) porque mira que aquí son rectas ((le muestra el applet donde se observan los poliedros convexos)) <E2: Ah… sí que todas sus aristas> y aquí también ((le muestra el applet de los poliedros cóncavos)) 3 (comparar)

((El estudiante dos empieza a escribir una primera similitud mientras que el estudiante uno observa las figuras)) 4 (plantear la similitud o diferencia)

[542] E2: Y también que todos los lados son diferentes ¿no? 1 (Mirar las figuras) y 2 (identificar una característica)

[543] E1: Sí, pero espera, porque… porque no miramos esa por el otro lado (3’’) ((rota los ejemplos dados de poliedros cóncavos)) ¡eso! (2’’) no, no todos son iguales 3 (comparar)

[544] E2: No, porque digamos esta mide diferente a esta ((señala diferentes aristas del segundo poliedro dado como ejemplo de poliedro cóncavo)) 3 (comparar)

(Fragmento 6: dialogo entre E1 y E2 para encontrar similitudes y diferencias entre los ejemplos y no ejemplos de poliedro cóncavos, 2021).

Las acciones repetitivas que describimos en la última fila del Cuadro 4 se evidenciaron, en un primer momento, cuando los estudiantes compararon los ejemplos y no ejemplos dados para la familia de sólidos platónicos (ver Cuadro 1 ) surgiendo, así, narrativas como las formas de las caras deben ser iguales y deben ser convexos .

Cuando E1 y E2 reconocieron como propiedad relevante que las caras de los sólidos platónicos debían tener la misma forma, realizaron la acción que se muestra en la Figura 8 , proponiendo como candidatos a sólidos platónicos un sólido para cada una de las figuras que clasificaron. Esto los llevo a proponer como candidato una pirámide cuyas caras eran triángulos isósceles ( Figura 9 ), al observarla y decirles que esta pirámide no era un sólido platónico, E1 y E2 identificaron otra propiedad relevante de los sólidos platónicos: las aristas también debían ser iguales, y afirmaron: o sea que con esas figuras no podemos hacer nada , señalando los rectángulos y los triángulos isósceles. Por último, faltando solo el icosaedro por descubrir, los estudiantes intentaron construir sólidos cuyas caras fueran cuadrados y pentágonos. Ante su fallido intento, y gracias a la comparación constante con los no ejemplos que fueron surgiendo, los estudiantes reconocieron que en el último sólido platónico sus caras debían ser triangulares y que en cada vértice debía converger el mismo número de caras. Por tanto, E1 y E2 realizan las acciones ilustradas en la Figura 10 para lograr construir el icosaedro.

Figura 8
– Primera acción realizada para construir los sólidos platónicos.

Figura 9
– Pirámide cuyas caras son triángulos isósceles

Figura 10
– Acciones realizadas para construir el último sólido platónico: el icosaedro

4.3 Caracterización de las definiciones propuestas

La participación de E1 y E2 en los aspectos de la practica matemática de definir con las características de su discurso que mencionamos en las secciones anteriores, llevaron a los estudiantes a consolidar definiciones con ciertas características particulares, para cada una de las familias de poliedros que se propusieron definir. Las definiciones propuestas las ilustramos en el Cuadro 5 .

Cuadro 5
– Definiciones propuestas para cada una de las familias de poliedros

Definiciones propuestas
Para la familia de poliedros
Para la familia de poliedros cóncavos
Para la familia de sólidos platónicos

Fuente: elaborado por los autores

Al analizar las definiciones ilustradas en el Cuadro 5 podemos evidenciar lo siguiente:

• De acuerdo con Zaslavsky y Shir (2005) , las tres definiciones propuestas para las diferentes familias de poliedros se pueden caracterizar como: no contradictorias en el sentido de que las características de los poliedros que se contemplan no son contradictorias, y no son circulares debido a que en ellas no se hace mención del propio concepto que se está definiendo, pues en ninguna de las definiciones se identificaron cosas como un poliedro es un poliedro .

• Algunas de las definiciones propuestas, particularmente la de la familia de poliedros cóncavos y la de los sólidos platónicos, se pueden considerar, desde el punto de vista de Zaslavsky y Shir (2005) , como definiciones ambiguas, pues el significado del uso de palabras como figura, trazar diagonales fuera de la figura o grados iguales no se pueden interpretar de manera única.

• En cuanto a las condiciones en las que están escritas las definiciones, podemos afirmar que todas las definiciones propuestas contienen condiciones necesarias, pero no suficientes. Por ejemplo, en la definición que se propone para la familia de poliedros los estudiantes incluyen la condición de que las aristas en un poliedro deben ser rectas, sin embargo, no consideran una condición que se relacione con que el poliedro debe encerrar un volumen finito. O basta, también, ver la definición propuesta para los poliedros cóncavos, que bajo las condiciones en las que está escrita, un polígono cóncavo podría ser considerado como un poliedro cóncavo al no considerar la condición de figura geométrica tridimensional.

• Ninguna de las definiciones propuestas se puede considerar jerárquica pues los estudiantes no participaron en el aspecto de la practica matemática de definir que se relaciona con establecer relaciones sistemáticas al no considerar los poliedros cóncavos como parte de la familia poliedros, o a los sólidos platónicos como parte de la familia de poliedros convexos, a pesar de que estas familias fueron previamente definidas.

5 Discusión y conclusiones

Los resultados de la investigación que llevamos a cabo y que reportamos en la sección anterior nos permitieron caracterizar la participación de los estudiantes en la práctica matemática de definir diferentes familias de poliedros, a partir de una caracterización de su discurso . A continuación, discutimos algunas generalidades de los resultados que encontramos.

Durante el desarrollo de la participación en la práctica matemática definir evidenciamos que los estudiantes consideran diferentes aspectos de esta práctica siendo los de describir propiedades, construir y evaluar ejemplos y no ejemplos y construir explicaciones o argumentos los que más prevalecieron.

El aspecto de construir explicaciones o argumentos se manifestó cuando los estudiantes justificaban la relevancia de una propiedad observada, y cuando justificaban su aceptación o rechazo de un ejemplo como parte de alguna de las familias de poliedros. Sin embargo, es de mencionar que los estudiantes no desarrollaron este aspecto para discutir la adecuación de una definición, pues no se presentaron discusiones en torno a si las características que se establecieron, de cada familia de poliedros, en las definiciones eran o no las adecuadas. Por ende, esto llevó a que no se desarrollara el aspecto que se refiere a negociar criterios para juzgar la adecuación o la aceptabilidad de una definición.

A pesar de que Zandieh y Rasmussen (2010) consideran que actividades como negociar lo que se quiere que sea una definición y refinar y revisar las definiciones son actividades importantes en el proceso de definir, en nuestra población de estudio estas actividades no se manifestaron. Creemos que esto se debe a la poca participación, experiencia o protagonismo que se les atribuye a estudiantes, con características similares a nuestra población de estudio, en el desarrollo de la práctica matemática de definir.

Esto último lo afirmamos ya que en trabajos de investigación similares al que realizamos, con poblaciones más expertas y edades mayores, como el trabajo realizado por Gonzales-Regaña et al . (2016), se evidencia que el negociar lo que debe tener una definición y revisar las definiciones para determinar si son adecuadas o no, son actividades que sí surgen en la participación de la práctica matemática de definir .

También, identificamos un conjunto de acciones repetitivas – rutinas – que realizan los estudiantes cuando participan en la construcción de definiciones y que caracterizan la manera como los estudiantes desarrollan la práctica matemática de definir . Este conjunto de acciones, descritas en el Cuadro 4 , no es característico únicamente de nuestra población de estudio, pues en las investigaciones de Escudero, Gavilán-Izquierdo y Sánchez-Matamoros (2014) y Fernández-León et al. (2021), se encontraron resultados similares con maestros en formación cuando caracterizaban diferentes cuadriláteros y prismas, respectivamente.

Por otro lado, es importante resaltar que los rasgos comunicativos: los mediadores visuales, usos de palabras y narrativas , se encuentran mutuamente relacionados. Esta relación permitió que los estudiantes desarrollaran diferentes aspectos de la práctica matemática de definir , debido a que en diferentes momentos de la participación los estudiantes se centraron en los distintos mediadores visuales para crear narrativas con diferentes usos de palabras matemáticas que les permitía describir propiedades, construir explicaciones o argumentos y construir o evaluar ejemplos y no ejemplos.

Lo anterior concuerda con lo que, ya hace varios años, en las investigaciones de Mariotti y Fischbein (1996) se afirma sobre que en el proceso de definir existe una intervención, a la par, entre un nivel figural y un nivel conceptual, pues constantemente hay un proceso entre observar, identificar características, plantear las características y volver a observar para confirmar lo encontrado.

Este trabajo saca a la luz la complejidad que lleva el hacer partícipe a los estudiantes en el proceso de definir, más aún sin una intervención directa del profesor. Por eso, resaltamos el papel importante que debe jugar el docente en el proceso de enseñanza de las definiciones, pues los resultados que mostramos evidencian que el proceso de construcción de definiciones es un proceso que no se da por sí solo. En este sentido, es importante realizar investigaciones que nos aporten información sobre posibles secuencias de actividades que se puedan realizar, sobre cuáles serían las representaciones más optimas que se pueden usar en el proceso instructivo, qué tipo de preguntas se pueden hacer, cómo construir el significado de diferentes usos de palabras matemáticas , y sobre el papel que tomaría el docente en este proceso instructivo. Aquí, aprovechamos para resaltar la importancia del uso de ejemplos y no ejemplos como un elemento esencial para el diseño de tareas que se relacionen con la práctica matemática de definir.

Investigaciones que nos brinden esta información apoyarían la toma de decisiones pedagógicas y didácticas adecuadas para intentar mejorar la participación de los estudiantes en el desarrollo de diferentes prácticas matemáticas en el aula, y con el fin mismo de mejorar el discurso de los estudiantes para acercarlos a un discurso matemático más especializado.

También, sería interesante realizar trabajos de investigaciones enfocados en dar una descripción detallada, a partir de los rasgos comunicativos de Sfard, para cada uno de los niveles de van Hiele enfocado en la geometría del espacio, tal y como lo realiza Wang (2016) en su trabajo con objetos matemáticos propios de la geometría plana.

Por último, queremos resaltar el potencial descriptivo y explicativo que brindan las herramientas teóricas de la teoría de Sfard para caracterizar el discurso de los estudiantes, pues, a partir de estas, logramos identificar la complejidad que lleva el hacer partícipe a los estudiantes en diferentes prácticas discursivas y matemáticas.

La teoría de Sfard nos brinda diferentes elementos de análisis a tener en cuenta para ahondar más en el discurso de los participantes. Por ejemplo, un elemento importante en la teoría de Sfard son los conflictos comognitivos, que se consideran la principal fuente de aprendizaje bajo esta teoría, y se pueden identificar cuando diferentes participantes del discurso usan las mismas palabras de distintas formas, como ocurrió en nuestro caso con el uso de la palabra lado (fragmento 4), o cuando se asumen narrativas contradictorias, como le ocurrió a E1 y E2 cuando intentaban argumentar si algunos poliedros eran o no cóncavos (fragmento 2). Esta también sería una perspectiva a futuro que le daría continuidad a este trabajo: identificar y ahondar más en los conflictos comognitivos de nuestra población de estudio.

Además, se podría desarrollar este trabajo en un aula de clase común, que seguramente aportará más información a esta línea de investigación, pues una de las limitaciones de nuestro trabajo, por la situación de pandemia en la que vivíamos en su momento, fue el haberla realizado con tan pocos participantes y en un espacio extra-clase.

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• 1
  Escribimos algunas palabras en cursiva para resaltar la importancia que tienen, conceptualmente, para nuestro trabajo.
• 2
  Es de mencionar que este trabajo investigativo hace parte de un trabajo más amplio, llevado a cabo como trabajo de tesis en el marco de la Maestría en Ciencias en la Especialidad de Matemática Educativa del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (CINVESTAV) en la ciudad de México. Para ver a más detalle se puede consultar a Ropero (2022) .

Disponibilidad de datos

https://minio.scielo.br/documentstore/1980-4415/wVRMJBHJYJP7fcxvBsxYPSx/493807b8d098c80031e70cd77d224c54cab199ee.pdf

Fechas de Publicación

• Publicación en esta colección
  01 Set 2023
• Fecha del número
  May-Aug 2023

Histórico

• Recibido
  17 Ago 2022
• Acepto
  07 Mar 2023