Resumo em Português:

Uma análise atenta dos currículos da formação inicial do professor de matemática no Brasil nos leva à seguinte conclusão: a licenciatura saiu do 3+1, mas o 3+1 ainda não saiu da licenciatura. No que segue, explico o que quero dizer com isso, defendo a necessidade urgente de uma efetiva superação desse esquema na formação inicial do professor e discuto as possibilidades de implementação de uma nova estrutura nos cursos de licenciatura em matemática. Este texto, escrito para a conferência de encerramento da II Escola de Inverno em Educação Matemática (Santa Maria, RS), não é um relato de pesquisa, mas as ideias aqui desenvolvidas têm seus fundamentos em parte da literatura especializada na área de formação de professores de matemática, principalmente das três últimas décadas. Num momento em que se discutem,nacionalmente, os Referenciais Curriculares para a Formação do Professor (vide Comissão Paritária SBEM-SBM), este texto chama a atenção para as dificuldades estruturais inerentes a uma concepção curricular em que a formação matemática e as discussões de questões referentes ao ensino escolar da matemática sejam vistos como blocos de formação relativamente autonomizados.

Resumo em Inglês:

Analysis of the curricular structure of prospective mathematics teacher education in Brazil leads us to the following conclusion: "these courses have abandoned the 3+1 formula, yet 3+1 has not abandoned them". In what follows I explain what I mean by that, argue in favor of an effective change in the structure of the curricula, and briefly discuss the possibilities of actually implementing the proposed direction of change. Written for the final speech of the II Escola de Inverno em Educação Matemática (Santa Maria, RS) this text is not a research report, though the ideas discussed here are based on part of the specialized literature relative to the field of mathematics teacher education, especially in the last three decades. As a nationwide discussion takes place in Brazil on the so-called Curricular Framework for Prospective Mathematics Teacher Education, this text points to the structural difficulties inherent to a curricular conception according to which content knowledge is defined and taught in a relatively autonomous way with respect to methods and theories of teaching and learning school mathematics.

Resumo em Português:

O presente estudo revisa o tema da representação dos fatos numéricos aditivos na memória de longo prazo em estudantes com transtornos de aprendizagem. A discussão de tais conceitos visa oferecer aos profissionais da área a possibilidade de revisão de práticas pedagógicas ligadas ao ensino. Trata-se de um exame abrangente da literatura que indica que as crianças com transtornos de aprendizagem na matemática distinguem-se de seus pares em duas habilidades acadêmicas: utilizam procedimentos de contagem já abandonados por seus iguaisda mesma idade, e apresentam desenvolvimento tardio ou atípico na recuperação e/ou armazenamento dos fatos numéricos na memória. Como conclusão, sugere-sea estimulação dessas habilidades, a fim de evitar o aumento de dificuldades.

Resumo em Inglês:

This paper reviews the theme of representation of numerical additive facts in the long-term memory of students with learning disorders. These concepts have been addressed in the literature recently, and the discussion aims to offer education professionals the opportunity to review practices related to teaching the basic facts. This is a comprehensive review of the literature on the subject. This review indicates that children with learning problems in mathematics are distinguished from their peers who have no difficulties in two well-defined academic skills: counting procedures tend to be evolutionarily more immature than those of their peers, and immature or atypical development of access or storage of numerical facts in memory seems to underlie this immature use. We conclude by suggesting stimulation of such skills to avoid increasing such difficulties.

Resumo em Português:

Este estudo é baseado nas informações obtidas no projeto "Values in Mathematics Teaching in Turkey and Germany [VMTG]" (Valores do ensino da Matemática na Turquia e Alemanha) feito nos últimos dois anos. O projeto VMTG compara professores de Matemática da Alemanha e da Turquia e os valores professados por seus alunos. O propósito do estudo é investigar o ponto de vista dos professores turcos e alemães sobre por que a Matemática é importante, e explorar os valores da Matemática que subsidiam suas opiniões. O estudo foi feito com professores de Matemática, sendo 9 turcos e 13 alemães. Mesmo sendo utilizadas várias formas de coleta de dados na pesquisa (ex.: observação de relatórios, questionátio de múltipla escolha e formulários de respostas abertas), apenas as informações obtidas em entrevistas semi estruturadas foram usadas como base de análise para este estudo. Os dados coletados foram submetidos a um constante método comparativo. Os resultados revelaram que duas grandes e distintas categorias surgiram: (1) o pensamento isolado e (2) o pensamento conectado. Ao final, seguem uma discussão, algumas recomendações e outras implicações educativas baseada nos resultados.

Resumo em Inglês:

This study was based on the data obtained from "Values in Mathematics Teaching in Turkey and Germany [VMTG]" project which lasted two years. The VMTG project compares German and Turkish mathematics teachers' and their students' values. The purpose of the study is to investigate Turkish and German mathematics teachers' views on why math is valuable, and explore the mathematical values behind their views. The study was undertaken with 9 Turkish and 13 German mathematics teachers. Even though several data collection instruments (i.e. observation sheets, Likert type (multiple choice) questionnaire, and questionnaire consisting of open-ended questions) were used in the project, only the data gathered from semi-structured interviews were the basis for the analysis of the study. Collected data were subjected to constant comparative method. Results revealed that two different major categories emerged: (1) isolated thinking and (2) connected thinking. Discussion, recommendation and further educational implications were provided at the end based on the data.

Resumo em Espanhol:

En este trabajo presentamos un estudio dirigido a evaluar los sesgos presentes en el razonamiento probabilístico condicional en futuros profesores de educación secundaria y bachillerato. Se analizan las respuestas a 7 ítems tomados del cuestionario RPC (razonamiento sobre probabilidad condicional) de 196 alumnos de matemáticas de último curso y alumnos del Máster de Secundaria en España, encontrando una alta incidencia en ambos grupos de la falacia del eje temporal, la condicional transpuesta, confusión entre probabilidad condicional y conjunta, falacia de las tasas base y concepciones incorrectas sobre la independencia. Se concluye la necesidad de una mejor formación de los futuros profesores, que evite que estos sesgos puedan transmitirse a sus estudiantes.

Resumo em Inglês:

In this paper we present a study aimed at assessing biases in conditional probability reasoning in prospective secondary school and high school mathematics teachers. We analyze responses to 7 items taken from the CPR (conditional probability reasoning) in a sample of 196 last year mathematics students and Máster students, finding a high incidence in both groups of the time axis fallacy, transposed conditional, confusion between conditional and compound probability, base rates fallacy, and incorrect conceptions of independence. We conclude that there is a need to prepare prospective teachers better to prevent them from transmitting these biases to their students.

Resumo em Português:

O artigo - um exame hermenêutico do livro Essais sur l'enseignement en général, et sur celui des mathématiques en particulier, de 1805, de Sylvestre-François Lacroix, enfatizando sua segunda parte, na qual o autor discute seu Curso de Matemática Elementar, uma série de manuais escolares elaborados para a Escola Central das Quatro Nações - tem sua fundamentação ligada à Hermenêutica de Profundidade de Thompson conjugada a procedimentos de investigação textual sugeridos por Genette quanto aos paratextos editoriais. Defende que o livro de Lacroix é uma obra auto-referencial, de cunho claramente autobiográfico, que responde mais aos ideais iluministas da França do Setecentos que às perspectivas do século XIX, quando a obra circulou, tendo sido reeditada por quatro vezes, sob Napoleão, na primeira metade do Oitocentos. Raramente focalizado em trabalhos de pesquisa, o livro - cujas edições estão disponíveis eletronicamente - tem uma única tradução, ainda inédita, para o português.

Resumo em Inglês:

The aim of this paper is to analyse the Essais sur l'enseignement en général, et sur celui des mathématiques en particulier, a book published in 1805 by Sylvestre-François Lacroix. In particular, the paper focuses the second part of this book: Lacroix´s remarks on his Cours de Mathématiques, a set of textbooks used in the École Centrale des Quatre-Nations. The article - an hermeneutical exam whose theoretical framework is based on the studies of Thompson (Depth Hermeneutics) and Genette (Editorial Paratexts) - points out that Lacroix´s book is clearly autobiographical and reflects more the values of the Englightenment of the 18th Century than the ideas that predominated in France under Napoleon, even considering that the book was edited and revised four times in the first half of the 19th Century. The book under consideration has never been deeply studied in Math Education literature, and although its four editions are available in digital format, there is only one translation to Portuguese, which is not yet available.

Resumo em Português:

Uma análise institucional é um estudo que se realiza em torno de elementos institucionais, a partir de inquietações levantadas pelo pesquisador. Essa análise é uma das práticas importantes nas pesquisas em Educação que visam estudar os fenômenos que emergem no processo ensino/aprendizagem. Assim, nos propomos, no presente artigo, apresentar uma análise institucional em torno dos projetos acadêmicos curriculares, os livros didáticos e os estudantes enquanto elementos institucionais, de uma instituição de ensino superior, considerando as integrais múltiplas como objeto de estudo. Mas, como se faz uma análise institucional e com que finalidades didáticas? Essas perguntas se constituem no fio condutor do presente artigo. As respostas correspondentes levaram-nos a concluir que uma análise institucional permite identificar as condições e exigências que determinam, numa instituição, as práticas institucionais em torno de objetos de estudo requeridos na formação de recursos humanos. Favorece a elaboração/organização de sequências didáticas que tenham por finalidade estudar as práticas efetivas de sujeitos da instituição em torno dos objetos de estudo propostos, contribuindo assim no desenvolvimento de pesquisas educacionais.

Resumo em Inglês:

An institutional analysis is a study that investigates institutional factors, based on concerns raised by the researcher. This analysis is one of the important practices in research education aimed at the study of phenomena that emerge in the learning/teaching process. In this article, we conduct an institutional analysis of projects related to the academic curriculum, textbooks and students as institutional elements of a higher education institution, considering multiple integrals as the object of study. But, how is an institutional analysis performed, and for what didactic purpose? These questions constitute the basic element of reflection in this article. The answers led us to conclude that an institutional analysis identifies the conditions and requirements that determine, in an institution, institutional practices related to objects of study required in the training of human resources. It encourages the development/organization of the didactic sequences aimed at studying the effective practices of people from the institution related to the objects of study proposed, thus contributing to the development of educational research.

Resumo em Português:

Este artigo apóia-se em resultados de pesquisa realizada com sujeitos de cinco universidades da cidade de São Paulo - Brasil, cujo objetivo foi investigar percepções de concluintes de Pedagogia quanto ao conhecimento matemático, didática, currículo e planejamento, bem como sobre a formação da identidade profissional docente. O referencial teórico foi construído a partir dos estudos de Shulman (1987), Ponte e Oliveira (2002), Schön (1995) e Tardif (2002). A investigação classifica-se como qualitativa, com análise interpretativa. Aplicaram-se questionários e entrevistas, visando alcançar os objetivos descritos. Observou-se que esses futuros professores não se percebem como conhecedores de conteúdos que devem lecionar, tais como: Operações com Frações, Geometria e Tratamento da Informação. Concluiu-se que, para que tais professores utilizem métodos, técnicas e materiais inovadores e para que haja um melhor desenvolvimento do conhecimento profissional faz-se necessário um equilíbrio da equação Teoria x Prática durante todo o curso de Pedagogia e, para isso, a parceria entre Universidade e Escola seria um caminho possível.

Resumo em Inglês:

This paper is based on results of research conducted with subjects from five universities in the city of Sao Paulo - Brazil, to investigate perceptions of prospective teachers related to mathematical knowledge of teaching, curriculum and planning, as well as the constitution of professional identity. The theoretical framework was constructed based on Shulman (1987), Ponte and Oliveira (2002), Schön (1995) and Tardif (2002). This research is classified as qualitative and the analysis was interpretative. The data consisted of questionnaires and interviews. It was observed that these future teachers do not perceive themselves as experts on specific topics that they are required to teach, such as: Operations with Fractions, Geometry, and Data Processing. It was concluded that, to encourage these future teachers to use methods, techniques and innovative materials and to promote better development of professional knowledge, it is necessary to balance the Theory x Practice equation throughout their university education, and that partnerships between universities and schools may be one way to achieve this.

Resumo em Espanhol:

El área temática del Proyecto de Investigación, parte del cual exponemos en este artículo, es Etnomatemáticas. El propósito de investigación es la caracterización y valoración del conocimiento socio-cultural, implícito en la práctica diaria. En el contexto geográfico de Argentina, investigamos la matemática implícita en artesanías de trenzados, elaborando para esto un método propio de análisis etnomatemático. El instrumento metodológico MOMET que se crea para este estudio interpretativo formal de artesanías de trenzado tiene en cuenta dos aspectos: el producto final de la labor artesanal analizado en su complejidad global y el proceso que se lleva a cabo para realizarlo. La herramienta metodológica elaborada está constituida por dos componentes: un Método de análisis etnográfico (MET) y un Modelo de análisis matemático (MOM). El conjunto de los dos nos proporciona el instrumento metodológico MOMET, que permite la Modelización Etnomatemática de las artesanías de trenzado.

Resumo em Inglês:

We present part of a research project from the field of Ethnomathematics. The purpose of the research is to characterize and assess the socio-cultural knowledge implicit in daily practice. The geographical context is Argentina. We investigated the mathematics implicit in braiding craftwork, producing a proper method for this ethnomathematical analysis. The methodological instrument, called MOMET, created for this "formal interpretative study" of braiding craftwork, focused on two aspects: the final product of the craftwork analysed in its overall complexity, and the process carried out to create it. The methodological tool developed consists of two components: an ethnographic analysis method (MET) and a mathematical analysis model (MOM). Together they compose the MOMET methodological tool, which enables Ethnomathematical modelling of braiding craftwork.

Resumo em Português:

Este estudo suporte às características de estágios participativa e antecipatória em abstração matemática en alunos do ensino secundário. Foram realizadas 71 entrevistas clínicas baseadas en tarefas com alunos do ensino secundário para obter evidênciaa construçao de diferentes concepções matemática (stagio Participativo) e como elesforam usados (stagio Anticipatoria). Podemos distinguir dois momentos na etapa participativa baseada na coordenação de informações de casos específicos através da reflexao sobre atividade e efeito que, em alguns casos, levar a uma mudança de foco que permite os alunos do ensino secundário obter uma reorganização de seus conhecimentos. Nós argumentamos que(a) a capacidade de perceber regularidades em conjuntos de casos particulares é uma característica de reflexao aobre atividade e efeito na abstração de conceitos matemáticos no ensino secundário, e (b) a coordenação da informação por parte dos alunos cria oportunidades para mudar a atenção foco a partir dos resultados particular para a estrutura das propriedades.

Resumo em Inglês:

This study provides support to the characteristics of participatory and anticipatory stages in secondary school pupils' abstraction of mathematical conceptions. We carried out clinical task-based interviews with 71 secondary-school pupils to obtain evidence of the different constructed mathematical conceptions (Participatory Stage) and how they were used (Anticipatory Stage). We distinguish two moments in the Participatory Stage based on the coordination of information from particular cases by activity-effect reflection which, in some cases, lead to a change of focus enabling secondary-school pupils to achieve a reorganization of their knowledge. We argue that (a) the capacity of perceiving regularities in sets of particular cases is a characteristic of activity-effect reflection in the abstraction of mathematical conceptions in secondary school, and (b) the coordination of information by pupils provides opportunities for changing the attention-focus from the particular results to the structure of properties.

Resumo em Português:

Este artigo relata parte de uma pesquisa que visou compreender que interações ocorrem na atividade de resolução de problemas capazes de desenvolver nos alunos, do 4.º ano do ensino básico, a capacidade de comunicar. Utilizou-se uma metodologia qualitativa-interpretativa. A recolha de dados fez-se através de entrevistas, observação de aulas de resolução de problemas, registos dos alunos e notas de campo. A atividade de resolução de problemas permitiu que os alunos desenvolvessem a aptidão para explicitar oralmente o raciocínio utilizado e para representarem por escrito as ideias matemáticas, criando oportunidades para comunicarem entre si e com a professora na aula. A natureza e qualidade das interações comunicativas ocorridas variaram com a abordagem da resolução de problemas na sala de aula, tendo sido decisivas tanto as interações verticais, como as horizontais para os alunos se envolverem na atividade, criarem um espírito investigativo e desenvolverem a capacidade de comunicar.

Resumo em Inglês:

This article reports partially a research whose main goal was to understand which classroom interactions occur in the problem solving activity that are able to develop in 4th grade's pupils the ability to communicate. It was used a qualitative-interpretative methodology. The data collection was made by interviews, problem solving classroom observations, pupils' records and field notes. Problem solving activity allowed that pupils developed the aptitude to explain orally their used reasoning and to represent by writing their mathematical ideas, creating opportunities to pupils communicate among them and with the classroom teacher. It was verified that the nature and the quality of communicative interactions varied with the way of approaching problem solving in classroom. The vertical interactions as well as the horizontal ones were decisive to the pupils' involvement into the activity, the creation of pupils' investigative spirit and the development of pupils' communication ability.

Resumo em Espanhol:

Este artículo es una propuesta para la enseñanza - aprendizaje de la factorización de polinomios cuadráticos, sustentado en los trabajos de Regine Douady sobre el juego de marcos de su teoría Dialéctica Herramienta Objeto, ella destaca el rol de la articulación de marcos matemáticos como un medio para acceder a "formulaciones diferentes de un problema que sin ser necesariamente equivalentes permiten un nuevo acercamiento a las dificultades encontradas y la puesta en escena de útiles y técnicas que no se impusieron en la primera formulación". Bajo esta perspectiva se construye un sistema axiomático, en un marco figural en el que se definen objetos primarios, y se establecen relaciones entre ellos que van dando paso a definiciones y teoremas de una teoría matemática en este marco, proponiendo reglas según las que se operaran los objetos y un juego que permite operacionalizar la factorización. Este marco se convierte en vehículo para comprender las difíciles relaciones de los objetos de la factorización en el álgebra. Esta forma de trabajo didáctico desarrolla habilidades cognitivas y metacognitivas en los estudiantes, quienes descubren y enuncian propiedades de la factorización, establecen las relaciones algebraicas entre los coeficientes del polinomio y los de los factores que factorizan la expresión, desarrollando una actividad matemática.

Resumo em Inglês:

This article is a proposal for the teaching and learning of factoring quadratic polynomials, based Regine Douady´s theoretical frameworks regarding the Tool-Object Dialectic. It highlights the role of combined mathematical frameworks as a means to access... "different formulations of a problem which, without necessarily being equivalent, allow a new approach to the difficulties encountered and the staging of tools and techniques that were not imposed in the first formulation." From this perspective, an axiomatic system is constructed in a figural context in which primary objects are defined, and relationships are established between them, leading to definitions and theorems of a mathematical theory within this framework. Rules are proposed for the operation of the primary objects and a game is described in which the factoring is operationalized using this framework. The game becomes the vehicle for understanding the difficult relations of the objects of factoring in the algebraic framework. This form of educational work develops cognitive and metacognitive skills in students who discover and describe the factorization properties, establish the algebraic relations between the coefficients of the polynomial and the factors that factored expression, developing a mathematical activity.

Resumo em Português:

O estudo aborda as mudanças nos conteúdos a serem ensinados nos primeiros anos da escola elementar. Em particular, considera o ensino de matemática. Atém-se, sobretudo, à emergência da Matemática Moderna no Brasil. De forma específica, analisa o conceito de número. Leva em consideração, como base teórico-metodológica, estudos vindos da História Cultural. Na análise realizada trata de movimentos pedagógicos anteriores ao que fica conhecido como Movimento da Matemática Moderna: o ensino tradicional, o ensino intuitivo e o escolanovismo. Em seguida, leva em conta a emergência, divulgação e apropriação de uma nova matemática escolar a partir de finais da primeira metade do século XX. O artigo orienta-se pela seguinte questão: que alterações o conceito de número sofre, na matemática escolar brasileira, em finais da década de 1950? Como resultado do estudo revela-se como se dá o processo de produção, de circulação e de apropriação de novos conteúdos elementares da matemática escolar para crianças.

Resumo em Inglês:

This study addresses content changes to be taught in the first years of elementary school. In particular, it considers the teaching of mathematics with a focus on the emergence of Modern Mathematics in Brazil. In a specific way, it examines the concept of number. It considers as a theoretical and methodological foundation studies originally from cultural history. The analysis considers the pedagogical movement prior to what is known as the Modern Mathematics Movement: traditional education, intuitive teaching and progressive era in education. It then takes into account the emergence, dissemination and appropriation of a new mathematics for schools in the [mid-20th Century / 1940s]. The article is guided by the following question: what changes does the concept of number undergo in the mathematics for schools in the late 1950s? As a result the study reveals how the production, distribution and appropriation of new mathematics content for children of elementary school took place.

Resumo em Espanhol:

El trabajo que se presenta forma parte de una investigación llevada a cabo con Estudiantes para Profesores (EPP) de la especialidad de Matemáticas y Física de la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Piura-Perú, con la finalidad de identificar sus Concepciones sobre las Matemáticas y su Enseñanza- Aprendizaje (ZAPATA; BLANCO, 2007) y (ZAPATA, 2009). En este trabajo presentamos las concepciones de los estudiantes en formación de la Especialidad de Matemáticas y Física de la Facultad de Educación de la Universidad de Piura (Perú) así como un estudio comparativo sobre tales concepciones a partir del cuestionario de Camacho, Hernández y Socas (1995) con poblaciones de España y Perú. El análisis realizado muestra similitudes y diferencias en las concepciones de ambos colectivos. Se concluye que, no existen diferencias importantes en sus concepciones a pesar de la distinta formación en ambos países, lo que nos induce a investigar más profundamente en la búsqueda de programas de actuación basados en elementos que consigan que los futuros profesores tengan una concepción de las matemáticas basadas en el re-descubrimiento de los conocimientos a partir de la resolución de problemas como eje vertebrador de la enseñanza. Asumimos que los formadores y tutores en los programas de formación de profesores de Matemáticas deben considerar los conocimientos y concepciones de sus estudiantes para orientarles en las actividades escolares y en las sesiones de enseñanza-aprendizaje como futuros profesores.

Resumo em Inglês:

The paper presented here is part of a research study carried out with trainee-teacher students who specialized in mathematics and physics at the Faculty of Educational Science at the University of Piura in Peru. The aim of the study is to identify their conceptions of mathematics and its teaching and learning (ZAPATA; BLANCO, 2007; ZAPATA, 2009)¹. This paper presents the conceptions of students of mathematics and physics in the Faculty of Education at the University of Piura (Peru), as well as a comparative study on such conceptions using the questionnaire by Camacho, Hernández and Socas (1995) on population groups in Spain and Peru. It is concluded that are that there are no important differences in their conceptions in spite of the different training programs in both countries, which means that it is necessary to investigate more in the search for programs based on elements that enable future teachers to have a conception of mathematics based on rediscovering knowledge using problem solving as the backbone of the teaching. It has been assumed here that the teacher trainers and tutors in the mathematics teacher training programmes must take the trainee-teacher's knowledge and conceptions into account to orientate them, as future teachers, in school activities and in teacher training sessions.