This study analyzes the responses given by 332 8th grade Portuguese students to two questions, one with data set defined by a frequency table and the other defined by a bar graph. The goal is the evaluation of the effect of the data representation on the calculation of the median. Using a combined methodology, a frequency analysis of students' response types and a semiotic analysis of responses, based on onto-semiotic approach of knowledge and mathematics education, were applied. The semiotic analysis' main goal was the identification of objects and mathematical processes, which can characterize semiotic conflicts implied from the student responses. Generally, students revealed greater tendency to not respond to the graphic determination of the median, however, those who do answer, tend to obtain the median with less difficulty in a graphic context. Semiotic conflicts seem not to depend on the presentation of the data set, although there are more answers that are incorrect in the tabular context than in the graphic context.
Keywords: Mathematics teaching; Median; Data representation; Basic education
Authorship
Maria José Carvalho
Universidade de Aveiro, Departamento de Educação e Psicologia, Aveiro, Portugal. E-mail: <maria.carvalho@ua.pt>.Universidade de AveiroPortugalAveiro, PortugalUniversidade de Aveiro, Departamento de Educação e Psicologia, Aveiro, Portugal. E-mail: <maria.carvalho@ua.pt>.
Universidade do Minho, Instituto de Educação, Braga, Portugal. Universidade do MinhoPortugalBraga, PortugalUniversidade do Minho, Instituto de Educação, Braga, Portugal.
Universidade de Aveiro, Departamento de Matemática, Aveiro, Portugal. Universidade de AveiroPortugalAveiro, PortugalUniversidade de Aveiro, Departamento de Matemática, Aveiro, Portugal.
Contato: Universidade de Aveiro, Departamento de Educação e Psicologia, Aveiro, 3810-193, Portugal.
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Tabela 2
Frequências absolutas (percentagens) das categorias de respostas corretas em cada uma das questões 1e 2 e em ambas as questões simultaneamente
Tabela 3
Frequências absolutas (percentagens) das categorias de conflitos semióticos identificados em cada uma das questões 1e 2 e em ambas as questões simultaneamente, e valor de prova (p) dos z-testes de comparação de proporções de cada tipo de conflito entre as questões 1 e 2
Quadro 5
Análise semiótica de exemplos dos conflitos C'5, C'6 e C'7, nas questões 1 e 2
Quadro 1
Enunciado das duas questões propostas aos alunos
1. A tabela seguinte apresenta a distribuição das idades dos alunos de uma turma do 8.º ano:
Qual a mediana das idades dos alunos da turma? Justifica.
2. No gráfico seguinte está representada a distribuição do número de livros lidos durante as férias pelos alunos de uma turma.
Qual a mediana do número de livros lidos pelos alunos nas férias? Justifica.
Tabela 1
Frequências absolutas (percentagens) dos tipos de respostas nas questões 1 e 2
Questão 1
Questão 2
C
PC
I
NR
Total
C
20 (6,0)
8 (2,4)
0 (0,0)
6 (1,8)
34 (10,2)
PC
13 (3,9)
12 (3,6)
5 (1,5)
6 (1,8)
36 (10,8)
I
6 (1,8)
41 (12,3)
44 (13,3)
42 (12,7)
133 (40,1)
NR
1 (0,3)
18 (5,5)
6 (1,8)
104 (31,3)
129 (38,9)
Total
40 (12,0)
79 (23,8)
55 (16,6)
158 (47,6)
332
Tabela 2
Frequências absolutas (percentagens) das categorias de respostas corretas em cada uma das questões 1e 2 e em ambas as questões simultaneamente
Categorias
Questão 1
Questão 2
Questões 1 e 2
n=34
n=40
n=20
C1. Aplicar o algoritmo no cálculo da mediana, com evidência da ordenação dos dados.
31 (91)
39 (98)
20 (100)
C2. Aplicar o algoritmo no cálculo da mediana, sem evidência da ordenação dos dados, mas com justificação adequada.
3 (9)
1 (2)
0 (0)
Quadro 2
Análise semiótica de exemplos de categorias C1 e C2 nas questões 1 e 2
Expressão
Conteúdo
Categoria C1
Questão 1. Resolução do aluno A251 (versão tabelar):
Questão 2. Resolução do aluno A233 (versão tabelar)
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2
R: A mediana do número de livros lidos é 1.
- Os alunos leem os enunciados (processo de interpretação) e identificam corretamente o(s) valor(es) pretendido(s) (particularização do problema). Os alunos identificam corretamente a questão como sendo uma questão sobre a mediana (reconhecer um campo de problemas). Reconhecem a necessidade de ordenar os dados (aplicar a definição e propriedades) para obter a mediana; - No caso do aluno A251, ele identifica os valores centrais (particularização adequada de um conceito para o caso par) e determina a sua média aritmética (discriminação adequada da definição); - No caso do aluno A233, ele identifica o valor central (particularização adequada de um conceito para o caso ímpar); - Ambos revelam reconhecer que a mediana é apenas um valor central (aplicação adequada da definição).
Categoria C2
Questão 1. Resolução do aluno A61 (versão tabelar):
R: A mediana das idades é 14,5. Questão 2. Resolução do aluno A13 (versão gráfica): A mediana é 1, pois há tantos dados antes de si como depois de si (14 para cada lado).
Questão 2. Resolução do aluno A294 (versão gráfica): Dado que são 5 alunos com 0 livros lidos, 14 alunos com 1 livro lido, num total de 25 alunos, metade destes ficam nos alunos com 1 livro lido. R: A mediana do número de livros lidos é 1.
- Os alunos leem os enunciados (processo de interpretação) e identificam corretamente o(s) valor(es) pretendido(s) (particularização do problema). Os alunos identificam corretamente a questão como sendo uma situação-problema sobre a mediana (reconhecer um campo de problemas). Nenhum aluno reconheceu a necessidade de exibir todos os dados ordenados (aplicar a definição) para determinar a mediana; - No caso do aluno A61, ele identifica os valores centrais (particularização adequada de um conceito para o caso par) e determina a sua média aritmética (discriminação adequada da definição); - No caso dos alunos A13 e A294, eles identificam o valor central (particularização adequada de um conceito para o caso ímpar), analisam o gráfico de barras e justificam tendo em conta as frequências absolutas (interpretação adequada do gráfico).
Tabela 3
Frequências absolutas (percentagens) das categorias de conflitos semióticos identificados em cada uma das questões 1e 2 e em ambas as questões simultaneamente, e valor de prova (p) dos z-testes de comparação de proporções de cada tipo de conflito entre as questões 1 e 2
Categorias (conflitos semióticos)
Questão 1
Questão 2
Valor de prova (p)
Questões 1 e 2 n=102
n=169
n=134
C'1. Iniciar a aplicação do algoritmo do cálculo da mediana no conjunto de dados, sem concluir.
30 (18)
4 (3)
0,000
2 (2)
C'2. Aplicar o algoritmo do cálculo da mediana, mas sem identificar corretamente o conjunto de dados.
14 (8)
23 (17)
0,019
1 (1)
C'3. Identificar corretamente o conjunto de dados e aplicar incorretamente o algoritmo do cálculo da mediana.
7 (4)
9 (7)
0,320
1 (1)
C'4. Identificar incorretamente o conjunto de dados e aplicar incorretamente o algoritmo do cálculo da mediana.
5 (3)
3 (2)
0,698
0 (0)
C'5. Determinar outra medida estatística que não a mediana.
27 (16)
31 (23)
0,116
19 (19)
C'6. Identificar o número total de dados com a mediana.
23 (14)
3 (2)
0,000
0 (0)
C'7. Identificar o valor da mediana com o valor catorze.
38 (22)
3 (2)
0,000
0 (0)
C'8. Outras respostas.
25 (15)
58 (44)
0,000
3 (3)
Quadro 3
Análise semiótica de exemplos dos conflitos C'1 e C'2, nas questões 1 e 2
Expressão
Conteúdo
Conflito C'1
Questão 1. Resolução do aluno A15 (versão tabelar): 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16 R: A mediana das idades é 14 e 15.
Questão 2. Resolução do aluno A267 (versão gráfica):
- Os alunos leem os enunciados (processo de interpretação) e identificam corretamente os valores centrais (particularização do problema). Os alunos identificam corretamente a questão como sendo uma situação-problema decálculo da mediana (reconhecer um campo de problemas). Reconhecem a necessidade de ordenar os dados (aplicar a definição e propriedades) para a determinação da mediana e a necessidade de identificar os valores centrais (propriedade); - No caso do aluno A15, o conflito surge por ele não determinar a média aritmética dos valores centrais da amostra (particularização inadequada de um conceito) e por não reconhecer que a mediana é apenas um valor central (discriminação inadequada da definição); - No caso do aluno A267, o conflito surge por ele não atender ao número ímpar de dados (discriminação inadequada do conceito) e à mediana depender desse número ser par ou ímpar (expressão e particularização de conceitos); - Ambos os alunos não revelam conhecer que a mediana é um só valor central (aplicação inadequada da definição).
Conflito C'2
Questão 1. Resolução do aluno A209 (versão tabelar):
A mediana é 14,5 13 14 15 16
Questão 1. Resolução do aluno A73 (versão tabelar):
4, 5, 5, 6, 13, 14, 15, 16 6 + 13 ÷ 2 = 12,5
Questão 2. Resolução do aluno A198 (versão gráfica):
- Todos os alunos leem o enunciado (processo de interpretação), identificam corretamente o problema de cálculo da mediana (reconhecer um campo de problemas), consideram necessário ordenar os dados (propriedade) para determinar a mediana (definição) e identificam os dois valores centrais no caso par (particularização do problema); - Os alunos A209 e A73 reconhecem a necessidade de determinar a média aritmética dos dois valores centrais (propriedade) e determinam-na (expressão e particularização de conceitos); - O conflito do aluno A209 surge quando não considera as frequências absolutas dos valores da variável (particularizar um conceito). O conflito do aluno A73 surge quando não distingue o valor da variável e a frequência da variável, utilizando indiscriminadamente todos os valores que surgem na tabela de frequências, ordenando-os (definição de mediana) e determinando os valores centrais da mediana desse conjunto de dados (particularizar um conceito). Um outro conflito deste aluno surge quando determina a média aritmética dos valores centrais (propriedade), ao não respeitar a prioridade das regras operatórias (procedimento); - Os alunos A198 e A270 aplicam corretamente o algoritmo do cálculo da mediana (aplicar a definição de mediana ao caso ímpar); - O conflito do aluno A198 surge quando o aluno não considera a frequência absoluta de cada um dos valores da variável (particularização de um conceito). No caso do aluno A270 o conflito surge quando considera os valores do eixo vertical do gráfico de barras em vez dos valores do eixo horizontal para a variável em estudo (confusão entre conceitos), aplicando o algoritmo do cálculo da mediana corretamente (processo de algoritmização).
Quadro 4
Análise semiótica de exemplos dos conflitos C'3 e C'4, nas questões 1 e 2
- Os alunos leem o enunciado (processo de interpretação) e ordenam (propriedade) os dados para determinar a mediana (aplicam a definição e reconhecem um campo de problemas), constatando a necessidade de identificar o valor central (propriedade); - No caso do aluno A194, o conflito surge quando ele aplica incorretamente o algoritmo de cálculo da mediana (algoritmo), já que aplica o algoritmo para o caso ímpar (identificação inadequada de propriedades); - No caso do aluno A161, o conflito surge ao ordenar os valores da variável, pois ignora o valor "0" (inadequada particularização de um conceito), obtendo um conjunto de dados par, ao qual aplica corretamente a noção de mediana (aplica a definição de mediana ao caso par).
Conflito C'4
Questão1. Resolução do aluno A166 (versão tabelar):
Questão 2. Resolução do aluno A96 (versão gráfica):
5, 14, 6
- Os alunos leem o enunciado (processo de interpretação), ordenam (propriedade) os dados para determinar a mediana (aplicar a definição e reconhecer um campo de problemas), reconhecendo a necessidade de identificar o valor central (propriedade); - O aluno A166, ao aplicar o algoritmo da mediana (aplicar a definição), exibe o primeiro conflito, já que utiliza os valores das frequências absolutas e não os valores da variável (particularização inadequada de um conceito); o segundo conflito emerge no cálculo esperado da média aritmética dos dois valores centrais (aplicação inadequada do algoritmo) pois para esse cálculo não considera no numerador a adição dos dois valores centrais e no denominador considera o número total de dados (inadequada particularização de conceitos), obtendo um valor incorreto para a mediana dos dados considerados; o terceiro conflito emerge do resultado obtido, pois o aluno revela desconhecer que o valor da mediana deve situar-se entre os valores centrais (propriedade inadequada de conceitos); - O primeiro conflito revelado pelo aluno A96 surge ao considerar o conjunto de frequências absolutas como valores da variável em estudo (particularização inadequada de um conceito) na aplicação do algoritmo de determinação da mediana e emerge ainda um outro conflito ao considerar metade do valor central (aplicação inadequada do algoritmo).
Quadro 5
Análise semiótica de exemplos dos conflitos C'5, C'6 e C'7, nas questões 1 e 2
Expressão
Conteúdo
Conflito C'5
Questão 1. Resolução do aluno A256 (versão tabelar):
Questão 1. Resolução do aluno A135 (versão tabelar):
16 pois é o valor mais alto
Questão 2. Resolução do aluno A28 (versão gráfica):
A mediana é 1
Questão 2. Resolução do aluno A171 (versão gráfica):
A mediana do número de livros lidos pelos alunos nas férias é 0, porque é o menor número de livros lidos.
Questão 2. Resolução do aluno A272 (versão gráfica):
2+4+6+8+10+12+14+16 = = 72 ÷ 8 =9
- Os alunos leem o enunciado (processo de interpretação), mas não identificam a mediana como a medida de localização central referida no problema (reconhecimento incorreto do campo de problemas); - O aluno A256 apresenta um conflito na sua resolução ao determinar a média em vez da mediana (confusão entre conceitos). Outro conflito emerge ao aplicar incorretamente o algoritmo de cálculo da média (algoritmo), já que divide o valor da soma dos valores da variável pelo número de valores distintos e não pelo número total de alunos (aplicação inadequada de conceito); - O aluno A135 revela um conflito quando indica o valor do máximo do conjunto de dados (particularização incorreta ao problema) em vez de determinar a mediana (confusão entre conceitos); - No caso do aluno A28 o seu primeiro conflito surge quando identifica dois valores, 14 e 12 (produto entre a frequência absoluta e o valor da variável para os valores 1 e 2 da variável) (particulariza ao problema de determinação da média) em vez de determinar a mediana (confusão entre conceitos). Reconhece que o zero é o elemento neutro da adição (propriedade), apesar de não o expressar. Outro conflito emerge da indicação do número total de alunos da turma, já que é 25 e não 26, embora expresse o cálculo da média (algoritmo) em notação adequada (linguagem). Por fim, indica o valor da mediana que, apesar de ser correto, foi determinado de forma incorreta (particularização inadequada de um conceito); - O aluno A171 indica para a mediana o mínimo do conjunto de dados (confusão entre conceitos), originando o primeiro conflito; outro conflito surge da justificação apresentada (aplicação inadequada da definição); - O aluno A272 apresenta um primeiro conflito ao considerar a média e não a mediana (confusão entre conceitos), aplicando incorretamente o algoritmo do cálculo da média (algoritmo); outro conflito emerge ao adicionar os valores do eixo vertical do gráfico de barras como sendo o conjunto de dados correto (confusão entre conceitos e inadequada particularização de um conceito) e assume incorretamente que o "0" não influencia o valor da média (aplicação de propriedade), ao não o incluir.
Conflito C'6
Questão 1. Resolução do aluno A218 (versão tabelar): A mediana é 20
Questão 2. Resolução do aluno A223 (versão gráfica): A mediana é 5 + 14 + 6 = 25
- Os alunos leem o enunciado (processo de interpretação), mas não identificam o problema como sendo sobre o cálculo da mediana (reconhecimento incorreto do campo de problemas); - O conflito dos alunos A218 e A223 surge ao considerarem a mediana como sendo o número total de alunos (particularização inadequada de um conceito). Um outro conflito emerge de os alunos não considerarem que a mediana é um valor compreendido entre os valores mínimo e máximo da variável (aplicação de propriedade).
Conflito C'7
Questão 1. Resolução do aluno A30 (versão tabelar): A mediana é 14
Questão 2. Resolução do aluno A35 (versão gráfica): A mediana é 14
- Os alunos leem o enunciado (processo de interpretação), mas não identificam o problema como sendo sobre o cálculo de mediana (reconhecimento incorreto do campo de problemas); - O conflito do aluno A30 surge ao considerar a mediana como sendo o primeiro valor central (particularização inadequada de um conceito); - O conflito do aluno A35 surge ao considerar a mediana como sendo a frequência absoluta do valor da mediana (particularização inadequada de um conceito). Um outro conflito emerge de o aluno não considerar que a mediana é um valor compreendido entre os valores mínimo e máximo da variável (aplicação de propriedade).
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