Analysis of risk metrics in share portfolio optimization

Araújo, Alcides Carlos de; Montini, Alessandra de Ávila

doi:10.5700/rausp1195

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Revista de Administração (São Paulo)

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Sumário

FINANÇAS & CONTABILIDADE • Rev. Adm. (São Paulo) 50 (2) • Apr-Jun 2015 • https://doi.org/10.5700/rausp1195 copy

Analysis of risk metrics in share portfolio optimization

Authorship SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

ABSTRACT

Markowitz and Sharpe’s studies formed the basis of the so-called Modern Portfolio Theory. Over the years, their papers were reviewed and alternative measures for portfolios optimization were presented. In view of this fact, there is a need to evaluate what are the differences between these measures. According to Roman and Mitra, this problem constitutes a new phase of studies, called Post-Modern Portfolio Theory. The purpose of this article is to compare the optimization models using risk measures such as standard deviation (SD), lower partial moment (LPM) and conditional value at risk (CVaR) to study their different forms of allocations in portfolios comprised of stocks traded on the BM&FBovespa. The article is divided into two stages: the first begun with the selection of risk measures and the definition of the analysis period; in the second stage, there was the division of assets according to the shape of the probability distribution of returns, with a group of stocks with returns normally distributed and another group of stocks with returns without normal distribution. As for risk measures, tests showed similar characteristics between models; as for the returns, the models that minimized LPM and CVaR showed superior results compared to the SD. Such results are relevant because they oppose the studies according to which there are no significant differences between the models.

Keywords:
portfolio theory; downside risk; value-at-risk

Medida de Risco	Dominância Estocástica de Primeira Ordem	Dominância Estocástica de Segunda Ordem	Coerência
Desvio padrão	Não	Não	Sim^* * Coerentes, ao supor-se distribuição normal.
Desvio médio absoluto	Não	Não	Sim^* * Coerentes, ao supor-se distribuição normal.
LPM	Sim	Sim	Não
VaR	Sim	Não	Não
CVaR	Sim	Sim	Sim

Autor	Amostra	Períodos	Comparações	Análises	Resultados
Rom e Fergusom (1994)Rom, B. M., & Ferguson, K. W. (1994, Fall). Post-modern portfolio theory comes of age. Journal of Investing, 3(3), 11-17. DOI: 10.3905/joi.3.3.11 https://doi.org/10.3905/joi.3.3.11...	Cinco ativos – large capitalization, small- -capitalization, non-US, bonds e cash	Jan. 1978 -Dez. 1992	DPxLPM	Índice Sharpe, Índice Sortino e Fronteira eficiente	LPM maiores retornos
Grootveld e Hallerbach (1999)Grootveld, H., & Hallerbach, W. (1999). Variance vs downside risk: is there really that much difference? European Journal of Operational Research, 114(2), 304-319. DOI: 10.1016/S0377-2217(98)00258-6 https://doi.org/10.1016/S0377-2217(98)00...	Três ativos US industry e três US bond	Jan. 1980 -Dez. 1994	DPxLPM	Análise da assimetria dos ativos, análise das fronteiras eficientes	LPM maiores retornos
Nawrocki e Cumova (2010)Nawrocki, D., & Cumova, D. (2010). A symmetric LPM model for heuristic mean-semivariance analysis. Journal of Economics Business, 63(3), 217-236. DOI: 10.1016/j.jeconbus.2011.01.004 https://doi.org/10.1016/j.jeconbus.2011....	150 ativos selecionados aleatoriamente do banco de dados da Center of Research in Security Prices (CRSP)	Jan. 2001 -Dez. 2009	DPxLPM	Fronteira eficiente e test t	LPM maiores retornos
Andrade (2006)Andrade, F. W. M. (2006, abril/junho). Alocação de ativos no mercado acionário brasileiro segundo o conceito de downside risk. Revista de Gestão USP, 13(2), 27-36.	24 ações negociadas na Bovespa	Jan. 1995 -Mar. 2001	DPxLPM	Fronteira eficiente e test z	LPM maiores retornos ex post
Estrada (2008)Estrada, J. (2008, Spring-Summer). Mean-semivariance optimization: A heuristic approach. Journal of Applied Finance, 18(1), 57-72. DOI: 10.2139/ssrn.1028206 https://doi.org/10.2139/ssrn.1028206...	Cinco classes de ativos - US, EAFE, Emerging Markets, US bonds, US real state	Jan. 1998 -Dez. 2006	DPxLPM	Fronteira eficiente	Não há retornos diferentes
Brito Neto e Volkmer (2001)Brito Neto, C. T., & Volkmer, J. F. (2001). As carteiras de investimento e a semivariância. Anais do Encontro Nacional de Engenharia de Produção – Enegep, 21, Salvador, BA, Brasil.	Dois ativos - dólar e Ibovespa	Nov. 2000 -Mar. 2001	DPxLPM	Teste qui- -quadrado, teste de Wilcoxon	Não há retornos diferentes
Jarrow e Zhao (2006)Jarrow, R., & Zhao, F. (2006, April). Downside loss aversion and portfolio management. Management Science, 52(4), 558-566. DOI: 10.1287/mnsc.1050.0486 https://doi.org/10.1287/mnsc.1050.0486...	Simularam carteiras formadas somente por ativos de renda variável e outras carteiras formadas somente por ativos de renda fixa	Simulações diárias para horizonte de um ano	DPxLPM	Simulação	Não há retornos diferentes
Rockafellar e Uryasev (2000)Rockafellar, R. T., & Uryasev, S. (2000). Optimization of conditional value-at-risk. Journal of Risk, 2(3), 21-41.	Três ativos - S&P500, US bonds e small caps	Simulações de amostras de tamanho 1000, 3000, 5000, 10000 e 20000	DP x CVaR	Simulação	Não há retornos diferentes
Bertsimas et al. (2004)Bertsimas, D., Lauprete, G., & Samarov, A. (2004). Shortfall as a risk measure: properties, optimization and applications. Journal of Economic Dynamics & Control, 28(7), 1353-1381. DOI: 10.1016/S0165-1889(03)00109-X https://doi.org/10.1016/S0165-1889(03)00...	96 ativos com dados mensais	Jan. 1996 -Dez. 1999	DP x CVaR	Simulações de fronteiras eficientes	Não há diferenças (distribuição simétrica), CVaR maiores retornos (distribuição assimétrica)
Konno et al (2002)Konno, H., Waki, H., & Yuuki, A. (2002). Portfolio optimization under lower partial risk measures. Asia-Pacific Financial Markets, 9(2), 127-140.	1.100 ações da Tokyo Stock Exchange com dados mensais e diários	Jan. 1995 -Dez. 1999	DPxLPMx CVaR	Simulações de fronteiras eficientes	Não há diferenças (DP x LPM/CVaR), não há diferenças (LPM x CVaR)

Combinações	Modelo de Otimização	Distribuição das Ações na Carteira	Medidas de Risco
1	M.1	Normal	Desvio padrão
2	M.1	Normal	LPM
3	M.1	Normal	CVaR
4	M.2	Normal	Desvio padrão
5	M.2	Normal	LPM
6	M.2	Normal	CVaR
7	M.3	Normal	Desvio padrão
8	M.3	Normal	LPM
9	M.3	Normal	CVaR
10	M.1	Não Normal	Desvio padrão
11	M.1	Não Normal	LPM
12	M.1	Não Normal	CVaR
13	M.2	Não Normal	Desvio padrão
14	M.2	Não Normal	LPM
15	M.2	Não Normal	CVaR
16	M.3	Não Normal	Desvio padrão
17	M.3	Não Normal	LPM
18	M.3	Não Normal	CVaR

Distribuição			Normal				Não Normal
Ano	Semestre	Modelos	n	Teste F	Mediana	Teste 1 ( p)¹ 1 Teste t para amostras relacionadas.	n	Mediana	Teste 2 ( p)² 2 Teste de Wilcoxon para amostras relacionadas. Resultados baseados em 1.000 reamostragens.
2006	1	M.1	22	F = 0,603	-0,025%	0,001	20	0,114%	0,000
2006	1	M.2	22	p = 0,422	0,054%	0,001	20	0,135%	0,000
2006	2	M.1	23	F = 0,609	0,172%	0,001	21	0,175%	0,000
2006	2	M.2	23	p = 0,457	0,242%	0,001	21	0,184%	0,000
2007	1	M.1	20	F = 0,639	0,164%	0,001	28	0,161%	0,000
2007	1	M.2	20	p = 0,619	0,215%	0,001	28	0,254%	0,000
2007	2	M.1	30	F = 0,619	0,024%	0,001	18	-0,018%	0,000
2007	2	M.2	30	p = 0,516	0,230%	0,001	18	0,020%	0,000
2008	1	M.1	15	F = 0,644	-0,163%	0,001	33	0,052%	0,000
2008	1	M.2	15	p = 0,658	-0,056%	0,001	33	0,081%	0,000
2008	2	M.1	3^* * Amostra insuficiente para análises.				45	-0,119%	0,000
2008	2	M.2	3				45	-0,108%	0,000
2009	1	M.1	22	F = 0,670	0,161%	0,001	26	0,299%	0,000
2009	1	M.2	22	p = 0,816	0,167%	0,001	26	0,321%	0,000
2009	2	M.1	18	F = 0,643	0,188%	0,001	30	0,235%	0,000
2009	2	M.2	18	p = 0,641	0,218%	0,001	30	0,327%	0,000
2010	1	M.1	27	F = 0,607	0,014%	0,001	21	0,047%	0,000
2010	1	M.2	27	p = 0,457	0,077%	0,001	21	0,077%	0,000
2010	2	M.1	25	F = 0,651	0,207%	0,001	23	0,136%	0,000
2010	2	M.2	25	p = 0,679	0,239%	0,001	23	0,158%	0,000
2011	1	M.1	31	F = 0,618	0,044%	0,001	17	0,075%	0,000
2011	1	M.2	31	p = 0,506	0,084%	0,001	17	0,120%	0,000
2011	2	M.1	15	F = 0,637	0,071%	0,001	33	0,110%	0,000
2011	2	M.2	15	p = 0,591	0,118%	0,001	33	0,114%	0,000
2012	1	M.1	24	F = 0,610	0,043%	0,001	24	0,105%	0,000
2012	1	M.2	24	p = 0,470	0,093%	0,001	24	0,199%	0,000
2012	2	M.1	21	F = 0,563	0,089%	0,001	27	0,131%	0,000
2012	2	M.2	21	p = 0,254	0,199%	0,001	27	0,193%	0,000
2013	1	M.1	17	F = 0,675	-0,027%	0,002	31	-0,024%	0,000
2013	1	M.2	17	p = 0,848	-0,017%	0,002	31	0,060%	0,000
2013	2	M.1	19	F = 0,667	0,041%	0,001	29	0,094%	0,000
2013	2	M.2	19	p = 0,773	0,067%	0,001	29	0,181%	0,000

Distribuição			Normal				Não Normal
Ano	Semestre	Modelos	n	Teste F	Mediana	Teste 1 ( P)¹ 1 Teste t para amostras relacionadas.	n	Mediana	Teste 2 (P)² 2 Teste de Wilcoxon para amostras relacionadas. Resultados baseados em 1.000 reamostragens.
2006	1	M.1	22	F = 0,576	-0,025%	0,001	20	0,114%	0,013
2006	1	M.3	22	p = 0,313	0,039%	0,001	20	0,142%	0,013
2006	2	M.1	23	F = 0,615	0,172%	0,005	21	0,175%	0,001
2006	2	M.3	23	p = 0,501	0,192%	0,005	21	0,200%	0,001
2007	1	M.1	20	F = 0,588	0,164%	0,05	28	0,161%	0,000
2007	1	M.3	20	p = 0,365	0,202%	0,05	28	0,202%	0,000
2007	2	M.1	30	F = 0,595	0,024%	0,001	18	-0,018%	0,354
2007	2	M.3	30	p = 0,403	0,187%	0,001	18	0,000%	0,354
2008	1	M.1	15	F = 0,658	-0,163%	0,003	33	0,052%	0,004
2008	1	M.3	15	p = 0,745	-0,085%	0,003	33	0,023%	0,004
2008	2	M.1	3^* * Amostra insuficiente para análises.				45	-0,119%	0,000
2008	2	M.3	3				45	-0,076%	0,000
2009	1	M.1	22	F = 0,643	0,161%	0,001	26	0,299%	0,000
2009	1	M.3	22	p = 0,652	0,181%	0,001	26	0,301%	0,000
2009	2	M.1	18	F = 0,566	0,188%	0,002	30	0,235%	0,001
2009	2	M.3	18	p = 0,325	0,261%	0,002	30	0,349%	0,001
2010	1	M.1	27	F = 0,608	0,014%	0,001	21	0,047%	0,380
2010	1	M.3	27	p = 0,471	0,063%	0,001	21	0,057%	0,380
2010	2	M.1	25	F = 0,625	0,207%	0,001	23	0,136%	0,001
2010	2	M.3	25	p = 0,523	0,210%	0,001	23	0,146%	0,001
2011	1	M.1	31	F = 0,630	0,044%	0,001	17	0,075%	0,016
2011	1	M.3	31	p = 0,573	0,063%	0,001	17	0,103%	0,016
2011	2	M.1	15	F = 0,598	0,071%	0,612	33	0,110%	0,000
2011	2	M.3	15	p = 0,416	0,090%	0,612	33	0,077%	0,000
2012	1	M.1	24	F = 0,603	0,043%	0,001	24	0,105%	0,000
2012	1	M.3	24	p = 0,455	0,070%	0,001	24	0,163%	0,000
2012	2	M.1	21	F = 0,586	0,089%	0,005	27	0,131%	0,000
2012	2	M.3	21	p = 0,396	0,132%	0,005	27	0,178%	0,000
2013	1	M.1	17	F = 0,648	-0,027%	0,171	31	-0,024%	0,000
2013	1	M.3	17	p = 0,687	-0,025%	0,171	31	0,016%	0,000
2013	2	M.1	19	F = 0,597	0,041%	0,001	29	0,094%	0,000
2013	2	M.3	19	p = 0,391	0,106%	0,001	29	0,177%	0,000

Distribuição			Normal				Não Normal
Ano	Semestre	Modelos	n	Teste F	Mediana	Teste 1 (P)¹ 1 Teste t para amostras relacionadas.	n	Mediana	Teste 2 (P)² 2 Teste de Wilcoxon para amostras relacionadas. Resultados baseados em 1.000 reamostragens.
2006	1	M.2	22	F = 0,668	0,054%	0,580	20	0,135%	0,645
2006	1	M.3	22	p = 0,741	0,039%	0,580	20	0,142%	0,645
2006	2	M.2	23	F = 0,707	0,242%	0,001	21	0,184%	0,175
2006	2	M.3	23	p = 0,841	0,192%	0,001	21	0,200%	0,175
2007	1	M.2	20	F = 0,643	0,215%	0,015	28	0,254%	0,045
2007	1	M.3	20	p = 0,652	0,202%	0,015	28	0,202%	0,045
2007	2	M.2	30	F = 0,672	0,230%	0,001	18	0,020%	0,009
2007	2	M.3	30	p = 0,691	0,187%	0,001	18	0,000%	0,009
2008	1	M.2	15	F = 0,714	-0,056%	0,001	33	0,081%	0,000
2008	1	M.3	15	p = 0,885	-0,085%	0,001	33	0,023%	0,000
2008	2	M.2	3^* * Amostra insuficiente para análises.				45	-0,108%	0,000
2008	2	M.3	3				45	-0,076%	0,000
2009	1	M.2	22	F = 0,671	0,167%	0,068	26	0,321%	0,004
2009	1	M.3	22	p = 0,823	0,181%	0,068	26	0,301%	0,004
2009	2	M.2	18	F = 0,615	0,218%	0,371	30	0,327%	0,234
2009	2	M.3	18	p = 0,492	0,261%	0,371	30	0,349%	0,234
2010	1	M.2	27	F = 0,702	0,077%	0,002	21	0,077%	0,000
2010	1	M.3	27	p = 0,710	0,063%	0,002	21	0,057%	0,000
2010	2	M.2	25	F = 0,674	0,239%	0,001	23	0,158%	0,000
2010	2	M.3	25	p = 0,807	0,210%	0,001	23	0,146%	0,000
2011	1	M.2	31	F = 0,714	0,084%	0,001	17	0,120%	0,002
2011	1	M.3	31	p = 0,793	0,063%	0,001	17	0,103%	0,002
2011	2	M.2	15	F = 0,661	0,118%	0,098	33	0,114%	0,000
2011	2	M.3	15	p = 0,757	0,090%	0,098	33	0,077%	0,000
2012	1	M.2	24	F = 0,692	0,093%	0,001	24	0,199%	0,000
2012	1	M.3	24	p = 0,795	0,070%	0,001	24	0,163%	0,000
2012	2	M.2	21	F = 0,727	0,199%	0,001	27	0,193%	0,316
2012	2	M.3	21	p = 0,715	0,132%	0,001	27	0,178%	0,316
2013	1	M.2	17	F = 0,670	-0,017%	0,019	31	0,060%	0,000
2013	1	M.3	17	p = 0,817	-0,025%	0,019	31	0,016%	0,000
2013	2	M.2	19	F = 0,629	0,067%	0,001	29	0,181%	0,057
2013	2	M.3	19	p = 0,563	0,106%	0,001	29	0,177%	0,057

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E-mail: rausp@usp.br

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[1] Alcides Carlos de Araújo, Mestre em Administração pela Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade da Universidade de São Paulo, é Doutorando em Administração no Departamento de Administração da Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade da Universidade de São Paulo (CEP 05508-010 – São Paulo/SP, Brasil). E-mail: alcides.carlos@yahoo.com.br