Uma nota sobre continuidade de relações de preferência definidas em conjuntos discretos

Esta nota discute a continuidade de relações de preferência definidas em conjuntos discretos, relacionando-a com o conceito de continuidade de funções (e, mais geralmente, de correspondências). A propriedade de relatividade do conceito de conjunto aberto se revela peça fundamental nesta discussão e, com isso, sua importância para a Teoria Econômica é reforçada de forma transparente.

Classificação JEL. D01, D11, C65.

Palavras-chave
Continuidade; Relação de preferência; Conjunto aberto relativo; Correspondência

Autoria

Fábio Barbieri

Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto, Universidade de São PauloUniversidade de São PauloFaculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto, Universidade de São Paulo

https://orcid.org/0000-0003-3418-8024

Jefferson Bertolai

Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto, Universidade de São Paulo e Laboratório de Economia, Matemática e Computação, Universidade de São PauloUniversidade de São Paulo e Laboratório de Economia, Matemática e Computação, Universidade de São PauloFaculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto, Universidade de São Paulo e Laboratório de Economia, Matemática e Computação, Universidade de São Paulo

https://orcid.org/0000-0002-2535-920X

Mirelle Jayme

https://orcid.org/0009-0000-1560-5713

Nathan Machado

Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Ribeirão Preto, Universidade de São Paulo e Laboratório de Economia, Matemática e Computação, Universidade de São PauloUniversidade de São Paulo e Laboratório de Economia, Matemática e Computação, Universidade de São PauloFaculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Ribeirão Preto, Universidade de São Paulo e Laboratório de Economia, Matemática e Computação, Universidade de São Paulo

https://orcid.org/0009-0005-5627-9906

Fábio Barbieri : fbarbieri@usp.br

Jefferson Bertolai : jbertolai@gmail.com

Mirelle Jayme : mirellefernandes@usp.br

Nathan Machado : nathan_machado@usp.br

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(1)

\forall ε > 0 \exists δ > 0 \forall y \in D (y \in B_{δ} (d) \Rightarrow f (y) \in B_{ε} [f (d)]) .

(2)

\forall x \in X \forall y \in X (x ≽ y \Leftrightarrow |x - \frac{1}{2}| \geq |y - \frac{1}{2}|)

(3)

\forall V \subseteq C (((V é aberto em C) \land Γ (d) \subseteq V) \Rightarrow \exists δ > 0 \forall z \in B_{δ} (d) \cap D (Γ (z) \subseteq V))

(4)

\forall V \subseteq C (((V é aberto em C) \land Γ (d) \cap V \neq \emptyset) \Rightarrow \exists δ > 0 \forall b \in B_{δ} (d) \cap D (Γ (b) \cap V \neq \emptyset)) .

(5)

Γ é uhc em D \Leftrightarrow \forall V \subseteq C ((V é aberto em C) \Rightarrow Γ^{- 1} (V) é aberto em D),

(6)

Γ é lhc em D \Leftrightarrow \forall V \subseteq C ((V é aberto em C) \Rightarrow Γ_{- 1} (V) é aberto em D),

(7)

Γ é uhc em D \Leftrightarrow \forall F \subseteq C ((F é fechado em C) \Rightarrow Γ_{- 1} (F) é fechado em D) e

(8)

Γ é lhc em D \Leftrightarrow \forall F \subseteq C ((F é fechado em C) \Rightarrow Γ^{- 1} (F) é fechado em D) .

(9)

\forall U \subseteq D (((U é aberto em D) \land γ (c) \subseteq U) \Rightarrow \exists δ > 0 \forall z \in B_{δ} (c) \cap Γ (D) (γ (z) \subseteq U))

(10)

\forall U \subseteq D (((U é aberto em D) \land γ (c) \cap U \neq \emptyset) \Rightarrow \exists δ > 0 \forall b \in B_{δ} (c) \cap Γ (D) (γ (b) \cap U \neq \emptyset)) .

(11)

γ é uhc em Γ (D) \Leftrightarrow \forall F \subseteq D ((F é fechado em D) \Rightarrow γ_{- 1} (F) é fechado em Γ (D)) .

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[1] Fábio Barbieri : fbarbieri@usp.br