Figura 1
Diagrama de fases do oscilador harmônico, equações (
4) e (
5), com
. Note que as escalas nos eixos horizontal e vertical são diferentes.
Figura 2
Energia potencial associada ao oscilador quártico (curva contínua), equação (
6), com
k = 1,
ℓ = 1 e à correspondente aproximação harmônica (curva pontilhada) com
k = 1,
ℓ = 1.
Figura 3
Diagrama de fases do oscilador quártico, equações (
6) e (
7), com
k/
m = 1,
ℓ/
m = 1.
Figura 4
Energia potencial associada ao oscilador de Duffing com k = 1, ℓ = 1.
Figura 5
Diagrama de fases do oscilador de Duffing, equações (
8) e (
9), com
k/
m = 1,
ℓ/
m = 1. É possível ver as órbitas em forma de “infinito” saindo e voltando para o ponto de equilíbrio instável, que correspondem a
E = 0.
Figura 2
Energia potencial associada ao oscilador quártico (curva contínua), equação (
6), com
k = 1,
ℓ = 1 e à correspondente aproximação harmônica (curva pontilhada) com
k = 1,
ℓ = 1.
Figura 3
Diagrama de fases do oscilador quártico, equações (
6) e (
7), com
k/
m = 1,
ℓ/
m = 1.
Figura 4
Energia potencial associada ao oscilador de Duffing com k = 1, ℓ = 1.
Figura 5
Diagrama de fases do oscilador de Duffing, equações (
8) e (
9), com
k/
m = 1,
ℓ/
m = 1. É possível ver as órbitas em forma de “infinito” saindo e voltando para o ponto de equilíbrio instável, que correspondem a
E = 0.
Figura 6
Uma órbita do oscilador harmônico perturbado, equação (
12), com
ω0 = 1,
F0/
m = 1,
ω = 2
π/3 e condições iniciais
x0 = 0,
.
Figura 7
Diagrama de fases do oscilador harmônico sujeito a uma força externa constante
F 0, com parâmetros
ω0 = 1,
F0/
m = 1,
ω = 0. As curvas são elipses da forma (
14), parametrizadas pela amplitude
C1.
Figura 8
Órbitas do mapa estroboscópico para o oscilador quártico perturbado, com
k = 1,
ℓ = 1,
m = 1,
F0 = 0.3,
ω = 2
π/3. É possível ver, além das elipses distorcidas, a formação de uma ilha de estabilidade distorcida na região à direita. Note que, como
, teríamos
a < 0 na equação (
16) para a aproximação harmônica, de maneira que as elipses distorcidas “centrais” da figura ficam deslocadas para a esquerda de
x = 0.
Figura 9
Órbitas do mapa estroboscópico para o oscilador quártico perturbado, com
k = 1,
ℓ = 1,
m = 1,
F0 = 1,
ω = 2
π/3. É possível ver uma região caótica sendo formada ao redor da ilha central de estabilidade (deslocada para a esquerda, ver
Figura 8), assim como outras ilhotas tanto na região central quanto na região estável à direita.
Figura 10
Quadro representando a evolução temporal de condições iniciais próximas, em vermelho , em verde e em azul , no oscilador de Duffing perturbado com k = 1, ℓ = 1, m = 1, F0 = 1, ω = 2π/3. Acima, esquerda: condições iniciais do movimento para cada órbita. Acima, direita: correspondente mapa estroboscópico dessas condições iniciais para os 19 primeiros períodos (20 pontos para cada órbita). Abaixo, esquerda: mapa estroboscópico para os 100 primeiros pontos. Abaixo, direita: mapa estroboscópico para os 10000 primeiros pontos. Vemos que, no início do movimento, não fica clara a estrutura de cada órbita na seção. Conforme o tempo passa e os pontos vão sendo plotados, começamos a enxergar uma estrutura unidimensional, como no caso da órbita regular azul, ou a falta dessa estrutura resultando no preenchimento de toda uma área, como no caso das órbitas caóticas vermelha e verde; além disso, vemos que as órbitas vermelha e verde vão gradativamente preenchendo praticamente a mesma área (sem nunca se cruzar), característica da imprevisibilidade associada à incerteza nas condições iniciais.
Figura 11
Acima: Órbitas do mapa estroboscópico para o oscilador de Duffing perturbado, com k =1, ℓ = 1, m = 1, F0 = 0.003, ω = 2π/3. É possível ver uma região caótica próximo da separatriz e algumas ilhas de estabilidade na parte esquerda. Abaixo: zoom da região central, mostrando detalhes da quebra da separatriz em uma região caótica.
Figura 12
Órbitas do mapa estroboscópico para o oscilador de Duffing perturbado, com
k = 1,
ℓ = 1,
m = 1,
F0 = 1,
ω = 2
π/3. É possível ver, na região central, a formação de um “mar caótico”, devido à existência do ponto de equilíbrio instável na origem (comparar com o mapa para o oscilador quártico com os mesmos parâmetros,
figura 9).
Figura 8
Órbitas do mapa estroboscópico para o oscilador quártico perturbado, com
k = 1,
ℓ = 1,
m = 1,
F0 = 0.3,
ω = 2
π/3. É possível ver, além das elipses distorcidas, a formação de uma ilha de estabilidade distorcida na região à direita. Note que, como
, teríamos
a < 0 na equação (
16) para a aproximação harmônica, de maneira que as elipses distorcidas “centrais” da figura ficam deslocadas para a esquerda de
x = 0.
Figura 9
Órbitas do mapa estroboscópico para o oscilador quártico perturbado, com
k = 1,
ℓ = 1,
m = 1,
F0 = 1,
ω = 2
π/3. É possível ver uma região caótica sendo formada ao redor da ilha central de estabilidade (deslocada para a esquerda, ver
Figura 8), assim como outras ilhotas tanto na região central quanto na região estável à direita.
Figura 10
Quadro representando a evolução temporal de condições iniciais próximas, em vermelho , em verde e em azul , no oscilador de Duffing perturbado com k = 1, ℓ = 1, m = 1, F0 = 1, ω = 2π/3. Acima, esquerda: condições iniciais do movimento para cada órbita. Acima, direita: correspondente mapa estroboscópico dessas condições iniciais para os 19 primeiros períodos (20 pontos para cada órbita). Abaixo, esquerda: mapa estroboscópico para os 100 primeiros pontos. Abaixo, direita: mapa estroboscópico para os 10000 primeiros pontos. Vemos que, no início do movimento, não fica clara a estrutura de cada órbita na seção. Conforme o tempo passa e os pontos vão sendo plotados, começamos a enxergar uma estrutura unidimensional, como no caso da órbita regular azul, ou a falta dessa estrutura resultando no preenchimento de toda uma área, como no caso das órbitas caóticas vermelha e verde; além disso, vemos que as órbitas vermelha e verde vão gradativamente preenchendo praticamente a mesma área (sem nunca se cruzar), característica da imprevisibilidade associada à incerteza nas condições iniciais.
Figura 11
Acima: Órbitas do mapa estroboscópico para o oscilador de Duffing perturbado, com k =1, ℓ = 1, m = 1, F0 = 0.003, ω = 2π/3. É possível ver uma região caótica próximo da separatriz e algumas ilhas de estabilidade na parte esquerda. Abaixo: zoom da região central, mostrando detalhes da quebra da separatriz em uma região caótica.
Figura 12
Órbitas do mapa estroboscópico para o oscilador de Duffing perturbado, com
k = 1,
ℓ = 1,
m = 1,
F0 = 1,
ω = 2
π/3. É possível ver, na região central, a formação de um “mar caótico”, devido à existência do ponto de equilíbrio instável na origem (comparar com o mapa para o oscilador quártico com os mesmos parâmetros,
figura 9).
Figura 13
Diagrama de fases para o pêndulo simples, com g/ℓ = 1.
Figura 14
Órbitas do mapa estroboscópico para o pêndulo simples forçado, com mℓ = 1, g/ℓ = 1, F0 = 0.01, ω = 2/π. É possível ver a quebra da separatriz em uma região caótica, assim como o surgimento de ilhas de ressonância em forma de banana do lado esquerdo na região de movimento limitado (libração), que para perturbações maiores também se quebrarão em regiões caóticas.
Figura 15
Acima: toros (cortados) representando as regiões disponíveis para uma órbita regular percorrer; cada órbita fica restrita a uma superfície toroidal bidimensional (em geral distorcida) no espaço de fases quadridimensional. Abaixo: “quebra” dos toros, correspondendo à falta de uma segunda constante de movimento; uma órbita caótica percorre toda uma região tridimensional (azul) no espaço de fases quadridimensional.
Figura 16
Esquema representando a seção de Poincaré S dentro da superfície 3D de energia constante. Uma única órbita é representada em vermelho, e cada vez que essa órbita cruza a seção (bidimensional) um ponto é plotado na interseção, formando uma sequência {P1, P2, P3, ..., Pn, ...}.
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