Ondas gravitacionais de buracos negros coalescentes: um estudo quantitativo a partir de física básica

Nascimento, Nicolas L.N.S.; Cuzinatto, Rodrigo R.

doi:10.1590/1806-9126-RBEF-2022-0004

Nicolas L.N.S. Nascimento

Universidade Federal de Alfenas, Instituto de Ciência e Tecnologia, 37715-400, Poços de Caldas, MG, Brasil.

Rodrigo R. Cuzinatto ^**Endereço de correspondência: rodrigo.cuzinatto@unifal-mg.edu.br

Universidade Federal de Alfenas, Instituto de Ciência e Tecnologia, 37715-400, Poços de Caldas, MG, Brasil.

University of Ottawa, Department of Physics, Ottawa, Canada.

https://orcid.org/0000-0003-1189-0515

*Endereço de correspondência: rodrigo.cuzinatto@unifal-mg.edu.br

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Figura 1
Parâmetros das ondas gravitacionais emitidas por um sistema binário de dois buracos negros coalescentes conforme a primeira observação da Colaboração LIGO em um evento cunhado GW150914 [⁹[9] The LIGO Scientific Collaboration and the Virgo Collaboration, Phys. Rev. Lett. 116, 061102 (2016).]. Os painéis superiores (na primeira linha) mostram o padrão das ondas gravitacionais—o strainh—conforme detectado pelo observatório LIGO-Hanford (H1, à esquerda) e pelo interferômetro LIGO-Livingston (L1, à direita). O padrão de h em L1 (curva azul no painel superior direito) aparece superposto ao sinal de h detectado por H1 (deslocado temporalmente, para levar em conta a diferença no tempo de detecção, e invertido, para compensar a diferença na orientação dos observatórios em solo; curva vermelho-fraca) para efeito de comparação visual. A segunda linha de painéis contém as simulações do strain: as curvas sólidas mostram as formas de onda obtidas via relatividade numérica e as regiões sombreadas em cinza mostram os intervalos de confiança para a reconstruções do strain (levando em conta a modelagem astrofísica do sistema binário–região cinza-escura–e a combinação linear de ondeletas sino-gaussianas–área cinza-clara). A terceira linha de painéis mostra a diferença ponto-a-ponto entre os sinais detectados (na primeira linha) e as formas de onda da relatividade numérica (na segunda linha): a variação em torno do zero indica o nível de coincidência entre o medido e o previsto. A linha inferior (quarta linha) contém a representação tempo versus frequência dos dados de strain, mostrando o aumento da frequência do sinal com o tempo. Fonte: Ref. [⁹[9] The LIGO Scientific Collaboration and the Virgo Collaboration, Phys. Rev. Lett. 116, 061102 (2016).].

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Figura 2
Observatório LIGO em Hanford—imagem superior—e observatório LIGO em Livingston—foto inferior—responsáveis pela primeira detecção das ondas gravitacionais emitidas no processo de coalescência de buracos negros. Fonte: Ref. [⁴³[43] https://www.ligo.caltech.edu/
https://www.ligo.caltech.edu/... ].

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Figura 3
Observatórios LIGO como interferômetros (centro da figura). Parte (a): localização geográfica dos observatórios LIGO-Hanford (em vermelho) e LIGO-Livingston (em azul). Parte (b): curva de sensibilidade dos detectores. Fonte: Ref. [⁹[9] The LIGO Scientific Collaboration and the Virgo Collaboration, Phys. Rev. Lett. 116, 061102 (2016).].

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Figura 4
A deformação dos braços perpendiculares do observatório LIGO pela passagem da onda gravitacional. No destaque de cada painel aparece o estiramento de um anel de partículas-teste que, de inicialmente circular, passa a elíptico a medida que o modo de polarização h₊ o atravessa; esse anel-teste ajuda a visualizar o efeito da onda gravitacional sobre o interferômetro. Fonte: Ref. [⁴³[43] https://www.ligo.caltech.edu/
https://www.ligo.caltech.edu/... ].

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Figura 5
(a) Variáveis que participam da localização das massas do sistema binário. O vetor

R_{CM}

parte da origem

𝒪

do sistema de coordenadas e chega na localização do centro de massa (CM). O vetor

r_{M}

localiza a massa M a partir da origem

𝒪

; o vetor

r_{m}

localiza a massa m a partir da origem

𝒪

. Por outro lado, o vetor

R

localiza M partindo do CM; o vetor

r

parte do CM e chega à massa m. (b) O vetor distância relativa

r_{rel}

parte de M em direção à m. O vetor

F_{M (m)}

é a força em M devido à m; o vetor

F_{m (M)}

é a força em m devido à M. O vetor

F_{M (m)}

tem a direção de

r_{rel}

, que é indicada pelo vetor unitário

{\hat{r}}_{rel}

. O vetor

F_{m (M)}

aponta do sentido oposto pois a força gravitacional é atrativa.

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Figura 6
Foto do buraco negro M87* em Virgem capturada pelo Event Horizon Telescope Collaboration e divulgada em 10 de abril de 2019. Este é um buraco negro supermassivo (com 6,5 bilhões de massas solares) solitário no centro da galáxia M87. Neste trabalho estudamos buracos negros de massas ordinárias (da ordem de dezenas de massas solares) em sistemas binários. Imagem disponível em <https://eventhorizontelescope.org>.

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Figura 7
Gráfico da separação dos buracos negros do sistema binário em função do tempo. O gráfico foi construído com a equação para

ℛ (t)

encontrada neste trabalho—Eq. (). É notável a semelhança dessa curva com àquela apresentada na Fig. 2 da do paper de descoberta [⁹[9] The LIGO Scientific Collaboration and the Virgo Collaboration, Phys. Rev. Lett. 116, 061102 (2016).] da Colaboração LIGO, curva em preto—vide-se a reprodução na nossa Fig. .

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Figura 8
Fig. 2 do paper de descoberta [⁹[9] The LIGO Scientific Collaboration and the Virgo Collaboration, Phys. Rev. Lett. 116, 061102 (2016).] da colaboração LIGO para o evento GW150814. O topo da figura representa quatro momentos sucessivos da dinâmica do sistema binário: a fase espiral (Inspiral) começa com uma separação maior entre os buracos negros (à esquerda), evolui para uma configuração de menor separação e maior velocidade orbital relativa, a qual culmina com a coalescência (Merger), onde a distância de separação despenca e a velocidade diverge; após a coalescência, resta o único buraco negro na fase transiente chamada Ring-down (à direita). Todas essas fases da dinâmica do sistema têm reflexos nas curvas de separação (em preto no painel inferior), de velocidade (em verde, painel inferior) e da amplitude da onda gravitacional ou strain (curva vermelha, painel intermediário). É evidente que o strain é máximo no momento da coalescência dos buracos negros e se atenua durante o ring-down. Fonte: Ref. [⁹[9] The LIGO Scientific Collaboration and the Virgo Collaboration, Phys. Rev. Lett. 116, 061102 (2016).].

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Figura 9
Gráfico da velocidade orbital relativa dos buracos negros no sistema binário em função do tempo de acordo com a Eq. (). A curva de

| 𝒱 / c |

tem o mesmo comportamento da curva verde na Fig. .

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Figura 10
Gráfico da frequência da onda gravitacional emitida pelo sistema binário em função do tempo de acordo com a Eq. (). Usamos os valores

ℳ = 32 M_{☉}

e

t_{c} = 0,43 s

que estimamos para o evento GW150914. Perceba-se como essa curva tem exatamente a forma medida pela colaboração LIGO: o arco luminoso no painel inferior esquerdo da Fig. .

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Figura 11
Gráfico do strain conforme nossa dedução a partir de física básica—vise-se a Eq. (). Note-se a semelhança com a curva vermelha na Fig. , a qual é a modelagem numérico-relativística de LIGO-Virgo para o strain.

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Figura 12
Eventos de coalescências de sistemas binários detectados pela colaboração LIGO-Virgo entre 2015 e 2019 nas três primeiras rodadas operacionais dos observatórios. Nota-se a medida direta de vários eventos de coalescência de buracos negros de diferentes massas e um evento envolvendo estrelas de nêutrons. Este último permitiu validar o modelo de produção de elementos pesados no interior estelar e vincular modelos de gravidade modificada. Os números no lado esquerdo dão a estimativa das massas dos objetos estelares cuja coalescência foi a fonte das ondas gravitacionais. Fonte: [⁶²[62] https://ligo.org/detections.php
https://ligo.org/detections.php... ].

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Figura 13
Dados observacionais do evento GW170104. Fonte: Ref. [¹²[12] The LIGO Scientific Collaboration and the Virgo Collaboration, Phys. Rev. Lett. 118, 221101 (2017).].

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Table 1
Dados observacionais para os dez primeiros eventos de coalescência de sistemas binários confirmados pela colaboração LIGO-Virgo. As quantidades são: t₁ é o valor de tempo correspondente ao início da detecção do movimento espiral; t₂ é o valor de tempo em que a coalescência ocorre; f₁ é a frequência da onda gravitacional no início da detecção; f_c é a frequência de chirp; h é a amplitude máxima do strain.

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Table 2
Estimativa dos parâmetros físicos

{ℳ, M_{tot}, m, M

,

M_{irrad}}

para os dez primeiros eventos de coalescência de sistemas binários confirmados pela colaboração LIGO-Virgo.

ℳ

é a massa de chirp, M_tot indica a massa total do sistema binário,

ξ

é o parâmetro de massa, M representa a massa do buraco negro primário, m a massa do buraco negro secundário e M_irrad é a massa irradiada na forma de ondas gravitacionais.

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Table 3
Estimativa dos parâmetros físicos

{r_{0}, r_{c}, R_{S}^{m}, R_{S}^{M}, ρ}

para os dez primeiros eventos de coalescência de sistemas binários confirmados pela Colaboração LIGO-Virgo. r₀ é o raio do sistema binário no início da fase espiral; r_c é o raio de Schwarzschild do astro central na coalescência;

R_{S}^{m}

é o tamanho do horizonte de eventos do objeto de massa m;

R_{S}^{M}

é ao raio de Schwarzschild do astro de massa M;

ρ

é a distância entre a Terra e o sistema binário emissor de ondas gravitacionais.

ρ

é dado em bilhões de anos-luz (penúltima coluna) e também em mega parsec (

1 pc = 3,26 ano-luz

). A coluna

r_{0} / r_{c}

dá o número de vezes que o tamanho inicial do sistema binário é maior do que o objeto pós-coalescência.

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Table 4
Tabela comparativa entre as estimativas deste trabalho e aquelas da Colaboração LIGO-Virgo. A sigla “OGFB” significa “Ondas Gravitacionais a partir de Física Básica”, uma versão resumida do título de nosso artigo; por isso os valores nas colunas indicadas por “OGFB” são aqueles que estimamos. Os valores nas colunas rotuladas por “LIGO” dizem respeito àqueles divulgados pela colaboração LIGO-Virgo nas Refs. [⁹[9] The LIGO Scientific Collaboration and the Virgo Collaboration, Phys. Rev. Lett. 116, 061102 (2016)., ¹¹[11] The LIGO Scientific Collaboration and the Virgo Collaboration, Phys. Rev. Lett. 116, 241103 (2016)., ¹²[12] The LIGO Scientific Collaboration and the Virgo Collaboration, Phys. Rev. Lett. 118, 221101 (2017)., ¹³[13] The LIGO Scientific Collaboration and the Virgo Collaboration, ApJL 851, L35 (2017)., ¹⁴[14] The LIGO Scientific Collaboration and the Virgo Collaboration, Phys. Rev. Lett. 119, 141101 (2017)., ¹⁵[15] The LIGO Scientific Collaboration and the Virgo Collaboration, Phys. Rev. Lett. 119, 161101 (2017)., ¹⁶[16] The LIGO Scientific Collaboration and the Virgo Collaboration, Phys. Rev. D 102, 043015 (2020)., ¹⁷[17] The LIGO Scientific Collaboration and the Virgo Collaboration, ApJL 892, L3 (2020)., ¹⁸[18] The LIGO Scientific Collaboration and the Virgo Collaboration, Phys. Rev. Lett. 125, 101102 (2020)., ¹⁹[19] The LIGO Scientific Collaboration and the Virgo Collaboration, ApJL 896, L44 (2020).].

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(118)

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(126)

(127)

(128)

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(135)

(136)

(137)

(138)

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(145)

(146)

(147)

(148)

(149)

(150)

(151)

(152)

(153)

(154)

	$t_{1} (s)$	$t_{2} (s)$	$τ (s)$	$f_{1} (Hz)$	$f_{c} (Hz)$	$h (10^{- 21})$
GW150914	$0,34$	$0,43$	$0,09$	43	307	$1,2$
GW151226	$- 0,70$	$0,00$	$0,70$	32	448	$0,3$
GW170104	$0,53$	$0,60$	$0,07$	48	256	$0,6$
GW170608	$- 1,50$	$0,00$	$1,50$	30	400	$2,1$
GW170814	$0,44$	$0,53$	$0,09$	52	240	$0,7$
GW170817	$- 28,0$	$0,00$	$28,0$	30	350	$7,5$
GW190412	$- 0,38$	$0,13$	$0,50$	40	200	$2,0$
GW190425	$0,40$	$2,30$	$1,9$	100	800	$1,9$
GW190521	$0,40$	$0,45$	$0,05$	35	150	$2,5$
GW190814	$- 9,00$	$0,00$	$9,00$	20	400	$0,2$

	$ℳ$	M _tot	$ξ$	m	M	M_irrad
	$(M_{☉})$	$(M_{☉})$	$(M_{☉})$	$(M_{☉})$	$(M_{☉})$
GW150914	32	74	$0,40$	30	44	4
GW151226	15	51	$0,15$	8	43	2
GW170104	31	89	$0,22$	19	70	4
GW170608	10	57	$0,06$	4	53	1
GW170814	23	95	$0,11$	10	85	2
GW170817	$1,8$	$65,3$	$0,003$	$0,2$	$65,1$	$0,04$
GW190412	13	114	$0,03$	3	111	1
GW190425	$1,3$	$28,6$	$0,01$	$0,2$	$28,4$	$0,04$
GW190521	63	152	$0,35$	53	99	9
GW190814	7	57	$0,03$	2	55	1

	r ₀	r _c	$\frac{r_{0}}{r_{c}}$	$R_{S}^{m}$	$R_{S}^{M}$	$ρ (\times 10^{9}$	$ρ$
	$(km)$	$(km)$	$(km)$	$(km)$	$ano-luz)$	$(Mpc)$
GW150914	815	220	4	89	131	$2,1$	639
GW151226	875	151	6	23	128	$2,7$	820
GW170104	805	264	3	58	206	$3,5$	1085
GW170608	949	169	6	11	158	$0,2$	68
GW170814	779	281	3	30	251	$1,8$	560
GW170817	992	193	5	1	192	$0,003$	$0,9$
GW190412	987	337	3	9	328	$0,2$	63
GW190425	337	$84,3$	4	$0,5$	$83,8$	$0,01$	4
GW190521	1187	450	3	157	293	$1,9$	593
GW190814	1243	169	7	5	164	$1,2$	352

	$ℳ (M_{☉})$		$M_{tot} (M_{☉})$		$m (M_{☉})$		$M (M_{☉})$		$M_{irrad} (M_{☉})$		$ρ (Mpc)$
	OGFB	LIGO	OGFB	LIGO	OGFB	LIGO	OGFB	LIGO	OGFB	LIGO	OGFB	LIGO
GW150914	32	29	74	66	30	29	44	36	4	3	639	410
GW151226	15	9	51	22	8	8	43	14	2	1	820	440
GW170104	31	21	89	51	19	19	70	31	4	2	1085	880
GW170608	10	8	57	19	4	7	53	12	1	1	68	340
GW170814	23	24	95	56	10	25	85	31	2	3	560	540
GW170817	$1,8$	$1,2$	$65,3$	$2,7$	$0,2$	$1,4$	$65,1$	$1,2$	$0,04$	$0,03$	$0,9$	40
GW190412	13	13	114	38	3	8	111	30	1	1	63	740
GW190425	$1,3$	$1,4$	$28,6$	$3,4$	$0,2$	$1,1$	$28,4$	$2,5$	$0,04$	$0,11$	4	159
GW190521	63	65	152	150	53	66	99	85	9	8	593	5300
GW190814	7	6	57	26	2	3	55	23	$0,4$	$0,2$	352	241

r_{rel}^{2} = r_{rel} \cdot r_{rel} = (- R + r) \cdot (- R + r)

= R^{2} + r^{2} - 2 R \cdot r

= R^{2} + r^{2} - 2 R r \cos (180^{o})

= R^{2} + r^{2} + 2 R r = {(R + r)}^{2},

[α ℐ^{2} ω^{χ} G^{η} c^{ζ}] = [ℐ^{2} ω^{χ} G^{η} c^{ζ}] = {[ℐ]}^{2} {[ω]}^{χ} {[G]}^{η} {[c]}^{ζ}

= {[kg m^{2}]}^{2} {(\frac{rad}{s})}^{χ} {[\frac{{Nm}^{2}}{{(kg)}^{2}}]}^{η} {[\frac{m}{s}]}^{ζ},

[α ℐ^{2} ω^{χ} G^{η} c^{ζ}] = {(kg)}^{2} m^{4} {(\frac{1}{s})}^{χ} \frac{N^{η} m^{2 η}}{{(kg)}^{2 η}} \frac{m^{ζ}}{s^{ζ}}

= \frac{{(kg)}^{(2 - 2 η + η)} m^{(η + 4 + 2 η + ζ)}}{s^{(χ + ζ + 2 η)}} .

{\begin{matrix} 1 = (2 - 2 η + η) & (potência do kg) \\ 2 = (η + 4 + 2 η + ζ) & (potência do m) \\ 3 = (χ + ζ + 2 η) & (potência do s) \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} η = 1 \\ ζ = - 5 \\ χ = 6 \end{matrix} .

= \frac{{[(1 - ξ) M_{tot}] [ξ M_{tot}]}^{3 / 5}}{{[(1 - ξ) M_{tot}] + [ξ M_{tot}]}^{1 / 5}} = {(ξ - ξ^{2})}^{3 / 5} M_{tot}

{\begin{matrix} 1 = (- ψ) \\ 1 = (4 ψ + δ + ϵ) \\ 2 = - (5 ψ + δ) \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} ψ = - 1 \\ δ = 3 \\ ϵ = 2 \end{matrix} .

β \frac{c^{3} f^{2}}{G} h^{2} = \frac{1}{(4 π ρ^{2})} α \frac{G^{7 / 3}}{c^{5}} {(π f)}^{10 / 3} \frac{{(m M)}^{2}}{{(m + M)}^{2 / 3}} .

ρ = \frac{4}{\sqrt{5}} \frac{G^{5 / 3}}{c^{4}} \frac{1}{h} ω^{2 / 3} {[\frac{{(m M)}^{3 / 5}}{{(m + M)}^{1 / 5}}]}^{5 / 3}

= \frac{4}{\sqrt{5}} \frac{1}{h} {(\frac{ω}{c})}^{2 / 3} {[\frac{G ℳ}{c^{2}}]}^{5 / 3},

Φ (t) = {(\frac{G ℳ}{c^{3}})}^{- 5 / 8} {(\frac{1}{8 α})}^{3 / 8} \int {(t_{c} - t^{'})}^{- 3 / 8} d t^{'},

Φ (t) = - {(\frac{G ℳ}{c^{3}})}^{- 5 / 8} {(\frac{1}{8 α})}^{3 / 8} \frac{1}{5 / 8} {(t_{c} - t)}^{5 / 8} + Φ_{0} .

[1] *Endereço de correspondência: rodrigo.cuzinatto@unifal-mg.edu.br

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Ondas gravitacionais de buracos negros coalescentes: um estudo quantitativo a partir de física básica

Gravitational waves from coalescing black holes: a quantitative study from fundamental physics