Escoamento lateral em cano de PVC: uma comparação entre modelos

Luchese, T.C.; Pinheiro, M.C.

doi:10.1590/1806-9126-RBEF-2023-0044

T.C. Luchese ^** Endereço de correspondência: thiago.luchese@uffs.edu.br

Universidade Federal da Fronteira Sul, 97900-000, Cerro Largo, RS, Brasil.

https://orcid.org/0000-0002-0907-4570

M.C. Pinheiro

Universidade Federal da Fronteira Sul, 97900-000, Cerro Largo, RS, Brasil.

* Endereço de correspondência: thiago.luchese@uffs.edu.br

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Figura 1:
Aparato experimental utilizado nesse estudo em um instantâneo da dinâmica de escoamento. O número

1

destaca a altura da água no interior da cano, conforme observado pela mangueira lateral afixada externamente ao tubo. O número

2

identifica o jato d’água escoando. O

3

está sobre a água já escoada e recolhida em reservatório apropriado e, por fim, os números

4

indicam três outros orifícios tampados que também foram, oportunamente, abertos para fornecer as dinâmicas de escoamento correspondentes. Seja observado que existem, ao longo do cano, linhas horizontais azuis igualmente espaçadas de

10

cm entre si, linhas essas que serviram de escala de referência para análise de vídeo.

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Figura 2:
Dinâmicas médias de escoamento lateral por orifícios de diferentes diâmetros (as dimensões características de cada dinâmica estão indicadas na Tabela ). Os quadrados (pretos) correspondem ao escoamento através do orifício 1, os círculos (vermelhos) ao escoamento pelo orifício 2, os triângulos para cima (verdes) à dinâmica através do orifício 3, os triângulos para baixo (azuis) ao escoamento pelo orifício 4, os losangos (cianos) à dinâmica pelo orifício 5 e os triângulos à esquerda (magentas) correspondem à dinâmica através do orifício 6. A linha sólida preta corresponde ao que seria o escoamento ideal.

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Figura 3:
Dinâmicas de escoamento médias para cada orifício comparada com os diferentes modelos. Os símbolos correspondem aos dados experimentais (com formas e cores equivalentes àqueles da Figura). As linhas sólidas (pretas) correspondem ao ajuste da descrição ideal, as linhas tracejadas (vermelhas) correspondem ao ajuste do Modelo 1, as linhas pontilhadas (verdes) ao Modelo 2 e, por fim, as linhas em traço e ponto (azuis) correspondem ao ajuste do Modelo 3. As escalas de tempo e comprimento, bem como os parâmetros de ajuste de cada modelo, estão indicados nas Tabelas e.

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Tabela 1
Diâmetros dos orifícios de escoamento, suas respectivas escalas de tempo (

t_{0}

) e as alturas iniciais efetivas (parâmetro adimensional correspondente ao tempo de adaptação do sistema à vazão) de escoamento para cada modelo. Foi considerado o diâmetro do reservatório

D = 98

mm, a altura de referência

h_{0} = 50

cm e a aceleração da gravidade

g = 9.8

m/s

^{2}

.

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Tabela 2
Parâmetros adimensionais e seus correspondentes já com unidades apropriadas. Para retorno de dimensões, a altura de referência é de

h_{0} = 50

cm, a aceleração da gravidade

g = 9.8

m/s

^{2}

e a densidade da água

ρ = 10^{3}

kg/m

^{3}

.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

Orifício	$d$ (mm)	$δ$	$t_{0}$ (s)	$η_{0}$ – Ideal	$η_{1}$ – Modelo 1	$η_{2}$ – Modelo 2	$η_{3}$ – Modelo 3
1	3.09(7)	0.0315(7)	320(10)	1.1039(9)	1.067(2)	1.041(4)	1.039(3)
2	6.12(6)	0.0624(6)	82(2)	1.1578(8)	1.100(2)	1.048(5)	1.047(5)
3	9.00(2)	0.0918(2)	37.9(2)	1.1507(5)	1.096(1)	1.052(2)	1.050(3)
4	13.18(7)	0.1345(7)	17.6(2)	1.207(1)	1.141(3)	1.062(4)	1.06(1)
5	17.33(9)	0.1768(9)	10.2(1)	1.2349(8)	1.183(2)	1.080(4)	1.076(8)
6	22.2(3)	0.228(3)	6.2(2)	1.260(1)	1.241(4)	1.130(9)	1.12(1)

Orif.	$α_{1}$	$a_{1}$ (kPa)	$α_{2}$	$a_{2}$ (kPa)	$β_{2}$	$b_{2}$ $(\frac{kPa \cdot s}{m})$	$α_{3}$	$a_{3}$ (kPa)	$β_{3}$	$b_{3}$ $(\times 10 \frac{kg}{m^{3}})$
1	0.103(4)	0.50(2)	$-$ 0.16(5)	$-$ 0.8(2)	0.29(4)	0.9(1)	$-$ 0.03(4)	$-$ 0.1(2)	0.51(5)	26(3)
2	0.141(3)	0.69(1)	$-$ 0.28(6)	$-$ 1.4(3)	0.53(6)	1.7(2)	$-$ 0.06(8)	$-$ 0.3(4)	1.0(1)	50(5)
3	0.132(2)	0.65(1)	$-$ 0.18(2)	$-$ 0.9(1)	0.41(2)	1.28(6)	$-$ 0.02(4)	$-$ 0.1(2)	0.77(6)	38(3)
4	0.139(4)	0.68(2)	$-$ 0.25(5)	$-$ 1.2(2)	0.61(5)	1.9(2)	0.0(1)	0.0(5)	1.3(3)	65(2)
5	0.103(3)	0.50(1)	$-$ 0.27(4)	$-$ 1.3(2)	0.66(5)	2.1(2)	$-$ 0.1(1)	$-$ 0.5(5)	1.4(2)	70(1)
6	0.036(3)	0.18(1)	$-$ 0.16(5)	$-$ 0.8(2)	0.52(6)	1.6(2)	$-$ 0.1(1)	$-$ 0.5(5)	1.1(2)	55(1)

p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g y_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g y_{2}

\frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g h = \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}

v_{1}^{2} + 2 g h = v_{2}^{2}

- \int_{h_{0}}^{h} \frac{d h^{'}}{\sqrt{h^{'}}} = δ^{2} \sqrt{\frac{2 g}{1 - δ^{4}}} \int_{0}^{t} d t^{'}

\sqrt{h} = \sqrt{h_{0}} - δ^{2} \sqrt{\frac{g}{2 (1 - δ^{4})}} t

h (t) = h_{0} - \frac{δ^{2}}{\sqrt{1 - δ^{4}}} \sqrt{2 g h_{0}} t + \frac{δ^{4}}{1 - δ^{4}} \frac{g}{2} t^{2}

p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g y_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g y_{2} + a_{1}

v_{1}^{2} + 2 g h = v_{2}^{2} + \frac{2 a_{1}}{ρ}

h (t) = h_{0} - \frac{δ^{2}}{\sqrt{1 - δ^{4}}} \sqrt{(1 - \frac{a_{1}}{ρ g h_{0}}) 2 g h_{0}} t + \frac{δ^{4}}{1 - δ^{4}} \frac{g}{2} t^{2} .

p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g y_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g y_{2} + a_{2} + b_{2} v_{2}

v_{1}^{2} + 2 g h = v_{2}^{2} + \frac{2 a_{2}}{ρ} + \frac{2 b_{2}}{ρ} v_{2}

v_{2} = \frac{- \frac{2 b_{2}}{ρ} \pm \sqrt{{(\frac{2 b_{2}}{ρ})}^{2} + 4 (1 - δ^{4}) (2 g h - \frac{2 a_{2}}{ρ})}}{2 (1 - δ^{4})} .

v_{2} = \sqrt{\frac{2 g h}{1 - δ^{4}}} [\sqrt{1 - \frac{a_{2}}{ρ g h} + \frac{b_{2}^{2}}{2 (1 - δ^{4}) ρ^{2} g h}} - \frac{b_{2}}{ρ \sqrt{2 (1 - δ^{4}) g h}}] .

\frac{d h}{d t} = - \frac{δ^{2}}{\sqrt{1 - δ^{4}}} \sqrt{2 g h} [\sqrt{1 - \frac{a_{2}}{ρ g h} + \frac{b_{2}^{2}}{2 (1 - δ^{4}) ρ^{2} g h}} - \frac{b_{2}}{ρ \sqrt{2 (1 - δ^{4}) g h}}] .

p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ g y_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ g y_{2} + a_{3} + b_{3} v_{2}^{2}

v_{1}^{2} + 2 g h = (1 + \frac{2 b_{3}}{ρ}) v_{2}^{2} + \frac{2 a_{3}}{ρ}

h (t) = h_{0} - \frac{δ^{2}}{\sqrt{1 - δ^{4}}} \sqrt{2 g h_{0} \frac{1 - \frac{a_{3}}{ρ g h_{0}}}{1 + \frac{2 b_{3}}{(1 - δ^{4}) ρ}}} t + \frac{δ^{4}}{1 - δ^{4}} \frac{1}{1 + \frac{2 b_{3}}{(1 - δ^{4}) ρ}} \frac{g}{2} t^{2}

h (t) = 1 - 2 \sqrt{\frac{1 - α_{3}}{1 + \frac{β_{3}}{1 - δ^{4}}}} t + \frac{1}{1 + \frac{β_{3}}{1 - δ^{4}}} t^{2}

[1] * Endereço de correspondência: thiago.luchese@uffs.edu.br

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Escoamento lateral em cano de PVC: uma comparação entre modelos

Lateral flow in PVC pipe: a model comparison