von Neumann e a descrição da Mecânica Quântica no espaço de fases

Ao fundamentar as bases da Mecânica Quântica através da solução de um problema matemático associado a possíveis inconsistĉncias na relação de comutação para os operadores posição e momento linear, von Neumann lança as bases teóricas do que posteriormente resultou na descrição da Mecânica Quântica no espaço de fases. No presente trabalho, complementar à tradução do texto original de von Neumann, analisamos um conjunto específico de resultados, que formam um arcabouço matemático sólido para a concepção de um espaço de fases genuinamente quântico, tornando-o assim um legítimo precursor desta descrição.

Palavras-chave:
mecânica quântica; von Neumann; relação de comutação; espaço de fases

Autoria

Diógenes Galetti ^**Endereço de correspondência: diogaletti@hotmail.com.

Universidade Estadual Paulista, Instituto de Fisica Teorica, São Paulo, SP, BrasilUniversidade Estadual PaulistaBrasilSão Paulo, SP, BrasilUniversidade Estadual Paulista, Instituto de Fisica Teorica, São Paulo, SP, Brasil

https://orcid.org/0000-0002-0344-8439

Marcelo A. Marchiolli

Pesquisador Autônomo, Jaboticabal, SP, BrasilPesquisador AutônomoBrasilJaboticabal, SP, BrasilPesquisador Autônomo, Jaboticabal, SP, Brasil

Celso L. Lima

Universidade de São Paulo, Instituto de Física, Departamento de Física Nuclear, São Paulo, SP, BrasilUniversidade de São PauloBrasilSão Paulo, SP, BrasilUniversidade de São Paulo, Instituto de Física, Departamento de Física Nuclear, São Paulo, SP, Brasil

^*Endereço de correspondência: diogaletti@hotmail.com.

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Figura 1
Margittai Neumann János Lajos (nome de origem) e/ou John von Neumann (nome anglicizado): Budapeste, 28 de dezembro de 1903 (nascimento) – Washington, 8 de fevereiro de 1957 (falecimento). Matemático húngaro de origem judaica e naturalizado estadunidense, é considerado por muitos como um dos matemáticos mais importantes do século XX. As suas contribuições são inúmeras, abrangendo as áreas de: teoria dos conjuntos, análise funcional, teoria ergódica, mecânica quântica, ⁴ 4 Um resumo das contribuições de von Neumann para a mecânica quântica pode ser encontrado na Ref. [3] ciĉncia da computação, economia, teoria dos jogos, hidrodinâmica de explosões, entre outras. Além disso, foi consultor do Projeto Manhattan, instituido para o desenvolvimento e construção das primeiras bombas atômicas. Esta imagem foi extraída e adaptada do endereço eletrônico: https://www.famousscientists.org/john-von-neumann/.

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Figura 1 Margittai Neumann János Lajos (nome de origem) e/ou John von Neumann (nome anglicizado): Budapeste, 28 de dezembro de 1903 (nascimento) – Washington, 8 de fevereiro de 1957 (falecimento). Matemático húngaro de origem judaica e naturalizado estadunidense, é considerado por muitos como um dos matemáticos mais importantes do século XX. As suas contribuições são inúmeras, abrangendo as áreas de: teoria dos conjuntos, análise funcional, teoria ergódica, mecânica quântica, ⁴ 4 Um resumo das contribuições de von Neumann para a mecânica quântica pode ser encontrado na Ref. [3] ciĉncia da computação, economia, teoria dos jogos, hidrodinâmica de explosões, entre outras. Além disso, foi consultor do Projeto Manhattan, instituido para o desenvolvimento e construção das primeiras bombas atômicas. Esta imagem foi extraída e adaptada do endereço eletrônico: https://www.famousscientists.org/john-von-neumann/.

(1)

[\hat{q}, \hat{p}] = i ℏ \hat{1} com ℏ \equiv \frac{h}{2 π},

(2)

\hat{U} (α) = \exp (\frac{i}{ℏ} α \hat{p}) e \hat{V} (β) = \exp (\frac{i}{ℏ} β \hat{q}),

(3)

\hat{U} (α) \hat{V} (β) = \exp (\frac{i}{ℏ} α β) \hat{V} (β) \hat{U} (α) .

(4)

\begin{matrix} \hat{U} (α) \hat{U} (α^{'}) & = & \hat{U} (α + α^{'}) (α, α^{'} \in ℝ), \\ \hat{V} (β) \hat{V} (β^{'}) & = & \hat{V} (β + β^{'}) (β, β^{'} \in ℝ), \end{matrix}

(5)

\begin{matrix} \hat{S} (α, β) & = & \exp (- \frac{i}{2 ℏ} α β) \hat{U} (α) \hat{V} (β) \\ = & \exp (\frac{i}{2 ℏ} α β) \hat{V} (β) \hat{U} (α) \end{matrix}

(6)

\hat{S} (α, β) \hat{S} (α^{'}, β^{'}) \exp [\frac{i}{2 ℏ} (α β^{'} - β α^{'})] \hat{S} (α + α^{'}, β + β^{'}),

(7)

Tr [\hat{S} (α, β) {\hat{S}}^{†} (α^{'}, β^{'})] = 2 π ℏ δ (α - α^{'}) δ (β - β^{'}) .

(8)

\hat{A} = \iint_{ℝ^{2}} a (α, β) \hat{S} (α, β) d α d β,

(9)

a (α, β) = {(2 π ℏ)}^{- 1} Tr [\hat{A} {\hat{S}}^{†} (α, β)] .

(10)

\iint_{ℝ^{2}} e^{\frac{i}{2 ℏ} (α β^{'} - β α^{'})} a (α - α^{'}, β - β^{'}) b (α^{'}, β^{'}) d α^{'} d β^{'} .

(11)

\iint_{ℝ^{2}} \frac{d α d β}{2 π ℏ} {\hat{S}}^{†} (α, β) = 2 \int_{ℝ} d p | q 〉 〈 - q | = 2 \hat{P} .

(12)

\hat{Δ} (q, p) = {\hat{S}}^{†} (q, - p) (2 \hat{P}) \hat{S} (q, - p) .

\hat{Δ} (q, p) = \iint_{ℝ^{2}} \frac{d α d β}{2 π ℏ} \exp [\frac{i}{ℏ} (α p + β q)] {\hat{S}}^{†} (α, β) .

\tilde{W} (α, β) = Tr [\hat{ρ} {\hat{S}}^{†} (α, β)] .

{\hat{S}}^{†} (α, β) \hat{S} (α, β) = \hat{S} (α, β) {\hat{S}}^{†} (α, β) = \hat{1} .

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