As forças de atrito e os freios ABS

Frictional forces and ABS brakes

ARTIGOS GERAIS

As forças de atrito e os freios ABS

Frictional forces and ABS brakes

L. AbeidI, ¹; A.C. Tort^II

^ICentro Federal de Educação Tecnológica, Nova Iguaçu, RJ, Brasil

^IIInstituto de Física, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, RJ, Brasil

RESUMO

Neste trabalho nós revisamos a dinâmica dos freios ABS e propomos um modo simples de discuti-la no ensino médio.

Palavras-chave: dinâmica, forças de atrito, freios ABS.

ABSTRACT

In the present article we review the dynamics of the ABS breaking system and discuss a simple way of introducing this topic at the high school level.

Keywords: dynamics, frictional forces, ABS brakes.

1. Introdução

Para entender a dinâmica da frenagem, precisamos estudar a interação entre os pneus do automóvel e a pista. O coeficiente de atrito, entre eles, depende da velocidade do veículo em relação ao solo, u, e da velocidade angular do pneu, ω, portanto escrevemos µ(u,ω) [1]. Segundo Denny [1] µ não depende separadamente de u e ω, mas dos dois juntos. O coeficiente de atrito é uma função do coeficiente de deslizamento, s, dado por

onde w=ωR, sendo R o raio efetivo da roda, ou seja é o raio do conjunto pneu e roda, a distância entre um ponto na superfície do pneu e seu eixo de rotação, como mostra a Fig. (1). Veja também o diagrama mostrado na Fig. 2.

Portanto quando as rodas rolam sem deslizar (u = w), s=0, e quando as rodas estão travadas (w = 0) s=1.

Entretanto, µ(s) é um função complicada, e este modelo só pode ser resolvido numericamente [2], o que está fora do nosso interesse. Contudo, de acordo com o modelo proposto por Denny [1], µ(s) atinge um valor máximo quando o valor de s está próximo de zero, e começa a cair, enquanto o valor de s se aproxima de 1. Ou seja, µ(s) tem seu valor máximo, aproximadamente, quando as rodas rolam sem deslizar (s≈0), e seu valor mínimo quando as rodas estão travadas (s=1).

Percebendo isso e procurando um modelo que pudesse ser discutido com universitários alunos de cursos de física introdutórios, Tavares [2] propôs fazer a aproximação para o modelo de atrito estático e cinético, tomando o para µ_e o valor máximo obtido para µ(s), e para µc o valor mínimo, uma vez que µ_e>µ_c. As distâncias de frenagem, com o uso de freios ABS, encontradas por ele usando este modelo simplificado são bastante próximas às encontradas usando o modelo mais complexo, o que mostra que a aproximação é válida [2].

Assim, partiremos deste modelo, descrevendo nas próximas seções a dinâmica da frenagem e, por fim, propondo um modelo para ser aplicado no Ensino Médio.

2. A dinâmica da frenagem

Vamos analisar o movimento de um automóvel durante a frenagem. Por simplicidade vamos considerar o peso do veículo igualmente distribuído nas quatro rodas, dessa forma a força normal, N, é a mesma em todas elas. Também para simplificar vamos supor que o carro esteja se locomovendo apenas na direção horizontal, assim a soma de todas as forças que atuam no corpo na direção vertical é nula. Pela 2^a lei de Newton, para o movimento do centro de massa do carro, temos [2]

onde M é a massa, e n é o número de rodas do veículo e a é a aceleração do centro de massa do veículo e F_at é a força de atrito em cada roda.

Apenas com essa equação podemos calcular a distância mínima necessária para parar o veículo, no entanto, como vamos analisar a influência dos freios ABS, que tem por finalidade impedir o travamento das rodas, é interesante resolvê-la em função da pressão que o motorista exerce no pedal do freio no momento da freada.

Isto pode ser feito, olhando-se para as rodas do automóvel. De acordo com a dinâmica dos corpos rígidos vale a seguinte Eq. [3]

onde τ_ext é o torque das forças externas, I é o momento de inércia da roda e α é a sua aceleração angular.

Observando a Fig. (3) vemos que, em cada roda, devemos considerar o torque feito feito pela força de atrito entre os pneus e o solo e o torque feito pelo sistema de freio (G). Aplicando a Eq. (3) para cada roda obtemos [2]

onde G é o torque feito na roda pelo sistema de freio e está diretamente relacionado com a pressão que o motorista aplica no pedal do freio, R é o raio efetivo das rodas do automóvel, que, novamente por simplicidade, supomos sejam iguais em todas elas, dessa forma RF_at é o torque devido à força de atrito.

2.1. Rodas rolando sem deslizar

Primeiro vejamos a situação em que as rodas rolam sem deslizar. Neste caso o atrito entre elas e a pista é o atrito estático, e motorista deve controlar a pressão no freio, consequentemente controlando G, de tal forma que entre a e α valha a relação

Como estamos interessados em calcular a distância de frenagem precisamos determinar a aceleração do automóvel, que deve obedecer à condição imposta pela Eq. (5). Substituindo F_at, obtido na Eq. (2), na Eq. (4), obtemos

Neste momento é interessante definir duas grandezas adimensionais, o torque reduzido, Γ, e o momento de inércia reduzido, ν, dados por [2]

onde g é a aceleração da gravidade.

Como podemos observar por suas definições Γ está relacionado ao torque feito nas rodas pelo sistema de freio, e portanto é controlado pelo motorista, enquanto ν caracteriza o veículo.

Substituindo as Eqs. (7) e (8) na Eq. (6) temos

Finalmente rearranjando a Eq. (9) encontramos a aceleração do veículo como função de Γ e ν que se lê

A Eq. (10) mostra que a aceleração, e portanto a distância percorrida durante a frenagem, depende, por meio de Γ, da força que o motorista faz ao acionar os freios. Se o torque exercido na roda pelo sistema de freios, G, for constante, a aceleração, a, do veículo também o será e, segundo a equação de Torricelli a distância, d, necessária para parar o automóvel, que viaja com uma velocidade inicial v₀ é

Substituindo a Eq. (10) na Eq. (11) obtemos a distância de frenagem, d_e, quando o atrito é o estático

É preciso ressaltar que a Eq. (12) só vale quando as rodas rolam sem deslizar, portanto é interessante calcular o torque máximo que o sistema de freios pode exercer na roda sem travá-la. Vamos fazê-lo por meio do parâmetro Γ, ou seja, vejamos qual deve ser o seu valor máximo, a fim de que continue valendo a Eq. (5), o que deve acontecer quando a força de atrito tiver seu valor máximo.

Podemos determinar µ_e em função de Γ e ν. Como no modelo que estamos utilizando o peso está igualmente distribuído pelas quatro rodas, a força normal em cada uma é Mg/n , assim temos

A força de atrito em cada roda, F_at, é obtida substituindo a aceleração encontrada, Eq. (10), na Eq. (2)

Substituindo a Eq. (14), na Eq. (13), obtemos

Como estamos interessados no valor máximo de Γ, no qual as rodas rolam sem deslizar, rearranjando a Eq. (15)

onde Γ_cr é o Γ crítico, ou seja, é o valor máximo que ele pode assumir sem provocar o travamento das rodas.

Nessa situação a distância de frenagem será a menor possível, e pode ser calculada substituindo a Eq. (16) na Eq.(12). O resultado é

Assim, se Γ<Γ_cr as rodas rolam sem deslizar, atuando, portanto, o atrito estático, e se Γ>Γ_cr ocorre o travamento das rodas, que passam a deslizar, e dessa forma o atrito passa a ser cinético.

2.2. Rodas rolando com deslizamento ou travadas

Agora vejamos a situação onde Γ>Γ_c. Neste caso |a|<|α|R, sendo assim a roda começa a rolar com deslizamento, e trava antes do carro parar. O atrito é cinético, e a sua intensidade, que é constante,como o carro está se movendo horizontalmente, a intensidade da força normal em cada roda é dada pelo seu peso (Mg) dividido pelo número de rodas (n). Assim a força de atrito em cada roda é

Substituindo a Eq. (18) na Eq. (2) podemos calcular a aceleração do veículo

A distância de frenagem é obtida substituindo a Eq. (19) na Eq.(11)

2.3. A transferência de peso

Nas seções anteriores, para simplificar, consideramos o peso igualmente distribuído nas quatro rodas, no entanto, de acordo com Whitmire e Alleman [4] durante a frenagem ocorre uma transferência de peso, da traseira para a frente do veículo, assim a força normal, que supomos iguais nas quatro rodas, seria maior nas dianteiras e menor nas traseiras.

Na seção (2.1) calculamos o valor máximo que Γ poderia assumir sem provocar o travamento da rodas. No entanto é preciso ressaltar que esse cálculo foi feito sem levar em conta a transferência de peso, sendo assim se Γ<Γ_c as quatro rodas rolam sem deslizar, e se Γ>Γ_c elas começam a deslizar. Sendo a força normal nas rodas traseiras menor que nas dianteiras, pode acontecer das traseiras começarem a deslizar, enquanto as dianteiras permanecem rolando sem deslizar. Assim precisamos refazer alguns cálculos, para obter a distância mínima para frenagem com as quatro rodas rolando sem deslizar. Se F_D e F_T a força de atrito nas rodas dianteiras e traseiras, respectivamente, precisamos reescrever a Eq. (4), trocando F_at por F_D e F_T, obtendo

Se supusermos que as quatro rodas sejam idênticas, as acelerações angulares, α_D e α_T também devem ser iguais, e admitindo que o torque exercido pelo sistema de freios seja o mesmo em todas as rodas, ou seja G_D=G_T, podemos concluir que a força de atrito será a mesma em todas elas, F_D=F_T.

Assim a força de atrito máxima nas rodas, para que todas continuem rolando sem deslizar, seria a força de atrito máxima nas rodas traseiras, dada por µ_eN_T, onde N_T é a força normal nas rodas traseiras. Para determiná-la vamos supor que o centro de massa do veículo seja equidistante dos eixos traseiros e dianteiros, e que sua altura seja a metade dessa distância, como na Fig. (4).

Essa suposição foi feita por Whitmire e Alleman [whi], resultando que

Dessa forma a força de atrito estático máxima nas rodas traseiras seria

Assim, se , a força total nas quatro rodas será , e a força de atrito em cada uma

Substituindo o valor de F_at obtido na Eq. (25), na Eq. (2), podemos calcular a aceleração do automóvel, que será

Agora podemos determinar a distância mínima para parar o veículo(d_etrans), com as quatro rodas rolando e levando-se em conta a transferência de peso. Substituindo a aceleração encontrada na Eq. (26), na equação de Torricelli, obtemos

Vamos comparar essa distância detrans com a obtida sem levar em consideração a transferência de peso, de, dividindo a Eq. (27) pela (17)

Como µ_e é positivo, podemos concluir que d_etrans>d_e.

Outra hipótese que devemos considerar é a possibilidade, quando se leva em conta a transferência de peso, das rodas traseiras travarem, enquanto as dianteiras continuam rolando sem deslizar. Como a força normal é menor no eixo traseiro, a força de atrito estático máxima também o é. Sendo assim o torque feito pelo sistema de freios, nas rodas traseiras, pode ser maior que o feito pela força de atrito, provocando o travamento das mesmas, e menor do que o da força de atrito nas rodas dianteiras, permitindo que elas continuem rolando sem deslizar.

Nessa situação, segundo Whitmire e Alleman [4], a força normal nos eixos, dianteiro e traseiro, admitindo-se as aproximações feitas anteriormente em relação à posição do centro de massa, seriam dadas por

e

O atrito nas rodas traseiras seria cinético, dado por µ_cN_T, e nas rodas dianteiras seria estático. Para calcularmos a distância mínima necessária para frenagem, devemos considerar esse atrito como tendo seu valor máximo, dado por µ_eN_D. Dessa forma a força de atrito total nas quatro rodas seria µ_cN_T+µ_eN_D. A 2^a lei de Newton, seria assim escrita

Substituindo os valores de N_D e N_T, Eqs. (29) e (30), na Eq. (31), podemos calcular a aceleração do veículo

Para calcular a distância de frenagem, com as rodas traseiras travadas e as dianteiras rolando sem deslizar(d_ctrans), basta substituir a aceleração encontrada na equação de Torricelli, obtendo

Agora podemos comparar essa distância com a menor distâcia necessária para parar o veículo com as quatro rodas rolando, sem considerar a a tranferência de peso, obtida na Eq. (17), onde temos

Observando a Eq. (34) vemos que determinar qual distância é a maior não é trivial, e uma opção que temos é substituir nela os valores de µ_e e µ_c. No entanto, segundo afirma Tavares [2], esses valores são difíceis de ser encontrados. Sendo assim utilizaremos aqui valores médios, que encontramos em alguns artigos, e na internet. Em geral [4-7] o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista, tem valores próximos de 1, equanto o coeficiente de atrito cinético tem valores menores que um, considerando o asfalto seco. Sendo assim usaremos µ_e=1, e µ_c=0,8, obtendo

Como podemos ver, neste tipo de frenagem com as quatro rodas rolando, supondo o peso igualmente distribuído nas quatro rodas, seria mais eficiente do que com as rodas traseiras travadas e as dianteiras rolando sem deslizar, considerando a transferência de peso.

Outra situação que pode ocorrer é o travamento tanto das rodas dianteiras, quanto das traseiras. Neste caso acreditamos que a transferência de peso não teria efeito sobre a distância de frenagem, pois nos dois eixos o atrito seria cinético, resultanto que

e

Sendo assim a força de atrito total sobre o veículo é F_D+F_T=µ_c(N_D+N_T). Como N_D+N_T=Mg, reobtemos a Eq. (18).

2.4. O torque da força normal

Outro ponto que devemos destacar é a deformação dos pneus na região em contato com a pista. De acordo com Silveira [8], essa deformação faz com que a pressão na região de contato com o solo não seja uniforme, mas cresça no sentido do movimento, fazendo com que a força normal seja deslocada para frente em relação ao centro da região de contato de uma distância x.

Sendo assim o torque da força normal, em relação ao eixo de rotação da roda, não é nulo, sendo dado por , uma vez que a força normal em cada roda é . Esse torque deve ser considerado, dessa forma devemos acrescentar um termo relativo à força normal na Eq. (4), obtendo

Repetindo o processo utilizado para obter a Eq. (6) temos

Substituindo ν na Eq. (39), obtemos:

onde .

Finalmente, rearranjando a Eq. (40) encontramos a aceleração

A distância necessária para a frenagem é dada por

Assim o valor máximo, Γ_cr, que o parâmetro Γ, pode assumir sem provocar o travamento das rodas, seria dado por

Observando as Eqs. (42) e (43), percebemos que a distância mínima de frenagem seria a mesma, considerando, ou não, o torque normal, uma vez, que nos dois casos, a força máxima na direção horizontal que pode atuar no veículo é µ_eN. No entanto, o torque máximo que pode ser feito nas rodas sem travá-las é menor quando levamos em conta o torque da força normal.

3. Os freios ABS

3.1. A frenagem mais eficiente

Nas seções anteriores calculamos as distâncias de frenagem de um automóvel nos regimes de atrito estático e cinético, e considerando µ_e>µ_c. Pelas Eqs. (17) e (20) a distância de frenagem com as rodas travadas é maior que a menor distância de frenagem possível com as rodas rolando sem deslizar, quando a força de atrito for máxima. Isto pode nos levar a concluir que quando as rodas estiverem rolando sem deslizar, a frenagem será mais eficiente, entretanto, como a força de atrito estático não tem um valor fixo, podemos deduzir que

ou seja, só é possível afirmar que a distância de frenagem com as rodas rolando é menor dos que com as rodas travadas, quando elas estiverem na iminência de começar a deslizar.

Na Eq. (17) determinamos a distância mínima necessária para parar o carro uma vez que utilizamos a força de atrito máxima. Portanto, podemos concluir que

ou

se Γ→0.

Assim, deve haver um certo valor para Γ, para o qual as distâncias de frenagem, nos regimes de atrito cinético e estático, têm o mesmo valor, ou seja onde d_e=d_c. Podemos obtê-lo igualando as Eqs. (20) e (12)

onde Γ∗ é o torque reduzido para o qual d_e=d_c.

É importante lembrar que a Γ está relacionado à força que o sistema de freios faz na roda do carro, portanto quando pisamos no pedal, a fim de parar o veículo, o que desejamos ter é que Γ^∗<Γ<Γ_cr,uma vez que para Γ<Γ^∗ as rodas rolam sem deslizar e, embora o atrito seja estático, pisamos tão leve que a frenagem é menos eficiente do que com as rodas travadas, e com Γ>Γ_cr as rodas travam, entrando no regime de atrito cinético.

Numa situação ideal teríamos Γ=Γ_cr,ou seja, (Fig. 5) no entanto é difícil para o motorisrta, usando apenas sua sensibilidade ao volante, consegruir controlar a força aplicada a fim de não ultrapassar Γ_cr.

Por isso foi desenvolvido o sistema de freios ABS, que não só evita o travamento das rodas, como procura fazer com que a força de atrito, entre os pneus e o solo, fique o mais próximo possível de µ_eN. Este sistema de freios, por meio de sensores, monitora o veículo, comparando a velocidade de cada roda com a velocidade do carro. Quando a velocidade da roda cai em relação à do carro é que o sistema "entra em ação" , diminuindo, ou amentando a pressão no freio de cada roda, a fim de manter para cada uma a relação a=αR. Esta operação se repete 15 vezes, ou mais, por segundo, antes que o pneu possa mudar de aceleração angular de forma significativa, assim o sistema mantém os pneus muito próximos do ponto onde eles começam a deslizar, oferecendo ao sistema o máximo poder de frenagem.

3.2. A dinâmica da frenagem com os freios ABS

Como dissemos, o sistema ABS possui sensores nas rodas que detectam quando Γ=Γ_cr, e diminuem seu valor, durante um certo intervalo de tempo Δt, de um fator ΔΓ, ou seja, até que Γ=Γ_cr-ΔΓ_cr. Em seguida o torque aplicado é aumentado até atingir novante Γ_cr. Este ciclo é repetido continuamente até que o veículo pare, assim o torque médio aplicado nas rodas é dado por

Nesta situação as rodas rolam sem deslizar, valendo portanto o regime de atrito estático. Substituindo a Eq. (48) na (10) temos a aceleração para veículos que dispõem do sistema ABS

Também podemos determinar a distância de frenagem, no entanto temos de fazer algumas considerações. Quando calculamos a distância de frenagem para o regime de atrito estático supusemos que G, e portanto Γ, era constante. Agora, no entanto, temos Γ variando entre Γ_cr e Γ_cr-ΔΓ_cr. Contudo, se considerarmos Δt suficientemente pequeno, podemos considerar Γ como sendo constante e dado pela Eq. (48), assim podemos determinar a distância de frenagem substituindo a Eq. (48) na (12)

Se dividirmos a Eq. (50) pela Eq. (12), podemos comparar a distância de frenagem com o uso do ABS, com a distância mínima de frenagem com as quatro rodas rolando sem deslizar(Γ=Γ_cr). O resultado é

A Eq. (51) nos mostra que quanto menor for o valor de ΔΓ_cr, mais a distância de frenagem se aproxima do menor valor possível, no entanto seria interessante calculá-la em função do coeficiente de atrito, como fizemos, nas seções anteriores, quando não consideramos o uso do ABS. Substituindo Γ_cr, Eq. (16), podemos calcular ΔΓ_cr

Considerando ν constante temos

Assim, substituindo as Eq. (16) e (53) em (48), podemos calcular Γ_ABS

Substituindo a Eq. (54) em (50) obtemos

E finalmente

onde .

Com o uso do ABS, a força de atrito entre os pneus e a pista não é constante, mas podemos calcular uma média, que seria dada por

De acordo com Toresan Jr. [9], perito criminal, esse modelo é utilizado para calcular a velocidade de veículos equipados com ABS.

Recebido em 19/8/2013

Aceito em 19/9/2013

Publicado em 11/5/2014

• [1] M. Denny, European Journal of Physics 26, 1007 (2005).
• [2] J.M. Tavares, European Journal of Physics 30, 697 (2009).
• [3] H. Moysés Nussenzveig, Curso de Física Básica 1 - Mecânica (Editora Edgard Blücher, São Paulo, 1997).
• [4] D.P. Whitmire and T.J. Alleman, American Journal of Physics 47, 89, (1979).
• [5] F.L. Silveira, Física na Escola 8:2, 16 (2007).
• [6] A.A. Kleer, M.R. Thielo, A.C.K. Santos, Caderno Catarinense de Ensino de Física 14, 160 (1997).
• [7] http://www.dem.ist.utl.pt/acidentes/para/segur_texp.html, acessado em 15/9/2010.
  » link
• [8] F.L. Silveira, Revista Brasileira de Ensino de Física 33, 1304 (2011).
• [9] W. Toresan Jr., Cálculo de Velocidade para Veículos Equipados com Sistemas de Freios ABS, Disponível em http://www.estradas.com.br/sosestradas/articulistas/wilson_t_jr/calculo_de_velocidade _veiculos_equip_abs.pdf, acessa em 4/10/2010.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  03 Jul 2014
• Data do Fascículo
  Jun 2014

Histórico

• Recebido
  19 Ago 2013
• Aceito
  19 Set 2013