Equilíbrio hidrostático e estabilidade radial de anãs brancas no regime newtoniano^**

Hydrostatic equilibrium and radial stability of white dwarfs in the Newtonian regime

Resumo

Apresenta-se uma análise estrutural e de estabilidade radial de anãs brancas no regime newtoniano, baseada na integração numérica das equações de estrutura estelar acopladas à equação de estado relativística completa de Chandrasekhar para um gás de elétrons degenerado a temperatura zero. As equações são resolvidas pelo método de Runge–Kutta de quarta ordem, tomando a densidade central ${\rho }_c$ como parâmetro livre. Obtêm-se as relações massa–raio $M\left(R\right)$ e massa–densidade central $M\left({\rho }_c\right)$, incluindo a saturação assintótica da massa em direção ao limite de Chandrasekhar, $M_{\text{Ch}}\simeq \mathrm{1,44}{M}_{\odot }$ (para ${\mu }_e=2$). A estabilidade é investigada pelo critério clássico baseado em $\text{d}M/\text{d}{\rho }_c$. Mostra-se que, no modelo newtoniano estrito, essa derivada permanece positiva em densidades finitas, refletindo a saturação; o turning point físico ($\text{d}M/\text{d}{\rho }_c=0$) requer física adicional, como relatividade geral ou captura eletrônica. Discute-se ainda a origem física do limite de Chandrasekhar, associada ao comportamento ultra-relativístico da equação de estado, com índice adiabático efetivo tendendo a $\text{Γ}\to 4/3$. O modelo fornece uma descrição transparente e fisicamente consistente, adequada como referência formativa para o estudo de objetos compactos.

Palavras-chave:
Anãs brancas; equilíbrio hidrostático; equação de estado degenerada; estabilidade radial; limite de Chandrasekhar

Abstract

We present a structural and radial-stability analysis of white dwarfs in the Newtonian regime, based on the numerical integration of the stellar structure equations coupled to Chandrasekhar’s fully relativistic equation of state for a zero-temperature degenerate electron gas. The equations are solved using a fourth-order Runge–Kutta scheme, taking the central density ${\rho }_c$ as a free parameter. We obtain the mass–radius relation $M\left(R\right)$ and the mass–central-density relation $M\left({\rho }_c\right)$, including the asymptotic saturation of the mass toward the Chandrasekhar limit, $M_{\text{Ch}}\simeq 1.44M_{\odot }$ (for ${\mu }_e=2$). Stability is assessed through the classical criterion based on $\text{d}M/\text{d}{\rho }_c$. We show that, within the strict Newtonian model, this derivative remains positive at finite densities, reflecting the saturation; the physical turning point ($\text{d}M/\text{d}{\rho }_c=0$) requires additional physics, such as general relativity or electron capture. We also discuss the physical origin of the Chandrasekhar limit, associated with the ultra-relativistic behaviour of the equation of state, with the effective adiabatic index approaching $\text{Γ}\to 4/3$. The model provides a transparent and physically consistent description, suitable as a formative reference for the study of compact objects.

Keywords:
White dwarfs; hydrostatic equilibrium; degenerate equation of state; radial stability; Chandrasekhar limit

1. Introdução

As anãs brancas constituem o estágio final da evolução de estrelas com massas iniciais inferiores a aproximadamente $9\text{–}10M_{\odot }$, cuja pressão de degenerescência dos elétrons interrompe as reações nucleares no núcleo antes da fusão do carbono. Anãs brancas dominadas por carbono e oxigênio (C/O) constituem a população majoritária, enquanto anãs brancas de hélio requerem evolução em sistemas binários com troca ou perda de massa, pois seu tempo de vida individual excede a idade da Galáxia [², ³]. Esses objetos compactos são sustentados principalmente pela pressão de degenerescência dos elétrons [⁴, ⁵], o que lhes confere propriedades estruturais singulares: densidades médias tipicamente da ordem de $\overline{\rho }\sim {10}^{\text{6}}$ g/cm³, raios comparáveis ao da Terra ($R\sim {10}^{\text{4}}$ km), massas próximas à do Sol ($M\sim \mathrm{0,6}{M}_{\odot }$) e uma relação massa–raio não intuitiva, em que estrelas mais massivas apresentam raios menores [⁶, ⁷, ⁹]. Desde os trabalhos pioneiros de Chandrasekhar, as anãs brancas ocupam um papel central na astrofísica estelar e continuam sendo laboratórios naturais essenciais para o estudo da física de matéria degenerada [⁸, ⁹, ¹⁰, ¹¹].

Do ponto de vista teórico, a estrutura das anãs brancas pode ser descrita, em primeira aproximação, pelo equilíbrio hidrostático entre a gravitação e a pressão de degenerescência. Nesse contexto, a equação de estado do gás de elétrons degenerado conduz naturalmente à existência de uma massa limite, conhecida como limite de Chandrasekhar [¹², ¹³], acima da qual não existem configurações de equilíbrio hidrostático [⁸]. A origem física desse limite está associada ao comportamento ultra-relativístico profundo do gás degenerado, no qual a equação de estado tende à forma politrópica $P\propto {\rho }^{4/3}$ e o índice adiabático efetivo aproxima-se do valor crítico $\text{Γ}=4/3$[¹⁴].

Observacionalmente, o estudo das anãs brancas ganhou novo impulso na última década com a disponibilização de grandes catálogos astrométricos e fotométricos de alta precisão. Em particular, os dados do satélite Gaia permitiram a determinação simultânea de massas e raios para um grande número de anãs brancas [¹⁵, ¹⁶], fornecendo testes observacionais diretos para modelos teóricos da relação massa–raio [¹⁷, ¹⁸, ¹⁹]. Além disso, medições independentes e de alta precisão em binárias eclipsantes e em sistemas binários largos reforçam a validação observacional da relação massa–raio [²⁰, ²¹, ²², ²³, ²⁴].

Apesar da existência de modelos mais sofisticados que incorporam relatividade geral, temperatura finita, efeitos de composição química, rotação ou campos magnéticos, descrições baseadas na gravitação newtoniana e na equação de estado relativística completa do gás de elétrons degenerado permanecem extremamente úteis [²⁵]. Tais modelos capturam os mecanismos físicos dominantes responsáveis pelas propriedades globais das anãs brancas e fornecem uma base conceitual clara para a compreensão do limite de massa e das condições de estabilidade [³, ⁹]. Refinamentos clássicos ao modelo de Chandrasekhar, como correções coulombianas e aproximações analíticas para a relação massa–raio [²⁶], também são amplamente discutidos na literatura [²⁷, ²⁸, ²⁹, ³⁰].

Neste trabalho apresentamos uma descrição integrada e reprodutível da estrutura de anãs brancas no regime newtoniano, conectando explicitamente: (i) as equações de equilíbrio hidrostático, (ii) a equação de estado relativística de Chandrasekhar para elétrons degenerados e (iii) o comportamento assintótico da massa ao longo de sequências uniparamétricas de equilíbrio e sua análise por meio do critério clássico baseado em $\text{d}M/\text{d}{\rho }_c$. O trabalho assume simetria esférica, ausência de rotação e campos magnéticos, temperatura nula e gravitação newtoniana. Não realizamos uma análise espectral completa de modos de oscilação radial nem incorporamos relatividade geral, temperatura finita ou composição estratificada; tais extensões extrapolam o escopo do presente estudo e são comentadas qualitativamente na Discussão. Em particular, discutimos como o modelo newtoniano estrito identifica corretamente o valor limite $M_{\text{Ch}}\simeq \mathrm{1,44}{M}_{\odot }$ como resultado assintótico da sequência, mas não descreve a instabilidade dinâmica em densidade finita, que emerge apenas quando física adicional é incluída no modelo.

O artigo está organizado da seguinte forma: na Seção 2 apresentamos o modelo físico, incluindo as equações de estrutura e a equação de estado; na Seção 3 descrevemos o método numérico; na Seção 4 apresentamos os resultados estruturais principais; na Seção 5 desenvolvemos a análise de estabilidade radial e discutimos a origem física do limite de Chandrasekhar; na Seção 6 discutimos o alcance físico do modelo e suas limitações; e, por fim, resumimos as conclusões principais na Seção 7.

2. Modelo Físico

2.1. Equações de estrutura

O estado estrutural de uma anã branca pode ser descrito, em primeira aproximação, como o equilíbrio entre a atração gravitacional e o gradiente de pressão interna associado ao gás de elétrons degenerado [², ³¹]. No presente trabalho, adotamos um tratamento newtoniano, apropriado para anãs brancas típicas, cujo parâmetro de compacidade $GM/\left(R{c}^2\right)$ permanece pequeno quando comparado à unidade [³, ⁹, ²⁵].

Assumindo simetria esférica, ausência de rotação e campos magnéticos desprezíveis, bem como um fluido perfeito descrito por uma equação de estado barotrópica, o equilíbrio hidrostático e a conservação de massa são governados pelo sistema

(1) $$\frac{dP\left(r\right)}{dr}=-\frac{Gm\left(r\right)\rho \left(r\right)}{r^2},$$

(2) $$\frac{dm\left(r\right)}{dr}=4\pi r^2\rho \left(r\right),$$

onde $P\left(r\right)$ é a pressão, $\rho \left(r\right)$ a densidade de massa e $m\left(r\right)$ a massa encerrada no interior do raio $r$.

As condições de contorno naturais são impostas no centro da estrela,

(3) $$m\left(0\right)=0,\rho \left(0\right)={\rho }_c,$$

onde ${\rho }_c$ é a densidade central, considerada como parâmetro livre que define a sequência de modelos hidrostáticos. A integração do sistema prossegue radialmente até que a pressão se anule, $P\left(R\right)=0$, o que define o raio total $R$ da configuração e a massa total $M=m\left(R\right)$.

Ressalte-se que as soluções obtidas a partir das Eqs. (1)–(2) representam apenas configurações de equilíbrio mecânico. A estabilidade dessas configurações frente a perturbações pequenas não é garantida a priori e deve ser analisada separadamente, como discutido na Seção 5. Ainda assim, o estudo do equilíbrio hidrostático fornece a base necessária para a construção das relações massa–raio e massa–densidade central, que sustentam a análise de estabilidade das anãs brancas [⁸].

2.2. Equação de estado do gás de elétronsdegenerado

O suporte estrutural das anãs brancas é fornecido majoritariamente pela pressão de degenerescência dos elétrons, resultante do princípio de exclusão de Pauli [³², ³³, ³⁴]. Em densidades suficientemente elevadas, os elétrons formam um gás degenerado fortemente comprimido, cujo comportamento termodinâmico pode ser descrito, em primeira aproximação, por uma equação de estado a temperatura nula ($T=0$) [⁸, ⁹]. Correções clássicas de interação à EoS ideal do gás de Fermi degenerado levam a modificações quantitativas nas propriedades globais das anãs brancas. As interações Coulombianas em plasma degenerado [²⁷, ²⁸] produzem uma redução da pressão da ordem de $\sim 1\text{–}5\%$ no regime de altas densidades, resultando em correções na relação massa–raio e no valor limite de Chandrasekhar da ordem de $\Delta M/M\sim {10}^{-2}$. Correções tipo Thomas–Fermi e de troca (exchange forces) [⁵¹, ⁵²] são tipicamente uma ordem de magnitude menores. Efeitos eletrostáticos adicionais na composição química da matéria degenerada foram discutidos por Kothari [³⁰].

Introduzindo a variável adimensional

(4) $$x\equiv \frac{p_F}{m_{e}c},$$

onde $p_F$ é o momento de Fermi, a pressão do gás de elétrons degenerado relativístico pode ser deduzida a partir da distribuição de Fermi–Dirac a $T=0$ e escrita como [⁸, ⁹]

(5) $$\begin{array}{l}{P}_e\left(x\right)=\frac{\pi m_e^4{c}^5}{3h^3}[x(2x^2-3)\sqrt{x^2+1}\\ +3\ln (x+\sqrt{x^2+1})],\end{array}$$

em que $m_e$ é a massa do elétron, $c$ a velocidade da luz e $h$ a constante de Planck.

A densidade de massa $\rho$ relaciona-se ao momento de Fermi por

(6) $$\rho ={\mu }_e{m}_u\frac{8\pi }{3h^3}{p}_F^3,$$

onde $m_u$ é a unidade de massa atômica e ${\mu }_e$ é o número médio de núcleons por elétron, dependente da composição química. Neste trabalho adotamos ${\mu }_e$ constante ao longo da estrela, apropriado para um modelo de referência de composição uniforme. Para composições típicas dominadas por carbono e oxigênio, tem-se ${\mu }_e\simeq 2$[⁵], valor amplamente utilizado em tratamentos clássicos e adequado como aproximação de primeira ordem para discutir tendências globais. Efeitos associados à diversidade populacional (binariedade, magnetismo) evidenciados por amostras modernas baseadas em Gaia não são modelados aqui e são comentados qualitativamente na Discussão [¹⁹, ³⁵].

Nos limites assintóticos, a equação de estado admite formas politrópicas simples [³⁶, ³⁷]. No regime não relativístico ($x\ll 1$),

(7) $$P\propto {\rho }^{5/3},$$

enquanto no regime ultra-relativístico ($x\gg 1$),

(8) $$P\propto {\rho }^{4/3}.$$

Esses limites evidenciam a transição gradual do índice adiabático efetivo $\text{Γ}$ de valores maiores que $4/3$ (regime não relativístico) para o valor crítico $\text{Γ}=4/3$ em altas densidades [⁸].

Na Fig. 1 apresenta-se graficamente a equação de estado de Chandrasekhar para um gás de elétrons degenerado a temperatura zero. Observa-se que a pressão é uma função monotonicamente crescente da densidade de massa, o que reflete a exigência fundamental do equilíbrio hidrostático: em cada ponto no interior da estrela, a pressão deve sustentar o peso da matéria localizada acima desse ponto.

Figura 1
Equação de estado do gás de elétrons degenerado a temperatura zero. A curva sólida representa a equação de estado completa de Chandrasekhar, enquanto as linhas tracejadas correspondem aos limites assintóticos traçados em suas respectivas regiões de validade: não relativista ($P\propto {\rho }^{5/3}$, $x<1$) e ultra-relativista ($P\propto {\rho }^{4/3}$, $x>1$). A linha vertical pontilhada indica a região de transição entre os dois regimes, caracterizada por $x\simeq 1$, onde $x=p_F/\left(m_{e}c\right)$.

Consequentemente, a pressão anula-se na superfície estelar e aumenta progressivamente em direção ao centro, onde atinge seu valor máximo. Esse comportamento monotônico é uma característica geral de configurações autogravitantes em equilíbrio e garante a consistência física do modelo adotado para descrever a estrutura interna das anãs brancas.

A Fig. 1 sintetiza ainda a transição entre os regimes não relativístico e ultra-relativístico do gás degenerado, fornecendo o fechamento físico necessário ao sistema de equações de estrutura (Eqs. 1–2) e permitindo a construção das sequências de equilíbrio apresentadas nas seções seguintes. Em particular, o comportamento ultra-relativístico profundo da equação de estado está diretamente associado à saturação assintótica da massa em direção ao limite de Chandrasekhar ao longo da sequência de equilíbrio, cuja interpretação em termos de estabilidade radial é desenvolvida na Seção 5.

3. Método Numérico

A determinação das propriedades estruturais das anãs brancas foi realizada por meio da integração numérica das equações de estrutura estelar no regime newtoniano, dadas pelas Eqs. (1)–(2), acopladas à equação de estado (EoS) do gás de elétrons degenerado discutida na Seção 2.2 (ver Fig. 1). As Eqs. (1)–(2) constituem um sistema não fechado, cuja resolução requer a especificação de uma relação $P=P\left(\rho \right)$ fornecida pela EoS. No presente trabalho, essa relação é dada pela EoS relativística completa de Chandrasekhar, cuja compatibilidade com o tratamento newtoniano da gravitação é garantida pelo fato de que, mesmo no regime ultra-relativístico dos elétrons, a densidade de energia total é dominada pela energia de repouso dos núcleons ($\rho c^2\gg P$). Assim, a curvatura do espaço-tempo permanece pequena ($GM/\left(R{c}^2\right)\ll 1$), justificando o uso da mecânica newtoniana para descrever a gravitação, enquanto a microfísica dos elétrons é tratada consistentemente pela EoS relativística. O sistema é resolvido como um problema de valor inicial, parametrizado pela densidade central ${\rho }_c$, que define a sequência uniparamétrica de modelos hidrostáticos.

3.1. Condições iniciais e regularidade no centro

Para evitar a singularidade formal em $r=0$ no termo gravitacional da Eq. (1), a integração é iniciada em um raio pequeno, mas finito, $r=ϵ$[⁹, ²⁵], com $ϵ\ll R$, onde $R$ é o raio estelar. As condições iniciais são aproximadas por

(9) $$m\left(ϵ\right)\simeq \frac{4\pi }{3}{\rho }_c{ϵ}^3,P\left(ϵ\right)\simeq P\left({\rho }_c\right),$$

o que garante a regularidade das soluções próximas ao centro [³, ⁹].

3.2. Acoplamento com a equação de estado e variável de integração

As equações de estrutura, Eqs. (1)–(2), são integradas em $(m,P)$ como funções da coordenada radial $r$, com a densidade $\rho \left(r\right)$ obtida a cada passo pela inversão da EoS tabulada, $\rho =\rho \left(P\right)$. A EoS completa de Chandrasekhar é implementada numericamente por meio de uma tabela $P\left(\rho \right)$ gerada previamente com passo denso no intervalo de densidades relevantes. A inversão $\rho \left(P\right)$ é realizada por interpolação (tipicamente cúbica ou spline) sobre essa mesma tabela, garantindo eficiência computacional e continuidade na transição entre os regimes não relativístico e ultra-relativístico do gás degenerado [³⁸].

3.3. Integração numérica e critério de superfície

A integração radial do sistema é realizada empregando o método de Runge–Kutta de quarta ordem (RK4), escolhido por sua estabilidade e boa precisão para sistemas de equações diferenciais ordinárias suaves [³⁸, ³⁹]. O passo radial $\Delta r$ é mantido fixo ao longo da integração, sendo selecionado de modo a assegurar convergência das quantidades globais (massa e raio).

Para um dado valor de ${\rho }_c$, a integração prossegue até que a pressão atinja um valor pequeno associado à superfície estelar, $P\le P_{\mathrm{surf}}$. No limite contínuo, esse critério corresponde a $P\left(R\right)=0$, definindo o raio total $R$ da configuração. Na prática, a superfície é localizada por meio de interpolação linear entre os dois últimos passos radiais em que a pressão cruza o valor de superfície, obtendo-se $R$ e $M=m\left(R\right)$ de forma robusta [⁴⁰, ⁴¹].

Cabe destacar que a condição $P\left(R\right)=0$ representa uma aproximação: em anãs brancas reais, a superfície é constituída por um envelope não-degenerado de plasma ordinário (tipicamente hidrogênio ou hélio) com massa da ordem de $M_{env}\sim {10}^{-4}{M}_{\odot }$, correspondendo a uma fração $\sim {10}^{-4}$ da massa total [¹⁰, ¹¹]. Como esse envelope contribui de forma desprezível para a massa e o raio globais, os erros introduzidos pela aproximação degenerada até a superfície são pequenos (tipicamente inferiores a $1\%$ no raio), justificando seu uso no presente estudo estrutural.

3.4. Construção da sequência de modelos e testes de convergência

Repetindo-se o procedimento para uma faixa de densidades centrais ${\rho }_c\in [{\rho }_{c,\min },{\rho }_{c,\max }]$, constrói-se a sequência de equilíbrio e obtêm-se as relações massa–raio e massa–densidade central. Em particular, a curva $M\left({\rho }_c\right)$ permite caracterizar o comportamento assintótico da massa e sustentar a análise de estabilidade radial via o critério clássico baseado no sinal de $dM/d{\rho }_c$, conforme discutido na Seção 5.

A robustez numérica dos resultados é verificada por testes de convergência, variando-se o passo $\Delta r$ e confirmando-se que as massas e raios calculados permanecem inalterados dentro da precisão adotada [⁴²]. Esse procedimento assegura consistência interna e confiabilidade na determinação do valor limite assintótico $M_{\text{Ch}}$ atingido pela sequência.

4. Resultados e Análise

A integração numérica das equações de estrutura estelar no regime newtoniano, Eqs. (1)–(2), acopladas à equação de estado relativística de Chandrasekhar (Fig. 1), permite obter propriedades estruturais globais de anãs brancas ao longo de sequências parametrizadas pela densidade central ${\rho }_c$[²⁵]. Em particular, determinam-se as relações massa–raio $M\left(R\right)$ e massa–densidade central $M\left({\rho }_c\right)$, que constituem a base para a análise de estabilidade radial.

4.1. Sequência de equilíbrio massa–raio

A relação massa–raio obtida numericamente é apresentada na Fig. 2. Para baixas massas, o comportamento é consistente com o regime não relativístico, no qual o raio diminui à medida que a massa aumenta. Em contraste, para massas elevadas, a curva exibe uma redução acentuada do raio, característica do regime relativístico do gás degenerado [²⁶, ²⁸, ²⁹]. Esses resultados reproduzem qualitativamente as previsões clássicas para anãs brancas e estão em concordância com modelos teóricos bem estabelecidos [⁸, ⁹, ²⁸, ²⁹, ³⁶].

Figura 2
Relação massa–raio para anãs brancas. A curva sólida representa a sequência de equilíbrio teórica obtida com a equação de estado de Chandrasekhar no regime newtoniano. Os círculos com barras de erro correspondem a 12 anãs brancas DA com massas e raios determinados observacionalmente, compilados de Holberg, Oswalt & Barstow (2012) [⁵³], com o valor refinado de Sirius B obtido por Bond et al. (2017) [⁵⁴]. As barras de erro representam as incertezas de $1\sigma$ em massa e raio. Observa-se que a curva teórica reproduz satisfatoriamente a tendência geral dos dados, passando dentro das barras de erro da maioria dos objetos. Pequenos desvios são esperados devido a efeitos de temperatura finita, composição química e correções relativísticas não incluídos no modelo newtoniano simplificado.

4.2. Massa versus densidade central

A dependência da massa total em função da densidade central é apresentada na Fig. 3. Para valores crescentes de ${\rho }_c$, a massa aumenta monotonicamente e satura assintoticamente em um valor limite bem definido, que corresponde ao limite de Chandrasekhar [¹², ¹³]. É importante ressaltar que esse comportamento assintótico é uma característica do modelo newtoniano estrito com EoS de Chandrasekhar completa: à medida que ${\rho }_c$ aumenta e o gás de elétrons se aproxima do regime ultra-relativístico profundo, a equação de estado tende ao politropo $n=3$ ($P\propto {\rho }^{4/3}$), cuja massa total no formalismo newtoniano é independente de ${\rho }_c$[³, ⁸].

Figura 3
Massa total em função da densidade central para a sequência de estrelas em equilíbrio obtida com a equação de estado de Chandrasekhar no regime newtoniano. A curva sólida representa a sequência de equilíbrio; cada ponto sobre a curva corresponde a uma configuração de equilíbrio hidrostático parametrizada por ${\rho }_c$. No regime newtoniano estrito adotado aqui, a massa cresce monotonicamente com ${\rho }_c$ e satura assintoticamente no limite de Chandrasekhar, $M_{\text{Ch}}\simeq \mathrm{1,44}{M}_{\odot }$ (para ${\mu }_e=2$). O ponto assinalado no lado direito da curva corresponde ao valor limite alcançado dentro da grade numérica de integração. A instabilidade em densidade finita, com $dM/d{\rho }_c<0$, só emerge quando física adicional (relatividade geral completa, captura eletrônica, correções microfísicas) é incluída no modelo [²⁸, ⁴⁵, ⁴⁶].

Numericamente, a sequência $M\left({\rho }_c\right)$ satura em

(10) $$M_{\text{Ch}}\simeq \mathrm{1,44}{M}_{\odot }\left(\text{para}{\mu }_e=2\right),$$

consistente com o valor clássico obtido por Chandrasekhar [⁸, ¹², ¹³]. Cabe destacar que a densidade central característica em que a curva se aproxima significativamente desse limite (${\rho }_c\sim {10}^{\text{9}}\text{–}{10}^{\text{10}}$ g/cm³) é várias ordens de magnitude superior à densidade de transição entre os regimes não relativístico e ultra-relativístico da equação de estado ($\rho \sim {10}^{\text{6}}$ g/cm³, correspondente a $x\simeq 1$; ver Fig. 1). Portanto, o surgimento do valor limite $M_{\text{Ch}}$ não está associado à transição em si, mas sim ao comportamento ultra-relativístico profundo da equação de estado, no qual essencialmente todos os elétrons são relativísticos e a EoS aproxima o politropo $n=3$.

O valor de $M_{\text{Ch}}$ depende principalmente do parâmetro de composição ${\mu }_e$ pela seguinte razão física: ${\mu }_e$ é o parâmetro que conecta a densidade bariônica (fonte da gravitação, através da massa dos núcleons) à densidade eletrônica (fonte da pressão de degenerescência). No regime ultra-relativístico, essa relação define completamente a escala de massa característica da estrela, como será demonstrado na Seção 5. Os demais parâmetros que aparecem na expressão de $M_{\text{Ch}}$ são constantes fundamentais da natureza ($\hslash$, $c$, $G$, $m_p$), e as contribuições não-eletrônicas à pressão são subdominantes no regime de altas densidades [⁸, ⁹].

Uma análise mais detalhada dessa saturação assintótica e sua interpretação em termos do critério clássico de estabilidade $dM/d{\rho }_c$ é desenvolvida na Seção 5.

5. Análise de Estabilidade

As soluções das equações de estrutura descrevem configurações estáticas de equilíbrio, mas não garantem, por si só, estabilidade frente a pequenas perturbações. Para sistemas autogravitantes esfericamente simétricos, a estabilidade radial pode ser estudada por meio de uma análise de modos de oscilação radial ou, de forma equivalente, pelo comportamento global da massa total ao longo de uma sequência de equilíbrio parametrizada por ${\rho }_c$[⁹, ²⁹, ⁴³].

5.1. Estabilidade dinâmica e vibracional:definições

Antes de aplicar critérios quantitativos, é útil distinguir dois tipos de estabilidade relevantes para estrelas compactas: Estabilidade dinâmica. Refere-se ao balanço local entre o gradiente de pressão e a gravidade. Uma configuração é dinamicamente estável se pequenas perturbações do equilíbrio hidrostático levam a forças restauradoras que retornam a estrela ao equilíbrio. Para perturbações adiabáticas, o critério clássico exige que o índice adiabático efetivo ${\text{Γ}}_{\text{ad}}$ satisfaça ${\text{Γ}}_{\text{ad}}>4/3$ ao longo da estrela [³, ⁴³]. Estabilidade vibracional (ou secular). Relaciona-se ao amortecimento (ou crescimento) de oscilações radiais em torno do equilíbrio. Uma configuração é vibracionalmente estável quando todas as frequências dos modos radiais satisfazem ${\omega }_n^2>0$; frequências imaginárias (${\omega }_n^2<0$) indicam crescimento exponencial das perturbações e, portanto, instabilidade. Complementarmente, em modelos fisicamente consistentes exige-se que a velocidade do som seja (a) sempre positiva, (b) inferior à velocidade da luz (causalidade, $c_s^2<c^2$), e (c) livre de gradientes patológicos que poderiam originar instabilidades dinâmicas ou seculares [⁹]. Neste trabalho concentramo-nos na análise da estabilidade dinâmica radial, avaliada por meio do critério global $dM/d{\rho }_c$, que para sequências uniparamétricas de modelos hidrostáticos é equivalente à condição ${\text{Γ}}_{\text{ad}}>4/3$[³, ⁴⁴].

5.2. Critério variacional e sua interpretaçãofísica

Um resultado clássico estabelece que, para uma família uniparamétrica de modelos hidrostáticos com equação de estado fixa, o ponto em que

(11) $$\frac{dM}{d{\rho }_c}=0,$$

corresponde à transição entre configurações estáveis e instáveis em relação ao modo radial fundamental [³, ⁴⁴]. Em particular,

(12) $$\frac{dM}{d{\rho }_c}>0$$

caracteriza o ramo estável, enquanto

(13) $$\frac{dM}{d{\rho }_c}<0$$

caracteriza o ramo instável.

Fisicamente, esse critério pode ser compreendido pelo seguinte argumento qualitativo. Considere uma configuração no ramo $dM/d{\rho }_c>0$: se uma perturbação comprimisse levemente a estrela (aumentando ${\rho }_c$), a curva $M\left({\rho }_c\right)$ indica que a massa de equilíbrio correspondente à nova densidade central seria maior que a massa real da estrela. Como a estrela real possui menos massa do que a configuração de equilíbrio requereria, ela responde com re-expansão, restaurando o equilíbrio [⁹, ⁴⁴]. Ao contrário, no ramo $dM/d{\rho }_c<0$, uma compressão levaria a uma massa de equilíbrio menor que a massa real, e a estrela colapsaria gravitacionalmente. Este é o significado físico do critério variacional.

5.3. Comportamento no regime newtoniano com EoS de Chandrasekhar

A Fig. 3 mostra $M\left({\rho }_c\right)$ para a EoS relativística completa de Chandrasekhar integrada no regime newtoniano. Uma característica essencial desse modelo, que deve ser enfatizada, é a seguinte: à medida que ${\rho }_c$ aumenta e o gás de elétrons torna-se predominantemente ultra-relativístico, a EoS aproxima-se do politropo de índice $n=3$ ($P\propto {\rho }^{4/3}$), cuja massa total, para modelos politropos newtonianos, é independente da densidade central[³, ⁸]. Como consequência, na estrutura newtoniana pura com EoS de Chandrasekhar completa, a sequência $M\left({\rho }_c\right)$ é monotonicamente crescente em toda a faixa de densidades finitas, tendendo assintoticamente ao valor de Chandrasekhar,

(14) $$\underset{{\rho }_c\to \infty }{lim}M\left({\rho }_c\right)=M_{\text{Ch}}\simeq \mathrm{1,44}{M}_{\odot },$$

para ${\mu }_e=2$. A derivada $dM/d{\rho }_c$ permanece positiva em toda a sequência, aproximando-se de zero apenas no limite ${\rho }_c\to \infty$. Assim, no regime newtoniano estrito, o critério $dM/d{\rho }_c=0$ é atingido apenas de forma assintótica, e a rigor não existe um ramo instável em densidade finita dentro deste modelo. O aparecimento de um ponto de retorno (turning point) em densidade finita, com consequente ramo instável, requer física adicional além do modelo newtoniano puro com EoS de Chandrasekhar. Os mecanismos principais são:

• Relatividade geral (equações TOV). A contribuição gravitacional da pressão e correções de curvatura do espaço-tempo modificam a estrutura estelar em regimes de alta densidade, produzindo naturalmente um máximo de massa em densidade finita [⁴⁵, ⁴⁶, ⁴⁷];

• Captura eletrônica (neutronização). Em altas densidades, elétrons são capturados pelos núcleos, reduzindo a pressão de degenerescência e antecipando a instabilidade gravitacional [²⁸, ⁵⁰];

• Correções Coulombianas (Salpeter). Interações eletrostáticas em plasma degenerado reduzem a pressão efetiva em $\sim 1\text{–}5\%$, deslocando quantitativamente o máximo, mas não gerando por si só o ponto de retorno em densidade finita [²⁷, ²⁸].

5.4. Origem física do limite de Chandrasekhar

O valor de $M_{\text{Ch}}$ pode ser compreendido, em termos físicos, pela seguinte análise de escalas. No regime ultra-relativístico, a energia de Fermi dos elétrons escala como ${\epsilon }_F\sim \hslash c{n}_e^{1/3}$, onde $n_e$ é a densidade numérica de elétrons. A pressão associada é

(15) $$P_{\text{UR}}\sim \frac{\hslash c}{{\left({\mu }_e{m}_p\right)}^{4/3}}{\rho }^{4/3}.$$

Igualando os termos gravitacional ($\sim G{M}^2/R^4$) e de pressão ($\sim P/R$) no balanço hidrostático, e utilizando $\rho \sim M/R^3$, obtém-se uma escala de massa independente do raio,

(16) $$M_{\text{Ch}}\sim \frac{1}{{\left({\mu }_e{m}_p\right)}^2}{\left(\frac{\hslash c}{G}\right)}^{3/2},$$

que numericamente resulta em $\sim \mathrm{1,44}{M}_{\odot }$ para ${\mu }_e=2$. Essa independência do raio (e, portanto, da densidade central) é a origem física profunda do limite de Chandrasekhar [³, ⁸, ⁹]. É por essa mesma razão que $M_{\text{Ch}}$ depende principalmente do parâmetro de composição ${\mu }_e$: este é o parâmetro que conecta a densidade bariônica (fonte da gravitação) à densidade eletrônica (fonte da pressão). Os demais parâmetros na Eq. (16) são constantes fundamentais da natureza.

5.5. Síntese

Em resumo, no escopo newtoniano com EoS de Chandrasekhar completa aqui adotado:

• A sequência $M\left({\rho }_c\right)$ é monotonicamente crescente em densidades finitas e satura assintoticamente em $M_{\text{Ch}}\simeq \mathrm{1,44}{M}_{\odot }$ (para ${\mu }_e=2$).

• O critério $dM/d{\rho }_c>0$ é sempre satisfeito nesta faixa, indicando estabilidade dinâmica formal em todo o ramo calculado.

• O turning point físico, com $dM/d{\rho }_c=0$ em densidade finita e emergência de um ramo instável, requer física adicional (GR/TOV, captura eletrônica, ou correções microfísicas).

• O modelo newtoniano identifica corretamente o valor limite$M_{\text{Ch}}$ e sua origem física (independência do raio no regime ultra-relativístico), mas não descreve a instabilidade dinâmica em densidade finita.

Essa distinção conceitual é importante do ponto de vista formativo: revela como diferentes níveis de sofisticação física (Newton vs. GR, EoS ideal vs. corrigida) fornecem representações complementares do mesmo fenômeno estelar.

6. Discussão

Os resultados apresentados neste trabalho mostram que o tratamento newtoniano das equações de estrutura estelar, acoplado à equação de estado relativística completa de Chandrasekhar, é suficiente para reproduzir propriedades estruturais globais essenciais das anãs brancas. Em particular, a relação massa–raio e a saturação assintótica da massa em direção ao limite de Chandrasekhar emergem naturalmente da combinação entre equilíbrio hidrostático e o comportamento ultra-relativístico profundo do gás degenerado [²⁹].

Do ponto de vista físico, o pequeno valor do parâmetro de compacidade $GM/\left(R{c}^2\right)$ para anãs brancas típicas justifica o uso da gravitação newtoniana como aproximação robusta [²⁵], na qual o comportamento qualitativo das sequências de equilíbrio é preservado. Nesse contexto, o valor limite $M_{\text{Ch}}\simeq \mathrm{1,44}{M}_{\odot }$ (para ${\mu }_e=2$) é corretamente identificado como o resultado assintótico da sequência $M\left({\rho }_c\right)$, embora a instabilidade em densidade finita, com $dM/d{\rho }_c<0$, só emerja quando física adicional é incluída no modelo (Fig. 3).

Do ponto de vista formativo, o critério clássico baseado em $dM/d{\rho }_c$ fornece uma ferramenta pedagogicamente valiosa para caracterizar sequências de equilíbrio uniparamétricas e discutir a estabilidade radial. Este critério é rigoroso em contextos mais gerais (por exemplo, na formulação relativística com equações TOV), onde efetivamente distingue ramos estáveis e instáveis com um turning point em densidade finita [⁴³, ⁴⁴]. No caso particular do modelo newtoniano com EoS de Chandrasekhar completa aqui adotado, o critério é sempre satisfeito ($dM/d{\rho }_c>0$), refletindo a saturação assintótica da massa e não a existência de um ramo instável em densidade finita.

A conexão direta entre a emergência do valor limite $M_{\text{Ch}}$ e o comportamento ultra-relativístico profundo da equação de estado, caracterizado pelo índice adiabático efetivo tendendo a $\text{Γ}\to 4/3$, evidencia o papel central da microfísica na determinação das propriedades globais das anãs brancas.

Cabe destacar que a marginalidade associada a $\text{Γ}\simeq 4/3$ torna o modelo particularmente sensível a correções físicas adicionais. Nem todas as correções, contudo, atuam no mesmo sentido:

• Correções que antecipam a instabilidade gravitacional (reduzindo o valor efetivo de $M_{\text{Ch}}$): as interações Coulombianas em plasma degenerado [²⁷, ²⁸] produzem uma redução da pressão da ordem de $\sim 1\text{–}5\%$ no regime de altas densidades, resultando em modificações da massa máxima da ordem de $\Delta M/M\sim {10}^{-2}$. Correções tipo Thomas–Fermi e de troca (exchange forces) [⁵¹, ⁵²] são tipicamente uma ordem de magnitude menores. Processos de captura eletrônica (neutronização) em altas densidades [⁵⁰] também reduzem o suporte fornecido pela pressão de degenerescência.

• Correções que atrasam a instabilidade gravitacional (aumentando o valor efetivo de $M_{\text{Ch}}$): efeitos de temperatura finita contribuem com pressão térmica adicional [³], aumentando marginalmente o suporte da configuração, embora tal efeito seja pequeno em anãs brancas frias.

Portanto, a inclusão simultânea desses efeitos pode conduzir a um deslocamento quantitativo do valor de $M_{\text{Ch}}$ cujo sinal depende de qual conjunto de correções domina em cada regime específico. Comparações quantitativas com correções relativísticas gerais (via TOV) indicam que estas últimas são tipicamente da mesma ordem que as correções Coulombianas em anãs brancas próximas ao limite [⁴⁷].

De modo complementar, uma descrição completamente relativística do equilíbrio hidrostático pode ser incorporada substituindo-se a equação newtoniana de equilíbrio pela equação de Tolman–Oppenheimer–Volkoff (TOV), originalmente desenvolvida no contexto de estrelas compactas em relatividade geral. Nessa formulação, o termo de pressão também contribui para a gravitação efetiva e surgem correções associadas à curvatura do espaço-tempo, o que introduz o turning point físico em densidade finita, com $dM/d{\rho }_c=0$ marcando efetivamente a transição para o ramo instável, e uma pequena redução do valor crítico da massa máxima [⁴⁵, ⁴⁶, ⁴⁷].

Outro aspecto físico importante omitido neste trabalho é o papel dos íons na estrutura das anãs brancas. Embora a energia térmica dos íons represente apenas uma pequena fração da energia dos elétrons, os íons podem sofrer cristalização em regiões densas quando a energia de interação eletrostática supera a energia térmica [¹⁰, ¹⁷]. Esse processo é fundamental para a evolução térmica das anãs brancas, mas não afeta significativamente as propriedades estruturais globais consideradas neste estudo.

Do ponto de vista energético, cabe mencionar que anãs brancas são desprovidas de reações nucleares em seu interior. Sua luminosidade origina-se essencialmente no resfriamento gradual dos íons, processo no qual a cristalização desempenha um papel central [¹⁰, ¹¹, ¹⁷]. Esses fenômenos, embora fora do escopo do presente trabalho (que se concentra na estrutura hidrostática estática), estão intimamente conectados à microfísica do gás degenerado e às propriedades térmicas das configurações de equilíbrio consideradas.

Além disso, este trabalho restringe-se à estabilidade radial e não considera perturbações não radiais, rotação ou campos magnéticos intensos [⁴⁸, ⁴⁹]. Embora tais efeitos sejam relevantes apenas para subpopulações específicas de anãs brancas, eles podem induzir desvios na relação massa–raio e alterar condições de estabilidade em casos particulares. Assim, extensões naturais do presente estudo envolvem: (i) inclusão de TOV para descrever equilíbrios relativísticos, (ii) equação de estado com temperatura finita e composição estratificada, (iii) efeitos rotacionais e magnetohidrodinâmicos em regimes selecionados, e (iv) modelagem do envelope não-degenerado e da conexão com a evolução térmica das anãs brancas.

Finalmente, do ponto de vista observacional, grandes levantamentos recentes baseados em Gaia consolidaram amostras extensas de anãs brancas e fortaleceram a motivação para confrontar modelos estruturais com parâmetros fundamentais inferidos para grandes populações [¹⁵, ¹⁸, ¹⁹, ²⁰, ²¹, ³⁵]. Nesse cenário, o modelo apresentado aqui cumpre um papel importante como referência conceitual controlada: ele isola a física dominante da degenerescência eletrônica e fornece um quadro interpretativo claro para a origem do valor limite $M_{\text{Ch}}$, sua conexão com o comportamento ultra-relativístico da equação de estado e a distinção entre o comportamento assintótico newtoniano e a instabilidade dinâmica em densidade finita que emerge em tratamentos mais sofisticados.

7. Conclusões

Neste trabalho apresentamos uma análise estrutural e de estabilidade radial de anãs brancas no regime newtoniano, baseada na integração numérica das equações de estrutura estelar acopladas à equação de estado relativística completa de Chandrasekhar para um gás de elétrons degenerado a temperatura zero. A abordagem adotada permitiu descrever de forma clara e consistente propriedades globais fundamentais, incluindo a relação massa–raio e a saturação assintótica da massa ao longo da sequência de equilíbrio em direção ao valor limite de Chandrasekhar, $M_{\text{Ch}}\simeq \mathrm{1,44}{M}_{\odot }$ (para ${\mu }_e=2$) [⁸].

Os resultados mostram que, mesmo dentro de um tratamento simplificado, a física dominante das anãs brancas é capturada de maneira robusta: o comportamento ultra-relativístico profundo do gás degenerado, no qual a equação de estado aproxima-se do politropo $n=3$ ($P\propto {\rho }^{4/3}$), conduz naturalmente à emergência do valor limite $M_{\text{Ch}}$, intimamente ligado ao comportamento do índice adiabático efetivo próximo ao valor crítico $\text{Γ}\approx 4/3$[¹²].

A análise de estabilidade radial via o critério clássico baseado em $dM/d{\rho }_c$ mostra que, no escopo estrito do modelo newtoniano com EoS de Chandrasekhar completa, a derivada $dM/d{\rho }_c$ permanece positiva em toda a faixa de densidades finitas, refletindo a saturação assintótica da massa; o critério $dM/d{\rho }_c=0$ é atingido apenas de forma assintótica. Portanto, embora o modelo identifique corretamente o valor limite $M_{\text{Ch}}$ e sua origem física baseada na independência da massa em relação ao raio no regime ultra-relativístico, ele não descreve a instabilidade dinâmica em densidade finita. A emergência de um turning point físico requer a inclusão de física adicional, notavelmente relatividade geral (equações TOV), captura eletrônica ou correções microfísicas [²⁸, ⁴⁴, ⁴⁵, ⁴⁶].

Essa distinção entre o comportamento assintótico newtoniano e o turning point real que emerge em tratamentos mais sofisticados é conceitualmente importante e reflete como diferentes níveis de aproximação física (Newton vs. TOV, EoS ideal vs. com correções) oferecem representações complementares do mesmo fenômeno estelar. Embora efeitos adicionais – como relatividade geral, temperatura finita, composição química estratificada, rotação e campos magnéticos – possam modificar quantitativamente o valor de $M_{\text{Ch}}$ e a forma das curvas globais, o modelo empregado fornece uma descrição conceitualmente transparente e reprodutível, adequada como referência para compreender a origem física do limite de Chandrasekhar e sua conexão com a estabilidade radial [⁹, ²⁵].

Perspectivas e continuidade. Extensões naturais deste estudo incluem: (i) a formulação relativística do equilíbrio hidrostático por meio da equação de Tolman–Oppenheimer–Volkoff, que incorpora efeitos de curvatura do espaço-tempo e a contribuição gravitacional da pressão, produzindo naturalmente um turning point em densidade finita e refinando quantitativamente o valor da massa máxima [⁴⁵, ⁴⁶, ⁴⁷]; (ii) inclusão de temperatura finita e correções microfísicas (correções Coulombianas, Thomas–Fermi e de troca, além de captura eletrônica em altas densidades) [²⁷, ²⁸, ⁵⁰, ⁵¹, ⁵²]; (iii) generalizações envolvendo rotação e campos magnéticos intensos [⁴⁸, ⁴⁹]; e (iv) a modelagem do envelope não-degenerado externo [⁵⁶], relevante para conectar a estrutura hidrostática à evolução térmica das anãs brancas, incluindo processos de resfriamento e cristalização iônica [¹⁰, ¹¹, ¹⁷].

Valor formativo e reprodutibilidade. Além do interesse físico, o presente trabalho pode servir como ponto de partida para estudantes e pesquisadores em início de formação em astrofísica de objetos compactos, ao reunir em um único fluxo coerente: (a) microfísica via equação de estado, (b) equilíbrio hidrostático, (c) construção de sequências de equilíbrio e (d) análise de estabilidade radial. Em particular, a discussão crítica das limitações do modelo newtoniano estrito e da física adicional necessária para descrever o turning point físico oferece uma oportunidade pedagógica valiosa para compreender como diferentes níveis de aproximação física geram descrições complementares de um mesmo fenômeno. A clareza do encadeamento conceitual e a natureza numérica reprodutível do procedimento tornam o artigo uma referência prática para a implementação e extensão de modelos de estrutura estelar [³⁸, ³⁹]. Para facilitar a reprodução dos resultados e sua extensão por estudantes e pesquisadores, os códigos numéricos utilizados neste trabalho estão publicamente disponíveis em https://github.com/Jonathan-z4p4t4/anas-brancas-chandrasekhar e arquivados no Zenodo com DOI https://doi.org/10.5281/zenodo.21587376[⁵⁵].

Agradecimentos

Este artigo é derivado e substancialmente revisado a partir da tese de licenciatura do autor, defendida na Universidad Nacional de Piura (2025). Agradeço ao professor Dr. Javier Minchola Sánchez pelas discussões durante a elaboração do trabalho original e à Escuela de Física de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Piura pelo apoio institucional no período de desenvolvimento inicial. Agradeço também, de forma especial, aos revisores deste artigo pelos comentários criteriosos e construtivos, que contribuíram de maneira decisiva para aprimorar o rigor conceitual, a clareza e o valor formativo do trabalho.

Disponibilidade de Dados

Os códigos-fonte utilizados para gerar a equação de estado, construir as sequências de equilíbrio estelar e produzir todas as figuras apresentadas neste trabalho estão publicamente disponíveis no repositório GitHub: https://github.com/Jonathan-z4p4t4/anas-brancas-chandrasekhar e permanentemente arquivados no Zenodo: https://doi.org/10.5281/zenodo.21587376. Todos os resultados apresentados neste artigo são reprodutíveis a partir dos códigos disponibilizados. Não foram gerados nem analisados conjuntos de dados experimentais inéditos durante o presente estudo.

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Editado por

• Editor-Chefe:
  Marcello Ferreira https://orcid.org/0000-0003-4945-3169

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  21 Set 2026
• Data do Fascículo
  2026

Histórico

• Recebido
  25 Maio 2026
• Revisado
  28 Jul 2026
• Aceito
  31 Jul 2026