Física de Partículas no ensino médio Parte I: Eletrodinâmica Quântica

Dorsch, Gláuber Carvalho; Guio, Thaisa Carneiro da Cunha

doi:10.1590/1806-9126-RBEF-2021-0083

Gláuber Carvalho Dorsch ^** Endereço de correspondência: glauber@fisica.ufmg.br

Universidade Federal de Minas Gerais, Departamento de Física, Belo Horizonte, MG, Brasil.

https://orcid.org/0000-0002-6177-366X

Thaisa Carneiro da Cunha Guio

Universidade Federal do Espírito Santo, Núcleo Cosmo-UFES, Vitória, ES, Brasil.

https://orcid.org/0000-0003-2381-5029

* Endereço de correspondência: glauber@fisica.ufmg.br

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Figura 1
Tubo de raios catódicos usado no experimento de Thomson [³²32. J.J. Thomson, Philosophical Magazine Series 5, 293 (1897).]. Um feixe de partículas é emitido do filamento metálico conectado ao pólo negativo da bateria (à esquerda da Figura), e se propaga em um tubo a vácuo até colidir com a outra extremidade, no bulbo à direita. O feixe é desviado por um campo elétrico inserido no meio do tubo (região amarela entre as placas horizontais), indicando que as partículas emitidas possuem carga. Com auxílio de um campo magnético (não simbolizado na imagem), pode-se calcular a razão entre a carga e a massa dessas partículas. Fonte: Wikimedia Commons/Domínio Púbico.

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Figura 2
Dois elétrons sob a ação da atração gravitacional

{\vec{F}}_{g}

, devido a suas massas m_e, e da repulsão eletrostática

{\vec{F}}_{e l}

devido a suas cargas −e.

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Figura 3
(a) Linhas de campo elétrico geradas por uma carga pontual. O número de linhas atravessando uma superfície fechada é sempre constante, o que significa que a densidade de linhas diminui com a distância. Para um espaço tridimensional, a redução é ∼1/r². (b) Toda a água que emana da fonte escorre através da borda do chafariz. A quantidade de água que atravessa uma unidade de comprimento desse perímetro varia com o inverso da distância da borda à fonte, ∼1/r. Fonte: Domínio Público.

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Figura 4
A força eletrostática devido a um balão de festa é suficiente para superar a atração gravitacional de todo o planeta e fazer o cabelo levantar. Fonte: adaptado de SWNS/Splash News.

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Figura 4
A força eletrostática devido a um balão de festa é suficiente para superar a atração gravitacional de todo o planeta e fazer o cabelo levantar. Fonte: adaptado de SWNS/Splash News.

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Figura 5
Forças de contato. Em última instância, todas têm origem na repulsão eletromagnética. Fontes: os autores e adaptações de [³⁹39. https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/6-2-friction, acessado em 05/03/2021.
https://openstax.org/books/university-ph... ] e [⁴⁰40. https://openstax.org/books/college-physics/pages/8-6-collisions-of-point-masses-in-two-dimensions, acessado em 05/03/2021.
https://openstax.org/books/college-physi... ], respectivamente.

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Figura 6
A força normal de uma mesa sobre um bloco é devida à repulsão entre os elétrons dos átomos das superfícies.

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Figura 7
Simulação interativa PhET Colorado: Irradiando Carga. Na imagem da esquerda, a carga está em repouso e as linhas de campo são radiais. À direita, a carga foi posta em movimento e as linhas se deformam para acompanhá-la. Essa deformação se propaga, constituindo a onda eletromagnética. Fonte: [⁴²42. https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/radiating-charge, acessado em 05/03/2021.
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulati... ].

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Figura 8
Simulação interativa PhET Colorado: Ondas de Rádio e Campos Eletromagnéticos. A simulação ilustra como a oscilação dos elétrons em uma antena transmissora gera uma onda eletromagnética, que se propaga até outra antena receptora, fazendo seus elétrons oscilarem à mesma frequência que os da fonte. Assim, o sinal é transmitido de um ponto a outro sem intermédio de fios. Nessa simulação o(a) estudante pode interagir movendo o elétron da antena com o mouse e produzindo seu próprio sinal. Fonte: [⁴³43. https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/radio-waves, acessado em 05/05/2021.
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulati... ].

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Figura 9
Uma superfície arbitrária S delimitada por uma curva fechada C.

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Figura 10
(a) Esquema do ciclo retroalimentativo que sustenta a propagação da onda eletromagnética. (b) Uma onda eletromagnética propagando-se na direção x consiste em oscilações dos campos elétrico e magnético no plano yz. No vácuo esses campos são sempre mutuamente perpendiculares. Note que não há componentes dos campos na direção de propagação: diz-se que a onda eletromagnética é uma onda transversal. Fonte: Wikimedia Commons/CC BY-SA 4.0.

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Figura 11
Algumas aplicações de diversas bandas do espectro eletromagnético, que podem ser exploradas em sala em um contexto CTSA. Fonte: Domínio Público.

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Figura 12
Imagem da simulação interativa PhET Colorado: Espectro de Corpo Negro. Fonte: [⁴⁵45. https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/blackbody-spectrum, acessado em 05/03/2021.
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulati... ].

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Figura 13
Diversos tipos de radiação eletromagnética, caracterizados por uma banda específica de frequência e comprimento de onda do espectro completo. A cada banda, atribui-se também um objeto cujo tamanho típico é da mesma ordem de magnitude do comprimento da onda correspondente: tratam-se dos menores objetos que podem ser distinguidos por meio dessas ondas. Por exemplo, microorganismos podem ser vistos sob um microscópio usual, funcionando à base de luz visível, mas para distinguir moléculas ou átomos é preciso fazer incidir radiação muito mais energética, de menor comprimento de onda. As frequências de cada banda são associadas, também, às cores da radiação correspondente, divididas em três regiões: o infravermelho, o espectro contínuo da luz visível, e o ultravioleta. Por fim, ilustra-se também a temperatura de um corpo cujo espectro de emissão termal é predominante na banda em questão. Fonte: Wikimedia Commons/CC BY-SA 4.0.

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Figura 11
Algumas aplicações de diversas bandas do espectro eletromagnético, que podem ser exploradas em sala em um contexto CTSA. Fonte: Domínio Público.

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Figura 12
Imagem da simulação interativa PhET Colorado: Espectro de Corpo Negro. Fonte: [⁴⁵45. https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/blackbody-spectrum, acessado em 05/03/2021.
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulati... ].

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Figura 14
Padrão esperado para um feixe de partículas clássicas lançadas contra uma tela com duas fendas. Fonte: adaptado de Wikimedia Commons/Domínio público.

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Figura 15
Para partículas quânticas, o padrão de interferência é inicialmente imperceptível, mas emerge paulatinamente à medida que mais estatística é coletada pelo experimento. Fonte: Wikimedia Commons/Domínio público.

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Figura 16
Momentos distintos de um ciclo oscilatório associado a um modo normal de vibração para uma superfície bidimensional. No caso de um instrumento de percussão, esse padrão corresponderia a uma nota musical (i.e. uma frequência sonora) específica. Para um campo quântico, corresponde a uma partícula com energia e momento específicos. Fonte: adaptado de Wikimedia Commons/Domínio público.

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Figura 17
(a) Dois elétrons (picos mais protuberantes, de cor laranja) afastados um do outro. Devido à interação entre o campo de elétrons e o campo eletromagnético, um elétron nunca existe isoladamente: sua presença induz excitações do campo fotônico ao seu redor. (b) À medida que os elétrons se aproximam, intensifica-se a troca de energia-momento entre ambos mediada por excitações do campo eletromagnético, causando a mútua repulsão. (c) Elétrons novamente distantes após a interação.

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Figura 18
Diagrama de Feynman ilustrando a interação entre dois elétrons mediada pela troca de um fóton virtual. Os pontos que conectam os elétrons ao fóton são chamados de vértices do diagrama.

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Figura 19
A interação entre elétrons pela troca de um fóton virtual deve levar em conta as duas possibilidades de ordenamento temporal, em que um elétron emite e o outro absorve o fóton trocado.

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Figura 20
Diagrama de Feynman para um espalhamento elástico por uma carga estática. Define-se o ângulo θ como o ângulo entre o momento final (

{\vec{p}}^{'}

) e inicial do elétron (

\vec{p}

), medindo o desvio relativamente à direção do feixe incidente. Ele não aparece na figura, pois um diagrama de Feynman representa apenas uma esquematização do processo que contribui para a interação, e não ilustra como o espalhamento ocorre, de fato, no espaço-tempo. Veja comentário no início da seção ^2.7.3 2.7.3. Diagramas de Feynman Outra maneira de representar a interação entre elétrons é através de um diagrama de Feynman, como na Figura 18. Aqui, o eixo vertical representa a dimensão espacial, e o eixo horizontal é a passagem do tempo. Representa-se, aqui, o mesmo processo ilustrado na Figura 17 anterior: dois elétrons interagindo pela troca de um fóton virtual. Entretanto, não é correto ler esse diagrama como se um dos elétrons (digamos, o elétron da parte superior da figura) tivesse emitido o fóton, e o outro (da parte inferior) o tivesse absorvido. Pois o processo oposto, em que o elétron inferior emitiu e o superior absorveu o fóton, é igualmente possível. E, se há dois processos intermediários possíveis, a mecânica quântica garante que a contribuição total aos processos físicos é a soma das contribuições dos processos intermediários. A Figura 19 mostra que o diagrama de Feynman da Figura 18 representa a soma (i.e. a superposição quântica) das duas ordenações temporais possíveis para a emissão e absorção do fóton intermediário [57, 58, 59]. Ou seja, a Figura 18 ilustra apenas que, em primeira ordem, esse processo ocorre mediante a troca de um fóton virtual, sem representar como esse processo de fato ocorre no espaço-tempo. Figura 18 Diagrama de Feynman ilustrando a interação entre dois elétrons mediada pela troca de um fóton virtual. Os pontos que conectam os elétrons ao fóton são chamados de vértices do diagrama. Figura 19 A interação entre elétrons pela troca de um fóton virtual deve levar em conta as duas possibilidades de ordenamento temporal, em que um elétron emite e o outro absorve o fóton trocado. Para compreender melhor a diferença entre fótons reais e virtuais, consideremos o balanço de energia-momento em um ponto de “emissão/absorção” do fóton no diagrama, i.e. em um de seus vértices. Sejam (E,p→) e (E′,p→′) a energia e momento linear de um elétron da Figura 18 (por ex., o elétron da parte superior do diagrama) antes e depois da interação (i.e. à esquerda e à direita do vértice, respectivamente), e sejam (Eγ,p→γ) a energia e momento do fóton virtual. A conservação de energia e momento na absorção/emissão do fóton impõe que (9) E = E γ + E ′ , (10) p → = p → γ + p → ′ , logo (11) E γ 2 - | p → γ | 2 ⁢ c 2 = ( E - E ′ ) 2 - | p → - p → ′ | 2 ⁢ c 2 . Como um fóton tem massa mγ = 0, esperar-se-ia, da relação relativística de energia-momento16, que (12) E γ 2 - | p → γ | 2 ⁢ c 2 = m γ 2 ⁢ c 4 = 0 ⁢ ? No entanto, em um espalhamento de elétrons não há nada que vincule E a E′ ou p→ a p→′ a priori17 (tratam-se de variáveis livres do problema), de maneira que, em geral, o lado direito da equação (11) não se anula. Isso significa que um fóton virtual em geral não satisfaz a relação relativística de energia-momento. Ou, dito de outra forma, é como se a partícula virtual pudesse ter massa diferente da massa observada para excitações normais do campo em questão. Essa é outra importante distinção entre partículas reais e virtuais. Essa violação da equação (12) não é um problema, contanto que esteja dentro da margem de incerteza associada à energia e ao momento do fóton virtual. Pelo princípio da incerteza, a precisão com que se pode determinar a energia de um sistema (ΔE) é limitada pelo tempo disponível para ele interagir com um possível aparato medidor (Δt), assim como a incerteza em seu momento (Δp) cresce à medida que se reduz a região do espaço a que ele esteja restrito (Δx). Isso pode ser expresso matematicamente por meio das famosas relações de incerteza (13) Δ ⁢ E ⁢ Δ ⁢ t ≥ ℏ 2 , Δ ⁢ p ⁢ Δ ⁢ x ≥ ℏ 2 , com ℏ ≈ 1.05×10−34 kg m2/s a constante de Planck reduzida18. Assim, quanto menor for o tempo de vida de uma excitação de um campo, e/ou quanto menor for seu alcance espacial, maior será a incerteza associada à sua energia-momento, e portanto maior será a margem para uma aparente violação da equação (12). Mais especificamente, o espalhamento descrito pelo diagrama da Figura 18 é mediado por fótons de todas as possíveis virtualidades, e a interação final resulta da soma de todas as contribuições. Entretanto, para grandes distâncias entre as partículas interagentes, a sobreposição dos fótons virtuais resulta em uma interferência destrutiva (exatamente no sentido de interferência de ondas), de modo que quanto maior a virtualidade dos fótons mediadores, menores serão seus impactos no resultado final da interação. Assim, a grandes distâncias, apenas fótons de baixa virtualidade contribuem significativamente. Reciprocamente, a menores distâncias, a contribuição dos fótons de maior virtualidade também se torna relevante. Uma discussão muito detalhada desse efeito, ao mesmo tempo em que é acessível ao público geral, pode ser encontrada na ref. [57], cuja leitura é fortemente recomendada para uma maior compreensão da QED e um complemento da discussão aqui apresentada. O argumento exposto acima nos fornece uma maneira de compreender o comportamento da Lei de Coulomb sob uma perspectiva microscópica da interação eletromagnética. Consideremos o caso de um elétron espalhado elasticamente por uma carga muito mais pesada, e que portanto permanece aproximadamente estática, como esquematizado na Figura 20. Um exemplo é um experimento de difração de elétrons, ao estilo dos experimentos de Rutherford-Geiger-Marsden que levaram à descoberta do núcleo atômico19. Nesse caso, a energia cinética do elétron não varia (por se tratar de espalhamento elástico) e a equação (11) fica (14) virtualidade ≡ E γ 2 - | p → γ | 2 ⁢ c 2 = - | p → - p → ′ | 2 ⁢ c 2 = - 4 ⁢ | p → | 2 ⁢ c 2 ⁢ sin 2 ⁡ θ 2 , que define o “grau de virtualidade” do fóton através da medida de violação da relação relativística de energia-momento. Nessa equação, θ é o ângulo entre o feixe espalhado e a direção do feixe incidente (vide legenda da Figura 20), que varia entre θ = 0 (quando não há desvio) e θ = π (quando o feixe volta na mesma direção e sentido oposto ao incidente). Figura 20 Diagrama de Feynman para um espalhamento elástico por uma carga estática. Define-se o ângulo θ como o ângulo entre o momento final (p→′) e inicial do elétron (p→), medindo o desvio relativamente à direção do feixe incidente. Ele não aparece na figura, pois um diagrama de Feynman representa apenas uma esquematização do processo que contribui para a interação, e não ilustra como o espalhamento ocorre, de fato, no espaço-tempo. Veja comentário no início da seção 2.7.3, bem como a Figura 19. Nota-se que, quanto maior o ângulo θ de espalhamento relativo ao feixe incidente (i.e. quanto maior for a alteração do estado de movimento do elétron devido à interação), maior é a virtualidade, e portanto, pelo argumento anterior, menor deve ser o alcance dessa interação. Ou seja, o elétron só é desviado significativamente de sua trajetória incidente se ele se aproximar muito da outra carga. Por outro lado, um espalhamento em que o momento linear do elétron pouco varia, p→≈p→′ e θ ≈ 0, está associado a fótons que satisfazem a relação energia-momento em boa aproximação, e portanto podem mediar interações a longas distâncias. Posto de outra forma: quanto mais o elétron se aproxima de outra carga, maior poderá ser a virtualidade dos fótons trocados entre elas, e maior será o desvio da trajetória do elétron; ao passo que, se as cargas estão distantes, os fótons devem satisfazer a equação (12) em boa aproximação, o que corresponde, pela equação (14), a um desvio pequeno de trajetória. Esse é justamente o comportamento clássico da interação eletrostática: quanto mais distantes as cargas, menor é a força e, consequentemente, menor a variação do momento linear da partícula teste. O argumento acima apresenta uma explicação para esse fenômeno em nível microscópico. É possível mostrar que a relação de virtualidade dada pela equação (14) dá origem a uma energia potencial de interação do tipo V(r)∼1/r, que é justamente a energia potencial associada à lei de Coulomb. Note, ainda, que todos os fótons que contribuem para a Lei de Coulomb são virtuais. Uma outra maneira de refrasear a argumentação acima é a seguinte. Um fóton real, não massivo, contém apenas duas possíveis polarizações, que são transversais à direção de propagação20. Por outro lado, a violação da equação (12) implica que um fóton virtual possui uma terceira polarização, dita longitudinal, que não está associada a um grau de liberdade que se propaga. De fato, é possível mostrar que esse grau de liberdade longitudinal atua como mensageiro da Lei de Coulomb [59]. Segue-se que quanto maior for a virtualidade do fóton, maior é a contribuição da polarização longitudinal, e mais intensa a interação Coulombiana, como concluímos acima. , bem como a Figura .

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Figura 21
Representação esquemática do movimento de um pósitron, interpretado como o movimento de um elétron movendo-se “para trás no tempo”. O pósitron pode ser visto como uma “ausência de elétron” ou como um buraco nesta página em branco: à medida que o “buraco” se move para a direita, o espaço que ele antes ocupava passa a ser novamente branco, como o restante da página. Reduzir a ausência de carga negativa em uma determinada posição é equivalente a acrescentar uma carga negativa nesse ponto. Isso porque −(+ e) = −e. Assim, o pósitron movendo-se de 1 para 2 em t₁→t₂ corresponde a um elétron movendo-se de 2 para 1. Em t₂→t₃ o elétron se desloca de 3 para 2. Note que o elétron que saiu de 2 para 1 precisou, primeiro, sair de 3 para 2. Assim, efetivamente, o movimento do pósitron de 1→2→3 em t₁→t₂→t₃ corresponde ao movimento de um elétron de 3→2→1 em t₃→t₂→t₁.

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Figura 22
Diagrama representando a aniquilação de um par elétron-pósitron em dois fótons. Note como a partícula mediadora é uma excitação do campo eletrônico. Esse caso ilustra como todas as partículas podem ser virtuais, e não apenas as mediadoras das interações.

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Figura 23
Criação de um par elétron-pósitron visualizado em uma câmara de bolhas. Fonte: CERN.

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Figura 24
Esquema de funcionamento de um aparelho de Tomografia por Emissão de Pósitrons (PET scan). Fonte: adaptado de [⁶¹61. www.physicsforums.com/insights/basics-positron-emission-tomography-pet, acessado em 05/03/2021.
www.physicsforums.com/insights/basics-po... ].

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Figura 25
Diagrama de Feynman ilustrando um possível processo ocorrendo durante a propagação de um fóton, temporariamente interrompida pela criação e posterior aniquilação de um par elétron-pósitron. Este é um exemplo de um diagrama com um laço.

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Figura 26
Dois processos possíveis de mediação da interação entre as cargas q e Q. (a) Diagrama responsável pela interação descrita no eletromagnetismo clássico. (b) Uma correção quântica oriunda da interação mútua entre o fóton e as excitações do campo eletrônico, que altera a propagação do fóton. Por incluir uma modificação na propagação do fóton, esse diagrama induz uma modificação da lei de Coulomb para a interação entre partículas carregadas. Isso também pode ser interpretado como uma alteração na “carga elétrica efetiva” das partículas interagentes.

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Figura 27
Efeito de blindagem da carga do elétron devido aos pares elétron-pósitron virtuais. Fonte: cortesia de © INFN, Laboratori Nazionali di Frascati [⁶²62. http://w3.lnf.infn.it/the-variable-constant, acessado em 05/03/2021.
http://w3.lnf.infn.it/the-variable-const... ].

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Figura 28
Indicadores de alfabetização científica observados nas intervenções realizadas. A legenda está ordenada no sentido anti-horário do gráfico a partir de “seriação de informações” (azul escuro, 20,07%).

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Figura 29
Incidência dos indicadores de engajamento comportamental, emocional e cognitivo nas três primeiras aulas da sequência didática proposta para os cinco estudantes mais presentes nas intervenções. Note que o estudante Werner se destacou apresentando altas incidências em todos os indicadores. Optamos por reescalonar essas incidências no gráfico e, portanto, os números totais para esse estudante são obtidos a partir dos números apresentados multiplicados por um fator 3.

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Figura 30
Espectro de emissão de radiação pelo Sol. Note o pico exatamente na região do visível, com máximo na faixa da cor verde. Fonte: Domínio público.

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Figura 31
Sirius, o novo laboratório de luz síncrotron brasileiro, localizado no Laboratório Nacional de Luz Síncroton (LNLS) em Campinas. Fonte: LNLS/CNPEM.

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Figura 32
Se utilizássemos unidades e dimensões distintas para medir altura, largura, e comprimento, sempre que fizéssemos a rotação de um objeto teríamos que recalcular suas dimensões. Como rotações não alteram o tamanho do objeto, esse cálculo envolveria fatores de conversão universais. A escolha mais conveniente é aquela em que esses fatores são todos unitários, ou seja, medimos todos os lados dos objetos usando as mesmas unidades. A universalidade da velocidade da luz nos indica, de igual modo, que espaço e tempo são dimensões distintas de um único ente: o espaço-tempo. E a conversão entre elas é feita pela propagação da luz, que oferece, aqui, o análogo à rotação espacial do objeto no exemplo da presente figura.

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Tabela 1
Os momentos da primeira aula da sequência.

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Tabela 2
Os momentos da segunda aula da sequência.

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Tabela 3
Os momentos da terceira aula da sequência.

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Tabela 4
Os indicadores de alfabetização científica a partir de elementos do fazer científico.

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Tabela 5
Os indicadores de engajamento.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

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(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(A1)

Figura 20 Diagrama de Feynman para um espalhamento elástico por uma carga estática. Define-se o ângulo θ como o ângulo entre o momento final ( ${\vec{p}}^{'}$ ) e inicial do elétron ( $\vec{p}$ ), medindo o desvio relativamente à direção do feixe incidente. Ele não aparece na figura, pois um diagrama de Feynman representa apenas uma esquematização do processo que contribui para a interação, e não ilustra como o espalhamento ocorre, de fato, no espaço-tempo. Veja comentário no início da seção ^2.7.3 2.7.3. Diagramas de Feynman Outra maneira de representar a interação entre elétrons é através de um diagrama de Feynman, como na Figura 18. Aqui, o eixo vertical representa a dimensão espacial, e o eixo horizontal é a passagem do tempo. Representa-se, aqui, o mesmo processo ilustrado na Figura 17 anterior: dois elétrons interagindo pela troca de um fóton virtual. Entretanto, não é correto ler esse diagrama como se um dos elétrons (digamos, o elétron da parte superior da figura) tivesse emitido o fóton, e o outro (da parte inferior) o tivesse absorvido. Pois o processo oposto, em que o elétron inferior emitiu e o superior absorveu o fóton, é igualmente possível. E, se há dois processos intermediários possíveis, a mecânica quântica garante que a contribuição total aos processos físicos é a soma das contribuições dos processos intermediários. A Figura 19 mostra que o diagrama de Feynman da Figura 18 representa a soma (i.e. a superposição quântica) das duas ordenações temporais possíveis para a emissão e absorção do fóton intermediário [57, 58, 59]. Ou seja, a Figura 18 ilustra apenas que, em primeira ordem, esse processo ocorre mediante a troca de um fóton virtual, sem representar como esse processo de fato ocorre no espaço-tempo. Figura 18 Diagrama de Feynman ilustrando a interação entre dois elétrons mediada pela troca de um fóton virtual. Os pontos que conectam os elétrons ao fóton são chamados de vértices do diagrama. Figura 19 A interação entre elétrons pela troca de um fóton virtual deve levar em conta as duas possibilidades de ordenamento temporal, em que um elétron emite e o outro absorve o fóton trocado. Para compreender melhor a diferença entre fótons reais e virtuais, consideremos o balanço de energia-momento em um ponto de “emissão/absorção” do fóton no diagrama, i.e. em um de seus vértices. Sejam (E,p→) e (E′,p→′) a energia e momento linear de um elétron da Figura 18 (por ex., o elétron da parte superior do diagrama) antes e depois da interação (i.e. à esquerda e à direita do vértice, respectivamente), e sejam (Eγ,p→γ) a energia e momento do fóton virtual. A conservação de energia e momento na absorção/emissão do fóton impõe que (9) E = E γ + E ′ , (10) p → = p → γ + p → ′ , logo (11) E γ 2 - | p → γ | 2 ⁢ c 2 = ( E - E ′ ) 2 - | p → - p → ′ | 2 ⁢ c 2 . Como um fóton tem massa mγ = 0, esperar-se-ia, da relação relativística de energia-momento16, que (12) E γ 2 - | p → γ | 2 ⁢ c 2 = m γ 2 ⁢ c 4 = 0 ⁢ ? No entanto, em um espalhamento de elétrons não há nada que vincule E a E′ ou p→ a p→′ a priori17 (tratam-se de variáveis livres do problema), de maneira que, em geral, o lado direito da equação (11) não se anula. Isso significa que um fóton virtual em geral não satisfaz a relação relativística de energia-momento. Ou, dito de outra forma, é como se a partícula virtual pudesse ter massa diferente da massa observada para excitações normais do campo em questão. Essa é outra importante distinção entre partículas reais e virtuais. Essa violação da equação (12) não é um problema, contanto que esteja dentro da margem de incerteza associada à energia e ao momento do fóton virtual. Pelo princípio da incerteza, a precisão com que se pode determinar a energia de um sistema (ΔE) é limitada pelo tempo disponível para ele interagir com um possível aparato medidor (Δt), assim como a incerteza em seu momento (Δp) cresce à medida que se reduz a região do espaço a que ele esteja restrito (Δx). Isso pode ser expresso matematicamente por meio das famosas relações de incerteza (13) Δ ⁢ E ⁢ Δ ⁢ t ≥ ℏ 2 , Δ ⁢ p ⁢ Δ ⁢ x ≥ ℏ 2 , com ℏ ≈ 1.05×10−34 kg m2/s a constante de Planck reduzida18. Assim, quanto menor for o tempo de vida de uma excitação de um campo, e/ou quanto menor for seu alcance espacial, maior será a incerteza associada à sua energia-momento, e portanto maior será a margem para uma aparente violação da equação (12). Mais especificamente, o espalhamento descrito pelo diagrama da Figura 18 é mediado por fótons de todas as possíveis virtualidades, e a interação final resulta da soma de todas as contribuições. Entretanto, para grandes distâncias entre as partículas interagentes, a sobreposição dos fótons virtuais resulta em uma interferência destrutiva (exatamente no sentido de interferência de ondas), de modo que quanto maior a virtualidade dos fótons mediadores, menores serão seus impactos no resultado final da interação. Assim, a grandes distâncias, apenas fótons de baixa virtualidade contribuem significativamente. Reciprocamente, a menores distâncias, a contribuição dos fótons de maior virtualidade também se torna relevante. Uma discussão muito detalhada desse efeito, ao mesmo tempo em que é acessível ao público geral, pode ser encontrada na ref. [57], cuja leitura é fortemente recomendada para uma maior compreensão da QED e um complemento da discussão aqui apresentada. O argumento exposto acima nos fornece uma maneira de compreender o comportamento da Lei de Coulomb sob uma perspectiva microscópica da interação eletromagnética. Consideremos o caso de um elétron espalhado elasticamente por uma carga muito mais pesada, e que portanto permanece aproximadamente estática, como esquematizado na Figura 20. Um exemplo é um experimento de difração de elétrons, ao estilo dos experimentos de Rutherford-Geiger-Marsden que levaram à descoberta do núcleo atômico19. Nesse caso, a energia cinética do elétron não varia (por se tratar de espalhamento elástico) e a equação (11) fica (14) virtualidade ≡ E γ 2 - | p → γ | 2 ⁢ c 2 = - | p → - p → ′ | 2 ⁢ c 2 = - 4 ⁢ | p → | 2 ⁢ c 2 ⁢ sin 2 ⁡ θ 2 , que define o “grau de virtualidade” do fóton através da medida de violação da relação relativística de energia-momento. Nessa equação, θ é o ângulo entre o feixe espalhado e a direção do feixe incidente (vide legenda da Figura 20), que varia entre θ = 0 (quando não há desvio) e θ = π (quando o feixe volta na mesma direção e sentido oposto ao incidente). Figura 20 Diagrama de Feynman para um espalhamento elástico por uma carga estática. Define-se o ângulo θ como o ângulo entre o momento final (p→′) e inicial do elétron (p→), medindo o desvio relativamente à direção do feixe incidente. Ele não aparece na figura, pois um diagrama de Feynman representa apenas uma esquematização do processo que contribui para a interação, e não ilustra como o espalhamento ocorre, de fato, no espaço-tempo. Veja comentário no início da seção 2.7.3, bem como a Figura 19. Nota-se que, quanto maior o ângulo θ de espalhamento relativo ao feixe incidente (i.e. quanto maior for a alteração do estado de movimento do elétron devido à interação), maior é a virtualidade, e portanto, pelo argumento anterior, menor deve ser o alcance dessa interação. Ou seja, o elétron só é desviado significativamente de sua trajetória incidente se ele se aproximar muito da outra carga. Por outro lado, um espalhamento em que o momento linear do elétron pouco varia, p→≈p→′ e θ ≈ 0, está associado a fótons que satisfazem a relação energia-momento em boa aproximação, e portanto podem mediar interações a longas distâncias. Posto de outra forma: quanto mais o elétron se aproxima de outra carga, maior poderá ser a virtualidade dos fótons trocados entre elas, e maior será o desvio da trajetória do elétron; ao passo que, se as cargas estão distantes, os fótons devem satisfazer a equação (12) em boa aproximação, o que corresponde, pela equação (14), a um desvio pequeno de trajetória. Esse é justamente o comportamento clássico da interação eletrostática: quanto mais distantes as cargas, menor é a força e, consequentemente, menor a variação do momento linear da partícula teste. O argumento acima apresenta uma explicação para esse fenômeno em nível microscópico. É possível mostrar que a relação de virtualidade dada pela equação (14) dá origem a uma energia potencial de interação do tipo V(r)∼1/r, que é justamente a energia potencial associada à lei de Coulomb. Note, ainda, que todos os fótons que contribuem para a Lei de Coulomb são virtuais. Uma outra maneira de refrasear a argumentação acima é a seguinte. Um fóton real, não massivo, contém apenas duas possíveis polarizações, que são transversais à direção de propagação20. Por outro lado, a violação da equação (12) implica que um fóton virtual possui uma terceira polarização, dita longitudinal, que não está associada a um grau de liberdade que se propaga. De fato, é possível mostrar que esse grau de liberdade longitudinal atua como mensageiro da Lei de Coulomb [59]. Segue-se que quanto maior for a virtualidade do fóton, maior é a contribuição da polarização longitudinal, e mais intensa a interação Coulombiana, como concluímos acima. , bem como a Figura 19.

Aula 1: Introdução à Física de Partículas
Seção	Momento
^2.1 2.1. Introdução ao tema O primeiro momento da sequência propicia a oportunidade de diálogo com os(as) estudantes a fim de averiguar sua familiaridade com a grande temática de Física de Partículas, que aparece frequentemente em livros de divulgação científica ou mesmo em seriados televisivos, canais de plataformas de compartilhamento de vídeos e sítios que discutem ciência. Os(as) estudantes conseguem imaginar o quê (e quais) são essas partículas a que a temática se refere? Já tiveram contato com alguma literatura que falasse sobre quarks, neutrinos, bóson de Higgs, etc.? Já ouviram falar sobre o LHC (Grande Colisor de Hádrons), ou outros aceleradores de partículas e colisores? Interessam-se pelo tema? Por que é relevante estudá-lo? É um momento de deixar os(as) alunos(as) se expressarem, seja publicamente ou em pequenos grupos com os(as) colegas, de modo a se divertirem ao se envolverem com a temática. Após essa discussão, convém apresentar, a título de motivação, alguns fenômenos que se pode explicar graças à nossa compreensão da estrutura da matéria em diversas escalas, incluindo aplicações tecnológicas que envolvem Física de Partículas. Por exemplo, a descrição atômica da matéria nos permite explicar a origem das forças normais de resistência dos materiais enquanto forças eletromagnéticas repulsivas entre orbitais moleculares. Ou seja, explica-se fenômenos simples e cotidianos, como o fato de não atravessarmos uma cadeira quando nela sentamos;a Eletrodinâmica Quântica (QED) nos dá uma descrição muito acurada do comportamento da luz, possibilitando-nos manipulá-la para o desenvolvimento de lasers desde os mais simples, vendidos comercialmente, aos mais potentes, utilizados em escala industrial para diversos fins;a mesma QED prevê a existência de partículas chamadas pósitrons, que têm aplicação medicinal nos chamados PET scans3 ;o brilho do Sol é devido a reações relacionadas às interações nucleares fraca e forte, que também estão relacionadas a decaimentos radioativos, com aplicações na datação de fósseis ou rochas, e em inúmeros aparatos cotidianos, como detectores de fumaça;o poder preditivo da física nuclear é ilustrado de modo estarrecedor pela capacidade destrutiva dos armamentos nucleares, ou pela capacidade de geração de energia a partir de poucos quilogramas de matéria em usinas nucleares. Todos esses fenômenos e aplicações tecnológicas poderão ser explicados em maiores detalhes em momentos posteriores da sequência didática, quando o assunto relevante for discutido em maior detalhe.	Busca por conhecimentos prévios	1
	Nós “enxergamos” as partículas? Debate sobre o funcionamento da Ciência	2
	Apresentação do Modelo Padrão da Física de Partículas	3
	Alguns fenômenos e aplicações da Física de Partículas	4
^2.2 2.2. Estrutura atômica da matéria O objeto de estudo da Física de Partículas é a matéria em seu nível mais elementar, precedendo a formação de estruturas compostas mais complexas. Ou seja, é o estudo dos constituintes fundamentais da matéria e de suas interações mútuas. A temática é convidativa, portanto, a uma discussão que desemboque na teoria atômica e na natureza discreta da matéria. Em um primeiro momento, mais importante do que explicar as nuances dos diversos modelos atômicos, é preciso que fique claro aos(às) discentes a gênese do conceito de átomo, a diferença entre as concepções grega, moderna e contemporânea desse termo, e, principalmente, as evidências empíricas em favor do atomismo. Não basta que a ideia de átomo seja aceita, é preciso que o(a) estudante saiba convencer outrem de que a hipótese atomista resulta em uma excelente descrição do comportamento da matéria. Ademais, mesmo que os(as) alunos(as) saibam sobre atomismo, discutir as evidências que corroboram essa hipótese leva a um debate salutar sobre epistemologia e ciência, sobre as condições para que uma hipótese seja “validada” pela comunidade científica. No caso da teoria atômica, há o fator explicativo e o poder preditivo da hipótese, ilustrado em evidências como: As Leis Ponderais da Química: sob uma perspectiva plenista/continuista da matéria, é difícil explicar por que reações químicas ocorrem sempre na mesma proporção fixa de massa ou de moles dos reagentes, e por que qualquer excedente além dessa proporção fixa permanece sem reagir. Por outro lado, a hipótese atomista explica prontamente esse comportamento, bem como a lei de conservação de massas de Lavoisier, ao postular que reações químicas são simplesmente um rearranjo de átomos. Um experimento ilustrativo, que pode ser invocado durante a aula e até mesmo realizado ao vivo devido à sua simplicidade, é a eletrólise da água, em que o volume de gás hidrogênio gerado é sempre o dobro do volume de oxigênio. Um vídeo ilustrativo desse experimento pode ser encontrado em [30]. Teoria Cinética dos Gases: admitindo-se a hipótese atômica, é possível deduzir a equação de estado dos gases ideais a partir das leis da mecânica de Newton. Mais ainda, é possível aprimorar a descrição dos gases reais levando-se em conta, por exemplo, o tamanho das moléculas e suas interações mútuas, obtendo uma descrição ainda mais precisa de sistemas gasosos. Em última instância, a hipótese atomista dá origem à unificação da mecânica e da termodinâmica na mecânica estatística. O Movimento Browniano é o movimento aleatório de micropartículas suspensas em um líquido. O(a) docente pode mostrar um vídeo ou animação ilustrando o fenômeno como visto em um microscópio. Em 1905, Einstein foi capaz de explicar esse movimento como devido à constante colisão das moléculas do líquido com as micropartículas, e, com essa descrição, foi capaz de prever corretamente que a distância média percorrida por uma partícula é proporcional à raiz quadrada do tempo decorrido, d∼t, um comportamento típico do caráter estatístico do fenômeno. Outros exemplos podem ser apresentados. O importante é enfatizar que não é necessário enxergarmos os átomos para saber que existem (embora isso já seja possível com microscópios eletrônicos). Ao supormos que a matéria é assim constituída, podemos deduzir suas propriedades e prever corretamente seu comportamento, cumprindo, assim, uma das funções da Ciência enquanto atividade humana: nosso empoderamento diante das forças naturais.	O contínuo e o vácuo: embate sobre a estrutura da matéria	5
	Os “quatro elementos” de Empédocles e Aristóteles	6
	Atomismo de Demócrito, Leucipo e Epicuro	7
	Sucessos da hipótese atomista:
	– a eletrólise da água e as leis ponderais	8
	– a lei dos gases ideais	9
	– o movimento browniano	10
	Ciência como ferramenta de empoderamento	11
^2.3 2.3. Elétrons Uma vez que se tenha consolidado a concepção de estrutura atômica da matéria, pode-se partir para o rompimento da ideia de que o átomo é indivisível. Aqui começa a Física de Partículas de fato, introduzindo a primeira partícula elementar, protagonista da Eletrodinâmica Quântica: o elétron. Uma maneira natural de se introduzir partículas subatômicas é discutir o experimento de J. J. Thomson com tubos de raios catódicos, ilustrado na Figura 1. Para uma sequência didática investigativa explorando essa temática vide ref. [31]. Tais tubos são os elementos constitutivos básicos de televisores antigos (as chamadas “TVs de tubo”), e o(a) docente pode usar isso como motivação inicial à aula, propondo uma discussão sobre como esses aparelhos funcionam. A discussão sobre esses tubos é também propícia ao conteúdo da sequência, pois constituem exemplos simples de aceleradores de partículas. Essencialmente, dois filamentos metálicos são inseridos em um tubo a vácuo e conectados a uma fonte de energia (uma bateria, no caso do experimento de Thomson, ou a tomada doméstica no caso de um televisor), gerando os pólos − e + na figura. Ao fazê-lo, elétrons são acelerados do cátodo ao ânodo e colidem com o bulbo à direita da figura, causando o aparecimento de um ponto luminoso, que gera a imagem em aparelhos televisores. Figura 1 Tubo de raios catódicos usado no experimento de Thomson [32]. Um feixe de partículas é emitido do filamento metálico conectado ao pólo negativo da bateria (à esquerda da Figura), e se propaga em um tubo a vácuo até colidir com a outra extremidade, no bulbo à direita. O feixe é desviado por um campo elétrico inserido no meio do tubo (região amarela entre as placas horizontais), indicando que as partículas emitidas possuem carga. Com auxílio de um campo magnético (não simbolizado na imagem), pode-se calcular a razão entre a carga e a massa dessas partículas. Fonte: Wikimedia Commons/Domínio Púbico. Quando realizou seu experimento, Thomson não sabia sobre a existência de elétrons, e seu propósito era justamente desvendar a natureza desses raios que geravam o ponto luminoso. Submetendo esse feixe a campos elétricos e magnéticos, chegou a duas conclusões principais, que merecem ênfase no contexto dessa sequência didática: O feixe é constituído de partículas cujas massas são cerca de 2000 vezes menor do que a massa do átomo mais leve (o hidrogênio)4. Ou seja, essas partículas não poderiam ser constituídas de quaisquer átomos conhecidos até então. Após repetir o experimento com cátodos de vários materiais (alumínio, chumbo, estanho, cobre e ferro) e obter sempre os mesmos resultados, Thomson concluiu que essas partículas devem estar contidas no interior de todos os átomos. Thomson descobriu, assim, o elétron: a primeira partícula subatômica a ser identificada. Outra discussão interessante a se explorar, no contexto dessa aula, é o uso de tubo de raios catódicos em televisores e monitores como um dos muitos exemplos de uma pesquisa a princípio puramente acadêmica, mas que deu origem a uma aplicação tecnológica que, poucas décadas depois, veio a se tornar parte da vida cotidiana em nossa sociedade. Outro exemplo famoso é o nascimento da World Wide Web no CERN5, rede criada inicialmente para compartilhar dados entre os cientistas trabalhando no laboratório e os espalhados no mundo, e que hoje faz parte da experiência cotidiana de todos que navegam na internet.	A divisibilidade do “indivisível”	13
	O experimento de Thomson e a descoberta do elétron	14
^2.4.1 2.4.1. Semelhanças e diferenças entre eletromagnetismo e gravitação A lei de força da interação entre duas partículas estáticas eletricamente carregadas (Lei de Coulomb) tem importantes semelhanças e diferenças frente à lei de atração gravitacional de Newton (vide Figura 2), e uma discussão aprofundada sobre as causas dessas (dis)similitudes abre inúmeras possibilidades de discussões em sala de aula, todas ricas em conteúdo físico, algumas propícias ao desenvolvimento da intuição dos estudantes, e ainda outras que levam a questões profundas que continuam em aberto na Física de Partículas. Figura 2 Dois elétrons sob a ação da atração gravitacional F→g, devido a suas massas me, e da repulsão eletrostática F→e⁢l devido a suas cargas −e. A semelhança é óbvia: ambas leis de força seguem o padrão (1) força = constante × (produto de cargas) (distância) 2 . Por que isso ocorre? O produto das cargas tem que aparecer para que a terceira lei de Newton seja satisfeita6: a força agindo sobre A devido a B deve ser proporcional7 à carga de A, e deve ter mesma magnitude que a força em B devido a A, que por sua vez é proporcional à carga de B. A constante aparece devido à escolha de unidades. Por exemplo, em unidades Gaussianas, a constante da Lei de Coulomb é igual a 1. A física mais interessante está no comportamento ∼1/r2 dessas forças, que merece uma discussão mais aprofundada e cuidadosa com os(as) alunos(as). Em última instância, a Lei de Coulomb tem essa forma porque o campo eletromagnético/o fóton/a luz não possui carga nem massa. Para explicar essa afirmação, deve-se primeiramente introduzir o conceito de campo elétrico, incluindo sua manifestação visual em termos de linhas de campo e como as cargas elétricas constituem fontes e sumidouros dessas linhas8. A partir daí, segue-se que: Como o próprio campo não carrega a carga com a qual ele interage (i.e. o campo eletromagnético não é autointeragente), a única fonte de linhas de campo é a matéria, que é o enunciado da Lei de Gauss, (2) ∇ ⋅ E → ⏟ fonte de campo ∼ ρ ⏟ carga , expressa ilustrativamente na Figura 3(a). Por isso, o fluxo de linhas de campo através de uma superfície fechada englobando a carga é sempre constante, pois não há novas linhas de campo surgindo no espaço entre a carga e a superfície. Aqui, uma analogia com um fluido pode ser evocada: se interpretarmos a carga central na Figura 3(a) como uma fonte de água em um chafariz, Figura 3(b), o fluxo de água atravessando as circunferências pontilhadas em um determinado instante é sempre igual ao fluxo de água jorrando da fonte, contanto que não haja novas fontes ou sumidouros de água no meio do percurso. Portanto a quantidade de água que atravessa as circunferências pontilhadas, por unidade de comprimento dessa circunferência, decresce com a distância à fonte como ∼1/2πr. Ou seja, se temos em nossas mãos um copo, e queremos enchê-lo com a água escorrendo através da borda do chafariz, o tempo necessário para encher o copo variará com o inverso da distância da borda à fonte. Retornando ao caso eletromagnético de interesse, em que as linhas de campo se espalham por todo o espaço tridimensional, o fluxo dessas linhas de campo é constante sobre qualquer esfera de raio r, de modo que a densidade de linhas de campo (que corresponde à intensidade do campo) decai com a área dessa esfera, E∼1/4πr2. Pelo mesmo argumento, podemos identificar como seria a Lei de Coulomb em espaços de d-dimensões: E∼1/rd−1 (o volume de uma esfera d-dimensional é ∼rd, e sua área é ∼rd−1). Figura 3 (a) Linhas de campo elétrico geradas por uma carga pontual. O número de linhas atravessando uma superfície fechada é sempre constante, o que significa que a densidade de linhas diminui com a distância. Para um espaço tridimensional, a redução é ∼1/r2. (b) Toda a água que emana da fonte escorre através da borda do chafariz. A quantidade de água que atravessa uma unidade de comprimento desse perímetro varia com o inverso da distância da borda à fonte, ∼1/r. Fonte: Domínio Público. Caso o campo eletromagnético portasse carga elétrica, as próprias linhas de campo seriam fonte de novas linhas de campo, e o fluxo não seria constante, invalidando o argumento acima. Mais ainda: o fato de o campo eletromagnético não ser autointeragente é também a causa da linearidade das equações de Maxwell, e do princípio da superposição em particular. É fácil entender por que: os campos produzidos por duas cargas se propagam no espaço sem interagirem entre si e, portanto, sem que a informação que carregavam inicialmente seja modificada durante o percurso. O campo resultante é, portanto, simplesmente a soma dos campos produzidos por cada carga. Note que, com essa discussão, o(a) estudante de ensino médio é apresentado, de maneira muito clara e intuitiva, a uma das leis de Maxwell do eletromagnetismo e suas implicações. Expande-se, assim, o entendimento do(a) estudante sobre fenômenos eletromagnéticos para além de meras memorizações de leis de forças e atividades operacionais puramente mecânicas. A dependência da lei de força com a massa do campo é menos trivial, por se tratar de um aspecto quântico, mas possivelmente interessante mencionar (principalmente para aulas posteriores, quando se discutir interações nucleares forte e fraca). Caso os fótons tivessem massa m, o potencial eletrostático teria a forma de um potencial de Yukawa, (3)VYukawa ∼e-m⁢rr, correspondendo a uma força que decai muito mais rapidamente do que 1/r2, tendo um curto alcance efetivo, ref∼1/m. O fato de o fóton ser não-massivo é responsável pelo longo alcance da interação eletromagnética, bem como pelo fato de se propagar à máxima velocidade permitida para a troca de informações na Natureza: a velocidade da luz no vácuo. E a gravitação? O campo gravitacional também não possui massa – quer dizer, o gráviton9, que é a partícula associada à propagação do campo gravitacional, tem massa nula –, o que explica por que essa interação é de longo alcance, efetiva a distâncias em escala cosmológica (e também se propaga no vácuo à velocidade da luz). Mais ainda, na gravitação de Newton apenas as massas agem como fonte de gravitação, e portanto o campo gravitacional newtoniano não interage gravitacionalmente (i.e. não é autointeragente), o que implica no comportamento ∼1/r2, como vimos acima. Entretanto, hoje se sabe que a teoria newtoniana não descreve corretamente todos os fenômenos gravitacionais, e é, em última instância, suplantada pela teoria da relatividade geral de Einstein. Nessa teoria, não só a massa dos corpos é fonte de campo gravitacional, mas toda e qualquer forma de energia e momento. Logo, a energia contida no campo gravitacional também gravita. Por isso as equações da relatividade geral são altamente não-lineares. Assim, a gravitação Newtoniana está contida na relatividade geral no limite em que se negligencia a autointeração dos grávitons. Segue-se, dessas discussões, que a interação eletromagnética é a interação mais simples da Natureza , pois é a única linear. Há, ainda, outras diferenças entre gravitação e eletromagnetismo. A interação gravitacional é muito mais fraca que a eletromagnética. De fato, comparando-se a razão entre as magnitudes das forças eletrostática e gravitacional agindo sobre dois elétrons, vem que (4)\|F→e⁢lF→g\|=k⁢e2G⁢me2∼1042. Esse fato é facilmente comprovado notando-se que a força eletrostática entre um balão de festa e os cabelos de uma pessoa é suficiente para superar a atração gravitacional do planeta inteiro, como se vê na Figura 4. Outra maneira de formular essa discrepância entre as duas interações é notar que, em um sistema de unidades com k = G = 1, a equação (4) nos diz que a carga elétrica e a massa de uma partícula possuem as mesmas unidades, mas para o elétron a carga é ∼1021 vezes maior que a massa. Discrepâncias similares se aplicam a todas as outras partículas carregadas que conhecemos, e é uma manifestação de que a gravidade é a interação mais fraca da natureza. Figura 4A força eletrostática devido a um balão de festa é suficiente para superar a atração gravitacional de todo o planeta e fazer o cabelo levantar. Fonte: adaptado de SWNS/Splash News. A razão para a existência dessa hierarquia entre essas interações é um dos maiores mistérios abertos da Física de Altas Energias, denominado o problema da hierarquia . Uma proposta de solução consiste em supor que existem dimensões espaciais extras (além das três usuais com as quais estamos familiarizados), e que em última instância todas as interações têm a mesma intensidade, mas que a geometria das dimensões extras faz com que a gravitação efetiva em três dimensões se torne muito mais fraca [35]. A interação eletromagnética pode ser atrativa ou repulsiva, enquanto a gravitação é sempre atrativa. Em um sistema de partículas carregadas, as forças eletromagnéticas dominam e fazem com que elas estejam em constante movimento, sempre se repelindo e se atraindo, até o momento em que a velocidade média das partículas (i.e. a temperatura do sistema) seja suficientemente baixa para que a atração entre cargas opostas seja capaz de prendê-las em órbita, formando um sistema ligado neutro. Esse processo ocorreu no Universo primordial, cerca de 380.000 anos após o Big Bang, numa transição de fase em que os prótons e elétrons do plasma primordial se combinaram em átomos – um processo chamado na literatura de Recombinação , e que dá origem à Radiação Cósmica de Fundo [36, 37, 38]. Importante se ressaltar esse argumento à turma, pois ilustra como a efetiva neutralidade do Universo não é simplesmente uma condição inicial arbitrária, mas decorre de um processo físico no Universo primordial. Apesar de a interação eletromagnética ser muito mais forte que a gravitacional, seus efeitos de atração e repulsão tendem a se cancelar em grandes escalas, enquanto os efeitos gravitacionais são sempre cumulativos. Assim, para sistemas formados de grandes quantidades de matéria (formando corpos celestes, galáxias, conglomerados e demais estruturas cósmicas), a gravitação se torna a interação mais relevante. De fato, um dos princípios básicos da Cosmologia moderna é que, em escalas cosmológicas, é necessário levar em conta apenas a interação gravitacional entre as estruturas interagentes.	Atração e repulsão entre elétrons	15
	Lei de Coulomb e Gravitação de Newton: semelhanças e diferenças	16
	Por que percebemos mais a força gravitacional do que a força elétrica?	17

Aula 2: A natureza da luz – Parte I
Seção	Momento
^2.4.2 2.4.2. Eletromagnetismo e forças de contato Outro ponto de importante menção é a ubiquidade da interação eletromagnética em fenômenos onde não se os reconhece a princípio. De seu curso de mecânica, o(a) estudante está familiarizado(a) com o conceito de gravitação e força peso atuando sobre um corpo, assim como outras formas de força que emergem do contato entre corpos (Figura 5), como a força normal, força de atrito, tensão em uma corda, forças atuantes em uma colisão, etc. Figura 5 Forças de contato. Em última instância, todas têm origem na repulsão eletromagnética. Fontes: os autores e adaptações de [39] e [40], respectivamente. Entretanto, em sentido estrito, forças de contato inexistem: todas essas forças têm origem eletromagnética, advindas da repulsão entre os elétrons dos átomos que constituem os corpos, como ilustrado na Figura 6. Apesar de a magnitude da força de repulsão entre elétrons ser tipicamente muito menor do que a força peso de um corpo macroscópico, a repulsão aumenta drasticamente à medida que as distâncias entre as superfícies diminuem, existindo uma distância não-nula para a qual a força peso e a repulsão eletrostática se equilibram. Figura 6 A força normal de uma mesa sobre um bloco é devida à repulsão entre os elétrons dos átomos das superfícies. A revelação de que nenhum objeto está em contato com outro, e que estamos sempre ‘‘flutuando’’ sobre as superfícies onde nos apoiamos, usualmente causa fascinação e entusiasmo em estudantes. Mas mais do que isso, é importante enfatizar esse ponto porque mostra que todas as forças que vivenciamos em nosso cotidiano -- atrito, forças normais, empuxo, etc. -- têm origem eletromagnética ou gravitacional, o que abre caminho à asserção futura de que existem poucas10 interações elementares na natureza.	Breve revisão da aula anterior	1
	Ubiquidade da interação eletromagnética	2
	Gravitação e eletromagnetismo predominam no nosso dia a dia	3
^2.5 2.5. Ondas eletromagnéticas e a natureza da luz O fato de o eletromagnetismo ser uma interação à distância [41] suscita uma questão importante: como partículas distantes sabem do comportamento das demais para reagirem de maneira a satisfazer as leis da eletrodinâmica? Como um elétron no receptor de um celular sabe que existem elétrons se movendo na antena emissora do sinal? Essa problemática tem relação direta com aplicações tecnológicas que permeiam o cotidiano dos(as) estudantes, que podem (e devem) ser usadas como motivação para essa aula. Perguntas do tipo “Como os telefones celulares enviam e recebem mensagens?”, ou “Como funcionam tecnologias wireless?” podem servir como problema inicial em uma aula investigativa. A discussão pode ser então guiada a uma ênfase no papel do campo eletromagnético enquanto mediador da interação e, mais importante, enquanto ente físico com dinâmica própria. As conclusões centrais que devem ser atingidas pelos(as) estudantes são: (i) a existência de uma carga elétrica gera um campo eletromagnético; (ii) caso o estado de movimento da carga seja alterado, o campo é modificado em seu entorno imediato, e essa modificação se propaga como uma onda; (iii) quando a onda atinge uma outra carga, transfere-lhe energia e momento, alterando seu estado de movimento, i.e. comunicando-lhe o movimento apropriado. Algumas simulações interativas visando auxiliar a compreensão desses efeitos podem ser encontradas em [42, 43] (ver Figuras 7 e 8). A conclusão final da investigação é que a existência de radiação eletromagnética garante que a causalidade seja preservada pela interação. Figura 7 Simulação interativa PhET Colorado: Irradiando Carga. Na imagem da esquerda, a carga está em repouso e as linhas de campo são radiais. À direita, a carga foi posta em movimento e as linhas se deformam para acompanhá-la. Essa deformação se propaga, constituindo a onda eletromagnética. Fonte: [42]. Figura 8 Simulação interativa PhET Colorado: Ondas de Rádio e Campos Eletromagnéticos. A simulação ilustra como a oscilação dos elétrons em uma antena transmissora gera uma onda eletromagnética, que se propaga até outra antena receptora, fazendo seus elétrons oscilarem à mesma frequência que os da fonte. Assim, o sinal é transmitido de um ponto a outro sem intermédio de fios. Nessa simulação o(a) estudante pode interagir movendo o elétron da antena com o mouse e produzindo seu próprio sinal. Fonte: [43]. O processo de emissão e recepção de ondas eletromagnéticas engloba, em uma só temática, todos os aspectos centrais da teoria eletromagnética. A etapa (i) oferece a oportunidade de se discutir a Lei de Gauss, a etapa (ii) possibilita discutir o fenômeno de indução de campos elétricos pela variação de campos magnéticos (e vice-versa), enquanto (iii) está associado à força de Lorentz sobre uma carga. Mais especificamente, pode-se apresentar as equações de Maxwell de maneira intuitiva e acessível a estudantes de ensino médio, substituindo-se as expressões matemáticas, envolvendo derivadas e integrais, por suas interpretações físicas em forma de sentenças enunciativas (cf. ref. [44], Vol. II, Cap. 1). Por exemplo, a Lei de Gauss, que rege a maneira como o campo elétrico é gerado por uma carga, foi apresentada na seção 2.4.1 em termos do fluxo das linhas de campo e como elas se originam e terminam em cargas elétricas. Especificamente, o fluxo do campo elétrico E→ sobre uma superfície é constante, proporcional à carga contida em seu interior, (5) fluxo de E → através de superfície fechada = carga contida no interior da superfície A partir daí, o docente pode estimular os(as) próprios(as) alunos(as) a enunciar a lei análoga para campos magnéticos, bastando dizer-lhes que nunca foram observadas cargas magnéticas (i.e. monopolos magnéticos). O lado direito deve ser, então, igualado a zero, concluindo-se que o fluxo de campo magnético B→ se anula sobre superfícies fechadas. “Qual é, então, a fonte de campos magnéticos?”. A questão gera a ocasião para apresentar as outras duas equações de Maxwell, (6) circulação de B → em torno de C = corrente elétrica através de S + variação temporal do fluxo de E → através de S (7) circulação de E → em torno de C = variação temporal do fluxo de ( – B → ) , através de S onde S é uma superfície arbitrária e C seu contorno, como ilustrado na Figura 9. Figura 9 Uma superfície arbitrária S delimitada por uma curva fechada C. Assim, a variação de um campo elétrico no tempo (por ex., devido à aceleração da partícula fonte desse campo) gera um campo magnético variável, que gera um campo elétrico variável, e assim sucessivamente. Com essa argumentação, pode-se mostrar aos estudantes o princípio básico por trás da propagação das ondas eletromagnéticas. A Figura 10 mostra um esquema simplificado do processo, mais intuitivo e de mais fácil apreensão. Figura 10 (a) Esquema do ciclo retroalimentativo que sustenta a propagação da onda eletromagnética. (b) Uma onda eletromagnética propagando-se na direção x consiste em oscilações dos campos elétrico e magnético no plano yz. No vácuo esses campos são sempre mutuamente perpendiculares. Note que não há componentes dos campos na direção de propagação: diz-se que a onda eletromagnética é uma onda transversal. Fonte: Wikimedia Commons/CC BY-SA 4.0. A introdução do conceito de ondas eletromagnéticas abre um leque de possibilidades ao docente, que pode abordar temáticas consideradas pelos(as) próprios(as) estudantes como altamente interessantes [3], tais como: o funcionamento de antenas de emissão e recepção, e como ondas eletromagnéticas estão presentes em tecnologias atuais de telecomunicação (celulares, transmissão de sinal wifi, etc.); propriedades fundamentais de ondas gerais, e de ondas eletromagnéticas em particular (frequência, comprimento de onda, amplitude); o espectro eletromagnético e aplicações tecnológicas e medicinais de cada uma de suas bandas (ondas de TV e rádio, microondas, infravermelho, raios solares ultravioleta, raios-X, etc.), ilustradas na Figura 11. O(A) docente pode, por exemplo, discutir como o microondas funciona enquanto uma cavidade ressonante: a onda eletromagnética faz as moléculas de água dos alimentos vibrarem, aumentando sua temperatura. Note que as regiões que se localizam nos nós da onda eletromagnética do aparelho não serão aquecidas. Por isso, o alimento deve ser posto a girar para que nenhum ponto fique parado no mesmo lugar da cavidade durante todo o período do processo de aquecimento do alimento. Pode-se usar a pipoca de microondas como um exemplo divertido para os(as) estudantes; Figura 11Algumas aplicações de diversas bandas do espectro eletromagnético, que podem ser exploradas em sala em um contexto CTSA. Fonte: Domínio Público. como atividade, o(a) docente pode pedir que os(as) estudantes pesquisem a banda de frequência em que funcionam os roteadores wifi a que têm acesso, e computem o comprimento de onda associado, localizando-o no espectro eletromagnético. Que outros aparelhos domésticos funcionam nessa mesma banda do espectro? O funcionamento de roteadores oferece uma interessante aplicação tecnológica cotidiana da teoria eletromagnética, e tem grande potencial de ser um tópico atraente para muitos(as) estudantes interessados nessa área de informática e/ou tecnologia da informação; interessante destacar, também, a natureza da luz enquanto onda eletromagnética, e alguns aspectos históricos a respeito dessa descoberta. A possibilidade de existência de tais ondas foi estabelecida por Maxwell em 1864, que também calculou a velocidade de propagação, encontrando um valor muito próximo à velocidade da luz (cujo valor já era conhecido na época), concluindo, então, que a luz é uma onda eletromagnética. Esse resultado tem um valor histórico inestimável: a partir de grandezas medidas em laboratório com o uso de circuitos elétricos, fios, voltímetros etc., Maxwell pôde extrair uma conclusão sobre a natureza da luz, um fenômeno que não parece ter qualquer relação com aqueles experimentos! A natureza ondulatória da luz já era conhecida desde que Young realizou seu experimento de fenda dupla em 1801. No entanto, não se conhecia ainda o substrato oscilante nessas ondas, cabendo a Maxwell tal identificação; pode-se, ainda, mencionar o espectro de corpo negro, ou, mais geralmente, o fato de que todo corpo emite radiação eletromagnética devido à sua temperatura. Esse espectro contém um pico, e a frequência no pico de emitância é proporcional à temperatura do corpo, o que significa que quanto mais quente for o corpo, mais “azulada” é a radiação emitida por ele. O(a) docente pode propor aos(às) estudantes interagirem com a simulação encontrada na ref. [45], que mostra como o espectro de emitância de um corpo varia com a temperatura, como na Figura 12. Essa dependência do pico de emitância com a temperatura é utilizada, por exemplo, para medir a temperatura de estrelas a partir do espectro de luz que elas emitem. A superfície do Sol está a uma temperatura de aproximadamente 5500 K, e seu espectro de emissão tem um pico justamente na região da luz visível, i.e. a maior parte da radiação emitida pelo Sol encontra-se na faixa que nós conseguimos enxergar. Isso não é uma coincidência, mas produto da seleção natural. O apêndice A.1 contém uma proposta de atividade interdisciplinar, a ser realizada com os(as) estudantes e potencialmente em conjunto com o(a) professor(a) da área de Biologia, explorando esse fato. A Figura 30 encontrada naquela seção ilustra o espectro de emitância solar sobreposto ao de um corpo negro ideal à temperatura 5500 K. Figura 12Imagem da simulação interativa PhET Colorado: Espectro de Corpo Negro. Fonte: [45]. A Figura 13 ilustra diversos aspectos do espectro eletromagnético, e pode ser extremamente útil ao(à) docente na elaboração de sua aula e das atividades a serem propostas relativas a essa temática. Figura 13 Diversos tipos de radiação eletromagnética, caracterizados por uma banda específica de frequência e comprimento de onda do espectro completo. A cada banda, atribui-se também um objeto cujo tamanho típico é da mesma ordem de magnitude do comprimento da onda correspondente: tratam-se dos menores objetos que podem ser distinguidos por meio dessas ondas. Por exemplo, microorganismos podem ser vistos sob um microscópio usual, funcionando à base de luz visível, mas para distinguir moléculas ou átomos é preciso fazer incidir radiação muito mais energética, de menor comprimento de onda. As frequências de cada banda são associadas, também, às cores da radiação correspondente, divididas em três regiões: o infravermelho, o espectro contínuo da luz visível, e o ultravioleta. Por fim, ilustra-se também a temperatura de um corpo cujo espectro de emissão termal é predominante na banda em questão. Fonte: Wikimedia Commons/CC BY-SA 4.0.	Conhecimentos prévios sobre o conceito de campo	4
	O campo elétrico e a lei de Coulomb	5
	Linhas de campo elétrico, lei de Gauss e o comportamento 1/r²	6
	Analogia com fluxo de água de um chafariz (seção ^2.4.1 2.4.1. Semelhanças e diferenças entre eletromagnetismo e gravitação A lei de força da interação entre duas partículas estáticas eletricamente carregadas (Lei de Coulomb) tem importantes semelhanças e diferenças frente à lei de atração gravitacional de Newton (vide Figura 2), e uma discussão aprofundada sobre as causas dessas (dis)similitudes abre inúmeras possibilidades de discussões em sala de aula, todas ricas em conteúdo físico, algumas propícias ao desenvolvimento da intuição dos estudantes, e ainda outras que levam a questões profundas que continuam em aberto na Física de Partículas. Figura 2 Dois elétrons sob a ação da atração gravitacional F→g, devido a suas massas me, e da repulsão eletrostática F→e⁢l devido a suas cargas −e. A semelhança é óbvia: ambas leis de força seguem o padrão (1) força = constante × (produto de cargas) (distância) 2 . Por que isso ocorre? O produto das cargas tem que aparecer para que a terceira lei de Newton seja satisfeita6: a força agindo sobre A devido a B deve ser proporcional7 à carga de A, e deve ter mesma magnitude que a força em B devido a A, que por sua vez é proporcional à carga de B. A constante aparece devido à escolha de unidades. Por exemplo, em unidades Gaussianas, a constante da Lei de Coulomb é igual a 1. A física mais interessante está no comportamento ∼1/r2 dessas forças, que merece uma discussão mais aprofundada e cuidadosa com os(as) alunos(as). Em última instância, a Lei de Coulomb tem essa forma porque o campo eletromagnético/o fóton/a luz não possui carga nem massa. Para explicar essa afirmação, deve-se primeiramente introduzir o conceito de campo elétrico, incluindo sua manifestação visual em termos de linhas de campo e como as cargas elétricas constituem fontes e sumidouros dessas linhas8. A partir daí, segue-se que: Como o próprio campo não carrega a carga com a qual ele interage (i.e. o campo eletromagnético não é autointeragente), a única fonte de linhas de campo é a matéria, que é o enunciado da Lei de Gauss, (2) ∇ ⋅ E → ⏟ fonte de campo ∼ ρ ⏟ carga , expressa ilustrativamente na Figura 3(a). Por isso, o fluxo de linhas de campo através de uma superfície fechada englobando a carga é sempre constante, pois não há novas linhas de campo surgindo no espaço entre a carga e a superfície. Aqui, uma analogia com um fluido pode ser evocada: se interpretarmos a carga central na Figura 3(a) como uma fonte de água em um chafariz, Figura 3(b), o fluxo de água atravessando as circunferências pontilhadas em um determinado instante é sempre igual ao fluxo de água jorrando da fonte, contanto que não haja novas fontes ou sumidouros de água no meio do percurso. Portanto a quantidade de água que atravessa as circunferências pontilhadas, por unidade de comprimento dessa circunferência, decresce com a distância à fonte como ∼1/2πr. Ou seja, se temos em nossas mãos um copo, e queremos enchê-lo com a água escorrendo através da borda do chafariz, o tempo necessário para encher o copo variará com o inverso da distância da borda à fonte. Retornando ao caso eletromagnético de interesse, em que as linhas de campo se espalham por todo o espaço tridimensional, o fluxo dessas linhas de campo é constante sobre qualquer esfera de raio r, de modo que a densidade de linhas de campo (que corresponde à intensidade do campo) decai com a área dessa esfera, E∼1/4πr2. Pelo mesmo argumento, podemos identificar como seria a Lei de Coulomb em espaços de d-dimensões: E∼1/rd−1 (o volume de uma esfera d-dimensional é ∼rd, e sua área é ∼rd−1). Figura 3 (a) Linhas de campo elétrico geradas por uma carga pontual. O número de linhas atravessando uma superfície fechada é sempre constante, o que significa que a densidade de linhas diminui com a distância. Para um espaço tridimensional, a redução é ∼1/r2. (b) Toda a água que emana da fonte escorre através da borda do chafariz. A quantidade de água que atravessa uma unidade de comprimento desse perímetro varia com o inverso da distância da borda à fonte, ∼1/r. Fonte: Domínio Público. Caso o campo eletromagnético portasse carga elétrica, as próprias linhas de campo seriam fonte de novas linhas de campo, e o fluxo não seria constante, invalidando o argumento acima. Mais ainda: o fato de o campo eletromagnético não ser autointeragente é também a causa da linearidade das equações de Maxwell, e do princípio da superposição em particular. É fácil entender por que: os campos produzidos por duas cargas se propagam no espaço sem interagirem entre si e, portanto, sem que a informação que carregavam inicialmente seja modificada durante o percurso. O campo resultante é, portanto, simplesmente a soma dos campos produzidos por cada carga. Note que, com essa discussão, o(a) estudante de ensino médio é apresentado, de maneira muito clara e intuitiva, a uma das leis de Maxwell do eletromagnetismo e suas implicações. Expande-se, assim, o entendimento do(a) estudante sobre fenômenos eletromagnéticos para além de meras memorizações de leis de forças e atividades operacionais puramente mecânicas. A dependência da lei de força com a massa do campo é menos trivial, por se tratar de um aspecto quântico, mas possivelmente interessante mencionar (principalmente para aulas posteriores, quando se discutir interações nucleares forte e fraca). Caso os fótons tivessem massa m, o potencial eletrostático teria a forma de um potencial de Yukawa, (3)VYukawa ∼e-m⁢rr, correspondendo a uma força que decai muito mais rapidamente do que 1/r2, tendo um curto alcance efetivo, ref∼1/m. O fato de o fóton ser não-massivo é responsável pelo longo alcance da interação eletromagnética, bem como pelo fato de se propagar à máxima velocidade permitida para a troca de informações na Natureza: a velocidade da luz no vácuo. E a gravitação? O campo gravitacional também não possui massa – quer dizer, o gráviton9, que é a partícula associada à propagação do campo gravitacional, tem massa nula –, o que explica por que essa interação é de longo alcance, efetiva a distâncias em escala cosmológica (e também se propaga no vácuo à velocidade da luz). Mais ainda, na gravitação de Newton apenas as massas agem como fonte de gravitação, e portanto o campo gravitacional newtoniano não interage gravitacionalmente (i.e. não é autointeragente), o que implica no comportamento ∼1/r2, como vimos acima. Entretanto, hoje se sabe que a teoria newtoniana não descreve corretamente todos os fenômenos gravitacionais, e é, em última instância, suplantada pela teoria da relatividade geral de Einstein. Nessa teoria, não só a massa dos corpos é fonte de campo gravitacional, mas toda e qualquer forma de energia e momento. Logo, a energia contida no campo gravitacional também gravita. Por isso as equações da relatividade geral são altamente não-lineares. Assim, a gravitação Newtoniana está contida na relatividade geral no limite em que se negligencia a autointeração dos grávitons. Segue-se, dessas discussões, que a interação eletromagnética é a interação mais simples da Natureza , pois é a única linear. Há, ainda, outras diferenças entre gravitação e eletromagnetismo. A interação gravitacional é muito mais fraca que a eletromagnética. De fato, comparando-se a razão entre as magnitudes das forças eletrostática e gravitacional agindo sobre dois elétrons, vem que (4)\|F→e⁢lF→g\|=k⁢e2G⁢me2∼1042. Esse fato é facilmente comprovado notando-se que a força eletrostática entre um balão de festa e os cabelos de uma pessoa é suficiente para superar a atração gravitacional do planeta inteiro, como se vê na Figura 4. Outra maneira de formular essa discrepância entre as duas interações é notar que, em um sistema de unidades com k = G = 1, a equação (4) nos diz que a carga elétrica e a massa de uma partícula possuem as mesmas unidades, mas para o elétron a carga é ∼1021 vezes maior que a massa. Discrepâncias similares se aplicam a todas as outras partículas carregadas que conhecemos, e é uma manifestação de que a gravidade é a interação mais fraca da natureza. Figura 4A força eletrostática devido a um balão de festa é suficiente para superar a atração gravitacional de todo o planeta e fazer o cabelo levantar. Fonte: adaptado de SWNS/Splash News. A razão para a existência dessa hierarquia entre essas interações é um dos maiores mistérios abertos da Física de Altas Energias, denominado o problema da hierarquia . Uma proposta de solução consiste em supor que existem dimensões espaciais extras (além das três usuais com as quais estamos familiarizados), e que em última instância todas as interações têm a mesma intensidade, mas que a geometria das dimensões extras faz com que a gravitação efetiva em três dimensões se torne muito mais fraca [35]. A interação eletromagnética pode ser atrativa ou repulsiva, enquanto a gravitação é sempre atrativa. Em um sistema de partículas carregadas, as forças eletromagnéticas dominam e fazem com que elas estejam em constante movimento, sempre se repelindo e se atraindo, até o momento em que a velocidade média das partículas (i.e. a temperatura do sistema) seja suficientemente baixa para que a atração entre cargas opostas seja capaz de prendê-las em órbita, formando um sistema ligado neutro. Esse processo ocorreu no Universo primordial, cerca de 380.000 anos após o Big Bang, numa transição de fase em que os prótons e elétrons do plasma primordial se combinaram em átomos – um processo chamado na literatura de Recombinação , e que dá origem à Radiação Cósmica de Fundo [36, 37, 38]. Importante se ressaltar esse argumento à turma, pois ilustra como a efetiva neutralidade do Universo não é simplesmente uma condição inicial arbitrária, mas decorre de um processo físico no Universo primordial. Apesar de a interação eletromagnética ser muito mais forte que a gravitacional, seus efeitos de atração e repulsão tendem a se cancelar em grandes escalas, enquanto os efeitos gravitacionais são sempre cumulativos. Assim, para sistemas formados de grandes quantidades de matéria (formando corpos celestes, galáxias, conglomerados e demais estruturas cósmicas), a gravitação se torna a interação mais relevante. De fato, um dos princípios básicos da Cosmologia moderna é que, em escalas cosmológicas, é necessário levar em conta apenas a interação gravitacional entre as estruturas interagentes. revisitada)	7
	A inexistência de monopolos magnéticos	8
	As equações de Maxwell e a unificaçãoequações de Maxwell do eletromagnetismo	9
	Ondas eletromagnéticas	10
	Simulações: geração e recepção de ondas eletromagnéticas	11
	Aplicações: ondas de rádio, wifi e telecomunicações em geral	12
	A luz é uma onda eletromagnética	13
	O espectro eletromagnético	14
	Fazendo pipoca no microondas	15
^A.1 A.1. Espectro de emitância solar Uma interessante atividade em diálogo com a Biologia consiste em apresentar o espectro de emissão solar (i.e. a potência de ondas eletromagnéticas emitidas pelo Sol em função da frequência da onda), Figura 30, que tem pico de máximo precisamente na região do visível, e lançar à turma o desafio de tentar explicar a “coincidência” de o Sol ser mais luminoso justamente na faixa em que nós enxergamos o espectro eletromagnético. Pela experiência dos autores, não haverá grandes dificuldades da turma em invocar o mecanismo de seleção natural. Figura 30 Espectro de emissão de radiação pelo Sol. Note o pico exatamente na região do visível, com máximo na faixa da cor verde. Fonte: Domínio público. Ainda mais intrigante, entretanto, é que o pico do espectro solar corresponde à radiação na faixa da cor verde, que é justamente a cor das folhas das plantas. Isso significa que, embora usem absorção de luz para realizarem fotossíntese, as folhas refletem a faixa de frequência em que há mais luminosidade disponível. Como explicar esse aparente paradoxo? Também essa questão, cuja solução é bastante mais elaborada, pode ser lançada à turma, para que, individualmente ou em grupos, tentem formular hipóteses plausíveis que expliquem tal fato, exercitando assim o raciocínio e criatividade no âmbito científico. Uma proposta recente de se explicar o aparente paradoxo é a chamada “hipótese da Terra roxa” [83]. Uma discussão sobre o assunto pode ser articulada conjuntamente com o(a) professor(a) de Biologia da instituição de ensino, pois envolve, em igual medida, conhecimentos de Física (espectro eletromagnético, espectro de emissão solar, a cor dos objetos) e Biologia (mecanismos de seleção natural e especiação, fotossíntese), fornecendo uma excelente oportunidade para se superar a compartimentalização do ensino científico na escola, além de promover atividades diferenciadas com um viés de ensino investigativo.	Espectro de emitância solar:
	evolução da visão humana	16
	por que as plantas são verdes?	17

Aula 3: A natureza da luz – Parte II
Seção	Momento
^2.6 2.6. Dualidade onda-partícula A discussão da temática de ondas eletromagnéticas abre a possibilidade de se adentrar em temas de física moderna, como a teoria da relatividade restrita ou a dualidade onda-partícula em mecânica quântica. Embora ambos sejam de suma importância para a Física de Partículas, nesta sequência didática focamos no aspecto quântico visando a introdução do conceito de fóton. Para propostas didáticas visando o ensino de relatividade no ensino médio vide refs. [46, 47, 48]. A dualidade onda-partícula da luz pode ser introduzida de diversas maneiras. Invocando-se o experimento de Young da fenda dupla, pode-se, em um primeiro momento da aula, discutir as expectativas dos(as) alunos(as) quanto à imagem formada no aparato de incidência, quando o objeto incidente for uma partícula clássica (Figura 14) e quando for uma onda (para esse caso pode-se explorar, junto aos(às) alunos(as), a simulação interativa disponível em [49]). Em um segundo momento da aula, discute-se (ou realiza-se em sala) o experimento de Young, que detectou franjas de interferência para a luz, mostrando tratar-se de um fenômeno de natureza ondulatória. Posteriormente, discute-se o que ocorre quando se reduz suficientemente a intensidade do feixe luminoso, resultando nos padrões mostrados na Figura 15. As franjas são reveladas aos poucos, a partir de detecções de partículas pontuais, revelando assim o caráter corpuscular da luz (para imagens e vídeo ilustrativo que podem ser usados em sala de aula, consultar ref. [50]). Figura 14 Padrão esperado para um feixe de partículas clássicas lançadas contra uma tela com duas fendas. Fonte: adaptado de Wikimedia Commons/Domínio público. Figura 15 Para partículas quânticas, o padrão de interferência é inicialmente imperceptível, mas emerge paulatinamente à medida que mais estatística é coletada pelo experimento. Fonte: Wikimedia Commons/Domínio público. A discussão do experimento da fenda dupla em sala de aula cria, também, uma excelente oportunidade de desmistificar a mecânica quântica, o que é especialmente importante levando-se em conta a quantidade de charlatães que usam os resultados não-intuitivos desse experimento para propor que a Física corrobora suas interpretações esotéricas do mundo. Mais especificamente, o surgimento de um padrão de interferência para um feixe de partículas pode ser explorado para se discutir a necessidade de se abandonar o conceito de trajetórias bem definidas (que deveria levar ao padrão dado pela Figura 14), e, consequentemente, a necessidade de se reformular a mecânica. Pode-se usar esse gancho para discutir o princípio da incerteza de Heisenberg, e como esse princípio explica o fenômeno de destruição do padrão de interferência quando um observador detecta por qual fenda a partícula passou (cf. ref. [44], Vol. III, Seção 1.8). Também é essencial esclarecer aos estudantes que não se deve pensar em partículas quânticas como “bolinhas” movendo-se classicamente. A propósito, fazer uso de analogias com a mecânica clássica geralmente leva a uma confusão de conceitos [51]. Os fótons devem ser vistos como pacotes de energia e momento. O mesmo vale para todas as partículas elementares. Isso ficará mais claro quando se apresentar a definição de partícula no paradigma de Teorias Quânticas de Campos, como a Eletrodinâmica Quântica, que será apresentada na seção seguinte. Outra evidência em favor do caráter corpuscular da luz é o efeito fotoelétrico/fotovoltaico. Por constituir o princípio básico do funcionamento de células fotovoltaicas, essa temática pode ser abordada em um contexto de aula investigativa [52] ou, ainda, em diálogo mais amplo com outras disciplinas escolares em contexto CTSA (Ciência, Tecnologia, Sociedade e Ambiente) [53]. Uma proposta de tal atividade encontra-se delineada no apêndice A.2. Ademais, a discussão do efeito fotoelétrico permite a apresentação da relação de Einstein para a energia dos “pacotes de onda eletromagnética”, (8) ( energia da partícula ) = ( constante ) × ( frequência da onda associada ) , relação que quantifica a dualidade ao associar uma grandeza tipicamente ligada a partículas a uma propriedade ondulatória. Seja qual for o caminho escolhido, o objetivo a se atingir é introduzir o conceito de fótons enquanto partículas da radiação eletromagnética.	Breve revisão das aulas anteriores	1
	O que são partículas? O que são ondas?	2
	A dualidade onda-partícula e o fóton	3
	O fóton não tem massa	4
	O elétron também é onda-partícula	5
	O microscópio eletrônico	6
	Trajetórias em Mecânica Quântica	7
	A relação de de Broglie e a constante de Planck	8
	Constantes fundamentais da Natureza	9
^2.7.3 2.7.3. Diagramas de Feynman Outra maneira de representar a interação entre elétrons é através de um diagrama de Feynman, como na Figura 18. Aqui, o eixo vertical representa a dimensão espacial, e o eixo horizontal é a passagem do tempo. Representa-se, aqui, o mesmo processo ilustrado na Figura 17 anterior: dois elétrons interagindo pela troca de um fóton virtual. Entretanto, não é correto ler esse diagrama como se um dos elétrons (digamos, o elétron da parte superior da figura) tivesse emitido o fóton, e o outro (da parte inferior) o tivesse absorvido. Pois o processo oposto, em que o elétron inferior emitiu e o superior absorveu o fóton, é igualmente possível. E, se há dois processos intermediários possíveis, a mecânica quântica garante que a contribuição total aos processos físicos é a soma das contribuições dos processos intermediários. A Figura 19 mostra que o diagrama de Feynman da Figura 18 representa a soma (i.e. a superposição quântica) das duas ordenações temporais possíveis para a emissão e absorção do fóton intermediário [57, 58, 59]. Ou seja, a Figura 18 ilustra apenas que, em primeira ordem, esse processo ocorre mediante a troca de um fóton virtual, sem representar como esse processo de fato ocorre no espaço-tempo. Figura 18 Diagrama de Feynman ilustrando a interação entre dois elétrons mediada pela troca de um fóton virtual. Os pontos que conectam os elétrons ao fóton são chamados de vértices do diagrama. Figura 19 A interação entre elétrons pela troca de um fóton virtual deve levar em conta as duas possibilidades de ordenamento temporal, em que um elétron emite e o outro absorve o fóton trocado. Para compreender melhor a diferença entre fótons reais e virtuais, consideremos o balanço de energia-momento em um ponto de “emissão/absorção” do fóton no diagrama, i.e. em um de seus vértices. Sejam (E,p→) e (E′,p→′) a energia e momento linear de um elétron da Figura 18 (por ex., o elétron da parte superior do diagrama) antes e depois da interação (i.e. à esquerda e à direita do vértice, respectivamente), e sejam (Eγ,p→γ) a energia e momento do fóton virtual. A conservação de energia e momento na absorção/emissão do fóton impõe que (9) E = E γ + E ′ , (10) p → = p → γ + p → ′ , logo (11) E γ 2 - \| p → γ \| 2 ⁢ c 2 = ( E - E ′ ) 2 - \| p → - p → ′ \| 2 ⁢ c 2 . Como um fóton tem massa mγ = 0, esperar-se-ia, da relação relativística de energia-momento16, que (12) E γ 2 - \| p → γ \| 2 ⁢ c 2 = m γ 2 ⁢ c 4 = 0 ⁢ ? No entanto, em um espalhamento de elétrons não há nada que vincule E a E′ ou p→ a p→′ a priori17 (tratam-se de variáveis livres do problema), de maneira que, em geral, o lado direito da equação (11) não se anula. Isso significa que um fóton virtual em geral não satisfaz a relação relativística de energia-momento. Ou, dito de outra forma, é como se a partícula virtual pudesse ter massa diferente da massa observada para excitações normais do campo em questão. Essa é outra importante distinção entre partículas reais e virtuais. Essa violação da equação (12) não é um problema, contanto que esteja dentro da margem de incerteza associada à energia e ao momento do fóton virtual. Pelo princípio da incerteza, a precisão com que se pode determinar a energia de um sistema (ΔE) é limitada pelo tempo disponível para ele interagir com um possível aparato medidor (Δt), assim como a incerteza em seu momento (Δp) cresce à medida que se reduz a região do espaço a que ele esteja restrito (Δx). Isso pode ser expresso matematicamente por meio das famosas relações de incerteza (13) Δ ⁢ E ⁢ Δ ⁢ t ≥ ℏ 2 , Δ ⁢ p ⁢ Δ ⁢ x ≥ ℏ 2 , com ℏ ≈ 1.05×10−34 kg m2/s a constante de Planck reduzida18. Assim, quanto menor for o tempo de vida de uma excitação de um campo, e/ou quanto menor for seu alcance espacial, maior será a incerteza associada à sua energia-momento, e portanto maior será a margem para uma aparente violação da equação (12). Mais especificamente, o espalhamento descrito pelo diagrama da Figura 18 é mediado por fótons de todas as possíveis virtualidades, e a interação final resulta da soma de todas as contribuições. Entretanto, para grandes distâncias entre as partículas interagentes, a sobreposição dos fótons virtuais resulta em uma interferência destrutiva (exatamente no sentido de interferência de ondas), de modo que quanto maior a virtualidade dos fótons mediadores, menores serão seus impactos no resultado final da interação. Assim, a grandes distâncias, apenas fótons de baixa virtualidade contribuem significativamente. Reciprocamente, a menores distâncias, a contribuição dos fótons de maior virtualidade também se torna relevante. Uma discussão muito detalhada desse efeito, ao mesmo tempo em que é acessível ao público geral, pode ser encontrada na ref. [57], cuja leitura é fortemente recomendada para uma maior compreensão da QED e um complemento da discussão aqui apresentada. O argumento exposto acima nos fornece uma maneira de compreender o comportamento da Lei de Coulomb sob uma perspectiva microscópica da interação eletromagnética. Consideremos o caso de um elétron espalhado elasticamente por uma carga muito mais pesada, e que portanto permanece aproximadamente estática, como esquematizado na Figura 20. Um exemplo é um experimento de difração de elétrons, ao estilo dos experimentos de Rutherford-Geiger-Marsden que levaram à descoberta do núcleo atômico19. Nesse caso, a energia cinética do elétron não varia (por se tratar de espalhamento elástico) e a equação (11) fica (14) virtualidade ≡ E γ 2 - \| p → γ \| 2 ⁢ c 2 = - \| p → - p → ′ \| 2 ⁢ c 2 = - 4 ⁢ \| p → \| 2 ⁢ c 2 ⁢ sin 2 ⁡ θ 2 , que define o “grau de virtualidade” do fóton através da medida de violação da relação relativística de energia-momento. Nessa equação, θ é o ângulo entre o feixe espalhado e a direção do feixe incidente (vide legenda da Figura 20), que varia entre θ = 0 (quando não há desvio) e θ = π (quando o feixe volta na mesma direção e sentido oposto ao incidente). Figura 20 Diagrama de Feynman para um espalhamento elástico por uma carga estática. Define-se o ângulo θ como o ângulo entre o momento final (p→′) e inicial do elétron (p→), medindo o desvio relativamente à direção do feixe incidente. Ele não aparece na figura, pois um diagrama de Feynman representa apenas uma esquematização do processo que contribui para a interação, e não ilustra como o espalhamento ocorre, de fato, no espaço-tempo. Veja comentário no início da seção 2.7.3, bem como a Figura 19. Nota-se que, quanto maior o ângulo θ de espalhamento relativo ao feixe incidente (i.e. quanto maior for a alteração do estado de movimento do elétron devido à interação), maior é a virtualidade, e portanto, pelo argumento anterior, menor deve ser o alcance dessa interação. Ou seja, o elétron só é desviado significativamente de sua trajetória incidente se ele se aproximar muito da outra carga. Por outro lado, um espalhamento em que o momento linear do elétron pouco varia, p→≈p→′ e θ ≈ 0, está associado a fótons que satisfazem a relação energia-momento em boa aproximação, e portanto podem mediar interações a longas distâncias. Posto de outra forma: quanto mais o elétron se aproxima de outra carga, maior poderá ser a virtualidade dos fótons trocados entre elas, e maior será o desvio da trajetória do elétron; ao passo que, se as cargas estão distantes, os fótons devem satisfazer a equação (12) em boa aproximação, o que corresponde, pela equação (14), a um desvio pequeno de trajetória. Esse é justamente o comportamento clássico da interação eletrostática: quanto mais distantes as cargas, menor é a força e, consequentemente, menor a variação do momento linear da partícula teste. O argumento acima apresenta uma explicação para esse fenômeno em nível microscópico. É possível mostrar que a relação de virtualidade dada pela equação (14) dá origem a uma energia potencial de interação do tipo V(r)∼1/r, que é justamente a energia potencial associada à lei de Coulomb. Note, ainda, que todos os fótons que contribuem para a Lei de Coulomb são virtuais. Uma outra maneira de refrasear a argumentação acima é a seguinte. Um fóton real, não massivo, contém apenas duas possíveis polarizações, que são transversais à direção de propagação20. Por outro lado, a violação da equação (12) implica que um fóton virtual possui uma terceira polarização, dita longitudinal, que não está associada a um grau de liberdade que se propaga. De fato, é possível mostrar que esse grau de liberdade longitudinal atua como mensageiro da Lei de Coulomb [59]. Segue-se que quanto maior for a virtualidade do fóton, maior é a contribuição da polarização longitudinal, e mais intensa a interação Coulombiana, como concluímos acima.	Interação eletromagnética: troca de fótons e diagramas de Feynman	10
^2.8 2.8. Pósitrons: os antielétrons Na seção 2.7.1 acima vimos que, em uma teoria quântica relativística, o elétron é interpretado como uma excitação de um campo fundamental, que chamamos de “campo do elétron” ou “campo eletrônico”. Contudo, é possível mostrar que os postulados da relatividade restrita só são satisfeitos quando se considera que o campo eletrônico possui também um outro tipo de excitação, com a mesma massa do elétron mas carga oposta. Em outras palavras, uma teoria quântica relativística do elétron prevê, também, a existência de um antielétron! Como a carga dessa partícula é positiva, ela é chamada de pósitron. Figura 21 Representação esquemática do movimento de um pósitron, interpretado como o movimento de um elétron movendo-se “para trás no tempo”. O pósitron pode ser visto como uma “ausência de elétron” ou como um buraco nesta página em branco: à medida que o “buraco” se move para a direita, o espaço que ele antes ocupava passa a ser novamente branco, como o restante da página. Reduzir a ausência de carga negativa em uma determinada posição é equivalente a acrescentar uma carga negativa nesse ponto. Isso porque −(+ e) = −e. Assim, o pósitron movendo-se de 1 para 2 em t1→t2 corresponde a um elétron movendo-se de 2 para 1. Em t2→t3 o elétron se desloca de 3 para 2. Note que o elétron que saiu de 2 para 1 precisou, primeiro, sair de 3 para 2. Assim, efetivamente, o movimento do pósitron de 1→2→3 em t1→t2→t3 corresponde ao movimento de um elétron de 3→2→1 em t3→t2→t1. Pode-se entender a afirmação acima da seguinte maneira. Considere dois eventos que ocorrem nos pontos x=(t,x→) e x+Δ⁢x=(t+Δ⁢t,x→+Δ⁢x→) do espaço-tempo, e suponhamos que \|Δ⁢x→\|>c⁢Δ⁢t, ou seja, a distância espacial Δ⁢x→ é maior do que a distância que a luz pode percorrer no intervalo Δt. Isso significa que esses dois eventos são causalmente desconexos, pois só poderiam ser relacionados por um sinal superluminal, o que violaria os postulados da relatividade restrita. No entanto, quando calculamos a probabilidade de que um elétron se propague de x até x + Δx, constata-se que essa probabilidade não se anula! Assim, se o campo eletrônico propagasse informação somente via elétrons, haveria violação da causalidade: veríamos efeitos precedendo suas causas, o que é absurdo! Para preservar a causalidade, o campo eletrônico deve possuir, também, um segundo tipo de excitação, que são os chamados “pósitrons”: as antipartículas dos elétrons. A transmissão de informação entre dois pontos espaço-temporais envolve a propagação de um elétron de x a x + Δx bem como a propagação de um pósitron de x + Δx a x e, quando essas duas partículas têm exatamente a mesma massa, esses dois processos interferem destrutivamente21, garantindo a causalidade em nível quântico. Note que, nesse caso, a propagação de um elétron é exatamente cancelada pela de um pósitron se propagando no sentido oposto no espaço e no tempo. Esse é um dos aspectos da interpretação de Feynman-Stückelberg para as antipartículas, que garante que, sob todos os aspectos, as antipartículas se comportam como partículas viajando para trás no tempo. Isso explica porque partículas e antipartículas possuem a mesma massa: são, no fundo, a mesma partícula, ou, dito de outra forma, são excitações de um mesmo campo fundamental. Essa interpretação de antipartículas pode ser visualizada da seguinte maneira. Imagine um pósitron se propagando da esquerda para a direita, como ilustrado na Figura 21. Vamos denominar as três posições que o pósitron ocupa na figura como posições 1, 2 e 3, respectivamente. No instante t1 há uma carga elétrica positiva ocupando a posição 1, mais à esquerda da figura, enquanto as posições vizinhas correspondem a espaços vazios, portanto com carga nula. Na passagem do instante t1 para um instante t2 posterior, a carga + e é subtraída da posição 1 e acrescida na posição 2. Mas esse processo é totalmente análogo a subtrairmos uma carga −e de 2 (pois 0−(−e) = + e) e adicionarmos −e em 1 (pois −e + e = 0). Dito de outra forma, é como se a existência de um pósitron pudesse ser vista como a “ausência de um elétron”, ou como um “buraco”: à medida que o pósitron se move da esquerda para a direita, os espaços mais à direita vão se movendo para a esquerda, para preencher a lacuna do pósitron. A Figura 21 mostra, assim, como o movimento do pósitron da esquerda para a direita ao longo de t1→t2→t3 corresponde ao movimento de um elétron da direita para a esquerda ao longo de t3→t2→t1, portanto andando “para trás no tempo”. Esse mesmo argumento se aplica a qualquer campo quântico, de modo que toda partícula elementar possui uma antipartícula associada, e ambas partícula e antipartícula possuem a mesma massa, mas cargas opostas22. Refraseando em poucas palavras: antipartículas emergem inevitavelmente dos postulados da mecânica quântica e da relatividade restrita. Ou, ainda de outra forma: é impossível formular uma teoria quântica relativística de apenas uma partícula. Isso não é inesperado, visto que a relação relativística E = mc2 já aponta para a possibilidade de se converter energia em massa e, portanto, criar novas partículas a partir de uma energia inicial ou, reciprocamente, converter massa em energia através da aniquilação de partículas. Na QED, em que elétrons e pósitrons interagem com o campo eletromagnético, essa energia que cria partículas ou resulta de suas aniquilações está na forma de fótons. Ou seja, um par elétron-pósitron pode se aniquilar mutuamente, resultando em (dois ou mais) fótons no produto final, ou, reciprocamente, fótons podem produzir um par elétron-pósitron23. Esse processo está representado diagramaticamente pela Figura 22. Figura 22 Diagrama representando a aniquilação de um par elétron-pósitron em dois fótons. Note como a partícula mediadora é uma excitação do campo eletrônico. Esse caso ilustra como todas as partículas podem ser virtuais, e não apenas as mediadoras das interações. Historicamente, a existência dos pósitrons foi prevista por Dirac em 1928, mesmo antes de essas partículas terem sido observadas. Após ter formulado sua equação relativística para o elétron, Dirac notou que as soluções inevitavelmente continham, também, elétrons de energia negativa. O que parecia um problema foi transformado em um triunfo da teoria quando Dirac interpretou essas soluções como fenomenologicamente equivalentes a antielétrons, ou ‘‘elétrons’’ de carga positiva24. A corroboração experimental dessa predição foi feita por Anderson em 1932, ao observar partículas que, sob um campo magnético, curvavam-se como se tivessem a mesma massa do elétron, porém carga oposta. A história do pósitron é, portanto, um dos muitos exemplos de partículas preditas teoricamente antes de serem detectadas experimentalmente, o que ilustra o caráter altamente preditivo dessas teorias. A Figura 23 ilustra a criação de um par elétron-pósitron observada em uma câmara de bolhas. O experimento é desenhado para detectar o rastro de partículas carregadas. Por isso, o rastro do fóton não aparece, embora possa ser deduzido pelo vértice de criação do par. As partículas estão submetidas a um campo magnético perpendicular ao plano da figura, e, por possuírem mesma massa e cargas opostas, são curvadas em direções opostas, mas com trajetórias de aproximadamente mesmo raio. Figura 23 Criação de um par elétron-pósitron visualizado em uma câmara de bolhas. Fonte: CERN. Esse fenômeno de aniquilação de pares resultando em radiação eletromagnética tem aplicação prática na medicina, nos chamados PET scans (PET é a sigla em inglês para Tomografia por Emissão de Pósitrons). Trata-se de uma modalidade de obtenção de imagens e dados sobre o funcionamento metabólico do organismo, que funciona da seguinte maneira [60]. Primeiramente, modifica-se uma molécula usualmente metabolizada pelo organismo (por exemplo, glucose) substituindo-se um de seus átomos por um elemento radioativo que decai por emissão de pósitrons (usualmente 18F). Essa substância é inserida intravenosamente no paciente, e o organismo, confundindo-a com glucose, redireciona-a a órgão vitais, onde será metabolizada. Ali, o elemento radioativo emitirá um pósitron, que se aniquilará com um elétron do corpo do paciente, emitindo dois fótons de radiação γ que serão observados pelo aparelho detector, como na Figura 24. Por conservação de momento, os fótons sempre são emitidos em direções opostas. O aparelho calcula o intervalo de tempo entre a detecção de cada fóton, e determina, assim, o local de onde o pósitron foi emitido. Faz-se, assim, um mapeamento da atividade metabólica do organismo, podendo-se determinar a integridade do tecido cerebral, a existência de tumores, o funcionamento cardiovascular, dentre outras aplicações. Figura 24 Esquema de funcionamento de um aparelho de Tomografia por Emissão de Pósitrons (PET scan). Fonte: adaptado de [61].	O pósitron: a antipartícula do elétron prevista por Dirac	11
	O poder preditivo de uma teoria científica	12
	Aniquilação matéria-antimatéria	13
	Antipartículas como partículas se movendo para trás no tempo	14
	A criação de um par elétron-pósitron	15
	A relação massa-energia de Einstein	16
	Raios-X e tomografia PET–scan: são perigosos?	17

Ação do fazer científico	Indicadores de alfabetização científica (Elementos do fazer científico)
Trabalho com os dados obtidos em uma investigação	Seriação de informações Organização de informações Classificação de informações
Estruturação do pensamento científico	Raciocínio lógico Raciocínio proporcional
Entendimento da situação analisada	Levantamento de hipóteses Teste de hipóteses Justificativa Previsão Explicação

Indicadores de engajamento
Comportamental	Emocional	Cognitivo
Participação nas aulas	Emoção	Investimento no aprendizado
Participação/execução nas/das tarefas de sala	Identificação com a escola e/ou colegas	Autonomia
Participação/execução nas/das tarefas de casa	Identificação com o professor	Desejo de ir além do básico
	Atribuição de valores à Física e/ou às Ciências em geral	Uso de estratégias

\begin{matrix} virtualidade & \equiv E_{γ}^{2} - {| {\vec{p}}_{γ} |}^{2} c^{2} \\ = - {| \vec{p} - {\vec{p}}^{'} |}^{2} c^{2} = - 4 {| \vec{p} |}^{2} c^{2} \sin^{2} \frac{θ}{2}, \end{matrix}

[1] * Endereço de correspondência: glauber@fisica.ufmg.br

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Física de Partículas no ensino médio Parte I: Eletrodinâmica Quântica

Particle Physics in high school Part I: Quantum Electrodynamics