Função exponencial deformada para argumento complexo: escrevendo raízes de equações polinomiais com coeficientes complexos

A generalização das funções exponencial e logarítmica proposta por Tsallis em 1988 tem trazido contribuições em várias áreas nas últimas décadas. Recentemente, introduzimos uma função exponencial deformada que pode assumir valores negativos ou mesmo complexos, mas com a restrição de admitir apenas argumentos reais. Também demonstramos a possibilidade de escrever as raízes de equações polinomiais com coeficientes reais usando nossa generalização. Aqui, apresentamos uma extensão de nossa função exponencial deformada que admite argumento complexo. Mostramos que nossa nova generalização pode abordar todas as raízes de equações polinomiais até o terceiro grau, mesmo com coeficientes complexos.

Palavras-chave:
Sistemas complexos; Funções generalizadas; Famílias de funções; Analiticidade no plano complexo; Raizes de polinômios

Autoria

Paulo S. Adami ^**Correspondence email address: adami.paulo@ifsp.edu.br

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo, Sertãozinho, SP, Brasil.Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São PauloBrasilSertãozinho, SP, BrasilInstituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo, Sertãozinho, SP, Brasil.

Universidade de São Paulo, Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Ribeirão Preto, Ribeirão Preto, SP, Brasil.Universidade de São PauloBrasilRibeirão Preto, SP, BrasilUniversidade de São Paulo, Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Ribeirão Preto, Ribeirão Preto, SP, Brasil.

https://orcid.org/0000-0003-3510-0215

Olavo H. Menin

https://orcid.org/0000-0002-2134-4166

Alexandre S. Martinez

Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia de Sistemas Complexos, Maringá, PR, Brasil.Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia de Sistemas ComplexosBrasilMaringá, PR, BrasilInstituto Nacional de Ciência e Tecnologia de Sistemas Complexos, Maringá, PR, Brasil.

https://orcid.org/0000-0002-4395-0511

*Correspondence email address: adami.paulo@ifsp.edu.br

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Figure 1
Graphical representation of the generalized exponential function e_λ(x) for λ = −3. In the interval x < 1/3, the function has properties similar to those of the usual exponential function, such as being equal to 1 for x = 0, being positive and strictly increasing, but unlike the usual function,

\lim_{x \to 1 / 3 -} e_{λ} (x) = + \infty

, that is, it diverges at a finite value of the domain. For x > 1/3, the function e_λ(x) takes null values.

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Figure 2
Graphical representations for the deformed exponential function

{\tilde{e}}_{λ} (x)

, where the real part (Re) is represented by the solid line and the imaginary part (Im) by the dashed line. In (a), for λ = −2, unlike the Tsallis function, the deformed exponential admits nonzero values in the interval of x > 1/2, assuming complex values. For values of x < 1/2 the function only admits real values, behaves like the Tsallis function. It can be seen that the function diverges at a finite value of the domain, that is,

\lim_{x \to 1 / 2 -} {\tilde{e}}_{- 2} (x) = + \infty

. In (b), for λ = 1, the function behaves like a linear function, assuming negative values for x < −1. For λ = 1/5, Fig. (c) highlights the existence of an inflection point at x = −5 and the fact that

\lim_{x \to \infty -} {\tilde{e}}_{1 / 5} (x) = - \infty

. Such characteristics are not observed in the usual exponential function. In (d), for λ = 10 the loss of monotonicity can be observed.

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Figure 1 Graphical representation of the generalized exponential function e_λ(x) for λ = −3. In the interval x < 1/3, the function has properties similar to those of the usual exponential function, such as being equal to 1 for x = 0, being positive and strictly increasing, but unlike the usual function, $\lim_{x \to 1 / 3 -} e_{λ} (x) = + \infty$ , that is, it diverges at a finite value of the domain. For x > 1/3, the function e_λ(x) takes null values.

Figure 2 Graphical representations for the deformed exponential function ${\tilde{e}}_{λ} (x)$ , where the real part (Re) is represented by the solid line and the imaginary part (Im) by the dashed line. In (a), for λ = −2, unlike the Tsallis function, the deformed exponential admits nonzero values in the interval of x > 1/2, assuming complex values. For values of x < 1/2 the function only admits real values, behaves like the Tsallis function. It can be seen that the function diverges at a finite value of the domain, that is, $\lim_{x \to 1 / 2 -} {\tilde{e}}_{- 2} (x) = + \infty$ . In (b), for λ = 1, the function behaves like a linear function, assuming negative values for x < −1. For λ = 1/5, Fig. (c) highlights the existence of an inflection point at x = −5 and the fact that $\lim_{x \to \infty -} {\tilde{e}}_{1 / 5} (x) = - \infty$ . Such characteristics are not observed in the usual exponential function. In (d), for λ = 10 the loss of monotonicity can be observed.

(1)

e_{λ} (x) = \lim_{λ^{'} \to λ} {(1 + λ^{'} x)}^{1 / λ^{'}} θ (1 + λ^{'} x),

(2)

{\tilde{e}}_{λ} (x) = \lim_{λ^{'} \to λ} {|1 + λ^{'} x|}^{1 / λ^{'}} e^{i π / λ^{'} [1 - θ (1 + λ^{'} x)]},

(3)

\begin{array}{l} {\tilde{E}}_{λ} (x + y i) & = & \lim_{λ^{'} \to λ} {[|1 + λ^{'} x| e^{i π [1 - θ (1 + λ^{'} x)]} + 1 + λ^{'} y i - 1]}^{1 / λ^{'}} \\ = & \lim_{λ^{'} \to λ} {[|1 + λ^{'} x| e^{i π [1 - θ (1 + λ^{'} x)]} + λ^{'} y i]}^{1 / λ^{'}}, \end{array}

(4)

\tilde{x} = 1 + (- \frac{b}{a} - 1) = 1 + γ = {\tilde{E}}_{1} (γ)

(5)

\begin{array}{l} {\tilde{E}}_{1} (γ) & = & |1 + [Re (z_{1}) - 1]| e^{i π {1 - θ [1 + Re (z_{1}) - 1]}} + Im (z_{1}) i \\ = & |Re (z_{1})| e^{i π {1 - θ [Re (z_{1})]}} + Im (z_{1}) i \\ = & Re (z_{1}) + Im (z_{1}) i = \tilde{x} . \end{array}

(6)

\begin{array}{l} {\tilde{x}}_{\pm} & = & - \frac{b}{2 a} (1 \pm \sqrt{1 - \frac{4 a c}{b^{2}}}) \\ = & α (1 \pm \sqrt{1 + 2 β}) = α [1 \pm {(1 + 2 β)}^{1 / 2}] \\ = & α [1 + Re (z_{\pm}) + Im (z_{\pm}) i], \end{array}

(7)

\begin{array}{l} {\tilde{x}}_{\pm} & = & α [1 \pm {(1 + 2 β)}^{1 / 2}] = α [1 \pm {\tilde{E}}_{2} (β)] \\ = & α {{\tilde{E}}_{1} [\pm {\tilde{E}}_{2} (β)]} . \end{array}

(8)

\begin{array}{l} {\tilde{E}}_{2} (β) & = & {[1 + 2 Re (β) + 2 Im (β) i]}^{1 / 2} \\ = & {(1 + 2 β)}^{1 / 2} = z_{\pm} . \end{array}

(9)

{\tilde{E}}_{1} [{\tilde{E}}_{2} (β)] = 1 + Re (z_{\pm}) + Im (z_{\pm}) i .

(10)

α {{\tilde{E}}_{1} [{\tilde{E}}_{2} (β)]} = α [1 + Re (z_{\pm}) + Im (z_{\pm}) i] = {\tilde{x}}_{\pm} .

(11)

Δ_{\pm} = {\tilde{E}}_{3} \{\frac{- \frac{q}{2} {\tilde{E}}_{1} [\pm {\tilde{E}}_{2} (ϕ)] - 1}{3}\},

(12)

\begin{array}{l} {\tilde{x}}_{1} & = & - γ + Δ_{+} + Δ_{-}, \\ {\tilde{x}}_{2} & = & - γ + χ_{+} Δ_{+} + χ_{-} Δ_{-}, \\ {\tilde{x}}_{3} & = & - γ + χ_{-} Δ_{+} + χ_{+} Δ_{-} . \end{array}

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