Precessão da órbita da estrela S2 em torno do buraco negro Sagitário A*

Garms, Marco A.; Grime, Gabriel C.; Caldas, Iberê L.

doi:10.1590/1806-9126-RBEF-2023-0182

Marco A. Garms

Universidade de São Paulo, Instituto de Física, 05508-090, São Paulo, SP, Brasil.

Gabriel C. Grime ^** Endereço de correspondência: gabrielgrime@gmail.com

Universidade de São Paulo, Instituto de Física, 05508-090, São Paulo, SP, Brasil.

https://orcid.org/0000-0003-3746-0935

Iberê L. Caldas

Universidade de São Paulo, Instituto de Física, 05508-090, São Paulo, SP, Brasil.

https://orcid.org/0000-0002-1748-0106

* Endereço de correspondência: gabrielgrime@gmail.com

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Figura 1:
Órbita de

m

ao redor de

M

. No ponto

P_{0}

são tomadas as condições iniciais com a distância mínima

r_{\mathrm{min}}

e a velocidade máxima

v_{\mathrm{max}}

. O comprimento

2a

corresponde ao eixo maior da elipse.

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Figura 2:
Revoluções obtidas pela simulação: a primeira (ABCDE) e a centésima primeira (GHIJK). Os valores dos segmentos são apresentados na unidade

u_{d}

.

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Tabela 1:
Valores utilizados na simulação, sendo

M

a massa do buraco negro Sgr A* e

m

a massa da estrela S2 [²[2] R. Abuter, A. Amorim, N. Anugu, M. Bauböck, M. Benisty, J-P. Berger, N. Blind, H. Bonnet, W. Brandner, A. Buron et al., Astronomy & Astrophysics 615, L15 (2018)., ³[3] W.C. Santos e R.S. Magalhães, Revista Brasileira de Ensino de Física 42, e20200336 (2020).].

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Tabela 2:
Pontos transferidos ao Geogebra e representados na (valores em unidades normalizadas).

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Tabela 3:
Comparação entre valores simulados e apresentados nas referências [²[2] R. Abuter, A. Amorim, N. Anugu, M. Bauböck, M. Benisty, J-P. Berger, N. Blind, H. Bonnet, W. Brandner, A. Buron et al., Astronomy & Astrophysics 615, L15 (2018)., ³[3] W.C. Santos e R.S. Magalhães, Revista Brasileira de Ensino de Física 42, e20200336 (2020).]. Unidade de distância

u_{d} = 1.52368 \cdot 10^{14} m

.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

Grandeza	Descrição	Valor
$r_{\min}$	distância mínima da órbita até $M$	$117.5 ua$
$r_{\max}$	distância máxima da órbita até $M$	$1919.5 ua$
$v_{\max}$	velocidade máxima de $m$	$0.025 c = 7.5 \cdot 10^{6} m / s$
$a$	semieixo maior da elipse orbital	$1 u_{d}$
$T$	período orbital	$2 π u_{t} = 16.05 anos$
$ϵ$	excentricidade da elipse orbital	$0.88$
$G$	constante da gravitação	$6.67384 \cdot 10^{- 11} m^{3} / kg s^{2}$
$c$	velocidade da luz	$2.998 \cdot 10^{8} m / s$
ua	unidade astronômica	$1.496 \cdot 10^{11} m$
$M_{⊙}$	massa solar	$1.989 \cdot 10^{30} kg$

Ponto	$t$	$x$	$y$
A	0.45	0.455973	0.61148
B	0.99	0.455872	1.147027
C	1.53	0.373914	1.493635
D	2.07	0.260216	1.718274
E	2.61	0.131516	1.84639
X	3.15	-0.00341	1.889017
G	636.87	-0.81767	1.535997
H	637.95	-0.81367	0.935276
I	639.03	0.217965	0.08842
J	640.11	-0.00969	1.345553
K	641,19	$-$ 0,37583	1,742461

Grandeza	Simulado	Referência
$a$	$1.005 u_{d}$	$1 u_{d}$
$ϵ$	0.881	0.88
$Δ φ$	${11.9}^{'}$	${12.0}^{'}$

\frac{m c^{2}}{2} [g_{t t}^{2} {(\frac{d t}{d τ})}^{2} - (1 - \frac{2 G M}{r c^{2}})] = \frac{m}{2} [{(\frac{d r}{d τ})}^{2} + r^{2} (1 - \frac{2 G M}{r c^{2}}) {(\frac{d φ}{d τ})}^{2}] .

[g_{t t}^{2} {(\frac{d t}{d τ})}^{2} - 1] \frac{m c^{2}}{2} + \frac{G M m}{r}

= \frac{m}{2} {(\frac{d r}{d τ})}^{2} + \frac{m r^{2}}{2} {(\frac{d φ}{d τ})}^{2} - m r \frac{G M}{c^{2}} {(\frac{d φ}{d τ})}^{2} .

\tilde{E} = [\frac{m}{2} {(\frac{d r}{d τ})}^{2} + \frac{m r^{2}}{2} {(\frac{d φ}{d τ})}^{2}]

- (\frac{G M m}{r} + \frac{G M}{m c^{2} r^{3}} L^{2})

= T + \tilde{V} .

E = [\frac{m}{2} {(\frac{d r}{d t})}^{2} + \frac{m r^{2}}{2} {(\frac{d φ}{d t})}^{2}] - (\frac{G M m}{r})

= T + V .

\tilde{E} = \frac{m}{2} [{\dot{r}}^{2} + {(r \dot{φ})}^{2}] - [\frac{G M m}{r} + \frac{G M m}{r^{3}} {(\frac{L}{m c})}^{2}]

= \frac{m}{2} ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2}) - [\frac{G M m}{r} + \frac{G M m}{r^{3}} {(\frac{L}{m c})}^{2}]

= T + \tilde{V} .

[1] * Endereço de correspondência: gabrielgrime@gmail.com

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Precessão da órbita da estrela S2 em torno do buraco negro Sagitário A*

S2 star orbit precession around the black hole Sagittarius A*