A New Method to get the Propagator of Electrodynamics

rbef Revista Brasileira de Ensino de Física Rev. Bras. Ensino Fís. 1806-1117 1806-9126 Sociedade Brasileira de Física Abstract In this article we offer a new method to obtain the Propagator of Electrodynamics. In order to achieve this goal we will use some important theorems of linear algebra such as the Cayley-Hamilton theorem and some theorems related to projection operators; thus providing an application of linear subspace theory in quantum field theory. 1. Introdução Na Teoria Quântica de Campos (TQC) o cálculo do propagador é essencial para o desenvolvimento perturbativo na obtenção de seções de choque [1-4], assim como também para elucidar a natureza das excitações que surgem na interação entre partículas e campos [5-7]. Por essa razão, torna-se importante o conhecimento de diferentes métodos para calcular estes propagadores. Neste trabalho apresentamos um método alternativo para o cálculo de propagadores, e o aplicamos para o caso da Eletrodinâmica. O método proposto é uma aplicação do Teorema de Cayley-Hamilton, no entanto, o conceito de projetores, e sua estreita relação com decomposição em soma direta, é muito útil no caso da Eletrodinâmica; fornecendo desta forma uma aplicação da Álgebra Linear [8-10] à TQC. Iniciaremos apresentando o problema na seção (2) exemplificado pelo caso da Eletrodinâmica, tomando como ponto de partida a Lagrangiana e obtendo as equações de campo correspondente em termos do operador de onda. Na seção seguinte (3) faremos uma breve revisão de alguns conceitos e teoremas da Álgebra Linear, cujas demonstrações se encontram no Apêndice. Isto nos permite introduzir o método e apresentar suas implicações imediatas, além da sua aplicação. Dando continuidade, solucionaremos o problema para um operador de onda geral em (4); finalmente, em (5) aplicaremos o método para a obtenção do propagador da Eletrodinâmica. 2. Definição do Problema Partiremos da Lagrangiana da Eletrodinâmica L = - 1 4 F μ v F μ v − 1 2 α ( ∂ μ A μ ) 2 − J μ A μ , sendo Aμ o potencial vetor, Fμv=∂μAv−∂vAμ o tensor do campo eletromagnético e Jμ uma corrente externa. O termo de fixação de calibre, com o parâmetro α, deve ser incluído para que seja possível realizar o cálculo do propagador. De fato, como será mostrado, sem este termo o operador de onda não seria inversível. Podemos reescrevê-la como L = 1 2 A μ O μ v A v − J μ A μ , onde Oμv é o operador de onda, dado por O μ v = □ n μ v − ∂ μ ∂ v + 1 α ∂ μ ∂ v . As equações de campo se escrevem da forma (1) O μ v = A v = J μ , cuja solução é dada por A v ( x ) = A h v ( x ) + ∫ d 4 y ( 2 π ) 4 G v μ ( x − y ) J μ ( y ) , em que Ahv é a solução da equação homogênea associada a (1) e Gvμ são as funções de Green do operador de onda, isto é, são as soluções do seguinte sistema de equações (2) O μ v G v β ( x − y ) = δ μ β δ ( x − y ) . Para solucionar (2) usamos as transformadas de Fourier G v μ ( x ) = ∫ e i p ⋅ x G ˜ v μ ( p ) d p , δ ( x − y ) = 1 ( 2 π ) 4 ∫ e i p . ( x − y ) d p , que ao serem substituídas em (2) nos fornece uma equação algébrica, cuja solução será dada pela inversão do operador de onda no espaço de momentos, dado por M μ v ( p ) = − p 2 ( δ μ v − p μ p v p 2 ) − p 2 α p μ p v p 2 , ou, em termos dos operadores transverso T e longitudinal L, (3) M μ v ( p ) = − p 2 T μ v ( p ) − p 2 α L μ v ( p ) . Portanto, o cálculo das funções de Green se reduz basicamente ao problema de inversão de (3), sendo portanto o objetivo deste trabalho. Para isso precisamos entender algumas definições matemáticas e um pouco mais sobre projetores. 3. Formalismo matemático Como vimos, a obtenção das funções de Green se reduz à inversão de operadores lineares, sendo portanto um problema de Álgebra Linear. Tendo isto em mente, faremos uma revisão de alguns conceitos e teoremas da álgebra linear que serão usados para a inversão, os principais sendo o Teorema de Cayley-Hamilton e alguns resultados sobre Projetores e sua relação com decomposição em soma direta. As demonstrações dos teoremas enunciados nesta seção se encontram no Apêndice. Dado um operador linear T: V→ V , onde V é um espaço vetorial de dimensão finita, seu polinômio característico é definido por (4) p ( λ ) = d e t ( A − λ I ) , onde I é a matriz identidade (usaremos a mesma notação para o operador identidade) e A=[T]B é a matriz de T na base B={v1...,vd}, definida por Tvj=∑iAijvi. Como sabemos, o polinômio característico p de T nos fornece seus autovalores (raízes de p), e em particular nos permite saber se T é inversível, já que este é o caso se, e somente se, p(0)=detA≠0. Além disso, como veremos a seguir, o polinômio característico também nos permite determinar o inverso T-1 de T. Teorema 1.(teorema de Cayley-Hamilton) SejaT:V→Vum operador linear e p o seu polinômio característico. Então p anula o operador T, isto é, p(T)=0. Teorema 2 (Polinômio Minimal) Seja T : V → V um operador linear. Então existe um único polinômio de grau K ≥ 1 p 0 ( λ ) = a k λ k + a k − 1 λ k − 1 + ... + a 0 mônico (ak=1), o qual é o polinômio mônico de menor grau dentre aqueles que anulam T, sendo denominado o polinômio minimal de T. Além disso, p0 divide o polinômio característico de T e possui as mesmas raízes. 3.1. Consequência do Teorema de Cayley-Hamilton Seja p(λ)=adλd+...+a1λ+a0 o polinômio característico de T, pelo teorema 1 temos p ( T ) = a d T d + ... + a 1 T + a 0 I = 0. Agora, supondo que T seja inversível, ou seja, detA=p(0)=a0≠0, e multiplicando ambos os membros da igualdade por T-1 obtemos adT(d−1)+...+a1I+a0T−1=0, donde (5) T − 1 = − 1 a 0 ( a d T ( d − 1 ) + ... + a 1 I ) . Assim, se T é inversível, então T-1 é uma combinação linear das potências de T e da identidade I, com coeficientes determinados pelo polinômio característico de T. Devemos observar que podemos utilizar qualquer polinômio que anule T, como por exemplo seu polinômio minimal p0, este tendo a possível vantagem de diminuir a ordem das potências que aparecem em (5), porém, encontrar p0 pode não ser uma tarefa fácil. Feita esta observação, discutiremos algumas implicações decorrentes de (5), que são relevantes em geral, e em particular para o caso de operadores de onda. Suponhamos que T seja dado por uma combinação linear (6) T = ∑ i = 1 n α i T i , o que ocorre com operadores de onda, como em (3), vemos que T-1, caso exista, será uma combinação linear de I e produtos dos operadores Ti. Temos assim a motivação para determinar os produtos TiTj. Um caso particular interessante ocorre quando TiTj. pertencem a Lin{T1,...,Tn} (subespaço gerado pelos operadores Ti, isto é TiTj=∑kβijkTk. De fato, se T=∑iαiTi for inversível, então T−1∈Lin{I,T1,...,Tn}, ou seja, será uma combinação linear de I e dos Ti. Notemos que, neste caso, o subespaço Lin{I,T1,...,Tn} será uma subálgebra, ou seja, se T, U∈Lin{I, T1, …, Tn} sendo T inversível, então TU,T−1∈Lin{I,T1,...,Tn}. Definicao 1. Seja P:V→V um operador linear. Dizemos que P é um projetor se, e somente se, P2=P. Operadores deste tipo são ditos Idempotentes. Uma consequência imediata é que todo vetor na imagem ImgP={Pv;v ∈ V} de um projetor P é seu autovetor com autovalor 1. De fato, se w∈ImgP, então w=Pv⇒Pw=P2v=Pv, ou seja, Pw=w. Teorema 3. Seja P:V→V um projetor, então têm-se (7) V = I m g P ⊕ ker P . Ou seja, um projetor P decompõe V como soma direta da sua imagem e do seu núcleo ker P={v;Pv=0}.Além disso, (V) (ker P)+ dim(ImgP). Teorema 4. Seja P um projetor, então I-P também é projetor. Além disso (8) k e r P = I m g ( I - P ) , I m g P = ker ( I - P ) . Teorema 5. Seja W = W1 ⊕...⊕ Wn⊂V a soma direta dos subespaços Wi. Se, para cada i, Bi é uma base de Wi, então a união delas B=B1 ∪…∪ Bn é uma base do subespaço W, e portanto W=∑i=1ndim Wi. 4. Solução do Problema Visto que o operador de onda no espaço de momentos (3) é escrito de forma semelhante a seguinte (9) M μ v = α L μ v + β T μ v , onde α,β∈ℝ. Nosso objetivo principal será usar (9) para obter o operador inverso de (3) da forma mais geral possível. Para isso iniciaremos um estudo mais profundo dos operadores L,T:ℝd→ℝd, definidos por (Lx)μ=Lμvxv e (Tx)μ=Tμvxv, onde x=(x0,...,xd−1)∈ℝd, a fim de mostrar que são projetores e obtermos o núcleo e a imagem de cada um deles. 4.1. Operador L Primeiro mostraremos que L é projetor, e para isto basta mostrar que o mesmo é idempotente, ou seja, L2=L. De fato, temos L μ v L v θ = p u p v p 2 p v p θ p 2 = L μ θ . Dando continuidade, encontraremos as dimensões do núcleo e da imagem de L. Considere um vetor x∈ℝd qualquer, assim temos ( L x ) μ = p μ p v p 2 x v = ( p ⋅ x p 2 ) p μ , ou seja, Lx=p.xp2p, mostrando que a imagem de L é o subespaço gerado pelo vetor p∈ℝd Logo (10) d i m ( I m g L ) = 1 , uma vez que p≠0, pois estamos considerando o caso p2≠0, e pelo teorema 3, segue-se que (11) dim ( ker L ) = d − 1. 4.2. Operador T Da mesma forma que fizemos para L vamos mostrar que T é projetor. De fato, basta notar que T=I−L, e a conclusão segue do teorema 4. Além disso, pelo teorema 3, concluímos que I m g T = k e r L e k e r T = I m g L . Observação: como L2=L e T2=T, temos então LT=L(I−L)=0; assim, pela discussão da seção anterior, concluímos que caso M=αL+βT seja inversível, então M−1 será uma combinação linear de I, L e T. 4.3. Polinômio Característico de M Agora mostraremos como obter o polinômio característico do operador M=αL+βT a partir dos resultados encontrados sobre L e T=I−L. O ponto crucial para isto é a decomposição em soma direta ℝ d = ker L ⊕ I m g L , fato que decorre de L ser um projetor. De fato, levando em conta os resultados (10) e (11), escolhemos bases B1={v1,v2,…, vd−1} de ker L e B2={vd} de ImgL, obtendo assim uma base B=B1∪B2 de ℝd, conforme o teorema 5. Como kerL=ImgT e ImgL=kerT, segue-se B={v1,…, vd−1, vd} é uma base de autovetores comuns a L e T, de maneira explícita, L ( v i ) = 0 , T ( v i ) = v i , L ( v d ) = v d , T ( v d ) = 0. Aplicando M a vi e a vd, temos M ( v i ) = α L ( v i ) + β T ( v i ) = β v i , M ( v d ) = α L ( v d ) + β T ( v d ) = α v d . Logo a matriz de M na base B é dada por [ M ] B = [ β 0 … 0 0 β … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 … … α ] , portanto, o polinômio característico de M=αL+βT é (12) p ( λ ) = ( β − λ ) ( d − 1 ) ( α − λ ) . Logo M é inversível se, e somente se, p(0)≠0, o que equivale a dizer que α, β≠0. 4.4. Polinômio Minimal de M Agora, obteremos o polinômio minimal de M, notando que existem duas possibilidades, a saber, α=β e α≠β. Consideremos primeiramente α≠β, neste caso mostraremos que p0(λ)=(β−λ)(α−λ) é o polinômio minimal de M. Como p0 é o polinômio mônico de menor grau que possui as mesmas raízes que o polinômio característico de M, basta mostrar que p0 anula M. De fato, aplicando p0(M) aos vetores da base B, obtemos p 0 ( M ) ( v i ) = ( α I − M ) ( β I − M ) ( v i ) , p 0 ( M ) ( v i ) = ( α I − M ) ( β v i − β v i ) = 0 , e de forma análoga, p 0 ( M ) ( v d ) = ( β I − M ) ( α v d − α v d ) = 0. Portanto, conclui-se que p0(λ)=(β−λ)(α−λ) é mesmo o polinômio minimal de M para α≠β. Já para α=β, o polinômio minimal de M é p0(λ)=(λ−α). Com efeito, neste caso tal polinômio mônico é o de menor grau que possui as mesmas raízes que o característico de M, e como M=α(L+T)=αI temos p0(M)=(M−αI)=0. 5. Cálculo do Propagador Por fim, vamos aplicar o método e obter M−1 partindo do polinômio minimal p0(λ)=(β−λ)(α−λ) de M, para o caso α≠β. Como ( β I − M ) ( α I − M ) = 0 , então β α I − β M − α M + M 2 = 0 , multiplicando ambos os membros por M−1, temos M − 1 = 1 α ( I − T ) + 1 β ( I − L ) , como T=I−L, M − 1 = 1 α ( I − I + L ) + 1 β T , portanto, (13) M − 1 = 1 α L + 1 β T . Notemos que este resultado também é válido para α=β, pois neste caso temos M=α(L+T)=αI. Diante do resultado (13) é evidente que para encontrarmos o inverso de (3) basta invertermos os termos que acompanham os operadores L e T, assim obtemos (14) G ˜ μ v ( p ) = − 1 p 2 [ δ μ v − ( 1 − α ) p μ p v p 2 ] . 6. Conclusão e Perspectivas Neste artigo foi abordado o problema da obtenção do propagador da Eletrodinâmica de forma alternativa obtendo o resultado já conhecido na literatura [5-7]. Embora o método seja um pouco trabalhoso, este nos oferece uma forma mais rica de realizar este cálculo, uma vez que faz amplo uso dos métodos da álgebra linear, permitindo assim a sua utilização nas matérias de Física ou Matemática elementares como um exemplo de aplicação. Visto que o método nos oferece uma separação em soma direta de subespaços; será interessante saber se o método pode ter utilidade prática, sendo, por isso, necessário generalizá-lo para obter o propagador do graviton, onde sabe-se que aparecem setores não diagonais no cálculo do propagador [5-7]. Material Suplementar O seguinte material suplementar está disponível online: Apêndice Referências [1] Itzykson C. Zuber J.B. Quantum Field Theory Mcgraw-hill New York 1980 705 [1] C. Itzykson e J.B. Zuber, Quantum Field Theory (Mcgraw-hill, New York, 1980), p. 705. [2] Ryder L.H. Quantum Field Theory Cambridge University Press Cambridge 1996 [2] L.H. Ryder, Quantum Field Theory (Cambridge University Press, Cambridge, 1996). [3] Schwartz M.D. Quantum Field Theory and the Standard Model Cambridge University Press Cambridge 2013 [3] M.D. Schwartz, Quantum Field Theory and the Standard Model (Cambridge University Press, Cambridge, 2013). [4] Peskin M.E. Schroeder D.V. An Introduction to quantum field theory Addison-Wesley Publishing Company Boston 1995 [4] M.E. Peskin e D.V. Schroeder, An Introduction to quantum field theory (Addison-Wesley Publishing Company, Boston, 1995). [5] Accioly A. Helayel-Neto J. Pereira-Dias B. Hernaski C. Phys. Rev. D 86 105046 2012 [5] A. Accioly, J. Helayel-Neto, B. Pereira-Dias e C. Hernaski, Phys. Rev. D 86, 105046 (2012). [6] Baeta Scarpelli A.P. Belich H. Boldo J.L. Helayel-Neto J.A. Phys. Rev. D 67 085021 2003 [6] A.P. Baeta Scarpelli, H. Belich, J.L. Boldo and J.A. Helayel-Neto, Phys. Rev. D 67, 085021 (2003). [7] Boldo J.L. Helayel-Neto J.A. Moraes L.M. Sasaki C.A.G. Vasquez Otoya V.J. Phys. Lett. B 689 112 2010 [7] J.L. Boldo, J.A. Helayel-Neto, L.M. Moraes, C.A.G. Sasaki e V.J. Vasquez Otoya, Phys. Lett. B 689, 112 (2010). [8] Lang S. Linear Algebra Springer-Verlag New York 2002 [8] S. Lang, Linear Algebra (Springer-Verlag, New York, 2002). [9] Lima E.L. Álgebra Linear IMPA Rio de Janeiro 2014 [9] E.L. Lima, Álgebra Linear (IMPA, Rio de Janeiro, 2014). [10] Axler S.J. Linear Algebra Done Right Springer-Verlag New York 2015 [10] S.J. Axler, Linear Algebra Done Right (Springer-Verlag, New York, 2015).