von Neumann and the phase space description of Quantum Mechanics

By grounding the foundations of Quantum Mechanics through the solution of a mathematical problem associated with possible inconsistencies in the position and momentum commutation relation, von Neumann provides the theoretical underpinnings of later resulted in the phase space description of Quantum Mechanics. In this work, complementary to the translation of von Neumann's original text, we analyze a specific set of results that constitutes a solid mathematical background for the design of a genuinely quantum phase space, thus making it a legitimate precursor to this description.

Keywords:
quantum mechanics; von Neumann; commutation relation; phase space

Authorship

Diógenes Galetti ^**Endereço de correspondência: diogaletti@hotmail.com.

Universidade Estadual Paulista, Instituto de Fisica Teorica, São Paulo, SP, BrasilUniversidade Estadual PaulistaBrasilSão Paulo, SP, BrasilUniversidade Estadual Paulista, Instituto de Fisica Teorica, São Paulo, SP, Brasil

https://orcid.org/0000-0002-0344-8439

Marcelo A. Marchiolli

Pesquisador Autônomo, Jaboticabal, SP, BrasilPesquisador AutônomoBrasilJaboticabal, SP, BrasilPesquisador Autônomo, Jaboticabal, SP, Brasil

Celso L. Lima

Universidade de São Paulo, Instituto de Física, Departamento de Física Nuclear, São Paulo, SP, BrasilUniversidade de São PauloBrasilSão Paulo, SP, BrasilUniversidade de São Paulo, Instituto de Física, Departamento de Física Nuclear, São Paulo, SP, Brasil

^*Endereço de correspondência: diogaletti@hotmail.com.

SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

Pesquisador Autônomo, Jaboticabal, SP, BrasilPesquisador AutônomoBrasilJaboticabal, SP, BrasilPesquisador Autônomo, Jaboticabal, SP, Brasil

Figures | Formulas

Figures (1)
Formulas (15)

Thumbnail

Figura 1
Margittai Neumann János Lajos (nome de origem) e/ou John von Neumann (nome anglicizado): Budapeste, 28 de dezembro de 1903 (nascimento) – Washington, 8 de fevereiro de 1957 (falecimento). Matemático húngaro de origem judaica e naturalizado estadunidense, é considerado por muitos como um dos matemáticos mais importantes do século XX. As suas contribuições são inúmeras, abrangendo as áreas de: teoria dos conjuntos, análise funcional, teoria ergódica, mecânica quântica, ⁴ 4 Um resumo das contribuições de von Neumann para a mecânica quântica pode ser encontrado na Ref. [3] ciĉncia da computação, economia, teoria dos jogos, hidrodinâmica de explosões, entre outras. Além disso, foi consultor do Projeto Manhattan, instituido para o desenvolvimento e construção das primeiras bombas atômicas. Esta imagem foi extraída e adaptada do endereço eletrônico: https://www.famousscientists.org/john-von-neumann/.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

Figura 1 Margittai Neumann János Lajos (nome de origem) e/ou John von Neumann (nome anglicizado): Budapeste, 28 de dezembro de 1903 (nascimento) – Washington, 8 de fevereiro de 1957 (falecimento). Matemático húngaro de origem judaica e naturalizado estadunidense, é considerado por muitos como um dos matemáticos mais importantes do século XX. As suas contribuições são inúmeras, abrangendo as áreas de: teoria dos conjuntos, análise funcional, teoria ergódica, mecânica quântica, ⁴ 4 Um resumo das contribuições de von Neumann para a mecânica quântica pode ser encontrado na Ref. [3] ciĉncia da computação, economia, teoria dos jogos, hidrodinâmica de explosões, entre outras. Além disso, foi consultor do Projeto Manhattan, instituido para o desenvolvimento e construção das primeiras bombas atômicas. Esta imagem foi extraída e adaptada do endereço eletrônico: https://www.famousscientists.org/john-von-neumann/.

(1)

[\hat{q}, \hat{p}] = i ℏ \hat{1} com ℏ \equiv \frac{h}{2 π},

(2)

\hat{U} (α) = \exp (\frac{i}{ℏ} α \hat{p}) e \hat{V} (β) = \exp (\frac{i}{ℏ} β \hat{q}),

(3)

\hat{U} (α) \hat{V} (β) = \exp (\frac{i}{ℏ} α β) \hat{V} (β) \hat{U} (α) .

(4)

\begin{matrix} \hat{U} (α) \hat{U} (α^{'}) & = & \hat{U} (α + α^{'}) (α, α^{'} \in ℝ), \\ \hat{V} (β) \hat{V} (β^{'}) & = & \hat{V} (β + β^{'}) (β, β^{'} \in ℝ), \end{matrix}

(5)

\begin{matrix} \hat{S} (α, β) & = & \exp (- \frac{i}{2 ℏ} α β) \hat{U} (α) \hat{V} (β) \\ = & \exp (\frac{i}{2 ℏ} α β) \hat{V} (β) \hat{U} (α) \end{matrix}

(6)

\hat{S} (α, β) \hat{S} (α^{'}, β^{'}) \exp [\frac{i}{2 ℏ} (α β^{'} - β α^{'})] \hat{S} (α + α^{'}, β + β^{'}),

(7)

Tr [\hat{S} (α, β) {\hat{S}}^{†} (α^{'}, β^{'})] = 2 π ℏ δ (α - α^{'}) δ (β - β^{'}) .

(8)

\hat{A} = \iint_{ℝ^{2}} a (α, β) \hat{S} (α, β) d α d β,

(9)

a (α, β) = {(2 π ℏ)}^{- 1} Tr [\hat{A} {\hat{S}}^{†} (α, β)] .

(10)

\iint_{ℝ^{2}} e^{\frac{i}{2 ℏ} (α β^{'} - β α^{'})} a (α - α^{'}, β - β^{'}) b (α^{'}, β^{'}) d α^{'} d β^{'} .

(11)

\iint_{ℝ^{2}} \frac{d α d β}{2 π ℏ} {\hat{S}}^{†} (α, β) = 2 \int_{ℝ} d p | q 〉 〈 - q | = 2 \hat{P} .

(12)

\hat{Δ} (q, p) = {\hat{S}}^{†} (q, - p) (2 \hat{P}) \hat{S} (q, - p) .

\hat{Δ} (q, p) = \iint_{ℝ^{2}} \frac{d α d β}{2 π ℏ} \exp [\frac{i}{ℏ} (α p + β q)] {\hat{S}}^{†} (α, β) .

\tilde{W} (α, β) = Tr [\hat{ρ} {\hat{S}}^{†} (α, β)] .

{\hat{S}}^{†} (α, β) \hat{S} (α, β) = \hat{S} (α, β) {\hat{S}}^{†} (α, β) = \hat{1} .

How to cite

copy

Sociedade Brasileira de Física Caixa Postal 66328, 05389-970 São Paulo SP - Brazil - São Paulo - SP - Brazil
E-mail: marcio@sbfisica.org.br

Acompanhe os números deste periódico no seu leitor de RSS

Versão para download de PDF

PDF

Português

Versões e tradução automática

Versão original do texto

Português

Tradução automática

Google Translator
Microsoft Translator

Como citar

RIS

BIBTEX

Outros formatos de citação e exportação:

SciELO - Scientific Electronic Library Online
Rua Dr. Diogo de Faria, 1087 – 9º andar – Vila Clementino 04037-003 São Paulo/SP - Brasil
E-mail: scielo@scielo.org

Leia a Declaração de Acesso Aberto

Métricas

von Neumann and the phase space description of Quantum Mechanics

PlumX

Mensagem

[1] ^*Endereço de correspondência: diogaletti@hotmail.com.