Sobre a covariância da equação de d’Alembert: os casos do som e da luz

A covariância da equação de d’Alembert para fenômenos acústicos, descritos por ondas mecânicas em uma ou três dimensões espaciais, sob as transformações de Galileu, é demonstrada sem a necessidade de abandonar a hipótese de que o tempo é absoluto na Mecânica Clássica. Isto só é verdade se e somente se a velocidade de fase do som depender da velocidade do observador. Por outro lado, mostra-se também que a mesma equação de d’Alembert é covariante sob as transformações de Lorentz se e somente se a velocidade de fase da luz não depender do observador.

Palavras-chave:
Equação de d’Alembert; transformações de Galileu; transformações de Lorentz; propagação do som; propagação da luz

Autoria

Francisco Caruso ^**Endereço de correspondência: francisco.caruso@gmail.com

Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas, Coordenação de Física de Altas Energias, 22290-180, Rio de Janeiro, RJ, Brasil.Centro Brasileiro de Pesquisas FísicasBrasilRio de Janeiro, RJ, BrasilCentro Brasileiro de Pesquisas Físicas, Coordenação de Física de Altas Energias, 22290-180, Rio de Janeiro, RJ, Brasil.

https://orcid.org/0000-0002-5481-9762

Vitor Oguri

Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto de Física Armando Dias Tavares, 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil.Universidade do Estado do Rio de JaneiroBrasilRio de Janeiro, RJ, BrasilUniversidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto de Física Armando Dias Tavares, 20550-900, Rio de Janeiro, RJ, Brasil.

*Endereço de correspondência: francisco.caruso@gmail.com

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Figura 1
Sistemas de coordenadas S e

S^{'}

. V é a velocidade de

S^{'}

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Figura 2
Onda plana eletromagnética segundo S.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Figura 1 Sistemas de coordenadas S e $S^{'}$ . V é a velocidade de $S^{'}$ .

Figura 2 Onda plana eletromagnética segundo S.

\frac{1}{v_{s}^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} Ψ (x, t) = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} Ψ (x, t)

(1)

Ψ (x, t) = Ψ^{'} (x^{'}, t^{'})

Ψ (x, t) = f (x - v_{s} t)

x = x^{'} + V t^{'}

{\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x^{'}} = \overset{1}{\overset{⏞}{\frac{\partial x}{\partial x^{'}}}} \frac{\partial}{\partial x} \Rightarrow \frac{\partial^{2}}{\partial x^{'}^{2}} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \\ \frac{\partial}{\partial t^{'}} = \overset{1}{\overset{⏞}{\frac{\partial t}{\partial t^{'}}}} \frac{\partial}{\partial t} + \overset{V}{\overset{⏞}{\frac{\partial x}{\partial t^{'}}}} \frac{\partial}{\partial x} \\ \Rightarrow \frac{\partial^{2}}{\partial t^{'}^{2}} = \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} + 2 V \frac{\partial^{2}}{\partial t \partial x} + V^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \end{matrix}

{\begin{matrix} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{'}^{2}} Ψ^{'} (x^{'}, t^{'}) = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} Ψ (x, t) \\ \begin{matrix} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{'}^{2}} Ψ^{'} (x^{'}, t^{'}) & = & \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} Ψ (x, t) + 2 V \frac{\partial^{2}}{\partial x t \partial x} Ψ (x, t) \\ + V^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} Ψ (x, t) \end{matrix} \end{matrix}

Ψ (x, t) = f \underset{y}{\underset{⏟}{(x - v_{s} t)}} \Rightarrow {\begin{matrix} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} Ψ (x, t) = v_{s}^{2} f^{''} \\ \frac{\partial^{2}}{\partial t \partial x} Ψ (x, t) = - v_{s} f^{''} \\ \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} Ψ (x, t) = f^{''} \end{matrix}

\begin{array}{l} \frac{\partial^{2}}{\partial {t^{'}}^{2}} Ψ^{'} (x^{'}, t^{'}) = (\underset{{(v_{s} - V)}^{2}}{\underset{︸}{v_{s}^{2} - 2 v_{s} V + V^{2}}}) f^{″} \\ = {v^{'}}_{s}^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial {x^{'}}^{2}} Ψ^{'} (x^{'}, t^{'}) \end{array}

\frac{1}{v_{s}^{'}^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{'}^{2}} Ψ^{'} (x^{'}, t^{'}) = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{'}^{2}} Ψ^{'} (x^{'}, t^{'})

\begin{array}{l} (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}) Ψ (x, y, z, t) \\ = \nabla^{2} Ψ (x, y, z, t) = \frac{1}{v_{z}^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} Ψ (x, y, z, t) \end{array}

(2)

Ψ (x, y, z, t) = Ψ^{'} (x^{'}, y^{'}, z^{'}, t^{'})

Ψ (x, y, z, t) = A sen (k_{x} x + k_{y} y + k_{z} z - ω t)

x = x^{'}, y = y^{'}, z = z^{'} + V t^{'} e t = t^{'}

\begin{array}{l} \frac{\partial^{2}}{\partial {x^{'}}^{2}} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2}}{\partial {y^{'}}^{2}} = \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}, \frac{\partial^{2}}{\partial {z^{'}}^{2}} = \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} \\ e \frac{\partial^{2}}{\partial {t^{'}}^{2}} = \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} + 2 V \frac{\partial^{2}}{\partial t \partial z} + V^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} \end{array}

\begin{array}{l} Ψ (x, y, z, t) \\ = A sen k [(\underset{α}{\underset{︸}{s e n φ \cos θ}} x + \underset{β}{\underset{︸}{s e n φ s e n θ}} y + \underset{γ}{\underset{︸}{\cos φ}} z) + v_{s} t] \\ = f (α x + β y + γ z - v_{s} t) \end{array}

\begin{array}{l} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} Ψ = α^{2} f^{″}, \frac{\partial}{\partial y^{2}} = β^{2} f^{″}, \frac{\partial}{\partial z^{2}} Ψ = γ^{2} f^{″} \\ e \frac{\partial^{2}}{\partial t \partial z} Ψ = - γ v_{s} f^{″} \end{array}

\nabla^{2} Ψ = \nabla^{'}^{2} Ψ^{'} = (\underset{1}{\underset{⏟}{α^{2} + β^{2} + γ^{2}}}) f^{''}

\begin{array}{l} \frac{\partial^{2}}{\partial {t^{'}}^{2}} Ψ^{'} = (v_{s}^{2} - 2 γ v_{s} V + γ^{2}) f^{″} \\ = (\underset{{(v_{s} - V \cos ϕ)}^{2}}{\underset{︸}{v_{s}^{2} - 2 v_{s} V \cos φ + V^{2} \cos^{2} φ}}) {\nabla^{'}}^{2} Ψ^{'} \end{array}

\nabla^{'}^{2} Ψ^{'} (x^{'}, y^{'}, z^{'}, t^{'}) = \frac{1}{v_{s}^{'}^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{'}^{2}} Ψ^{'} (x^{'}, y^{'}, z^{'}, t^{'})

{\begin{matrix} x^{'} = γ (V) (x - V t) \\ γ = {(1 - V^{2} / c^{2})}^{- 1 / 2} \\ t^{'} = γ (V) (t - V x / c^{2}) \end{matrix}

(3)

{\begin{matrix} \vec{E} = \hat{y} \underset{E_{y} (x, t)}{\underset{⏟}{E_{_{0}} e^{i (k x - ω t)}}} \\ \vec{B} = \hat{z} \underset{B_{z} (x, t)}{\underset{⏟}{B_{_{0}} e^{i (k x - ω t)}}} \end{matrix}

(4)

(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}) (\begin{matrix} E_{y} \\ B_{z} \end{matrix}) = 0

(5)

(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{', 2}} - \frac{1}{c^{', 2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{', 2}}) (\begin{matrix} E_{y}^{'} \\ B_{z}^{'} \end{matrix}) = 0

(6)

{\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} = γ (\frac{\partial}{\partial x^{'}} - \frac{V}{c^{2}} \frac{\partial}{\partial t^{'}}) \Rightarrow \\ \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} = γ^{2} [\frac{\partial^{2}}{\partial x^{', 2}} - 2 \frac{V}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{'} \partial t^{'}} + \frac{V^{2}}{c^{4}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{', 2}}] \\ \frac{\partial}{\partial t} = γ (\frac{\partial}{\partial t^{'}} - V \frac{\partial}{\partial x^{'}}) \Rightarrow \\ \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} = γ^{2} [\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{', 2}} - 2 \frac{V}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{'} \partial t^{'}} + \frac{V^{2}}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{', 2}}] \end{matrix}

(7)

{\begin{matrix} E_{y} (x, t) = a E_{y}^{'} (x^{'}, t^{'}) + b B_{z}^{'} (x^{'}, t^{'}) \\ B_{z} (x, t) = d E_{y}^{'} (x^{'}, t^{'}) + e B_{z}^{'} (x^{'}, t^{'}) \end{matrix}

\begin{array}{l} [\frac{\partial^{2}}{\partial {x^{'}}^{2}} - 2 \frac{V}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{'} \partial t^{'}} + \frac{V^{2}}{c^{4}} \frac{\partial^{2}}{\partial {t^{'}}^{2}}] (a E_{y}^{'} + b B_{z}^{'}) + \\ - [\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial {t^{'}}^{2}} - 2 \frac{V}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{'} \partial t^{'}} + \frac{V^{2}}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial {x^{'}}^{2}}] (a E_{y}^{'} + b B_{z}^{'}) = 0 \end{array}

\begin{array}{l} a (1 - \frac{V^{2}}{c^{2}}) \frac{\partial^{2} E_{y}^{'}}{\partial {x^{'}}^{2}} + b (1 - \frac{V^{2}}{c^{2}}) \frac{\partial^{2} B_{z}^{'}}{\partial {x^{'}}^{2}} \\ - \frac{a}{c^{2}} (1 - \frac{V^{2}}{c^{2}}) \frac{\partial^{2} E_{y}^{'}}{\partial {t^{'}}^{2}} + \frac{b}{c^{2}} (1 - \frac{V^{2}}{c^{2}}) \frac{\partial^{2} B_{z}^{'}}{\partial {t^{'}}^{2}} = 0 \end{array}

\begin{array}{l} a (\frac{\partial^{2}}{\partial {x^{'}}^{2}} - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial {t^{'}}^{2}}) E_{y}^{'} + b (\frac{\partial^{2}}{\partial {x^{'}}^{2}} - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial {t^{'}}^{2}}) B_{z}^{'} = 0 \\ \Rightarrow (\frac{\partial^{2}}{\partial {x^{'}}^{2}} - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial {t^{'}}^{2}}) (_{B_{z}^{'}}^{E_{y}^{'}}) = 0 \end{array}

f (x - v_{s} t) + g (x + v_{s} t)

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