Determinação experimental de uma lei física linear que correlacione duas grandezas físicas vetoriais

Experimental resolution of a linear physical law that correlates two vector magnitudes

Resumos

Duas grandezas vetoriais, a e b, postas em jogo num fenômeno físico e constituindo campos, podem estar relacionadas pela lei b=fi.a em que fi é uma grandeza diádica (ou tensorial de segunda ordem) constante. Nesse caso, a certo vetor a corresponde certo vetor b. A lei só estará determinada após o conhecimento de fi, o que se consegue através de medições diretas dessa grandeza. Esse artigo trata da forma de determinação indireta de f, medindo-se, de forma direta (ou, mesmo, indireta), pares de vetores correspondentes a e b. As incertezas das medições dos vetores a's e b's são consideradas através de um exemplo numérico e a incerteza de fi pode ser avaliada.

Vetor; medição; incerteza

Two vector magnitudes, a and b, occurring toghether in a physical phenomenom, can be related by the law b=phi.a where phi is a constant dyadic magnitude (or a tensor of second order). In this case, for certain vector a, there corresponds certain vector b. The law will only be determined after the establishment of phi, which is possible in general by direct measurements of this magnitude. This paper deals with a indirect way to determine phi by some direct (or even indirect) measurements of the corresponding vectors a and b. Incertainties of vectors a and b are considered by a numerical example and the incertainty of phi can be evaluated.

Vector; measurements; incertainties

ENGENHARIA CIVIL

Determinação experimental de uma lei física linear que correlacione duas grandezas físicas vetoriais

Experimental resolution of a linear physical law that correlates two vector magnitudes

Elysio R. F. Ruggeri

Engenheiro Civil – EMOP Furnas Centrais Elétricas S.A. E–mail: [e-mail]

RESUMO

Duas grandezas vetoriais, a e b, postas em jogo num fenômeno físico e constituindo campos, podem estar relacionadas pela lei b=f.a em que f é uma grandeza diádica (ou tensorial de segunda ordem) constante. Nesse caso, a certo vetor a corresponde certo vetor b. A lei só estará determinada após o conhecimento de f, o que se consegue através de medições diretas dessa grandeza. Esse artigo trata da forma de determinação indireta de f, medindo–se, de forma direta (ou, mesmo, indireta), pares de vetores correspondentes a e b. As incertezas das medições dos vetores a's e b's são consideradas através de um exemplo numérico e a incerteza de f pode ser avaliada.

Palavras–chave: Vetor, medição, incerteza.

ABSTRACT

Two vector magnitudes, a and b, occurring toghether in a physical phenomenom, can be related by the law b=f.a where f is a constant dyadic magnitude (or a tensor of second order). In this case, for certain vector a, there corresponds certain vector b. The law will only be determined after the establishment of f, which is possible in general by direct measurements of this magnitude. This paper deals with a indirect way to determine f by some direct (or even indirect) measurements of the corresponding vectors a and b. Incertainties of vectors a and b are considered by a numerical example and the incertainty of f can be evaluated.

Keywords: Vector, measurements, incertainties.

1. Introdução

1.1 Sobre as leis físicas lineares

Os fenômenos físicos se passam em domínios geométricos, D, uni, bi ou tridimensionais, supostamente determinados em relação a um dado e conveniente sistema de coordenadas S. Assim, D pode ser uma curva, uma superfície, ou uma região do espaço. Dizemos que D é campo de uma grandeza G, quando, a cada ponto de D, está associado um e um único valor para G, seja esta de natureza escalar, vetorial, diádica, etc. A trajetória de um corpo, por exemplo, é campo dos vetores: força atuante, aceleração e velocidade desse corpo.

No caso aqui estudado, ao ponto genérico P de D estão associadas as grandezas representadas pelos vetores a e b. Uma lei física linear que correlacione essas grandezas é de um dos dois tipos seguintes:

B = Ka, ou b = f.a (01)

onde K é uma grandeza escalar ef uma grandeza diádica (ou tensorial de ordem 2), ambas não sendo dependentes de a, nem de b. As grandezas K e f são, por exemplo, características de um material que ocupe o espaço D, para o qual são válidas as leis (01), ou apenas uma delas. Dizemos, muitas vezes, quando não existe perigo de confusão, que a e b constituem campos (a existência de D ficando subentendida). A grandeza representada porf, por não depender do ponto (poderá ser uma constante ou depender do tempo), não constitui um campo.

A principal lei da Mecânica, classicamente representada por f = Ma, é do primeiro tipo, M representando a massa de um corpo. Ainda na Mecânica, a lei da dinâmica do corpo rígido, j=I.w, onde j é o momento angular (ou momento da quantidade de movimento do corpo), w a velocidade angular do corpo (em torno de um eixo) e I é o diádico (simétrico) de inércia do corpo, é uma lei do segundo tipo.

Muitos exemplos poderiam ser citados na área da Física. Em Engenharia, uma lei do segundo tipo é a clássica lei de Darcy de percolação da água nos materiais permeáveis. Nesse caso, o diádico f representa a condutividade hidráulica do material, que, submetido a um gradiente hidráulico b num ponto, permite a percolação da água com uma velocidade a (nesse mesmo ponto).

Em muitas situações, especialmente na prática da Engenharia, podemos admitir (por algum motivo que não interessa discutir aqui) a validade das leis (01); mas não se conhecem, de antemão, as grandezas K e f, que, então, devem ser determinadas experimentalmente. Medições envolvendo incertezas em medidas são, portanto, necessárias.

O procedimento utilizado de praxe para a resolução do problema consiste, assim, em se fazerem medidas diversas das grandezas vetoriais a e b, quando possível, e tratá–las, estatisticamente, para se determinarem os valores de K e f, que, segundo algum critério adequado (o de minimização do quadrado de alguma norma, por exemplo), melhor se adaptem ao conjunto das medidas.

A lei do tipo b=Ka diz que os vetores a e b devem ser paralelos e que |b|=K|a|. Com uma série de medições de |b| e |a|, não será difícil encontrar um valor adequado para K. Se a e b deverem ter o mesmo sentido, deverá ser K > 0; em caso contrário, será K < 0. O problema da determinação da direção comum a a e b não é, assim, de solução imediata, mas um tratamento adequado dos dados resolverá o problema com alguma facilidade (o que não nos interessa no presente).

A lei do tipo b=f.a é, evidentemente, mais complexa que a anterior. Nesse estudo, mostraremos como encontrar boas determinações de f mediante certos pressupostos. Quando f não apresenta particularidades, a solução é mais simples; mas, em geral, nas leis físicas, f é um diádico simétrico (f=f^T), o que exige um condicionamento a mais na formulação da solução. Alem disso, devemos notar que, na Física, as grandezas vetoriais a e b têm o mesmo status, isto é, tanto podemos expressar b em função de a, como a em função de b. Isto significa que f deve ser invertível, ou completo, devendo, pois, ter terceiro (ou determinante) diferente de zero ([1], [2]). Devemos considerar, ainda, que as medidas dos vetores a e b devem ser feitas, geralmente, pelas "coordenadas" desses vetores em relação a um mesmo sistema de referência, por exemplo, S. Nesse caso, podemos dar à forma b=f.a de representação da lei, forma essa que independe de qualquer sistema de referência, uma representação matricial válida apenas no sistema S. Em relação a esse sistema, os vetores poderão ser representados por suas coordenadas organizadamente dispostas em matrizes–colunas 3x1; e o diádico f, por uma matriz simétrica e invertível 3x3.

Nas condições expostas, a lei b=f.a pode ser entendida de dois modos, úteis em muitas situações. No modo algébrico, vemos um conjunto de três números variáveis – as coordenadas A₁, A₂, A₃ de a – se transformar em um conjunto de três outros números, também variáveis – as coordenadas B₁, B₂, B₃ de b – mediante a matriz constante [f] associada à grandeza f, de elementos f_ij; e escrevemos:

Conforme mencionamos, fazendo diversas medições dos pares de ternos A_i e B_i, deveremos determinar o conjunto dos seis números: f₁₁, f₁₂=f₂₁, f₁₃=f₃₁, f₂₃=f₃₂, f₂₂ e f₃₃, que satisfaz (02).

No modo geométrico podemos entender a lei b=f.a como a transformação linear do vetor a do espaço no vetor b do espaço, mediante o operador f; ou, em relação ao ponto P, como a transformação (linear) da extremidade do vetor a (suposto aplicado em P), na extremidade do vetor b (também suposto aplicado em P). Visto de outra forma, poderemos sempre fazer a imagem de todos os vetores a e b (dos campos já definidos) aplicados em um mesmo ponto arbitrário do espaço (eventualmente exterior a D). As extremidades dos vetores a e b ocupariam cada uma região do espaço – a hodógrafa do vetor; diríamos que essas hodógrafas se correspondem linearmente mediante o operador f¹.

1.2 Um teorema fundamental

Suponhamos, agora, que, de alguma forma, sejam conhecidos três pares de vetores: (a₁,b₁), (a₂,b₂) e (a₃,b₃), que devam estar correlacionados mediante a lei geral b=f.a, cujo operador (simétrico e invertível) pretendemos determinar. Vamos considerar, inicialmente, que todos os vetores tenham sido determinados com precisão, sem erros. Nestas condições, podemos aplicar aos conjuntos um teorema clássico da Álgebra dos Diádicos ([1], [2], [3]), sintetizado pela expressão seguinte:

se b_i=f.a_i com i=1,2,3, e (a₁a₂a₃)¹0, então: f=b_ia_i (03)

onde os a_i são os vetores recíprocos dos a_i.

Vemos por (03) que, não havendo erros na determinação dos pares (a_i,b_i), o diádico simétrico f está determinado. Como, por hipótese, os b_i são independentes, f é completo.

Cabe registrar que o teorema sintetizado por (03) é geral, não exigindo que f seja simétrico. Por outro lado, se f=f^T, seu vetor é nulo (e reciprocamente), isto é,

(04)

o que nos leva a concluir que, nesse caso, os ternos (a_i, b_i) não são totalmente arbitrários.

Consideremos o terno de vetores a_i: (1;0;1), (2;1;–1), (0;1;2) e o de vetores b_i: (2;0;5), (–4,1;3), (7;–4;3), ambos referidos ao sistema S. Os recíprocos dos a's, referidos ao mesmo sistema, são: (3;–4;2)/5, (1;2;–1)/5, (–1;3;1)/5. Então,

A verificação da expressão (02) pode ser feita imediatamente, multiplicando–se [f] pelas colunas dos b's.

A situação anteriormente apresentada é perfeita do ponto de vista matemático. Na realidade, em vista da necessidade de medições das grandezas, medições essas realizadas por pessoas, seguindo algum método e utilizando instrumentos e equipamentos, aquelas medidas dos vetores são infestadas de erros, isto é, as medidas são incertas. Suponhamos, então, que aqueles mesmos vetores, agora incertos e denotados por a_medi e b_medi, tenham as seguintes coordenadas:

a_med1º(0,97;0;1,02), a_med2º(2,02;0,97;–0,99), a_med3º(0;1,05;1,94) e

b_med1º(1,90;0;5,25), b_med2º(–3,94;1,03;2,82), b_med3º(5,61;–4,08;3,21).

Os a's apresentam perturbações da ordem de 5%, para mais ou para menos; e os b's, da ordem de 7%.

Como o produto misto dos novos a's é diferente de zero (ele é igual a 4,997), eles são independentes e admitem os recíprocos:

a_med¹º (0,58;–0,78;0,42),

a_med²º (0,21;0,38;–0,20),

a_med³º (–0,20,0,60;0,19).

Ao aplicarmos o teorema expresso por (03) e seguirmos os mesmos passos de cálculo anteriormente apresentados, encontramos:

Vê–se, assim, que as perturbações nas medidas destruíram a esperada simetria que a matriz [f_med] deveria apresentar. Sendo absolutamente necessário que a matriz–solução do problema seja simétrica, dever–se–á procurar algum método convincente, que, tornando–a simétrica, aproxime–a do seu verdadeiro valor dado por (05). Nesse caso, se essa matriz existir e se for determinada, ela deverá ser a que melhor se adapte ao conjunto das medidas efetuadas dos vetores a's e b's.

2. Uma solução analítica para o problema

Como as medidas a_medi e b_medi estão infestadas de erros, por melhor que seja a determinação do diádico f, para a escrita da lei, deveremos escrever, para duas medidas quaisquer, b_i=f.a_i+d_i e b_j=f.a_j+d_j para i,j=1,2,3, os vetores d_i e d_j representando vetores–erros, que, idealmente, permitem escrever as igualdades. Esses vetores–erros são, pois, d_i=b_i–a_i.f e d_j=b_j–f.a_j, notando–se que, na primeira expressão, levamos em consideração que, por ser f=f^T, f.a_i=a_i.f. O produto escalar dos vetores–erros é, então:

d_i.d_j=b_i.b_j–b_i.f.a_j–a_i.f.b_j+a_i.f².a_j

Vamos procurar um diádico (simétrico) que torne mínimos todos os produtos escalares dos vetores–erros. Isto significa que, para i=j, estamos minimizando as normas dos vetores–erros e que, para i¹j, que eles (não nulos) tendem a ser ortogonais entre si (para que seu produto escalar se anule).

Para tal, devemos igualar ao diádico nulo, O, a derivada da expressão do produto escalar em relação ao diádico f Decorreria disso uma série de propriedades. Por exemplo: três pontos colineares numa região seriam colineares na outra; um fragmento de plano numa região seria um fragmento de plano na outra, etc.. Tem–se, conforme as regras do Cálculo Poliádico ([3]):

Logo

b_i . ⁴I . a_j + a_i . ⁴I . b_j = a_i . (f . ⁴I + ⁴I . f) . a_j

Sendo b_i . ⁴I . a_j = a_jb_i e, logo

a_i . (f . ⁴I + ⁴I . f) . a_j = a_ja_i . f + f . a_ja_i , vem:

a_jb_i + a_i b_j = a_ja_i . f + f . a_ja_i , (06)

Relembrando que f deve ser simétrico (f=f^T) e observando que

(a_ja_i . f)_E = f:a_ia_j = (f . a_j) . a_i = (f . a_ja_i )_E = f : a_ja_i ,

deduzimos, tomando o escalar em (06): a_j . b_i + a_i . b_j = 2f : a_ja_i. Pós–justapondo a ambos os membros dessa igualdade a díade a^jaⁱ, agrupando–a convenientemente e somando–a em i e j, vem:

a^j (a_j . b_i ) aⁱ + a^j (b_j . a_i ) aⁱ = 2f : a_ja_ia^jaⁱ = 2f, ou, finalmente,

O diádico f_med = b_iaⁱ pode ser calculado com os vetores medidos b_medi e a_medi, tal como fora feito aplicando o teorema sintetizado por (03); seria o diádico tal que b_medi =f_med.a_medi (sem erros). No exemplo numérico anteriormente apresentado, o diádico é representado pela matriz (05₁). O diádico f_med não é simétrico certamente, mas, conforme (07), o diádico que nos interessa (o procurado) deve ser a sua parte simétrica, isto é,

Este é, pois, o diádico simétrico que melhor se ajusta ao conjunto dos vetores medidos segundo o critério adotado, mas o faz com uma incerteza dada pela parte anti–simétrica de f_med, pois

A incerteza de f será tanto menor quanto menor for a norma de sua incerteza.

3. Aplicação numérica para pequenas perturbações

Para o caso do exemplo numérico apresentado, com pequenas perturbações, tem–se:

cuja norma é igual a 0,0319.

Se [f] é uma avaliação adequada, conforme o critério adotado, então b_calci=[f].a_medi. Assim,

são melhores avaliações para b_med1, b_med2 e b_med3, respectivamente, às quais correspondem os vetores–erros:

d₁ º (–0,10; 0,10; 0,10), d₂ º (0,07; –0; 0,141), d₃ º (–0,26; 0,13; –0,06),

de normas respectivamente iguais a 0,032, 0,024 e 0,072. Os ângulos formados por esses vetores podem ser determinados com facilidade; o de d₁ com d₂ é de 73° , o de d₂ com d₃ é de 125° e o de d₃ com d₁ é de 52°.

Sendo podemos obter, também, melhores avaliações: a_calc1, a_calc2 e a_calc3 para os a's medidos; sendo {a_calci} = [f]^–1. {b_medi}, encontramos:

Os vetores–erros correspondentes e os respectivos ângulos poderiam ser avaliados como anteriormente.

4. Ampliação do método

Suponhamos que fosse viável a determinação de M>3 pares de vetores correspondentes (a,b). Poderia haver, entre eles, até C_M³ ternos com vetores a's linearmente independentes, mas, por hipótese, existe, pelo menos, um terno nessas condições.

Uma primeira alternativa para a resolução do problema consiste em se selecionarem os N ternos de pares que apresentem a's linearmente independentes (logo, 1<N<C_M³) e com cada terno determinar–se uma matriz como indicado anteriormente. Far–se–ia, em seguida, uma estatística com essas matrizes, determinando–se uma matriz média e uma matriz de variância/covariância.

Uma segunda alternativa consiste em tratar os dados simultaneamente, determinando–se uma única matriz (simétrica) que melhor se ajuste aos dados. Como visto, a cada medição corresponde uma equação da forma d_j = b_j – f . a_j para j=1,2,...,M. Em geral, para facilidade das medições, esses vetores estão referidos a uma base ortonormada e são representados por suas coordenadas, isto é, a equação vetorial pode ser representada por uma equação matricial da forma {d}={b}–[f].{a}, onde {d}, {b} e {a} são matrizes–colunas 3x1 ({b} e {a} sendo conhecidas e [f] – a incógnita – uma matriz simétrica 3x3). O conjunto dessas M equações pode ser representado na forma compacta [d]=[B]–[f].[A], sendo [d], [B] e [A] de ordem 3xM. As colunas de [B] são formadas com as coordenadas dos vetores b's; da mesma forma, as colunas de [A] são formadas com os vetores a's. Então, se [d]^T é a transposta de [d]:

[d]^T.[d]=[D]=[B]^T.[B]–[B]^T.[f].[A]–[A]^T.[f].[B]+[A]^T.[f]².[A] (10)

a ordem de [D] sendo MxM. Os elementos da diagonal principal de [D] representam as normas dos vetores–erros; os demais representam os produtos escalares desses vetores. Podemos procurar a matriz simétrica [f], que torne a matriz [D] tão próxima da matriz zero MxM, quanto possível. Isto significa que, para esse valor de [f], a derivada de [D] em relação a [f] deve ser nula, ou seja, que

2 [A]^T . [f] . [A] = [B]^T . [A] + [A]^T .[B] (11).

A matriz simétrica 3x3

[S] = [A] . [A]^T (12)

é regular, porque, por hipótese, pelo menos três entre os vetores a's são linearmente independentes (ver apêndice I). Pré–multiplicando (11) por [A], pós–multiplicando por [A]^T, vem:

2[A].[A]^T.[f].[A].[A]^T = [A].[B]^T.[A].[A]^T + [A].[A]^T.[B].[A]^T,

de onde deduzimos, pré e pós–multiplicando ambos os membros por S^–1:

[f] =([S]^–1. [A]. [B]^T + [B]. [A]^T. [S]^–1) / 2 (13)

Pondo

[y]=[S]^–1. [A]. [B]^T, donde [y]^T = [B]. [A]^T. [S]^–1 (14)

resulta, finalmente,

[f] = ([y] + [y]^T) / 2 (15)

Se não houvesse incertezas, a matriz [y] seria a solução do problema, pois seria simétrica. A incerteza com que é determinada [y], isto é, a sua parte anti–simétrica, pode ser transferida para a matriz [f]; assim,

[Inc f]=([y] – [y]^T)/2 (16)

4.1 Um exemplo numérico

Aos dados do exemplo numérico apresentado no item 3 (três vetores a's linearmente independentes), vamos juntar o novo par de medidas dos vetores: a_med4º (2,07; 2,91; 1,02) e b_med4º (3,80; –5,15; 5,30), caso em que M = 4 e 1 < N. Então,

A matriz f que melhor se ajusta ao conjunto das quatro medidas e sua incerteza são, assim, conforme (15) e (16):

A matriz obtida, [f], pode ser comparada com a matriz não perturbada (05), levando–se em conta os percentuais de perturbação praticados (até 5% para os a's e até 7% para os b's).

5. Resumo e conclusões

Sendo certo que a lei representativa do fenômeno em estudo é do tipo linear, b=f.a, com f=f^T, pretende–se determinar a matriz simétrica associada ao diádico f em relação a uma base escolhida. Para isso, é necessário que sejam efetuadas as medidas de três pares de vetores (b,a), cada par relativo a um ponto do domínio em que ocorre o fenômeno, com a condição adicional de que os vetores a's sejam linearmente independentes. Seguindo–se, então, o roteiro apresentado, chega–se à matriz–solução do problema.

Ora, existindo incerteza nas medidas efetuadas, para se determinarem os vetores, existirá, também, uma incerteza na matriz calculada, associada à grandeza f. Podemos conhecer as incertezas com que são medidos os vetores, pois estas são funções dos métodos e instrumentos utilizados para as determinações; mas não dispomos, ainda, de argumentos que permitam correlacionar a incerteza de f com as incertezas dos a's e dos b's. Os valores obtidos para [f] mostram que seus elementos podem estar determinados com incerteza igual à soma das incertezas dos vetores, mas isso poderá não ser válido, se as incertezas dos vetores forem maiores.

6. Referências bibliográficas

Artigo recebido em 13/02/2006 e aprovado em 11/05/2007.

APÊNDICE I

Para provar que A.A^T é regular, basta expressar os quatro vetores a's na base definida pelos três primeiros. Nesse caso, se {a¹, a², a³} é o sistema recíproco de {a₁, a₂, a₃}, então

Calculando o determinante de A.A^T, encontra–se o valor 1+(a₄.a₁)²+(a₄.a²)²+(a₄.a³)², trivialmente diferente de zero.

No caso de dispormos de cinco ou mais medidas, poderíamos demonstrar a não nulidade do determinante de A.A^T, seguindo caminho idêntico, não sem um trabalho substancial a mais.

• 1. WILSON, E. B. Vector analysis New Haven: Yale University Press, 1902. 436p.
• 2. MOREIRA, L. C. de A. Diádicos. REM Revista Escola de Minas, v. 25, n.3, 1966.
• 3. RUGGERI, E. R. F. Tratado de Cálculo Poliádico Dois tomos. (Em preparação).

1

Decorreria disso uma série de propriedades. Por exemplo: três pontos colineares numa região seriam colineares na outra; um fragmento de plano numa região seria um fragmento de plano na outra, etc.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  10 Out 2007
• Data do Fascículo
  Set 2007

Histórico

• Recebido
  13 Fev 2006
• Aceito
  11 Maio 2007