Um esclarecimento a Hoffmann

A clarification to Hoffmann

RESUMO

Esta é uma resposta ao comentário de Hoffmann (1985, edição 17 desta revista) num debate em curso sobre a redução da taxa de lucro em Ricardo.

PALAVRAS-CHAVE:
David Ricardo; taxa de lucro

ABSTRACT

This is a reply to the response of Hoffmann (1985, edition 17 of this journal) in an ongoing debate about the reduction of profit rate in Ricardo.

KEYWORDS:
David Ricardo; profit rate

Gostaria de tecer algumas considerações acerca do comentário de Hoffmann a um artigo meu sobre a taxa de lucro em Ricardo.

Concordo com Hoffmann acerca da inadequação de minha notação matemática para definir o limite de um processo que analisava.

Efetivamente, com o passar do tempo o denominador da expressão

$\alpha =\frac{c_1}{c_1-\rho a_0{e}^{\sigma t}}$

tende a se aproximar de zero, visto que inicialmente c₁>pa₀e^σt, mas como c₁ é constante e o segundo termo aumenta continuamente com o passar do tempo, c₁ - p σ ₀ e ^σt tenderia a zero, ocorrendo a igualdade entre c₁ e pa₀ e ^σt num período de tempo finito e não para um t indeterminadamente “grande”.

Minha opção por colocar $\underset{t\to \infty }{\mathrm{Lim}}$ em vez de $\underset{\rho a_0{e}^{\sigma t}\to c_1}{\mathrm{Lim}}$ é que queria dar ao leitor uma noção, a meu ver, mais adequada do que estava ocorrendo: isto é, que com o passar do tempo p tende a um limite. Aprecio a sugestão (correta) de Hoffmann, mas prefiro ficar com uma notação inadequada, mas que teria a vantagem de dar ao leitor uma noção do que estaria ocorrendo, isto é, que se trata de um processo que se desenvolve ao longo do tempo. Como, efetivamente, o uso de $\underset{t\to \infty }{\mathrm{Lim}}$ pode dar margem a confusões, optaria pela seguinte notação (que Hoffmann me perdoe):

• Lim α = ∞

• à medida que o tempo passa

Quanto ao limite de β, gostaria de observar que não é necessário para que a demonstração seja válida que β tenda a 1 com o passar do tempo. Basta que β seja sempre diferente de zero. Efetivamente é isto o que ocorre visto que c₂>pb₀e-µt e com o passar do tempo não há nenhuma possibilidade de β tender a zero. Assim sendo, o limite do segundo termo da expressão

$\hat{\rho }=-\left(\frac{\alpha }{\alpha +\beta }\right)\sigma +\left(\frac{\beta }{\alpha +\beta }\right)\mu$

seria $\underset{\text{á medida que o tempo passa}}{\lim }\mu \left(\frac{\beta }{\alpha +\beta }\right)$ = zero visto que com o passar do tempo α tende a ∞

Nestas circunstâncias, o que pretendia demonstrar é que à medida que o tempo passa $\hat{\rho }$ tende a - σ, ou seja

o que pelo que já foi demonstrado se reduz a

$\underset{\text{à medida que o tempo passa}}{\mathrm{Lim}}\hat{\rho }=-\sigma$

Ainda com relação ao item anterior, gostaria de lembrar a Hoffmann que o período de tempo que leva para a economia se inviabilizar não é aquele por ele apontado. A economia se inviabiliza quando p torna-se menor do que 1, e não quando a₁ torna-se igual a c₁. Para vermos isto basta considerarmos o exemplo abaixo:

$$\begin{gathered} 5\text{unidades de trigo}+10\text{tratores}\to 14\text{unidades de trigo} \\ \left(a_1\right)\left(b_1\right)\left(c_1\right) \\ 2\text{unidades de trigo}+5\text{tratores}\to 30\text{tratores} \\ \left(a_2\right)\left(b_2\right)\left(c_2\right) \end{gathered}$$

Neste exemplo, para um aumento exponencial da produtividade do setor de tratores de 5% por unidade de tempo, e para um decréscimo na produtividade do setor de trigo de 2% por unidade de tempo, a economia se inviabiliza (p ≤ l) para t ≥ 50,955. Para esse valor de t₁ a₁ =13,8535 (menor do que o valor de c₁ =14), e para este exemplo o denominador de a praticamente iguala a zero para t = 215,35, isto é a atinge um valor infinitamente grande para t = 215,35.

Reproduzo abaixo o gráfico da taxa de crescimento de o nara o ~t~>O

Uma última observação com relação à demonstração anteriormente apresentada. Esta continua sendo válida mesmo se admitirmos que a taxa de aumento de produtividade no setor de tratores não seja idêntica em termos dos insumos utilizados, isto é que â₁ não seja necessariamente igual a ${\hat{b}}_1$ e o mesmo para o caso da diminuição da produtividade no setor de trigo, isto é, que â não seja necessariamente igual a ${\hat{b}}_2$. Neste caso a expressão da pág. 59 passaria a ser:

$\hat{\rho }=-\left(\frac{\alpha }{\alpha +\beta }\right){\hat{a}}_1-\left(\frac{\beta }{\alpha +\beta }\right){\hat{b}}_2+\left(\frac{{\hat{a}}_1-{\hat{b}}_1}{\alpha +\beta }\right)+\left(\frac{{\hat{b}}_2-{\hat{a}}_2}{\alpha +\beta }\right)$

o que ainda nos daria o resultado já obtido, isto é

$\underset{\text{à medida que o tempo passa}}{\lim }\hat{\rho }=-\sigma$

visto que o terceiro e o quarto termos da expressão acima tenderiam a zero, com o passar do tempo, em decorrência de os numeradores dos referidos termos tenderem, na melhor das hipóteses, a um valor infinitamente grande, mas num espaço de tempo também tendendo ao infinito, enquanto os denominadores tenderiam a um valor infinitamente grande num espaço de tempo finito.

Deixo de apresentar os resultados de uma simulação deste caso por não apresentar nenhuma novidade com relação à simulação já apresentada.

Finalmente, quanto à última observação de Hoffmann, qual seja, de que o modelo não precisa se limitar a 2 setores, concordo plenamente. De fato, Hoffman, seguindo Possas (1982), valendo-se do teorema de Perron-Frobenius, demonstra de forma muito elegante que para uma economia de n setores, a taxa de lucro tenderá a zero desde que qualquer a_ii cresça tendendo a 1. (No exemplo numérico acima r = 0 para a₁ = 13,85, o que equivale na notação de Hoffmann a um au = 0,98.)

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

• HOFFMANN, Rodolfo (1985) “Comentários a respeito da nota de Robert Nicol sobre a tendência à queda da taxa de lucro em Ricardo”, Revista de Economia Política, vol. 5, n. 2, abril-junho de 1985.
• NICOL, Robert (1984) “A Taxa de Lucro em Ricardo”, Revista de Economia Política, vol. 4, n. 4, out./ dez. 1984.
• POSSAS, Mário (1982) “Valor, Preço e Concorrência”, Revista de Economia Política, vol. 2, n. 4, out./ dez., 1982.

• JEL Classification: B12; D24.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  16 Set 2024
• Data do Fascículo
  Apr-Jun 1985