Avaliação dos momentos de segunda ordem em estruturas de concreto armado utilizando os coeficientes γz e B2

Resumos

This paper presents an alternative to estimate the magnifier of first order moments to be applied on each storey of reinforced concrete structures, from the values obtained for the γz and B2 coefficients, used to evaluate second order effects in reinforced concrete structures and in steel structures, respectively. In order to develop the study, initially several reinforced concrete buildings of medium height are processed, in first order and in second order, using the ANSYS software. Next, γz, B2 and the increase in first order moments, when considering the second order effects along the height of the buildings, are calculated. Finally, from the results obtained, the magnifier of the first order moments, differentiated for each storey of the structure and calculated from both γz and B2 coefficients, is estimated and the efficiency of the simplified method of obtaining final moments using the magnifier proposed is evaluated.

reinforced concrete; second order effects; γz coefficient; B2 coefficient

^IUniversidade Federal de Minas Gerais, Escola de Engenharia, Deptº de Engenharia de Materiais e Construção, Belo Horizonte, MG, Brasil; E-mail: [e-mail]; [e-mail]; [e-mail]

^IIUniversidade Federal de Minas Gerais, Escola de Engenharia, Deptº de Engenharia de Estruturas, Belo Horizonte, MG, Brasil. E-mail: [e-mail]

RESUMO

Neste trabalho apresenta-se uma alternativa para estimar o majorador dos momentos de primeira ordem que deve ser aplicado em cada pavimento das estruturas de concreto armado, a partir dos valores obtidos para os coeficientes γ_z e B₂, utilizados para avaliar os efeitos de segunda ordem em estruturas de concreto armado e de aço, respectivamente. Para conduzir o estudo, inicialmente diversos edifícios de médio porte de concreto armado são processados em primeira e segunda ordem utilizando o programa ANSYS. Em seguida, são calculados os valores dos coeficientes γ_z e B₂, bem como dos acréscimos sofridos pelos momentos de primeira ordem, quando considerados os efeitos de segunda ordem, ao longo da altura dos edifícios. Finalmente, a partir dos resultados obtidos, estima-se o majorador dos momentos de primeira ordem, diferenciado para cada pavimento das estruturas e calculado a partir de ambos os coeficientes γ_z e B₂, e avalia-se a eficiência do método simplificado de obtenção dos momentos finais utilizando o majorador estimado.

Palavras-chave: concreto armado, efeitos de segunda ordem, coeficiente γ_z, coeficiente B₂.

1. Introdução

Nas últimas décadas, seguindo o exemplo de outras áreas, a engenharia sofreu grandes avanços, particularmente a de projetos e a de construção civil. As técnicas de otimização no que diz respeito ao peso e à forma, o desenvolvimento de equipamentos de teste e computacionais e modelagens numéricas eficientes levaram a construções mais econômicas e esbeltas, e edifícios mais altos e arrojados.

Dessa forma, questões antes não convenientemente abordadas passaram a assumir fundamental importância no projeto estrutural. Dentre estas questões, destacam-se a análise da estabilidade e a avaliação dos efeitos de segunda ordem.

Quando o estudo do equilíbrio da estrutura é efetuado considerando a configuração deformada, ocorre a interação entre as forças existentes e os deslocamentos, o que promove o aparecimento de esforços adicionais. Nestas condições, surgem os denominados efeitos de segunda ordem. Estes efeitos podem ser extremamente importantes e significativos em algumas estruturas; em outras, não precisam ser levados em conta.

Caso os efeitos de segunda ordem sejam significativos, deve-se realizar uma análise de segunda ordem. Sendo esta análise muitas vezes incompatível com fatores limitadores como tempo e praticidade, tem-se buscado processos simplificados capazes de prever o comportamento das estruturas em segunda ordem.

Os coeficientes γ_z e B₂, comumente empregados em estruturas de concreto armado e de aço, respectivamente, podem ser utilizados para avaliar os efeitos de segunda ordem e fornecer uma estimativa dos esforços finais de uma estrutura, desde que seus valores não ultrapassem determinados limites.

No entanto, um importante aspecto merece ser destacado em relação ao coeficiente γ_z: ao contrário do coeficiente B₂, ele apresenta um valor único para toda a estrutura, embora, como constatado em diversos trabalhos (Carmo [1], Lima & Guarda [2] e Oliveira [3]), os efeitos de segunda ordem sofram variações ao longo da altura do edifício.

É dentro deste contexto que está inserido o presente trabalho, no qual apresenta-se uma alternativa para avaliar os esforços finais de uma estrutura, que incluem os de segunda ordem, utilizando ambos os coeficientes γ_z e B₂. Para conduzir o estudo, diversos edifícios de médio porte em concreto armado são analisados em primeira e segunda ordem utilizando o "software" ANSYS-9.0, e o processo simplificado de obtenção dos esforços finais é avaliado levando-se em conta a variação dos efeitos de segunda ordem ao longo da altura das estruturas.

2. Classificação das estruturas com relação à deslocabilidade horizontal

Como já apresentado no item anterior, os efeitos de segunda ordem surgem quando o estudo do equilíbrio da estrutura é efetuado considerando a configuração deformada, ou seja, quando os deslocamentos são levados em conta na análise. Dessa forma, as forças existentes interagem com os deslocamentos, produzindo esforços solicitantes adicionais. Os esforços de segunda ordem introduzidos pelos deslocamentos horizontais dos nós da estrutura, quando sujeita a cargas verticais e horizontais, são denominados efeitos globais de segunda ordem.

Em algumas estruturas, mais rígidas, os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos e, consequentemente, os efeitos globais de segunda ordem têm pequena influência nos esforços totais, podendo então ser desprezados. Estas estruturas são denominadas estruturas de nós fixos.

Por outro lado, em estruturas mais flexíveis, os deslocamentos horizontais são significativos e, portanto, os efeitos globais de segunda ordem representam uma parcela importante dos esforços finais, não podendo ser desprezados. É o caso das estruturas de nós móveis, para as quais deve-se realizar uma análise em segunda ordem.

De acordo com a NBR 6118:2007 [4], se os efeitos globais de segunda ordem forem inferiores a 10% dos respectivos esforços de primeira ordem a estrutura pode ser classificada como de nós fixos. Caso contrário (efeitos globais de segunda ordem superiores a 10% dos de primeira ordem) a estrutura é classificada como de nós móveis.

A NBR 6118:2007 [4] também estabelece que a classificação das estruturas pode ser feita utilizando o coeficiente γ_z, comentado no próximo item.

3. Coeficiente γ _z

A NBR 6118:2007 [4] prescreve que o coeficiente γ_z, válido para estruturas reticuladas de no mínimo quatro pavimentos, pode ser determinado a partir de uma análise linear de primeira ordem, reduzindo-se a rigidez dos elementos estruturais, para considerar a não-linearidade física de forma aproximada.

Para cada combinação de carregamento, calcula-se o valor de γ_z por meio da seguinte expressão:

sendo:

- M_1,tot,d (momento de primeira ordem): soma dos momentos de todas as forças horizontais (com seus valores de cálculo) da combinação considerada, em relação à base da estrutura, ou seja, pode-se escrever:

sendo que F_hid é a força horizontal aplicada no pavimento i (com seu valor de cálculo) e h_i é a altura do pavimento i.

- ΔM_tot,d (acréscimo de momentos após a análise de primeira ordem): soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura (com seus valores de cálculo), na combinação considerada, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação:

sendo que P_id é a força vertical atuante no pavimento i (com seu valor de cálculo) e u_i é o deslocamento horizontal do pavimento i.

Se for satisfeita a condição γ_z< 1,1, a estrutura será classificada como de nós fixos.

A NBR 6118:2007 [4] estabelece que os esforços finais (primeira ordem + segunda ordem) podem ser avaliados a partir da majoração adicional dos esforços horizontais da combinação de carregamento considerada por 0,95γ_z, desde que γ_z não ultrapasse 1,3. No entanto, segundo o Projeto de Revisão da NBR 6118:2000 [5], os valores finais dos esforços poderiam ser obtidos pela multiplicação dos momentos de primeira ordem por 0,95γ_z, também com a condição de que γ_z< 1,3. Nota-se, portanto, que o γ_z deixou de ser o coeficiente majorador dos momentos de primeira ordem, e passou a ser o coeficiente majorador das ações horizontais.

Segundo Franco & Vasconcelos [6], a utilização do γ_z como majorador dos momentos de primeira ordem fornece uma boa estimativa dos resultados da análise de segunda ordem; o método foi empregado com sucesso em edifícios altos com γ_z da ordem de 1,2 ou mais. Vasconcelos [7] acrescenta que este processo é valido mesmo para valores de γ_z inferiores a 1,10, casos nos quais as normas técnicas permitem não considerar os efeitos de segunda ordem.

4. Coeficiente B₂

Para a avaliação dos efeitos de segunda ordem em estruturas de aço, o AISC/LRFD [8] adota o método aproximado de amplificação dos momentos de primeira ordem pelos fatores de majoração B₁ e B₂. O momento fletor solicitante de segunda ordem, M_Sd, deve, então, ser determinado por meio da seguinte expressão:

sendo M_nt o momento fletor solicitante de cálculo, assumindo não existir deslocamento lateral na estrutura, e M_lt o momento fletor solicitante de cálculo devido ao deslocamento lateral do pórtico; ambos M_nt e M_lt são obtidos por análises de primeira ordem. O coeficiente de amplificação B₁ representa o efeito P-δ, relacionado à instabilidade da barra, ou aos efeitos locais de segunda ordem; B₂ considera o efeito P-Δ, relacionado à instabilidade do pórtico, ou aos efeitos globais de segunda ordem.

O coeficiente B₂ pode ser calculado, para cada pavimento da estrutura, como:

sendo ΣN_Sd o somatório das forças normais de compressão solicitantes de cálculo em todos os pilares e outros elementos resistentes a forças verticais do pavimento, ∆_0h o deslocamento horizontal relativo, L o comprimento do pavimento e ΣH_Sd o somatório de todas as forças horizontais de cálculo no pavimento que produzem ∆_0h.

Segundo Silva [9], se em todos os pavimentos o coeficiente B₂ não superar o valor de 1,1 a estrutura pode ser considerada pouco sensível a deslocamentos horizontais e, neste caso, os efeitos globais de segunda ordem podem ser desprezados. Quando o maior B₂ estiver situado entre 1,1 e 1,4, o método aproximado B₁-B₂ pode ser utilizado para o cálculo do momento fletor, sendo os demais esforços (força normal e força cortante) obtidos diretamente da análise de primeira ordem. Finalmente, quando B₂ > 1,40, recomenda-se a realização de uma análise elástoplástica rigorosa de segunda ordem. Silva [9] ainda acrescenta que, caso 1,1 < B₂< 1,2, pode-se, alternativamente, calcular os momentos fletores com base em uma análise de primeira ordem realizada com os esforços horizontais majorados pelo maior B₂.

Nota-se então que, assim como o coeficiente γ_z, o coeficiente B₂ constitui um "indicador" da importância dos efeitos globais de segunda ordem em uma estrutura. Dessa forma, Oliveira [10] desenvolveu uma expressão capaz de relacionar estes parâmetros, apresentada no próximo item.

5. Relação entre os coeficientes γ _z e B₂

A figura [1] mostra uma estrutura composta por três pavimentos de comprimentos iguais (L). Nesta figura, estão também representadas as forças de cálculo verticais (P_id) e horizontais (F_hid) atuantes em cada pavimento i, juntamente com seus respectivos deslocamentos horizontais (u_i).

Para o cálculo de γ_z, equação (1), é necessário determinar os valores de M_1,tot,d e ∆M_tot,d. Pelas equações (2) e (3), tem-se, respectivamente:

O coeficiente B₂, dado pela equação (5), apresenta valores diferenciados para cada pavimento da estrutura. Assim, denominando-se o coeficiente B₂ do pavimento i de B_2,i e as parcelas (L ⋅ ΣH_Sd) e (∆_0h⋅ ΣN_Sd) de M_i e ∆M_i, respectivamente, obtém-se:

• 1º pavimento:

• 2º pavimento:

• 3º pavimento:

Somando-se M₁, M₂ e M₃, equações (8), (11) e (14), e ∆M₁, ∆M₂ e ∆M₃, equações (9), (12) e (15) resulta:

Comparando as equações (17) e (18) com as equações (6) e (7) pode-se escrever:

Substituindo as equações (19) e (20) na equação (1), o coeficiente γ_z fica definido como:

Invertendo a equação (21) tem-se:

Substituindo as equações (10), (13), (16) e (19) na equação (22), obtém-se:

Finalmente pode-se escrever a equação (23) como:

sendo as constantes c₁, c₂ e c₃ dadas respectivamente por:

Logo, para uma estrutura composta por n pavimentos, o coeficiente γ_z pode ser calculado em função do coeficiente B₂ como:

sendo

6. Aplicações numéricas

Para conduzir o estudo, dez edifícios de médio porte em concreto armado (cujos pavimentos tipos podem ser encontrados em Oliveira [10]) foram processados em primeira e segunda ordem. A tabela [1] resume as principais características das estruturas analisadas.

O processamento dos edifícios foi realizado para as ações verticais (compostas pelas cargas permanentes e pela carga acidental ou sobrecarga) agindo simultaneamente com o carregamento horizontal (correspondente à ação do vento, nas direções paralelas aos eixos X e Y, e calculado de acordo com as prescrições da NBR 6123:1988 [11]). Os coeficientes aplicados às ações, definidos a partir da combinação última normal que considera o vento como a ação variável principal, foram determinados segundo as recomendações da NBR 6118:2007 [4].

As estruturas foram analisadas utilizando modelos tridimensionais no "software" ANSYS-9.0. Para a representação dos pilares e vigas foi empregado o elemento de barra "beam 4", que apresenta seis graus de liberdade em cada nó: três translações e três rotações, nas direções X, Y e Z.

Vale ressaltar que o processamento dos edifícios em segunda ordem foi realizado por meio de uma análise não linear geométrica, reduzindo a rigidez dos elementos estruturais para considerar a não-linearidade física de forma simplificada (foram adotados os valores iguais a 0,8 I_c para os pilares e 0,4 I_c para as vigas, sendo I_c o momento de inércia da seção bruta de concreto).

6.1 Resultados obtidos

Inicialmente, com os resultados da análise em primeira ordem, foram calculados os coeficientes γ_z e B₂ para todos os edifícios, nas direções X e Y. As tabelas [2] e ^[3] apresentam os valores obtidos, juntamente com a classificação das estruturas, em ambas as direções. Entretanto, no caso do coeficiente B₂, estão apresentados apenas os valores médio (B_2,méd) e máximo (B_2,máx) dos pavimentos. Ressalta-se que, segundo Silva [9], uma estrutura pode ser considerada pouco sensível a deslocamentos horizontais se, em todos os seus pavimentos, o coeficiente B₂ não superar o valor de 1,1. Se B₂ for maior que esse valor em pelo menos um pavimento, a estrutura será considerada muito sensível a deslocamentos horizontais. Dessa forma, a classificação dos edifícios é realizada analisando o valor de B_2,máx obtido.

Obseva-se nas tabelas [2] e ^[3] que, em todos os casos, os coeficientes γ_z e B₂ forneceram a mesma classificação das estruturas. Além disso, os valores de γ_z e B_2,méd se mostraram extremamente próximos, sendo que a maior diferença, correspondente à direção X do edifício I, gira em torno de 3,4%. Vale comentar também que, em apenas cerca de 17% dos casos, B_2,méd apresentou-se superior a γ_z.

6.1.1 Avaliação do γ_zcomo coeficiente majorador dos esforços de primeira ordem (momentos fletores, forças normais e cortantes) para a obtenção dos esforços finais

A partir do processamento das estruturas em primeira e segunda ordem, para as ações verticais agindo simultaneamente com as ações horizontais, foi calculada, para todos os pavimentos dos edifícios, a relação entre os esforços obtidos pela análise em segunda ordem e em primeira ordem, nas direções X e Y.

Os esforços levados em conta na análise são apenas os realmente relevantes no dimensionamento estrutural, ou seja, para os pilares, foram considerados os momentos fletores e as forças normais; para as vigas, os momentos fletores e as forças cortantes.

Os resultados médios dos pavimentos, juntamente com os coeficientes γ_z obtidos para todos os edifícios, nas direções X e Y, estão apresentados na tabela [4]. Dessa forma, pode-se realizar uma análise comparativa entre os acréscimos sofridos pelos esforços de primeira ordem, quando considerados os efeitos de segunda ordem, e os acréscimos previstos pelo coeficiente γ_z.

Observa-se na tabela [4] que, para todos os edifícios e em ambas as direções, os acréscimos médios obtidos no caso da força normal nos pilares e da força cortante nas vigas são muito pequenos (entre 1% e 4%) e, portanto, geralmente bastante inferiores aos previstos pelo γ_z. Assim, em termos práticos, a majoração dessas forças pelo coeficiente γ_z não se faz necessária, mesmo para altos valores deste (como ocorre, por exemplo, no caso do edifício II, na direção X).

Ainda na tabela [4] verifica-se que, para o momento fletor nos pilares e nas vigas, os acréscimos médios mostram boa proximidade em relação ao γ_z. No caso do momento fletor nos pilares, a maior diferença entre os acréscimos médios e os previstos pelo γ_z vale cerca de 6% (edifício III, direção Y), a favor da segurança. Para o momento fletor nas vigas, a máxima diferença, correspondente ao acréscimo obtido para o edifício I, na direção X, é da ordem de 6,7%, também a favor da segurança. No entanto, considerando apenas os casos em que a majoração por γ_z estaria contra a segurança, observam-se diferenças máximas inferiores a 5%, para o momento nos pilares (edifício III, direção X), e a 4%, para o momento nas vigas (edifício II, direção Y).

Assim, pode-se afirmar que, a princípio, a obtenção dos momentos finais (primeira ordem + segunda ordem) a partir da majoração dos momentos de primeira ordem por γ_z mostra-se satisfatória. Vale mencionar, entretanto, que o presente estudo foi realizado para estruturas que apresentam valores máximos de γ_z da ordem de 1,3, ou seja, para as quais, segundo a NBR 6118:2007 [4], o processo simplificado de avaliação dos esforços finais utilizando o coeficiente γ_z ainda é válido. Além disso, foram considerados os acréscimos médios das estruturas como um todo, sem levar em conta a variação dos efeitos de segunda ordem ao longo da altura dos edifícios, constatada em diversos trabalhos (Carmo [1], Lima & Guarda [2] e Oliveira [3]). Isto significa que, caso apenas o coeficiente γ_z seja utilizado como majorador dos momentos de primeira ordem, os momentos finais poderiam ser subestimados em alguns pavimentos, e superestimados em outros.

Assim, uma melhor estimativa dos momentos finais poderia ser realizada utilizando também o coeficiente B₂, que é calculado para cada pavimento da estrutura e cujo valor médio se aproxima de γ_z. O majorador dos momentos de primeira ordem seria então, diferenciado para cada pavimento i da estrutura, e dado por (B_2,i/B_2,méd)⋅ γ_z. Dessa forma, considera-se, ao mesmo tempo, a validade da utilização do coeficiente γ_z para obter os momentos finais médios dos pavimentos e a capacidade do coeficiente B₂ de levar em conta a variação dos efeitos de segunda ordem ao longo da altura dos edifícios. Esta alternativa para levar em conta a variação dos efeitos de segunda ordem com a altura dos pavimentos nos edifícios de concreto armado será avaliada no próximo item.

6.1.2 Estudo da variação dos efeitos de segunda ordem com a altura dos pavimentos nos edifícios

Com os resultados da análise em primeira ordem foi calculado o majorador "estimado" dos momentos de primeira ordem, dado por:

Foi também calculada, como comentado anteriormente, a relação entre os momentos obtidos pela análise em segunda ordem e em primeira ordem (para os pilares e vigas), ao longo da altura de todos os edifícios, nas direções X e Y.

Esta relação entre os momentos (momento em segunda ordem/ momento em primeira ordem) pode ser denominada de majorador dos momentos de primeira ordem, "γ ", uma vez que representa o valor pelo qual os momentos de primeira ordem devem ser multiplicados para que se obtenham os momentos finais, que incluem os de segunda ordem. Na situação ideal, na qual a majoração dos momentos de primeira ordem por γ_est fornece os momentos finais com 100% de precisão, os valores de γ e γ_est devem coincidir para todos os pavimentos dos edifícios, isto é, γ /γ_est= 1 ao longo de toda a altura.

Tendo em vista as considerações apresentadas, foram construídos os gráficos mostrados nas figuras [2] e ^[3], que representam a variação da razão γ /γ_est ao longo da altura de todos os edifícios, em ambas as direções, para os pilares e vigas, respectivamente. Nestes gráficos, o eixo das abscissas corresponde à relação y/h, onde y representa a altura do pavimento considerado e h é a altura total da estrutura.

Verifica-se nas figuras [2] e ^[3] que a maior parte dos valores de γ /γ_est parece estar situada entre, aproximadamente, 0,85 e 1,10, tanto no caso dos pilares quanto no caso das vigas. Constata-se também que não é possível avaliar com precisão a variação e a distribuição da variável γ /γ_est a partir da simples observação das figuras [2] e ^[3]. Assim, para uma melhor avaliação dos resultados obtidos, foi realizada uma análise estatística, utilizando o "software" MINITAB-14.

Foram calculadas as medidas de tendência central (média e mediana) e de variabilidade (desvio padrão, coeficiente de variação, mínimo e máximo) para a variável envolvida no estudo, a relação γ /γ_est. Os resultados obtidos encontram-se na tabela [5]. Para visualizar graficamente a distribuição da variável γ /γ_est foram construídos os histogramas apresentados nas figuras [4] e ^[5], correspondentes aos pilares e vigas, respectivamente.

Nota-se na tabela [5] que a relação γ /γ_est varia de 0,71 a 1,29, sendo a média obtida inferior a 1,0, tanto para os pilares quanto para as vigas. Verifica-se também que aproximadamente 50% dos valores de γ /γ_est são menores que 0,992 no caso dos pilares e 0,973 no caso das vigas. Além disso, pode-se considerar pequena a variabilidade de γ /γ_est, uma vez que os coeficientes de variação obtidos encontram-se entre 8% e 9%. Vale comentar que o coeficiente de variação é uma medida que expressa a variabilidade em termos relativos, comparando o desvio padrão com a média, e pode ser considerado pequeno quando não ultrapassa 30%.

Observando os histogramas das figuras [4] e ^[5], verifica-se que a razão γ /γ_est apresenta valor inferior a 1,05 em aproximadamente 77% dos casos para os pilares e 83% dos casos para as vigas. Isto significa que, para a maior parte das situações, a majoração dos momentos em primeira ordem por γ_est forneceria um erro máximo contra a segurança inferior a 5%. Constata-se também que, no caso dos pilares, as freqüências são maiores para valores de γ /γ_est situados entre 0,90 e 1,05. Para as vigas, a freqüência é mais alta no intervalo 0,95 < γ /γ_est < 1,00.

7. Considerações finais

Neste trabalho apresentou-se uma alternativa para estimar o majorador dos momentos de primeira ordem que deve ser aplicado em cada pavimento das estruturas de concreto armado, a partir dos valores obtidos para os coeficientes γ_z e B₂, utilizados para avaliar os efeitos de segunda ordem em estruturas de concreto armado e de aço, respectivamente. Para conduzir o estudo, diversos edifícios de médio porte em concreto armado foram analisados em primeira e segunda ordem utilizando o "software" ANSYS-9.0, e o processo simplificado de obtenção dos momentos finais foi avaliado levando-se em conta a variação dos efeitos de segunda ordem ao longo da altura das estruturas.

Definiu-se a relação γ /γ_est, sendo "γ " denominado de majorador dos momentos de primeira ordem (relação entre os momentos obtidos pela análise em segunda e em primeira ordem, para os pilares e vigas, ao longo da altura dos edifícios) e γ_est o majorador "estimado" dos momentos de primeira ordem, diferenciado para cada pavimento i da estrutura, e dado por (B_2,i/B_2,méd)⋅γ_z.

Observou-se que a razão γ /γ_est variou de 0,71 a 1,29, sendo as médias e medianas obtidas inferiores a 1,0, tanto para os pilares quanto para as vigas. Além disso, em aproximadamente 77% dos casos para os pilares e 83% dos casos para as vigas, a razão γ /γ_est apresentou-se inferior a 1,05. Sendo assim, para a maior parte das situações analisadas, a majoração dos momentos em primeira ordem pelo majorador estimado γ_est forneceria um erro máximo contra a segurança inferior a 5%.

Finalmente, sugere-se, como novas pesquisas, realizar outros estudos sobre o assunto, contemplando um maior número de edifícios e estruturas que apresentem porte mais elevado ou irregularidades na geometria, como, por exemplo, mudanças bruscas de inércia e de pés-direitos entre os pavimentos.

8. Agradecimentos

Os autores agradecem ao Programa Institucional de Auxílio a Pesquisa de Doutores Recém-Contratados da PRPq/UFMG o apoio concedido.

9. Referências bibliográficas

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• [11] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6123 - Forças devidas ao vento em edificações. Rio de Janeiro, 1988.

Avaliação dos momentos de segunda ordem em estruturas de concreto armado utilizando os coeficientes γ_ze B₂

D. M. Oliveira^I; N. A. Silva^II; P. M. Oliveira ^I; C. C. Ribeiro^I

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  13 Jun 2014
• Data do Fascículo
  Jun 2014

Histórico

• Aceito
  13 Abr 2014
• Recebido
  22 Dez 2013