FARIA, L.; PINTO, P.E.D.; PEDROZA, N.

doi:10.5540/tema.2017.018.01.0105

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Sumário

Articles • TEMA (São Carlos) 18 (1) • Jan-Apr 2017 • https://doi.org/10.5540/tema.2017.018.01.0105 copiar

Optimal Check Digit Systems Based on Modular Arithmetic ^† † Partially financed by FAPERJ; Paper presented at CNMAC 2016.

Autoria SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

RESUMO

Neste artigo discutimos os sistemas de dígitos verificadores baseados em aritmética modular, utilizados mundialmente. Dígitos verificadores são usados para eliminar a maioria dos erros na entrada de dados em sistemas computacionais. Embora antigos, não é encontrada na literatura uma discussão sobre a otimalidade dos esquemas utilizados. Descrevemos os principais esquemas existentes e destacamos aqueles adotados no Brasil. Apresentamos as melhorias necessárias para tornar os diversos esquemas ótimos. Propomos, também, um novo esquema ótimo com 3 permutações para sistemas com base modular 10.

Palavras-chave:
Dígitos verificadores; detecção de erros; aritmética modular

Error type	Abrev	Format	Frequency (%)
Single errors	SNG	..a.. → ..b..	79.10
Adjacent transposition	TRA	..ab.. → ..ba..	10.20
Alternate transpostion	TRL	..abc.. → ..cba..	0.80
Adjacent twins	TWA	..aa.. → ..bb..	0.50
Alternate twin	TWL	..aca.. ..bcb..	0.30
Phonetic	PHO	..1a.. → ..0a.., a≥2	0.50
Others	OTH		8.60

System	SNG	TRA	TRL	TWA	TWL	PHO	AVE (%)
10 - 2 weights	0	11.11	100.00	11.11	11.11	0	2.02
10 - 3 weights	0	11.11	11.11	49.23	40.73	0	1.59
10 alphanum. 3 weights	7.81	18.02	18.02	48.76	41.57	0	8.53
10 IBM	0	2.22	100.00	6.67	11.11	12.50	1.16
11 complete	0	0	0	14.29	0	6.25	0.10
11 restrict	1.82	1.82	1.82	15.85	1.82	14.61	1.80
11 CNPJ	0.04	0.14	0.14	0.83	0.03	2.36	0.06

k	3	6	10
n	3	6	10
11	-	-	1 2 4 8 5 10 9 7 3 6
13	1 2 4	1 2 3 6 9 5	1 2 3 4 6 8 12 11 9 5
	3 4 8	1 8 3 6 12 5	1 2 3 4 6 12 5 10 9 7
	5 10 7	2 3 6 9 5 10	1 2 3 4 6 12 11 9 7 5
37	1 2 3	1 2 3 4 5 6	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
	1 2 8	1 2 3 4 5 8	1 2 3 4 5 6 7 8 9 11
	1 2 12	1 2 3 4 5 12	1 2 3 4 5 6 7 8 9 12
97	1 2 3	1 2 3 4 5 6	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
	1 2 5	1 2 3 4 5 9	1 2 3 4 5 6 7 8 9 12
	1 2 12	1 2 3 4 5 14	1 2 3 4 5 6 7 8 9 14

Systems	SNG	TRA	TRL	TWA	TWL	PHO	AVE %
Mod 10 3P optimal	0	2.22	2.22	5.93	5.93	0	0.29
Mod 10 Vehroeff (≤6)	0	2.22	4.44	2.22	4.44	0	0.28
Mod 10 Vehroeff (≥7)	0	2.22	4.44	2.22	4.44	3.57	0.30
Mod 11 restrict	1.82	1.82	1.82	1.82	1.82	1.82	1.66
Prime modular bases	0	0	0	0	0	0	0

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[1] *Corresponding author: Natália Pedroza - E-mail: npsnatalia@gmail.com

1	0123456789	7	3456710298	13	6752498310
2	9460571382	8	8359472106	14	8310795264
3	3620845197	9	0397568421	15	2931568704
4	1290857436	10	0189723564	16	6582741903
5	8340971265	11	0562184739	17	0541823976
6	8142630579	12	4175908236	18	4189053627

1	σ₁ - σ₂	0 3 6 9 2 8 7 6 5 4
2	σ₂ - σ₃	9 2 3 2 4 0 5 1 8 6
3	σ₃ - σ₁	1 5 1 9 4 2 8 3 7 0
4	σ₁ - σ₂	0 9 8 7 6 2 5 8 1 4
5	σ₂ - σ₃	1 4 9 6 0 4 3 1 8 4
6	σ₁ - σ₃	1 7 5 5 2 2 0 7 3 8
7	σ₁(1) - σ₂(0)	1
8	σ₂(1) - σ₃(0)	7
9	σ₃(1) - σ₁(0)	6

1	0864279135 1632874059	25	2086491357 9410652837
2	0864279135 2743985160	26	3197502468 3854096271
3	0864279135 3854096271	27	3197502468 4965107382
4	0864279135 4965107382	28	3197502468 5076218493
5	0864279135 5076218493	29	3197502468 6187329504
6	0864279135 6187329504	30	3197502468 7298430615
7	0864279135 7298430615	31	3197502468 8309541726
8	0864279135 8309541726	32	3197502468 9410652837
9	0864279135 9410652837	33	4208613579 4965107382
10	1975380246 2743985160	34	4208613579 5076218493
11	1975380246 3854096271	35	4208613579 6187329504
12	1975380246 4965107382	36	4208613579 7298430615
13	1975380246 5076218493	37	4208613579 8309541726
14	1975380246 6187329504	38	4208613579 9410652837
15	1975380246 7298430615	39	5319724680 6187329504
16	1975380246 8309541726	40	5319724680 7298430615
17	1975380246 9410652837	41	5319724680 8309541726
18	2086491357 2743985160	42	5319724680 9410652837
19	2086491357 3854096271	43	6420835791 7298430615
20	2086491357 4965107382	44	6420835791 8309541726
21	2086491357 5076218493	45	6420835791 9410652837
22	2086491357 6187329504	46	7531946802 8309541726
23	2086491357 7298430615	47	7531946802 9410652837
24	2086491357 8309541726	48	8642057913 9410652837

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