RESUMO
Neste artigo, consideramos problemas de Otimização multiobjetivo com restrições de igualdade dadas na forma , sendo e um aberto não vazio. Consideramos o caso em que a restrição do problema é irregular, ou seja, quando a condição de qualificação de independência linear (LICQ) não é satisfeita na solução do problema de otimização. Obtemos condições necessárias e suficientes de otimalidade no sentido da eficiência fraca e da eficiência própria para problemas multiobjetivos irregulares. Para isto, foi utilizada a Teoria da p-regularidade.
Palavras-chave:
ccondições de otimalidade; irregularidade; p-regularidade
RESUMO.
In this article, we consider problems of Multiobjective optimization with equality constraints given in the form , where . We will consider the case where the problem constraints are irregular, that is, when the condition of qualification of linear independence (LICQ) is not satisfied in the solution of the optimization problem. We obtain necessary and sufficient conditions of optimality in the sense of the weak efficiency and of the proper efficiency for irregular multiobjective problems.
Key words
conditions of optimality; irregularity; p-regularity
1 INTRODUÇÃO
Em muitas situações nos deparamos com problemas de tomadas de decisões que surgem em diversas áreas como Engenharia, Economia, Administração, Biomedicina, Teoria dos Jogos, dentre outros. Tais problemas podem possuir mais de um objetivo fixados como metas pelo decisor. Tais problemas são chamados multiobjetivos. Em geral não é possível minimizar todos os objetivos simultaneamente. Deste modo, existem várias noções de otimalidade para esses problemas, destacando-se as soluções eficientes (ou de Pareto), as propriamente eficientes (ou Geoffrion-eficientes) e as fracamente eficientes (Pareto fracas). Os primeiros resultados no campo da Otimizaçao multiobjetivo são devidos a V. Pareto [14][14] V. Pareto. "Cours d'economie politique", volume 1. Librairie Droz, Genebra (1964). que em seu célebre trabalho "Cours d’Economie Politique" introduz o conceito de solução eficiente – o qual está relacionado à Teoria do Bem Estar Social [13][13] H. Moulin & F. Fogelman-Soulie. "La convexite dans les mathematiques de la decision". Hermann, Paris (1979)..
Em Otimização multiobjetivo as condições necessárias e suficientes de otimalidade são um tópico importante e grande parte dos resultados conhecidos para problemas de Otimização escalares (ou mono-objetivos) se estendem ao caso multiobjetivo. É bastante conhecido o fato que as condições de Karush-Kuhn-Tucker são necessárias para a otimalidade sob hipóteses adicionais – as quais são conhecidas como Condições de Qualificação. A condição de qualificação mais geral é a Condição de Qualificação de Guignard (GCQ) [6][6] F.J. Gould & J.W. Tolle. A necessary and sufficient qualification for constrained optimization. SIAM Journal on Applied Mathematics, 20(2) (1971), 164–172.. Como é bem conhecido, GCQ em muitos casos é difícil de ser verificada e com o objetivo de se garantir esta condição, várias outras condições de qualificação foram propostas. Uma das mais conhecidas e utilizadas dentre as condições de qualificação é a Condição de Qualificação de Independência Linear (LICQ). Entretanto, muitos problemas de otimização com restrições de igualdade não satisfazem LICQ na solução. Neste trabalho, os problemas dessa natureza serão denominados irregulares, seguindo a terminologia utilizada por Brezhneva e Tretyakov em [5][5] O.A. Brezhneva & A.A. Tretyakov. The p-th order optimality conditions for degenerate inequality constrained optimization problems. Pure Appl. Math, 1(2) (2010), 198–223.. Observamos ainda que o tratamento das condições de otimalidade para problemas irregulares tem sido um tópico de pesquisa bastante atual [1][1] A. Arutyunov. "Optimality Conditions: Abnormal and Degenerate Problems", volume 1 of Mathematics and Its Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (2000)., [2][2] A.V. Arutyunov, E.R. Avakov & A.F. Izmailov. Necessary optimality conditions for constrained optimization problems under relaxed constraint qualifications. Mathematical Programming, 114(1) (2008), 37–68., [3][3] E.R. Avakov, A.V. Arutyunov & A.F. Izmailov. Necessary conditions for an extremum in a mathematical programming problem. Proceedings of the Steklov institute of mathematics, 256(1) (2007), 2–25., [4][4] O.A. Brezhneva & A.A. Tretyakov. Optimality conditions for degenerate extremum problems with equality constraints. SIAM Journal on Control and Optimization, 42(2) (2003), 729–745., [7][7] B. Hernández-Jiménez, M. Rojas-Medar, R. Osuna-Gómez & A. Beato-Moreno. Generalized convexity in non-regular programming problems with inequality-type constraints. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 352(2) (2009), 604–613.. A relevância de tais problemas e algumas importantes referências que contêm exemplos significativos e aplicações podem ser encontrados em [2][2] A.V. Arutyunov, E.R. Avakov & A.F. Izmailov. Necessary optimality conditions for constrained optimization problems under relaxed constraint qualifications. Mathematical Programming, 114(1) (2008), 37–68. e suas referências.
No artigo [4][4] O.A. Brezhneva & A.A. Tretyakov. Optimality conditions for degenerate extremum problems with equality constraints. SIAM Journal on Control and Optimization, 42(2) (2003), 729–745., Brezhneva e Tretyakov consideram problemas irregulares mono-objetivo com restrições de igualdade e para tais problemas obtém condições necessárias e suficientes para a otimalidade. Em [5][5] O.A. Brezhneva & A.A. Tretyakov. The p-th order optimality conditions for degenerate inequality constrained optimization problems. Pure Appl. Math, 1(2) (2010), 198–223. os autores obtêm condições necessárias e suficientes de otimalidade para uma certa classe de problemas mono-objetivo com restrições de desigualdade e irregulares – por eles denominadas absolutamente degenerados. Em ambos artigos, a abordagem utilizada se baseia na Teoria da p-regularidade.
Neste artigo, faremos uma abordagem baseada na Teoria da p-regularidade [5][5] O.A. Brezhneva & A.A. Tretyakov. The p-th order optimality conditions for degenerate inequality constrained optimization problems. Pure Appl. Math, 1(2) (2010), 198–223.. Consideraremos que , sendo um aberto não vazio, é a aplicação que define as restrições de igualdade do problema e a ideia principal desta abordagem é substituir o operador linear , que não é sobrejetor, por um operador linear sobrejetor , relacionado à expansão de Taylor de ordem p de em torno de . Por fim, obtemos novas condições de otimalidade em termos da função Lagrangeana generalizada ou função Lagrangeana p-fator. Existem poucos trabalhos referentes às condições de otimalidade para o caso multiobjetivo irregular, o único artigo que conhecemos até o momento e que trata de problemas irregulares multiobjetivo é o artigo de Hernandez-Jemenez et al [8][8] B. Hernández-Jiménez, M.A. Rojas-Medar, R. Osuna-Gómez & A. Rufián-Lizana. Characterization of weakly efficient solutions for non-regular multiobjective programming problems with inequality-type constraints. Journal of Convex Analysis, 18 (2011), 749–768.. Este trabalho difere do nosso por tratar apenas o problema com restrições de desigualdade e, além disso, a noção de 2-regularidade utilizada pelos autores é diferente da que utilizamos neste trabalho.
A organização deste trabalho é a seguinte: Na Seção 2, fixamos a notação utilizada ao longo do texto e recordamos os conceitos de solução para problemas multiobjetivo. Também recordamos o Teorema de Ponto Fixo para multifunções e, a partir desse, demonstramos um lema necessário para obtenção de nossos resultados; na Seção 3 recordamos alguns resultados básicos da Teoria da p-regularidade e, por fim, na Seção 4 obtemos os resultados centrais deste trabalho.
2 PRELIMINARES
Neste artigo consideramos o seguinte problema multiobjetivo:
sendo , e , um aberto não vazio, e suficientemente diferenciáveis. Admitiremos que o conjunto factível é não vazio. Denotamos porEm geral, não é possível minimizar todas as funções objetivo do problema (2.1) e, dessa forma, o conceito de otimalidade pode ser estabelecido de outras maneiras. A seguir, apresentamos os conceitos de solução para o problema (2.1) e que serão utilizados neste trabalho.
Definição 2.1.
-
Dizemos que é uma solução local fracamente eficiente do problema (2.1) se existe uma vizinhança de e não existe , tal que para cada .
-
Dizemos que é uma solução local eficiente do problema (2.1) se existe uma vizinhança de e não existe , tal que para , com a desigualdade estrita para pelo menos um k.
-
Dizemos que é solução local propriamente eficiente do problema (2.1) quando ela é uma solução local eficiente e se existe tal que, para cada
para algum tal que quando e
Por escalarização entendemos a conversão do problema multiobjetivo em um problema escalar de programação não linear cuja solução coincide com a solução do problema multiobjetivo. Uma das técnicas mais conhecidas de escalarização é o Método da Ponderação. Seja . Para cada , , consideramos o seguinte problema escalar
As relações existentes entre as soluções do problema multiobjetivo e as soluções do problema ponderado são dadas no seguinte lema:Lema 2.1 ( [10]). Consideramos o problema definido como em (2.2).
-
Se existe e é uma solução do problema (2.2), então é solução fracamente eficiente do problema (2.1).
-
Se existe tal que , e é uma solução do problema (2.2), então é solução propriamente eficiente do problema (2.1).
Utilizaremos aqui as seguintes notações:
A -ésima derivada de no ponto é uma aplicação -linear . Além disto, podemos associar à aplicação uma -forma
definida como O conjunto é o k-Kernel de .Evidentemente, para cada vetor fixado, podemos associar o operador linear
definido, para todo , como Similarmente para as funções , , temos funcionais lineares definidos, para todo , como a seguirA seguir enunciamos o conceito de direção tangente.
Definição 2.2. Dizemos que um vetor é uma direção tangente a no ponto , se existe tal que para todo existe um vetor
sendo o vetor tal que .O clássico Teorema do Valor Médio será de muita valia em nossas análises. Enuciamos este importante resultado.
Teorema 2.1 (Teorema do Valor M´edio [9]). Sejam e espaços de Banach e um aberto não vazio. Seja uma função diferenciável no segmento . Então
sendo um operador linear contínuo.Agora apresentamos o conceito de multifunções e alguns resultados a ele relacionados. Para maiores detalhes consulte [9][9] A.D. Ioffe & V. Tihomirov. "Theory of extremal problems", volume 6 of Studies in Mathematics and its Applications. North - Holland, Amsterdam (1979)..
Definição 2.3. Sejam um conjunto não vazio e a família de subconjuntos do conjunto . Uma função é denominada de multifunção.
Sejam um espaço métrico e . Consideramos o número
sendo . O máximo entre os números e define a distância de Hausdorff () entre os conjuntos e , isto é,O próximo resultado enunciado é uma versão do Teorema do Ponto Fixo para multifuncões. Para isso, o conceito de contração para multifunções é dado a seguir.
Definição 2.4. Sejam um espaço métrico e uma multifunção. Dizemos que é uma contração se existe um número tal que
para todo , .Teorema 2.2 (Princípio da Contração para Multifunções [9]). Sejam um espaço métrico e uma multifunção, sendo e fechado para todo . Suponhamos que exista um número tal que
-
, ;
-
Então para qualquer satisfazendo a desigualdade
existe um tal que Além disto, dentre os pontos que satisfazem essas condições existe um tal queO próximo resultado fornece uma maneira de determinarmos a distância entre dois conjuntos, segundo a métrica de Hausdorff.
Lema 2.2 ( [9]). Sejam variedades lineares translações de um subespaço vetorial. Então,
Em algumas situações a variedade linear do Lema 2.2 é uma translação do kernel de um operador linear. Este fato pode ser verificado no próximo lema.
Lema 2.3 ( [11]). Sejam um operador linear e . Então a variedade linear é uma translação do subespaço vetorial , ou seja,
para algum .Para um operador linear contínuo consideramos a multifunção
definida como sendo uma funcão de em tal que e é definida comoLema 2.4. Suponhamos fixado tal que . Então
sendo tal que .Demonstraç˜ao. Seja . Logo, , sendo tal que . Desta forma, , isto é, . Por outro lado, se é tal que , então . Portanto,
A segunda igualdade segue diretamente do Lema 2.3.Lema 2.5 ([9]). Seja um operador linear contínuo e é definida como em (2.4). Consideramos
Se , então .3 ELEMENTOS DA TEORIA DA P-REGULARIDADE
Seja , sendo um aberto não vazio. Como é bem conhecido da literatura, o Teorema de Lyusternik [9][9] A.D. Ioffe & V. Tihomirov. "Theory of extremal problems", volume 6 of Studies in Mathematics and its Applications. North - Holland, Amsterdam (1979). é uma ferramenta útil para construção do cone das direções tangentes ao conjunto
em quando o operador linear é sobrejetor. Nesses casos, o cone das direções tangentes pode ser obtido via derivada de primeira ordem, mais especificamente, este cone coincide com o núcleo do operador linear . Nessas situações e quando é uma solução local fracamente eficiente do problema (2.1), o Teorema de Karush-Kuhn-Tucker [10][10] J. Jahn. "Vector optimization". Springer, Berlim (2009). garante a existência de vetores e tais que já que LICQ é verificada em . Por outro lado, quando a sobrejetividade do operador é violada, ou equivalentemente, LICQ não é satisfeita em , é garantida apenas a inclusão do cone das direções tangentes no núcleo do operador linear .No que se segue, recordamos o conceito de aplicação irregular.
Definição 3.1 ([5]). Dizemos que a aplicação é regular em se
A aplicação é irregular se (3.1) não é satisfeita.Consideramos agora o caso em que a condição de regularidade (3.1) não é válida e para tratarmos esse caso faremos uso de um operador linear específico [5][5] O.A. Brezhneva & A.A. Tretyakov. The p-th order optimality conditions for degenerate inequality constrained optimization problems. Pure Appl. Math, 1(2) (2010), 198–223., cuja construção é descrita a seguir. Suponhamos que para um número natural , seja possível uma decomposição em soma direta do espaço vetorial , isto é,
sendo e os demais subespaços são definidos da seguinte maneira:Sejam o subespaço complementar para com respeito à , isto é,
e a projeção definida como sendo , e . Definimos e indutivamente, temos sendo , , o subespaço complementar para com respeito a e é a projeção definida como sendo , e . Finalmente, definimos e é escolhido como o número natural mínimo para o qual (3.2) é válido.Consideramos as seguintes aplicações
definidas como sendo , e a projeção .Definição 3.2 ([5]). Seja fixado. O operador linear , definido como
é denominado operador -fator.Observamos que para cada e fixados, o fator é um operador linear de em . Além disso, temos
Particularmente, para , temos .Definição 3.3 ([5]). Seja , sendo um aberto e . Dizemos que a aplicação é p-regular em com respeito a se
Além disso, dizemos que a aplicação é p-regular em se é p-regular com respeito a qualquer no conjuntoObservamos que a p-regularidade definida acima generaliza o conceito de regularidade da Definição 3.1.
4 CONDIÇÕES DE OTIMALIDADE
Nesta seção nosso objetivo é estabelecermos condições necessárias e suficientes de otimalidade para a classe de problemas irregulares definidos como em (2.1). Para esse fim, necessitaremos do seguinte resultado auxiliar:
Lema 4.1. Sejam . Suponhamos que exista de modo que é p-regular em com respeito a . Seja tal que . Então, existem suficientemente pequeno e uma aplicação tal que e
Demonstração. Sejam , , e . Podemos encontrar , com norma suficientemente pequena e de modo que , sendo em consequência do Lema 2.5. Definimos a multifunção por
sendo o operador p-fator da Definição 3.2.A seguir mostraremos que a multifunção atende às hipóteses do Princípio da Contração para Multifunções (Teorema 2.2) e, portanto, admite um ponto fixo – logo se verifica a equação (4.1). De fato, seja , logo da sobrejetividade do operador , existe tal que
isto é, Logo, e, portanto, .Agora verificaremos que é fechado para todo . Com efeito, consideramos uma sequência tal que . Logo, para cada fixado, temos
sendo ou equivalentemente, Fazendo na igualdade (4.2), temos isto é, e assim, . Logo, é fechado.Sejam . Aplicando o Lema 2.2 combinado com os Lemas 2.3 e 2.4, temos
sendo e tal queAgora fazendo , , temos
sendo Além disso, as desigualdades (4.3) e (4.4) foram obtidas do Lema 2.5 e do Teorema 2.1, respectivamente.Por expansão de Taylor de , temos
Desta forma, para todo , obtemos Logo, Por outro lado, Logo, para suficientemente pequeno, temos e por (4.5), obtemos Em virtude das desigualdades (4.4) e (4.6), temos sendo Como logo podemos encontrar suficientemente pequeno tal que é uma contração.Denotamos por a distância entre e . Assim, temos
sendo que a igualdade (4.7) é decorrente dos fatos que , , e . Por fim, temos Logo, podemos encontrar suficientemente pequeno tal queDessa forma, de acordo com o Teorema 2.2, existem suficientemente pequeno e uma aplicação tal que
isto é, Além disso, A função Lagrangeana usual admite a seguinte generalização:Definição 4.1.A função Lagrangeana p-fator
do problema (2.1) com respeito a associada ao operador p-fator da Definição 3.2 ésendo , e A Lagrangeana p-fator reduz-se a Lagrangeana usual quando .No próximo resultado mostraremos a insolubilidade de um certo sistema, fato fundamental para provarmos as condições necessárias de otimalidade, no sentido da eficência fraca, para o problema (2.1).
Teorema 4.1. Sejam uma solução local fracamente eficiente do problema (2.1), e . Suponhamos que exista tal que é - regular em com respeito à e , . Então o sistema
não tem solução .Demonstração. Suponhamos que é uma solução do sistema (4.8). Da hipótese de p-regularidade de em com respeito a e, em virtude do Lema 4.1, é possível encontrarmos suficientemente pequeno e uma curva tal que ,
Por expansão de Taylor de , para cada fixado e das desigualdades e , , podemos encontrar suficientemente pequeno tal que
Isto contradiz a eficiência fraca local do problema (2.1) e, portanto, o sistema (4.8) não tem solução.Enfim, provaremos condições necessárias de otimalidade para o problema (2.1).
Teorema 4.2. Sejam uma solução local fracamente eficiente do problema (2.1), e . Suponhamos que exista tal que é - regular em com respeito a e , . Então, existem e , tais que
sendo a derivada de primeira ordem de Lagrangeana p-fator com respeito à variável e , , denota o operador linear adjunto.Demonstração. De acordo com o Teorema 4.1, o sistema (4.8) não tem solução . Então, pelo Teorema de Alternativa de Motzkin [12][12] O. Mangasarian. "Nonlinear programming", volume 10 of Classics in Applied Mathematics. SIAM, Philadelphia (1994)., existem e tais que
o que completa a prova.Exemplo 1. Segue um exemplo para ilustrarmos o teorema anterior.
Neste caso , , e . É fácil verificarmos que é uma solução fracamemte eficiente do problema (4.9). Além disto, notamos que
Observamos que , isto é, é irregular em . Por outro lado, fazendo e , logo . Desta forma, da projeção ortogonal , temos
Assim, o operador 2-fator é definido como
Além disso,
Observamos que para todo , temos , ou seja, é 2-regular em . Particularmente, para , obtemos
Sejam e . Logo, a igualdade
se cumpre para , com , e .
Para finalizarmos esta seção, provaremos condições suficientes, no sentido da eficiência fraca e da eficiência própria, para os problemas irregulares definidos como em (2.1). Para isso, enunciamos o seguinte lema:
Lema 4.2 ( [4]). Seja , sendo uma vizinhança de e suponhamos que é p-regular em . Então, para todo , temos
sendo , , , e .Teorema 4.3. Sejam e . Suponhamos que é - regular em e existam e tais que
Se existem multiplicadores , tais que para todo , então é uma solução local fracamente eficiente do problema (2.1). (Aqui, denota a derivada de segunda ordem da Lagrangeana p-fator com respeito à variável ).Demonstração. Sejam assumido na hipótese e . Mostraremos que é um minimizador local do problema
De fato, sejam uma vizinhança de e tal que . Em virtude do Lema 4.2, podemos escrever a variável da seguinte forma sendo , , , e .Sejam satisfazendo (4.10) e . Desta forma, temos
sendo , as projeções definidas como em (3.4). Além disto, como , para , segue que Agora, consideramos e Pela definição de e , obtemos Também, temos Finalmente, da hipótese , para todo e para suficientemente pequeno, temos para todo . Logo, é um minimizador local estrito do problema (4.11). Assim, em virtude do item do Lema 2.1, é uma solução local fracamente eficiente do problema (2.1).Para ilustramos o teorema anterior, mostraremos que o do Exemplo 1 é de fato uma solução local fracamente eficiente do problema (4.9). Primeiramente, observamos que para todo a igualdade
é verificada para , , e . Agora é fácil verificarmos que para todo . Pelo Teorema 4.3, é uma solução local fracamente eficiente do problema (4.9).Corolário 4.3.1. Além das hipóteses do Teorema 4.3, suponha que exista , com satisfazendo (4.10). Então é uma solução local propriamente eficiente do problema (2.1).
Demonstração. A demonstração segue as mesmas linhas da demonstração anterior, todavia, da hipótese que , mais o item do Lema 2.1, concluímos que é uma solução local propriamente eficiente do problema (2.1).
5 CONCLUSÕES
Até o momento, existe pouca literatura referente às condições de otimalidade para problemas multiobjetivos irregulares. Nosso artigo preenche esta lacuna e generaliza os resultados de [4][4] O.A. Brezhneva & A.A. Tretyakov. Optimality conditions for degenerate extremum problems with equality constraints. SIAM Journal on Control and Optimization, 42(2) (2003), 729–745. para problemas escalares ao caso multiobjetivo. Baseando-nos na Teoria da p-regularidade obtivemos condições necessárias e suficientes para problemas irregulares multiobjetivos com restrições de igualdade. Apresentamos os resultados em dimensão finita por clareza de exposição. Num trabalho futuro estenderemos as ideias a espaços de Banach e adicionaremos restrições de desigualdade ver [15][15] L.B. Santos, A.S. Melo & M.A. Rojas-Medar. Optimality conditions for degenerate multiobjective problem with equality and inequality constraint. Preprint, (2019)..
REFERÊNCIAS
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[3]E.R. Avakov, A.V. Arutyunov & A.F. Izmailov. Necessary conditions for an extremum in a mathematical programming problem. Proceedings of the Steklov institute of mathematics, 256(1) (2007), 2–25.
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[8]B. Hernández-Jiménez, M.A. Rojas-Medar, R. Osuna-Gómez & A. Rufián-Lizana. Characterization of weakly efficient solutions for non-regular multiobjective programming problems with inequality-type constraints. Journal of Convex Analysis, 18 (2011), 749–768.
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[9]A.D. Ioffe & V. Tihomirov. "Theory of extremal problems", volume 6 of Studies in Mathematics and its Applications. North - Holland, Amsterdam (1979).
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[10]J. Jahn. "Vector optimization". Springer, Berlim (2009).
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[11]E.L. Lima. "Álgebra linear". Coleção Matemática Universitária. IMPA, Rio de Janeiro (2014).
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[12]O. Mangasarian. "Nonlinear programming", volume 10 of Classics in Applied Mathematics. SIAM, Philadelphia (1994).
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[15]L.B. Santos, A.S. Melo & M.A. Rojas-Medar. Optimality conditions for degenerate multiobjective problem with equality and inequality constraint. Preprint, (2019).
Datas de Publicação
-
Publicação nesta coleção
13 Dez 2019 -
Data do Fascículo
Sep-Dec 2019
Histórico
-
Recebido
7 Dez 2018 -
Aceito
15 Maio 2019