Remarks on a Nonlinear Wave Equation in a Noncylindrical Domain^†

RESUMO

Nesse artigo investigamos a existência de solução para um problema de valor inicial e de contorno associado à seguinte equação da onda não linear

u'' - Δu + |u|ρ = f em

onde representa um domínio não cilíndrico do^{_Rn+ 1}. A metodologia, conforme Lions⁽³⁾, consiste em transformar o problema original, por meio de uma perturbação dependendo de um parâmetro ε > 0, em um outro definido em um domínio cilíndrico Q que contêm . Resolvendo o problema no domínio cilíndrico, obtemos estimativas que dependem de ε. Tais estimativas nos permitirão tomar o limite, quando ε tende a zero, garantindo assim a existência de uma solução para o problema não cilíndrico. A não linearidade |uε|ρ introduz alguns obstáculos no processo de obtenção das estimativas, tais dificuldades são superadas por meio de um argumento devido a Tartar(8) combinado com um argumento de contradição.

Palavras-chave:
problema não linear; domínio não cilíndrico; equação hiperbólica