Neste artigo, consideramos a soma ordinal dos sumandos das t-normas, t-conormas e negações fuzzy, e provamos alguns novos resultados sobre eles. Em particular, fornecemos algumas condições no sentido de garantir que quando os somandos forem triplas de De Morgan suas somas ordinais também são triplas de De Morgan. Também provamos que as leis de De Morgan são preservadas pela ação de automorfismos e N-dualidade.

Palavras-chave:
t-norma; t-conormas; negação fuzzy; triplas de De Morgan; soma ordinal

Autoria

I. MEZZOMO

Centro de Ciências Exatas e Naturais - DCEN, Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA, Mossoró, Rio Grande do Norte, Brazil. E-mail: imezzomo@ufersa.edu.brUniversidade Federal Rural do Semi-ÁridoBrazilMossoró, Rio Grande do Norte, BrazilCentro de Ciências Exatas e Naturais - DCEN, Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA, Mossoró, Rio Grande do Norte, Brazil. E-mail: imezzomo@ufersa.edu.br

B. BEDREGAL

Departamento de Informática e Matemática Aplicada - DIMAp, Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN, Natal, Rio Grande do Norte, Brazil. E-mail: bedregal@dimap.ufrn.brUniversidade Federal do Rio Grande do NorteBrazilNatal, Rio Grande do Norte, BrazilDepartamento de Informática e Matemática Aplicada - DIMAp, Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN, Natal, Rio Grande do Norte, Brazil. E-mail: bedregal@dimap.ufrn.br

*Corresponding author: Ivan Mezzomo - E-mail: imezzomo@ufersa.edu.br

SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

Fórmulas

Fórmulas (29)

(2.1)

(2.2)

(LC)

(LEM)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(4.1)

(4.2)

(4.3)

\begin{array}{l} T_{D} (x, y) = {\begin{matrix} 0 \begin{matrix} i f (x, y) \in [0,1 [^{2}; \end{matrix} \\ \min (x, y) \begin{matrix}  \end{matrix} o t h e r w i s e . \begin{matrix}  \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} □ \end{array}

\begin{array}{l} S_{D} (x, y) = {\begin{matrix} 1 \begin{matrix} i f (x, y) \in] 0,1]^{2}; \end{matrix} \\ \max (x, y) \begin{matrix}  \end{matrix} o t h e r w i s e . \begin{matrix}  \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} □ \end{array}

N_{⊥} (x) = {\begin{matrix} 0 \begin{matrix}  \end{matrix} i f \begin{matrix}  \end{matrix} x > 0 \\ 1 \begin{matrix}  \end{matrix} i f \begin{matrix}  \end{matrix} x = 0 \end{matrix}

N_{┬} (x) = {\begin{matrix} 0 \begin{matrix}  \end{matrix} i f \begin{matrix}  \end{matrix} x = 1 \\ 1 \begin{matrix}  \end{matrix} i f \begin{matrix}  \end{matrix} x < 1 \end{matrix}

(2.1)

N_{α} (x) = {\begin{matrix} 0 \begin{matrix}  \end{matrix} if \begin{matrix}  \end{matrix} x > α \\ 1 \begin{matrix}  \end{matrix} if \begin{matrix}  \end{matrix} x \leq α \end{matrix}

(2.2)

N^{α} (x) = {\begin{matrix} 0 \begin{matrix}  \end{matrix} if \begin{matrix}  \end{matrix} x \geq α \\ 1 \begin{matrix}  \end{matrix} if \begin{matrix}  \end{matrix} x < α \end{matrix}

(LC)

T (x, N (x)) = 0, \forall x \in [0,1]

(LEM)

S (x, N (x)) = 1, \forall x \in [0,1]

\begin{array}{l} T_{1} \land T_{2} (x, y) = \min {T_{1} (x, y), T_{2} (x, y)} \\ T_{1} \lor T_{2} (x, y) = \max {T_{1} (x, y), T_{2} (x, y)} . \end{array}

\begin{array}{l} T_{1} \land T_{2} (x, y) = \min {T_{1} (x, y), T_{2} (x, y)} \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = \min {T_{1} (y, x), T_{2} (y, x)} \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = T_{1} \land T_{2} (y, x) . \end{array}

\begin{array}{l} T_{1} \land T_{2} (x,1) = \min {T_{1} (x,1), T_{2} (x,1)} \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = \min {x, x} \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = x . \end{array}

\begin{array}{l} T_{N} (x, y) = N^{- 1} (T (N (x), N (y))) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = N^{- 1} (T (N (y), N (x))) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = T_{N} (y, x) . \end{array}

\begin{array}{l} T_{N} (x, T_{N} (y, z)) = N^{- 1} (T (N (x), N (N^{- 1} (T (N (y), N (z)))))) \\ \begin{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \end{matrix} = N^{- 1} (T (N (x), T (N (y), N (z)))) \\ \begin{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \end{matrix} = N^{- 1} (T (T (N (x), N (y)), N (z))) \\ \begin{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \end{matrix} = N^{- 1} (T (N (N^{- 1} (T (N (x), N (y))), N (z)))) \\ \begin{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \end{matrix} = T_{N} (T_{N} (x, y), z) \end{array}

\begin{array}{l} T_{N} (x,0) = N^{- 1} (T (N (x), N (0))) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = N^{- 1} (T (N (x),1)) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = N^{- 1} (N (x)) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = x . \end{array}

(2.3)

T^{ρ} (x, y) = ρ^{- 1} (T (ρ (x), ρ (y))),

(2.4)

S^{ρ} (x, y) = ρ^{- 1} (S (ρ (x), ρ (y))), \forall x, y \in [0,1] .

\begin{array}{l} T (x, y) = N (S (N (x), N (y))); \\ S (x, y) = N (T (N (x), N (y))), \end{array}

(2.5)

N (T (x, y)) = S (N (x), N (y));

(2.6)

N (S (x, y)) = T (N (x), N (y)) .

\begin{array}{l} N^{- 1} (T (x, y)) = N^{- 1} (T (N (N^{- 1} (x)), N (N^{- 1} (y)))) \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = N^{- 1} (N (S (N^{- 1} (x), N^{1} (y)))) \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = S (N^{- 1} (x), N^{- 1} (y)) \end{matrix} \end{matrix} . \end{array}

\begin{array}{l} N (S_{N} (x, y)) = N (N^{- 1} (S (N (x), N (y)))) \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = S (N (x), N (y)) \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = N (T (x, y)) \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = N (T (N^{- 1} (N (x)), N^{- 1} (N (y)))) \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = T_{N^{1}} (N (x), N (y)) . \end{matrix} \end{matrix} \end{array}

\begin{array}{l} N (T_{1} \land T_{2} (x, y)) = N (\min {T_{1} (x, y), T_{2} (x, y)}) \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = \max {N (T_{1} (x, y)), N (T_{2} (x, y))} \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = \max {S_{1} (N (x), N (y)), S_{2} (N (x), N (y))} \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = S_{1} \lor S_{2} (N (x), N (y)) . \end{matrix} \end{matrix} \end{array}

\begin{array}{l} N^{ρ} (T^{ρ} (x, y)) = N^{ρ} (ρ^{- 1} (T (ρ (x), ρ (y)))) \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = ρ^{- 1} (N (ρ (ρ^{- 1} (T (ρ (x), ρ (y)))))) \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = ρ^{- 1} (N (T (ρ (x), ρ (y)))) \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = ρ^{- 1} (S (N (ρ (x)), N (ρ (y)))) \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = ρ^{- 1} (S (ρ (ρ^{- 1} (N (ρ (x)))), ρ (ρ^{- 1} (N (ρ (y)))))) \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = S^{ρ} \end{matrix} \end{matrix} (ρ^{- 1} (N (ρ (x))), ρ^{- 1} (N (ρ (y)))) \\ \begin{matrix} \begin{matrix} = S^{ρ} \end{matrix} \end{matrix} (N^{ρ} (x), N^{ρ} (y)) . \end{array}

(4.1)

T (x, y) = {\begin{matrix} a_{i} + (b_{i} - a_{i}) T_{i} (\frac{x - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}, \frac{y - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}) \begin{matrix}  \end{matrix} i f \begin{matrix}  \end{matrix} (x, y) \in {[a_{i}, b_{i}]}^{2}, \\ \min (x, y) \begin{matrix}  \end{matrix} o t h e r w i s e . \end{matrix}

(4.2)

S (x, y) = {\begin{matrix} a_{i} + (b_{i} - a_{i}) S_{i} (\frac{x - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}, \frac{y - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}) \begin{matrix}  \end{matrix} i f \begin{matrix}  \end{matrix} (x, y) \in {[a_{i}, b_{i}]}^{2}, \\ \max (x, y) \begin{matrix}  \end{matrix} o t h e r w i s e . \end{matrix}

(4.3)

N (x) = {\begin{matrix} (1 - b_{i}) + (b_{i} - a_{i}) N_{i} (\frac{x - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}) \begin{matrix}  \end{matrix} i f \begin{matrix}  \end{matrix} x \in [a_{i}, b_{i}], \\ N_{S} (x) \begin{matrix} \begin{matrix}  \end{matrix} \end{matrix} o t h e r w i s e . \end{matrix}

\begin{array}{l} \begin{matrix}  \end{matrix} N (x) \in [(1 - b_{i}) + (b_{i} - a_{i}) N_{i} (\frac{b_{i} - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}), (1 - b_{i}) + (b_{i} - a_{i}) N_{i} (\frac{a_{i} - a_{i}}{b_{i} - a_{i}})] \\ = [(1 - b_{i}) + (b_{i} - a_{i}) N_{i} (1), (1 - b_{i}) + (b_{i} - a_{i}) N_{i} (0)] = [1 - b_{i},1 - a_{i}] . \end{array}

\begin{array}{l} N (T (x, y)) = (1 - b_{i}) + (b_{i} - a_{i}) N_{i} (\frac{T (x, y) - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = (1 - b_{i}) + (b_{i} - a_{i}) N_{i} (\frac{a_{i} + (b_{i} - a_{i}) T_{i} (\frac{x - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}, \frac{y - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}) - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = (1 - b_{i}) + (b_{i} - a_{i}) N_{i} (T_{i} (\frac{x - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}, \frac{y - a_{i}}{b_{i} - a_{i}})) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = (1 - b_{i}) + (b_{i} - a_{i}) S_{i} (N_{i} (\frac{x - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}), N_{i} (\frac{y - a_{i}}{b_{i} - a_{i}})) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = (1 - b_{i}) + (b_{i} - a_{i}) S_{i} (\frac{N (x) - (1 - b_{i})}{b_{i} - a_{i}}, \frac{N (y) - (1 - b_{i})}{b_{i} - a_{i}}) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = S (N (x), N (y)) . \end{array}

\begin{array}{l} N_{S} (S (x, y)) = a_{i} + (b_{i} - a_{i}) N_{S} (\frac{S (x, y) - (1 - b_{i})}{b_{i} - a_{i}}) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = a_{i} + (b_{i} - a_{i}) N_{S} (\frac{(1 - b_{i}) + (b_{i} - a_{i}) S_{i} (\frac{x - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}, \frac{y - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}) - (1 - b_{i})}{b_{i} - a_{i}}) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = a_{i} + (b_{i} - a_{i}) N_{S} (S_{i} (\frac{x - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}, \frac{y - a_{i}}{b_{i} - a_{i}})) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = a_{i} + (b_{i} - a_{i}) T_{i} (N_{S} (\frac{x - a_{i}}{b_{i} - a_{i}}), N_{S} (\frac{y - a_{i}}{b_{i} - a_{i}})) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = a_{i} + (b_{i} - a_{i}) T_{i} (\frac{N_{S} (x) - (1 - b_{i})}{b_{i} - a_{i}}, \frac{N_{S} (y) - (1 - b_{i})}{b_{i} - a_{i}}) \\ \begin{matrix}  \end{matrix} = T (N_{S} (x), N_{S} (y)) . \end{array}

Como citar

copiar

Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional Rua Maestro João Seppe, nº. 900, 16º. andar - Sala 163 , 13561-120 São Carlos - SP, Tel. / Fax: (55 16) 3412-9752 - São Carlos - SP - Brazil
E-mail: sbmac@sbmac.org.br

Acompanhe os números deste periódico no seu leitor de RSS

Versão para download de PDF

PDF

Inglês

Versões e tradução automática

Versão original do texto

English

Tradução automática

Google Translator
Microsoft Translator

Como citar

RIS

BIBTEX

Outros formatos de citação e exportação:

SciELO - Scientific Electronic Library Online
Rua Dr. Diogo de Faria, 1087 – 9º andar – Vila Clementino 04037-003 São Paulo/SP - Brasil
E-mail: scielo@scielo.org