Uma alternativa de aceleração do algoritmo fuzzy K-Means aplicado à quantização vetorial

tema TEMA (São Carlos) TEMA (São Carlos) 1677-1966 2179-8451 Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional São Carlos, SP, Brazil Signal compression, digital watermarking and pattern recognition are examples of applications of vector quantization (VQ). A relevant problem concerning VQ is codebook design. In this paper, an alternative is presented for accelerating the fuzzy K-it Means algorithm applied to codebook design. Simulation results involving VQ of images and Gauss-Markov signals show that the proposed method leads to an increase of convergence speed (reduction of the number of iterations) of the fuzzy K-it Means algorithm without sacrificing the quality of the designed codebooks. Uma alternativa de aceleração do algoritmo fuzzy K-Means aplicado à quantização vetorial F. MadeiroI,1; R.R.A. GalvãoI,2; F.A.B.S. FerreiraII,3; D.C. CunhaIII,4 IEscola Politécnica de Pernambuco, Universidade de Pernambuco, 50720-001 Recife, PE, Brasil IIInstituto de Estudos Avançados em Comunicações, 58429-900 Campina Grande, PB, Brasil IIICentro de Informática, Universidade Federal de Pernambuco, 50740-560 Recife, PE, Brasil RESUMO Compressão de sinais, marca d'água digital e reconhecimento de padrões são exemplos de aplicações de quantização vetorial (QV). Um problema relevante em QV é o projeto de dicionários. Neste trabalho, é apresentada uma alternativa de aceleração do algoritmo fuzzy K-Means aplicado ao projeto de dicionários. Resultados de simulações envolvendo QV de imagens e de sinais com distribuição de Gauss-Markov mostram que o método proposto leva a um aumento da velocidade de convergência (redução do número de iterações) do algoritmo fuzzy K-Means sem comprometimento da qualidade dos dicionários projetados. Palavras-chave. Quantização vetorial, fuzzy K-Means, codificação de imagens. ABSTRACT Signal compression, digital watermarking and pattern recognition are examples of applications of vector quantization (VQ). A relevant problem concerning VQ is codebook design. In this paper, an alternative is presented for accelerating the fuzzy K-it Means algorithm applied to codebook design. Simulation results involving VQ of images and Gauss-Markov signals show that the proposed method leads to an increase of convergence speed (reduction of the number of iterations) of the fuzzy K-it Means algorithm without sacrificing the quality of the designed codebooks. Keywords. Vector quantization, fuzzy K-Means, image coding. 1. Introdução A quantização é uma técnica relevante em sistemas de compressão de sinais [12, 21]. Seu alvo é a digitalização (discretização) dos valores de amostras de um sinal. Há duas classes gerais de quantização: escalar e vetorial. A primeira consiste em um mapeamento Q : → C, em que C é um subconjunto do espaço Euclidiano unidimensional . O número de elementos de C é denominado número de níveis do quantizador, denotado por L. Ao final do processo de quantização, cada amostra poderá ser codificada, por exemplo, em uma palavra-binária de l = log2L bits. A quantização vetorial (QV), por sua vez, consiste em um mapeamento Q : N → W, em que W = {i; i = 1, 2, ..., K } ⊂ N é denominado dicionário, N é a dimensão do quantizador vetorial e K é o tamanho do dicionário (número de vetores-código). A taxa de codificação da quantização vetorial é dada por log2K, expressa em bits por amostra em codificação de forma de onda de voz e em bits por pixel (bpp) em codificação de imagem. A Figura 1 ilustra a QV de imagem, realizada no domínio dos pixels (domínio original, isto é, sem uso de transformadas). Observa-se que a imagem é dividida em blocos de pixels. No exemplo, são usados blocos de 4 ×4 pixels (dimensão N = 16) e um dicionário de tamanho K = 32. O processo de quantização consiste em substituir cada bloco de pixels da imagem original pelo vetor-código (bloco de pixel) mais próximo (segundo um critério de distância) dentre os 32 vetores-código do dicionário. A qualidade da imagem quantizada depende do dicionário utilizado. Em outras palavras, dados dois dicionários de mesmo tamanho e mesma dimensão, diz-se que um deles tem melhor qualidade quando leva à imagem quantizada com qualidade superior (segundo um critério de distorção) à obtida com uso do outro dicionário. Dentre os desafios existentes em QV, podem ser citados: o projeto de dicionários [2], a complexidade computacional [20] e a sensibilidade da técnica aos erros de transmissão [17]. Ressalte-se que, além da compressão de sinais, há um amplo espectro de aplicações para QV, como, por exemplo, esteganografia [7, 8], marca d'água digital [9, 18], identificação vocal [25] e classificação de sinais de voz com patologias [27]. Como técnicas para projeto de dicionários, podem ser citadas: algoritmo LBG (Linde-Buzo-Gray) [19]; algoritmos fuzzy [26] e algoritmos de aprendizagem competitiva [5] e algoritmos meméticos [3]. Em se tratando de QV de imagem, o alvo das técnicas é minimizar a distorção introduzida no processo de substituição dos blocos de pixels originais pelos respectivos vetores-código. No que diz respeito à QV de sinais unidimensionais, como é o caso dos sinais de voz, o alvo é minimizar a distorção introduzida ao se substituírem os blocos de amostras originais pelos respectivos vetores-código. Neste trabalho, é apresentada uma técnica de aceleração do algoritmo fuzzy K-Means aplicado ao projeto de dicionários. Resultados de simulação concernentes à QV de imagens e de sinais com distribuição de Gauss-Markov mostram que a técnica apresentada leva a uma redução do número de iterações realizadas no projeto de dicionários, sem que haja comprometimento da qualidade dos dicionários obtidos. Convém mencionar que na literatura podem ser encontrados diversos trabalhos envolvendo lógica nebulosa (fuzzy) no âmbito de QV, e.g. [6, 11, 13, 23, 24]. 2. Algoritmo K-Means O projeto de dicionários possui grande importância para o bom desempenho de sistemas de compressão de sinais baseados em QV. De uma maneira geral, o projeto de dicionários é um processo de agrupamento de dados (ou clusterização)[10]. Tal processo consiste em agrupar um conjunto de dados (M blocos ou vetores de amostras extraídos do conjunto de treino) em grupos ou clusters (K células de quantização, tal que K < M), de maneira que vetores do mesmo grupo apresentem alta similaridade entre si e possuam pouca similaridade com vetores de outros grupos. Existem muitas técnicas para agrupamento de dados na literatura. Em [28], elas são classificadas como métodos hierárquicos e métodos de partição. Os métodos de partição são subdivididos em métodos de clusterização abrupta (hard) e clusterização fuzzy. No primeiro caso, podemos citar o algoritmo K-Means [12], em que cada vetor de treino (bloco de amostras do conjunto de dados original) pertence a uma e apenas uma célula de quantização. Já no caso da técnica baseada em clusterização fuzzy, na qual se enquadra, por exemplo, o algoritmo fuzzy K-Means [15], cada vetor de treino pode estar associado a várias células de quantização, com um certo grau de pertinência a cada célula. O algoritmo K-Means é brevemente apresentado a seguir. Seja X = {j}, j = 1, 2,..., M, um conjunto de treino composto por M vetores N-dimensionais, com M K. O algoritmo K-Means particiona o espaço vetorial N atribuindo cada vetor de treino a um único cluster através da busca do vizinho mais próximo (VMP). Precisamente, j pertencerá ao cluster (ou região de Voronoi ou célula de quantização) V(i) se d(j,i) < d(j,a), ∀α ≠ i, em que d(j, i) denota a distância Euclidiana quadrática entre j e i. Neste caso, diz-se que i é o VMP de j. Pode-se associar a busca do VMP a uma função de pertinência, definida por Dessa forma, a distorção obtida ao se representarem todos os vetores do conjunto de treino pelos respectivos VMPs é dada por Para minimizar J1, os vetores i são atualizados como segue: Depois de inicializado o conjunto de vetores i, i = 1, 2,..., K, o algoritmo K-Means aplicado ao projeto de dicionários (quantizadores vetoriais) pode ser assim resumido: 1. Particionamento - o conjunto de treino é particionado em K clusters de acordo com a regra do VMP. 2. Atualização do dicionário - os novos vetores-código são os centróides dos clusters, calculados de acordo com a Equação (2.3). 3. Teste de convergência - critério de parada do algoritmo. As etapas de particionamento e atualização são realizadas até que o critério de parada seja satisfeito. Precisamente, o algoritmo pára ao final da t-ésima iteração se em que ε é um parâmetro do algoritmo, denominado limiar de distorção, e J1(t) denota a distorção obtida no particionamento da t-ésima iteração. 3. Algoritmo fuzzy K-Means O algoritmo fuzzy K-Means tem por objetivo minimizar a distorção entre os vetores de treinamento j e os vetores-código i que compõem o dicionário. A medida de distorção é definida em [4] e dada por em que µi(j) é uma função que representa o grau de pertinência do vetor j à i-ésima célula de quantização e m é o parâmetro que controla a nebulosidade da clusterização. Para um determinado dicionário e considerando que mi(j) ∈ [0, 1], i = 1,..., K; 0 < M e = 1, a minimização da função Jm resulta em Para um dado conjunto de funções de grau de pertinência, os vetores-código do dicionário podem ser obtidos por meio da minimização de Jm(i), tal que 3.1. Algoritmo Fuzzy K-Means acelerado Um dos desafios em se tratando de métodos de clusterização é o aumento da velocidade de convergência (redução do número de iterações). No âmbito da quantização vetorial, algumas alternativas foram propostas para acelerar o algoritmo K-Means, tais como as técnicas de Lee et al. [16] e de Paliwal-Ramasubramanian [22]. Em ambas as técnicas, ao final de cada iteração, os vetores-código do dicionário são recalculados de acordo com a expressão em que it é o vetor-código i na t-ésima iteração, s é um fator de escala e C (V (it-1)) é o centróide da partição V (it-1). A diferença entre as técnicas de aceleração do algoritmo K-Means está no fator de escala s. Enquanto em [16] s assume um valor fixo, na técnica de Paliwal-Ramasubramanian o fator de escala é função da iteração t, o que leva a uma maior velocidade de convergência. Neste caso, o fator de escala s é dado pela equação em que x > 0. Assim, para as versões aceleradas do algoritmo K-Means, cada novo vetor-código não é mais determinado como o centróide de sua classe, mas sim por um dos pontos na linha que conecta o vetor-código atual com seu ponto refletido, passando pelo novo centróide da classe, conforme ilustra a Figura 2. O algoritmo K-Means determina o ponto 2, correspondente ao novo centróide da classe, como o novo vetor-código. A proposta de Lee et al., ao utilizar uma abordagem do tipo look ahead, escolhe como novo vetor-código um ponto entre os pontos 2 e 4, visando acelerar a convergência do algoritmo K-Means. Em suma, o novo vetor-código é determinado da seguinte forma: novo vetor-código = vetor-código atual + escala × (novo centróide - vetor-código atual). Uma inspeção da Equação (3.8) revela que a proposta de redução do número de iterações tem como pressuposto uma tendência de deslocamento dos vetores-código segundo uma trajetória aproximadamente retilínea. Simulações realizadas com projeto de dicionários para QV de sinais unidimensionais, realizadas pelos autores deste trabalho, mostraram que o pressuposto é satisfeito pelo algoritmo K-Means bem como pelo fuzzy K-Means. A técnica apresentada em [22], utilizada para acelerar o algoritmo K-Means, é aplicada neste trabalho para acelerar o algoritmo fuzzy K-Means. Pela inspeção da Equação (9), percebe-se que o fator de escala s varia lenta e inversamente com a iteração t. A razão de se utilizar um fator de escala variável se justifica pelo fato de que as atualizações devem ser progressivamente menos acentuadas. Com isso, nas iterações próximas à convergência, não é interessante o uso de um fator de escala alto, sob o risco de haver uma perturbação indesejada no dicionário. Por fim, o fator s deve satisfazer a duas condições: (1) s > 1, para assegurar uma convergência mais rápida que a do algoritmo fuzzy K-Means; (2) s < 2, para evitar que o algoritmo tenha uma convergência muito lenta ou não convirja. Neste trabalho, portanto, a versão acelerada do algoritmo fuzzy K-Means consiste em recalcular os vetores-código do algoritmo fuzzy K-Means convencional por meio das Equações (3.8) e (3.9). 4. Resultados Nesta seção, são apresentados resultados obtidos para projeto de dicionários usando como conjunto de treino (i) sinais com distribuição de Gauss-Markov e (ii) imagens digitais. Os algoritmos fuzzy K-Means (denotado por FKM) e fuzzy K-Means acelerado (denotado por AFKM) param ao final da t-ésima iteração, se com Jm dado na Equação (5), com m = 5, em conformidade com as recomendações de [15], e ε = 10-3 em todas as simulações realizadas. Antes, entretanto, é importante mostrar que, a cada iteração, os vetores-código no algoritmo FKM tendem a se deslocar segundo uma trajetória aproximadamente retilínea, conforme mostra a Figura 3, na qual as cores e os pontos indicados representam, respectivamente, regiões de Voronoi e seus centróides. Desta forma, a Figura 3 justifica a proposta de aceleração do presente artigo. 4.1. Fonte de Gauss-Markov A fonte de Gauss-Markov de 1ª. ordem é também conhecida como fonte de Markov de 1ª. ordem ou fonte AR(1) [14]. Para efeito de simplicidade, essa fonte será referenciada como fonte de Gauss-Markov ao longo de todo o texto. O processo discreto de Gauss-Markov {X(n)} é definido pela equação em que {w(n)} é uma sequência de variáveis aleatórias Gaussianas independentes e identicamente distribuídas com média zero e a é um parâmetro denominado coeficiente de correlação, que determina o grau de correlação entre x(n) e x(n - 1). Em todas as simulações realizadas com sinais com distribuição de Gauss-Markov, utilizou-se conjunto de treinamento com 150.000 amostras. Foram projetados dicionários para QV com taxa de 1,0 bit por amostra. Essa taxa é obtida para diversas combinações de dimensão N e número de níveis K, como, por exemplo, N = 6 e K = 64; N = 8 e K = 256. Para cada combinação, foram utilizadas 40 inicializações aleatórias diferentes de cada algoritmo. A qualidade dos dicionários projetados foi avaliada por meio da relação sinal-ruído (SNR, signal-to-noise ratio), assim definida: em que x(n) e y(n) representam, respectivamente, o sinal original e o sinal quantizado no instante de tempo n. São apresentados resultados para valores médios de SNR dos sinais reconstruídos e número médio de iterações para os dois algoritmos (FKM e AFKM), assim como o número de casos em que o algoritmo AFKM realizou um número menor de iterações (ou seja, teve maior velocidade de convergência) que o algoritmo FKM e o número de casos em que o algoritmo AFKM resultou em sinais reconstruídos com um valor maior de SNR média. Os resultados mencionados anteriormente estão organizados nas Tabelas 1 e 2, referentes a distribuições de Gauss-Markov com coeficientes de correlação a = 0,0 e a = 0,9, respectivamente. Observa-se na Tabela 1, por exemplo, para K = 64, que o número médio de iterações realizadas pelo algoritmo AFKM é igual a 20,15, ao passo que o número correspondente para o algoritmo FKM é 24,30. Observa-se, ainda, que, dentre as 40 inicializações, em 30 o algoritmo AFKM foi mais rápido (realizou um menor número de iterações) que o FKM; dentre essas 30, em 22 inicializações o algoritmo AFKM levou a sinais reconstruídos com SNR superior à obtida com uso de dicionário FKM. De uma forma geral, a inspeção da Tabela 1 revela que o algoritmo AFKM converge mais rapidamente que o algoritmo FKM (realiza um menor número de iterações), sem que haja comprometimento dos dicionários projetados - de fato, os valores médios de SNR obtidos com dicionários AFKM são, em geral, iguais ou ligeiramente superiores aos obtidos com dicionários FKM. Esse comportamento é também observado na Tabela 2. 4.2 Imagens Os resultados apresentados nesta subseção foram obtidos considerando as imagens Elaine, Goldhill, Clock e Lena, todas com 256 ×256 pixels, 256 níveis de cinza e ilustradas na Figura 4. Foi considerada QV com dimensão N = 16, o que corresponde a blocos de 4 ×4 pixels, e dicionários projetados com K = 32, 64, 128, 256 e 512 vetores-código. Para cada tamanho de dicionário considerado, foram utilizadas 40 inicializações aleatórias diferentes de cada algoritmo. A qualidade dos dicionários projetados foi avaliada por meio da relação sinal-ruído de pico (PSNR, peak signal-to-noise ratio), assim definida para imagens 256 ×256 originalmente codificadas a 8,0 bpp: em que MSE (mean square error) denota o erro médio quadrático entre essas imagens e Vp denota o maior valor de nível de cinza (para o caso de imagens originais 8,0 bpp, tem-se Vp = 255). São apresentados resultados para os mesmos parâmetros considerados na subseção referente a sinais com distribuição de Gauss-Markov. Tais resultados encontram-se organizados nas Tabelas 3 e 4, referentes às imagens Elaine e Goldhill, respectivamente, e na Figura 5, referente à imagem Clock, e devem ser entendidos como segue. Considere, por exemplo, a Tabela 3. Para o conjunto de treino correspondente à imagem Elaine e assumindo dicionários de tamanho K = 512, o valor médio da PSNR das imagens reconstruídas com dicionários obtidos pelo algoritmo FKM foi de 33,12 dB, enquanto o correspondente valor médio obtido pelos dicionários AFKM foi de 33,18 dB. Cabe ressaltar que os valores médios de PSNR calculados levam em consideração o uso de 40 inicializações de dicionário distintas, conforme mencionado no início desta subseção. Ainda com relação à Tabela 3 e considerando K = 512, o número médio de iterações do algoritmo FKM foi 47,07, ao passo que o algoritmo AFKM teve uma maior velocidade média de convergência - de fato, o número médio de iterações para o algoritmo AFKM foi 32,06. Para K = 512, a Tabela 3 revela ainda que, das 40 inicializações consideradas, em 36 delas o algoritmo AFKM realizou um menor número de iterações. Por fim, dentre as 36, em 28 os dicionários AFKM levaram a imagens Elaine reconstruídas com valores de PSNR superiores aos obtidos com os dicionários FKM. Considere agora a Tabela 4. Para K = 512, a técnica proposta no presente trabalho contribuiu para reduzir em cerca de 26% o número de iterações do algoritmo fuzzy K-Means. De fato, o algoritmo FKM tem um número médio de iterações igual a 46,40, enquanto o AFKM tem um número médio de iterações igual a 34,24. Para K = 512, os valores médios de PSNR das imagens reconstruídas foram bem próximos com o uso de dicionários FKM e AFKM, sendo 30,76 dB no primeiro caso e 30,82 dB no segundo. As Tabelas 3 e 4 mostram que, para cada imagem considerada nas simulações e os diversos valores de K considerados, o algoritmo AFKM possui, em geral, uma maior velocidade de convergência do que aquela apresentada pelo algoritmo FKM. Em outras palavras, para a maioria das 40 inicializações consideradas para cada valor de K, o algoritmo AFKM realiza um menor número de iterações comparado ao algoritmo FKM. Adicionalmente, as tabelas revelam que o aumento de velocidade de convergência não ocorre à custa de um comprometimento de qualidade dos dicionários projetados. Na realidade, o algoritmo AFKM produz, em geral, com um menor número de iterações, dicionários de qualidade similiar ou levemente superior (valores de PSNR praticamente iguais ou ligeiramente superiores) àquela apresentada pelos dicionários FKM. Conforme se observa na Figura 5, o algoritmo AFKM converge mais rapidamente que o FKM. De fato, o primeiro realiza um menor número de iterações para projetar o dicionário. Além disso, a Figura 5 revela que, fixada uma iteração, o dicionário AFKM tem qualidade superior à do dicionário FKM, levando a uma imagem reconstruída com maior valor de PSNR. A Figura 5 também permite observar que uma determinada qualidade de imagem reconstruída (ou, de forma equivalente, uma dada qualidade de dicionário projetado) é obtida mais prematuramente (em um menor número de iterações) pelo algoritmo AFKM. Finalmente, é válido mencionar que abordagens evolutivas, e.g. [1], podem levar a dicionários de melhor qualidade quando comparados aos obtidos pelo algoritmo AFKM. No entanto, isto ocorre às custas de investimento em operadores genéticos. Para a imagem Lena, por exemplo, para dicionários de tamanhos 32 e 64, há um ganho de 0,25 dB e de 0,28 dB respectivamente ao serem usados dicionários projetados com o algoritmo [1] em substituição aos dicionários AFKM. 5. Conclusão Neste trabalho, foi apresentada uma técnica para aumentar a velocidade de convergência do algoritmo fuzzy K-Means aplicado ao projeto de dicionários para compressão de sinais baseada em quantização vetorial. A técnica consiste, essencialmente, em recalcular os vetores-código ao final de cada iteração do algoritmo, por meio de um procedimento que tem como pressuposto o deslocamento dos vetores-código segundo trajetórias aproximadamente retilíneas ao longo das iterações do algoritmo. Por meio de simulações envolvendo o projeto de dicionários para quantização vetorial de sinais com distribuição de Gauss-Markov e imagens digitais, observou-se que a técnica proposta contribui para reduzir o número de iterações realizadas pelo algoritmo fuzzy K-Means. Os resultados de simulações mostraram que o aumento da velocidade de convergência do algoritmo não ocorre à custa de prejuízo de qualidade dos dicionários projetados. Em outras palavras, a relação sinal-ruído de pico (PSNR) das imagens reconstruídas com o uso de dicionários projetados pela técnica proposta é praticamente a mesma ou ligeiramente superior à PSNR das imagens reconstruídas com o uso de dicionários projetados pelo versão original do algoritmo fuzzy K-Means. Em projetos de dicionários com taxa de 1,0 bit por amostra, tendo como conjunto de treino uma fonte de Gauss-Markov de 1ª. ordem, a técnica apresentada neste trabalho levou a reduções de até cerca de 25% no número médio de iterações. Agradecimentos Os autores expressam os agradecimentos ao CNPq pelo apoio financeiro. Recebido em 05 de Agosto de 2012; Aceito em 20 de Agosto de 2012. 1 [e-mail] 2 [e-mail] 3 [e-mail] 4 [e-mail] Referências [1] C.R.B. Azevedo, T.A.E. Ferreira, W.T.A. Lopes, F. 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