Índices de capacidade de relações funcionais lineares e não-lineares

Capability index for linear and non-linear functions

Resumos

São apresentados métodos para determinação dos índices de capacidade tais como Cp e Cpk aplicados no "design for six sigma" (DFSS) quando a característica de qualidade é não-observável e dada por Y = f(X1, X2, X3,....Xk), onde Xi são variáveis aleatórias com média e variância respectivamente iguais a miXi e sigma2Xi; f é uma função conhecida. A determinação é baseada na série de Taylor e o procedimento será ilustrado com exemplos práticos.

Índice de capacidade de uma relação funcional; propagação dos erros; série de Taylor

Here we present methods to determine capabilit indices such as Cp and Cpk to be applied in "design for six sigma" (DFSS) when the quality characteristic of interest Y is unobservable but given by Y = f(X1, X2, X3,....Xk), where Xi's are random variables with means and variance respectively equal to muXi and sigma2Xi; f is a known function. The determination is based on Taylor series and we illustrate the procedure with practical examples.

Capability index of a function; error propagation; Taylor series

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Índices de capacidade de relações funcionais lineares e não-lineares

Capability index for linear and non-linear functions

Edivaldo Antonio Bulba^I; Linda Lee Ho^II

^IDepto Eng. de Produção - USP. Coordenador de Metrologia Industrial na Faculdade de Engenharia Industrial. E-mail: [e-mail]

^IIDepto. Eng. de Produção - USP. E-mail: [e-mail]

RESUMO

São apresentados métodos para determinação dos índices de capacidade tais como Cp e Cpk aplicados no "design for six sigma" (DFSS) quando a característica de qualidade é não-observável e dada por Y = f(X₁, X₂, X₃,....X_k), onde X_i são variáveis aleatórias com média e variância respectivamente iguais a m_Xi e s²_Xi; f é uma função conhecida. A determinação é baseada na série de Taylor e o procedimento será ilustrado com exemplos práticos.

Palavras-chave: Índice de capacidade de uma relação funcional, propagação dos erros, série de Taylor.

ABSTRACT

Here we present methods to determine capabilit indices such as Cp and Cpk to be applied in "design for six sigma" (DFSS) when the quality characteristic of interest Y is unobservable but given by Y = f(X₁, X₂, X₃,....X_k), where X_i's are random variables with means and variance respectively equal to m_Xi and s²_Xi; f is a known function. The determination is based on Taylor series and we illustrate the procedure with practical examples.

Key words: Capability index of a function, error propagation, Taylor series.

INTRODUÇÃO

Os Índices de capacidade foram introduzidos na década de 70 desde que Juran (1974) apresentou o pioneiro índice de capacidade Cp. A suposição usual é que a característica de interesse seja observável com distribuição normal. Neste trabalho serão apresentados métodos baseados nas séries de Taylor para determinação dos índices de capacidade quando a característica de qualidade de interesse Y não é observável mas dada por Y = f(X₁, X₂, X₃,....X_k), onde f é uma relação funcional de um certo número de variáveis de entrada independentes Y = f(X₁, X₂, X₃,....X_k), sendo X_i variável aleatória com E(X_i) = m_Xi e Var(X_i) = s²_Xi. Neste trabalho os índices de capacidade obtidos de uma relação funcional são empregados na fase de projeto, o que contribui para sistematizar e integrar as atividades de projeto e processo, garantindo a qualidade desde o projeto por estabelecer tolerâncias corretas (BULBA, 2003; BULBA; HO, 2002). Primeiramente encontram-se os pressupostos e as notações; a seguir faz-se uma breve revisão destes índices; e apresentam-se alguns exemplos numéricos. Finalmente as conclusões são apresentadas.

NOTAÇÕES E HIPÓTESES

Para obter índices de capacidade de uma característica de qualidade não-observável, mas obtida por intermédio de uma relação funcional, foram consideradas as seguintes condições:

- as distribuições de probabilidade das variáveis de entrada e de saída são normais ou aproximadamente normais;

- conhece-se a relação funcional entre as variáveis de entrada e a variável de resposta (modelo univariado);

- em modelos não-lineares, as tolerâncias e variâncias das variáveis de entrada têm valores que propiciam uma linearização localizada, com erros desprezíveis;

- abordar-se-á a condição "nominal é melhor", quando a variabilidade e a tolerância são distribuídas simetricamente em torno do valor nominal.

As notações adotadas neste trabalho são:

Cp_Y ® à índice de capacidade Cp para a variável de saída não-observável Y.

Cpk_Y ® à índice de capacidade Cpk para a variável de saída não-observável Y.

m_Y, s_Y ® à média e desvio-padrão da variável de saída não-observável Y.

T_Y ® à tolerância determinística de Y.

m_Xi, s_Xi ® à média e desvio-padrão da variável de entrada X_i.

m_Xi ® àvalor nominal da variável de entrada X_i.

T_Xi ® à tolerância determinística de X_i.

ÍNDICES DE CAPACIDADE DE UMA RELAÇÃI FUNCIONAL CP_Y E CPK_Y

O índice de capacidade "Cp" foi definido por Juran (1974) como: onde T é a tolerância de projeto e 6s é a tolerância natural do processo (BANKS, 1989; BURR, 1976). No caso de várias variáveis de entrada, X_i, i = 1,2,3,.....k, que definem um modelo matemático f_Y = (X₁, X₂, X₃,....X_k), onde E(X_i) = m_Xi e Var(X_i) = s ²_Xi , i =1,...,k, o índice de capacidade Cp da variável Y é dado pela relação:

onde

expressa a tolerância acumulada de projeto na variável de resposta Y com X=(X₁,....,X_k) e m=(m_x1,....,m_xk). Observe-se que esta tolerância acumulada é determinística e é obtida pela somatória das contribuições das tolerâncias das variáveis de entrada T_Xi em T_Y. Cada contribuição é proporcional à tolerância T_Xi e sua derivada parcial em valor absoluto (CREVELING, 1997). Esta somatória corresponde a uma combinação linearizada por meio da aproximação pela primeira ordem da série de Taylor. Por sua vez, 6s_Y é a tolerância natural de processo, sendo que s_Y é aproximado por:

onde rxi, xj é o coeficiente de correlação entre X_ie X_j. Quando X_ie X_jsão independentes, a segunda parcela dentro do radical da expressão (3) é omitida. É importante salientar que uma combinação linear de variáveis de entrada com distribuições normais, independentes ou não resulta em uma variável de resposta Y também com distribuição normal (DIETRICH, 1991). Assim, devido à normalidade da variável de resposta, os índices de capacidade de uma relação funcional podem ser definidos. Deve-se ressaltar que a expansão de Taylor até a primeira ordem somente pode ser aplicada quando os erros de segunda ordem forem desprezíveis; não obstante, Ullman (1997) destaca que esta condição é alcançada na maioria dos casos práticos.

Na Figura 1 está uma representação gráfica e analítica do índice de capacidade Cp de uma variável Y obtido a partir de duas variáveis independentes.

As tolerâncias das variáveis de entrada T_X1 e T_X2 estão representadas respectivamente pelos segmentos BX₁CX₁ e BX₂CX₂. A contribuição destas tolerâncias para a variável de resposta Y é obtida pela técnica de linearização e é dada aproximadamente, pelos segmentos:

A tolerância T_Y está representada pelo segmento AYBY=AX₁BX₁+AX₂ BX₂ que corresponde a:

Para ilustração, considerar-se-á, por simplicidade,CP_X1 = CP_X2= 1 , sem perda de generalidade. Segue que e . Desta forma, a tolerância natural na resposta será:

e o índice de capacidade de . Note que AYBY>A'Y'B'Y, portanto, neste caso, é maior do que 1. Isto é devido à soma quadrática das tolerâncias naturais de entrada.

Similarmente, pode-se obter o índice de capacidade de uma relação funcional Cpk para a variável de resposta Y (Cpk_y) que expressa concomitantemente erros de precisão ou aleatórios (variabilidade medida pelo desvio-padrão s) e erros de posicionamento ou sistemáticos (expressos pela média m). Seja:

onde m é o valor central de projeto, corresponde ao erro sistemático absoluto, LIE e LSE são respectivamente os limites inferior e superior da especificação, a diferença (LSE - LIE) corresponde à tolerância de projeto e o fator k expressa quanto o processo está descentralizado para determinado lado da especificação. Por exemplo, k = 0,25 corresponde a uma descentralização de 25% para a direita ou para a esquerda. Segue que os índices se relacionam através de

Substituindo (4) em (5) a relação fica:

A importância de se prever erros sistemáticos envolvendo acúmulo de tolerâncias antes de ocorrer a manufatura (projeto dos processos) foi abordada por Evans (1975), que propõe um fator de segurança de 1,5 no desvio-padrão da variável de resposta; assim, segundo esta abordagem, obtemos um Cp_Y com margem de segurança substituindo o valor de Cpk_Y . Já outros autores, como Breyfogle (1999) e Harry (1987), estabelecem um erro sistemático e simétrico nas variáveis de entrada correspondente a em torno da média como modo de se levarem em conta os erros sistemáticos nas circunstâncias envolvendo acúmulo de tolerâncias. Wilson (2000), entretanto, critica este procedimento, argumentando que o erro sistemático não pode ser fixado arbitrariamente em . Portanto, um procedimento é apresentado no presente trabalho onde se pode estabelecer no projeto qualquer valor de erro sistemático simétrico para cada variável de entrada, o que conduzirá ao valor do erro sistemático na variável de resposta. Para obter o fator k da variável Y deve-se novamente aplicar a expansão da primeira ordem da série de Taylor junto aos erros sistemáticos estabelecidos para as variáveis de entrada. O erro sistemático simétrico confere um comportamento semelhante ao do acúmulo das tolerâncias. Devido a isto, as diferenciais parciais na expansão de Taylor devem aparecer em valor absoluto e os erros sistemáticos ou de posição de cada variável também. Assim:

onde Cp_Y é dado em (1) ; e corresponde ao erro sistemático da variável de resposta, expresso por:

EXEMPLOS NUMÉRICOS

Exemplo 1 - Controle da área de um retângulo

Considere uma produção de chapas retangulares cortadas na largura X₁ e no comprimento X₂, onde a área resultante é uma característica crítica de qualidade que deve ter o padrão "seis sigma", ou seja Cpk > 2. Veja a Figura 2.

Os valores médios, tolerâncias e diferenciais parciais de X₁e X₂ são respectivamente:

A função que relaciona a variável de resposta Y e as variáveis de entrada é: Y = X₁. X₂. Para determinar a tolerância da variável de resposta, aplica-se (2):

Para obter Cpk > 2,0 estabelecem-se valores de desvios-padrão das variáveis de entrada que garantirão o nível de qualidade requerido na variável de resposta. Neste caso, após análises envolvendo processos disponíveis e custos, foram estabelecidos , que resultam respectivamente Cp_X1= 1,67 e Cp_X2 = 1,33. Aplicando-se (3):

E o índice de capacidade da variável de resposta, Cp_Y (1) será igual a :

De modo similar, aplicando (6), a tolerância do erro sistemático da variável de resposta é determinada. Dados: , segue que:

Segue que o fator k_y da variável de resposta Y é dado por:

E o índice Cpk_Y = Cp_Y(1 - k_Y) = 2,42(1 - 0,133) = 2,1

Exemplo 2 - Reavaliação de tolerâncias de projeto

Devido à dificuldade em trabalhar com relações não- lineares, alguns deixam de "linearizar" determinadas funções não-lineares, através da aplicação da primeira ordem da série de Taylor. Desta forma consideram a relação entre variáveis originalmente como linear, ao aplicar uma simples soma de tolerâncias ou de variâncias a fim de estimar ou prever a tolerância ou a variância na variável de resposta. Segundo Creveling (1997), este procedimento pode ser prejudicial. Para ilustrar este fato, considere um exemplo em Montgomery (2001). Num circuito simples em corrente contínua , a tensão Y entre dois pontos a e b deve ser de 100V com T_y=4V. A corrente e a resistência do circuito, especificações das variáveis de entrada, são respectivamente:

Assume-se neste caso que as variáveis X₁ e X₂ são normalmente distribuídas e independentes entre si, com médias coincidindo com os valores nominais, de modo que a variável de resposta Y também tenha uma distribuição normal. Ainda, considera-se a previsão das tolerâncias naturais de processo de X₁ e X₂ como coincidentes com as respectivas especificações-limite em 99,7% , ou seja:

Pela lei de Ohm, Y = X₁X₂. Nestas condições, a média de Y será aproximadamente:. Como , segue que o desvio-padrão de Y calculado no ponto (m_x1, m_x2)é dado por:

Considerando os limites naturais de variação de tensão Y, tem 6s_y=8,46V. No entanto, esta variação de Y excede à especificação inicial T_Y=4V, que resulta em um índice de capacidade sofrível:

Isto se dá devido ao acúmulo de variabilidade e a uma escolha equivocada de tolerâncias, por não considerarem as relações não-lineares entre as variáveis de entrada. Tolerâncias supostamente aceitáveis nas variáveis de entrada sem levar em consideração as relações não-lineares não refletirão uma tolerância adequada da variável de resposta. Para evitar este problema, os valores das tolerâncias e variâncias das variáveis de entrada serão reavaliados com o objetivo de adequar o valor da tolerância da variável de resposta (BURR, 1976 e CREVELING, 1997). A lei geral de propagação do erro deve ser aplicada com o objetivo de encontrar valores adequados para as especificações de cada variável de entrada, a fim de garantir a tolerância originalmente especificada na variável de resposta T_Y = 4V. Na reavaliação das tolerâncias de X₁ e X₂ supõe-se que as relações entre os valores originais das tolerâncias determinísticas e os valores das tolerâncias naturais da resistência e da corrente estejam otimizadas, isto é,. Além disto, é desejável estabelecer Cp_Y = 1,33, de modo que o valor máximo para a tolerância natural de Y possa ser estabelecido:

Porém, . Como , então os valores de podem ser determinados. A partir da tolerância requerida T_Y = 4V, as novas tolerâncias determinísticas das variáveis de entrada podem ser definidas através do método do pior caso, ou seja:

Como , então 4=4T_x1+25.0,06.T_x1, portanto T_x1=0,727 e _Tx2=0,044 . Finalmente, para confirmar que o valor índice de capacidade Cp_Y é de 1,33:

Uma vez que se respeitou a relação não-linear do índice de capacidade Cp_Yda tensão, coerentemente este se confirmou em 1,33 a partir dos valores redefinidos de tolerância.

CONCLUSÕES

Os índices de capacidade de uma relação funcional Cp_Y e Cpk_Y proporcionam um melhor controle de qualidade sobre uma característica de qualidade que seja variável de resposta dependente de várias variáveis de entrada. Ressalta-se que o procedimento proposto neste trabalho é empregado na fase de projeto dos processos, contribuindo diretamente para o "design for six sigma". A previsão de índices de capacidade no projeto é um meio de garantir a qualidade desde a concepção do produto, propiciando uma seleção mais racional dos processos de manufatura a serem empregados. Posteriormente, na manufatura, podem-se utilizar as estimativas dos desvios-padrão de s_Xi e das médias m_Xifornecidas pelo controle estatístico de processo; desta forma, estimativas pontuais e intervalares de Cp_Y e Cpk_Y podem ser obtidas, porém esta não é a abrangência deste trabalho. Ressalta-se que a relação entre as variáveis de entrada pode ser linear ou não. Quando o modelo é linear, os índices Cp_Y e Cpk_Y são exatos; quando o modelo matemático não é linear, aplica-se uma linearização através da expansão de Taylor limitada à primeira ordem, o que na grande maioria dos casos revela-se suficiente.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem os revisores deste trabalho pelas sugestões que sem dúvida contribuíram para o enriquecimento do mesmo.

Bibliografia

Artigo recebido em 16/08/2003

Aprovado para publicação em 03/02/2004

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  04 Dez 2006
• Data do Fascículo
  2004

Histórico

• Aceito
  03 Fev 2004
• Recebido
  16 Ago 2003